TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Transkript

1 MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med varierande antal deluppgifter Maximalt antal poäng är 6, betygsgränserna är 3 för 3 (godkänd), för för Upp till bonuspoäng från bonusuppgifter får tillgodoräknas Renskriv dina lösningar, lämna ej in kladdpapper! Poängavdrag ges för dåligt motiverade, svårtolkade eller svårläsliga lösningar Tentan rättas bedöms anonymt Resultat meddelas via Ladok ca tre veckor efter tentamenstillfället granskning sker 8-6- kl - i rum MVL, Chalmers tvärgata 3 Obs! Två små fel i tentan som gavs är rättad upp här i röd text Vi löser ekvationen f(x) = där f : R R är definierad som [ x f(x) = x ] x + x (Fetstil x används här för vektorer i fall där det behövs att skilja i-te komponent av vektorn, dvs x i, från i-te iteration av vektorn, dvs x i ) Vi önskar approximera roten ˆx = ( /3, /3) a) Beräkna Jacobianen J : R R till funktionen f, iterera ett steg med Newtons (p) metod med startapproximationen x = (, ) x = x J (x )f(x ) = x x J(x) = x x 3 / 7/ = / / b) Konstruera en fixpunktiterationsmetod x n+ = g(x n ) som konvergerar lokalt mot ro- (p) ten ˆx Iterera ett steg från startapproximationen x = (, ), verifiera att din fixpunktmetod uppfyller villkoren för lokal konvergens En möjlig funktion är g(x) = [ ] x / x, som ger iterationen x = g(x ) = 3/ 3/ Jacobianen till g, dvs G : R R är på formen [ x G(x) = /( ] x ) x / x Sedan [ G(ˆx) = / ] / = G(ˆx) = / <, vilket visar att metoden är lokalt konvergent

2 Låt f : [, ] R vara en funktion som uppfyller x /3 /3 f(x) /3, max f () (y) 8 () y [,] a) Använd Newtons form till att bestämma det polynom p 3 av grad högst 3, dvs p 3 P 3, (3p) som går genom (x i, f(x i )) 3 i= där x i = i/3 Newtons form p 3 (x) = c + c x + c 3 x(x x ) + c x(x x )(x x ) ekvationerna p 3 (x i ) = f(x i ) i =,,, 3, leder till linjära ekvationssystemet /3 /3 /9 c = /3, /3 /9 som man lösar med framåtsubstitution c = (,, 3/, 9) b) Approximera värdet till f(/6) skatta approximationsfelet (p) Det är känt att för x [, ] så uppfyller interpolationspolynomet p 3 P n följande: för någon ξ(x) [, ] f(x) p 3 (x) = f () (ξ(x)) (x x )(x x )(x x )(x x 3 ),! f(/6) p 3 (/6) = /6 3/(/6)(/6 /3) + 9(/6)(/6 /3)(/6 /3) = /6 Från () följer det att p 3 (/6) f(/6) max y [,] f () (y) (/6)(3/6)(/6)(/6)! 6 3 Låt A R n n vara en inverterbar matris med LUP-faktorisering P A = LU a) Beskriv kort egenskaperna till matriserna L, U P (dvs matrisernas storlek (p) ytterligare ett adjektiv om varje matris) P, L U är alla n n matriser L är nedåt triangulär med ettor på diagonalen, U är uppåt triangulär, P är en permutationsmatris som beskriver/relaterar till alla radpivoteringar som gjorts i LUP-faktoriseringen b) Beskriv hur det linjära ekvationssystemet Ax = b kan lösas med LUP-faktorisering (p) ange beräkningskostnaden i antal flyttalsoperationer för att lösa Ax = b med en redan LUP-faktoriserad matris A Tips: Beräkningskostnaden kan anges O(n p ) för någon p Ekvationssystemet Ax = b kan lösas i två steg: Ly = P b med framåtsubstitution, som kostar O(n ) flops ( matris-vektormultiplikationen P b kostar O(n) sedan P är en gles matris med n icke-noll element) Ux=y med bakåtsubstitution, som också kostar O(n ) flops Total beräkningskostnad blir O(n ) c) LU faktorisera följande matris (utan pivotering) (3p)

3 A = 7 3 A = 3, / {{ 3 =L L A = 3, {{ {{ =L =U A = (L L ) U = 3 / {{ {{ =L =U Vi betraktar matrisen A R n n a) Visa att A är inverterbar om endast om inte är ett egenvärde till A (p) implicerar att Låt λ, λ,, λ n vara egenvärdena till A Egenskapen det(a) = Π n j=λ j A är inverterbar det(a) λ k för alla k n b) Visa att om matrisen A är similär med B B är similär med C, så är A similär med (p) C att Enligt uppgiften finns det inverterbara matriser D D sådana A = D BD B = D CD Matrisen D = D D med invers D D visar att A C är similära: A = D D CD D c) Matrisen A R n n kallas antisymmetrisk om A T = A Visa att alla egenvärdena till (3p) en antisymmetrisk matris är imaginära (dvs Re(λ) = för alla egenvärden λ till A) Låt λ C vara ett egenvärde till A med egvenvektor x C n \ { Då är x T Ax = x T λx = λ x, x T A T = (Ax) T = λx T implicerar att x T A T x = λ x Sedan konkluderar vi att x T Ax + x T A T x = (λ + λ) x, x T Ax + x T A T x = x T Ax x T Ax =, λ + λ = = Re(λ) =

4 Vi betraktar linjära rummet C[, ] med skärprodukten u, v := inducerade normen u := u, u u(t)v(t) t dt, u, v C[, ], a) Verifiera att, är en skalärprodukt (p) Egenskaperna u, v = v, y, αu, v = α u, v bilinjaritet följer direkt Det gör också u, u u C[, ] För att visa den återstående egenskapen, antag att u Sedan u är kontinuerlig finns det då en x [, ] δ > så att u(y) > δ för alla y B(x; δ) := {z [, ] x z δ Det följer att Konklusion: u, u B(x;δ) u(t) tdt δ δ u, u = u = tdt δ > b) Låt P k för k N beteckna linjära rummet av polynom av grad högst k låt (3p) B k = {, t,, t k beteckna standardbasen för P k Använd Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod till att bilda en ON-bas {e, e för P från vektorerna i basen B u =, u = tdt =, e = u u = u = t t, e e = t /3, sedan t, e = u = (t /3) t dt = 36 = e = u u t dt = = 6t c) Bestäm polynomet p(t) = at + b som minimerar integralen (3p) 3, ( p(t) t 3 ) t dt () Sedan P är ett underrum av P 3 som spänns upp av ON-basen {e, e vet vi att p := t 3, e e + t 3, e e minimerar integralen (), sedan p P t 3 p P Från t 3, e =, t3, e = 6t t dt =, får vi p = t 3, e e + t 3, e e = + 6t = 6t d) Betrakta linjära avbildningen F : P P definierad som (p) F (p)(t) = t sp (s)ds + p (t) + p()

5 Bestäm matrisen till F i basen B beskriv N(F ) (dvs nollrummet till F ) var sista likhet följer från A = [ ] F () F (t) F (t ) = B F () =, F (t) =, F (t ) = t + t + Sedan följer det att a F (at + bt + c) = A b = c A = N(A) = Span N(F ) = Span(t ) 6 Vi betraktar begynnelsevärdeproblemet y 3/ (t) = y, t > / y() = (3) a) Beräkna den exakta lösningen y(t) (3p) 3/ Matrisen A = har egenvärdena λ / = / λ = / med respektive egenvektorer 3 v = v =, så den kan diagonaliseras A = V DV var V = [v v ] D = diag(λ, λ ) Lösningen till differentialekvationen för z = V y leder till y(t) = v e t/ + v e t/ = [ 3e t/ + e t/ ] e t/ + e t/ b) Iterera ett steg med Euler framåtmetoden steglängden h = / (p) y = y = y + hay = + = / / c) Beskriv varför den ordinära differentialekvationen (3) är (asymptotisk) stabil (p) Kort svar som ger p: Problemet är stabilt sedan realdelen till båda egenvärdena är strikt negativa detta implicerar att lim y(t) =, y() t R

6 Mer utförlig: För varje y() R = Span(v, v ) finns ett entydigt par c, c R så att vi kan skriva y() = c v + c v, lösningen till begynnelsevärdeproblemet tar formen Det följer att y(t) = c v e t/ + c v e t/ lim y(t) =, c, c R dvs y() R t d) Bestäm om steglängden h = / ger en stabil lösning med Euler framåtmetoden (p) Euler framåtmetoden är stabil för steglängden h > om max( + hλ, + hλ ) dvs om max( h/, h/ ) För h = / är Konklusion: metoden är stabil för h = / max( h/, h/ ) = 3/ 7 Låt V vara reellt linjärt rum med en skalärprodukt, : V V R norm inducerad av skalärprodukten: u := u, u a) Bevisa Cauchy-Schwarz olikhet: (p) u, v u v, u, v V, med likhet om endast om u v är linjärt beroende Se bevis av Sats i Linjär algebra fortsätningskurs b) Två normer : V R : V R, som inte nödvändigtvis är relaterade till (3p) någon skalärprodukt, sägs vara ekvivalenta om det finns konstanter C > c > sådana att c u u C u, u V Betrakta rummet R n de två normerna x = x j x := x j j= Visa att normerna är ekvivalenta för godtyckligt fixt n N genom att verifiera följande olikheter: x x n x x R n Tips: Använd Cauchy-Schwarz olikhet För alla x R n, j= x = j= x j x j j= j= j= = x Cauchy-Schwarz olikhet ger vidare att x = x j = x j x j = n x j= j=

7 8 Vi studerar egenskaper för reella linjära rum betecknad (V,, ; R) där V är en icke-tom mängd, : V V V : R V V är rummets respektive operationer för addition multiplikation med (reella) skalärer a) Låt V beteckna nollelementet i (V,, ; R) Visa att V är ett entydigt element (p) Tips: Man kan härleda en motsägelse Antag att även V är ett nollelement Då gäller att V = V V = V = V = V b) Låt V vara mängden R betrakta additionsoperationen (p) x + y x y =, x, y R, x + y multiplikationsoperationen αx α x = αx Visa att (V,, ; R) inte ar ett linjärt rum genom att bestämma de två räknelagarna/axiomen som inte håller För α R x, y V, så är x + y α (x y) = α x + y αx (α x) (α y) = αx Det följer att den distributiva lagen = αy = αy α(x + y ), α(x + y ) α(x + y ) α(x + y ) α (x y) = (α x) (α y), α R & x, y R, inte håller (ta t ex x = (, ), y = (, ) α = ) På liknande sätt observerar vi att (α + β)x (α + β) x = (α + β)x Det följer att den andra distributiva lagen (α x) (β x) = (α + β) x = (α x) (β x), α, β R&x R, inte håller (ta t ex α = β = x = (, )) (α + β)x (α + β)x c) Betrakta mängden V, additionsoperationen från ovan den nya multiplikations- (p) operationen α(x ) + α x := α(x ) + Bestäm nollelementet V till det linjära rummet (V,, ; R) (man kan visa att detta är ett linjärt rum, men det är ej uppgiften här) v = Det följer av x V = x + = x = x + + x = + x V x x R SLUT