Oändligtdimensionella vektorrum

Transkript

1 Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med. I många fall är det dock mycket naturligt att även titta på oändligtdimensionella vektorrum. Mycket av teorin kan överföras till detta fall, men det uppstår även nya svårigheter. Vi ska nu titta på några möjligheter, men samtidigt undvika att ge oss in i tekniska detaljer. C([a, b]) (alla kontinuerliga funktioner på intervallet [a, b]). och P ( alla polynom ) är exempel på vektorrum med oändlig dimension. På en abstrakt nivå fungerar dom ungefär som vanliga vektorrum, men problemen börjar uppstå när vi vill införa t ex baser, speciellt ON-baser. Definition 1 En Hamel-bas är en (ändlig eller oändlig) uppsättning {v α } α I av vektorer i V sådan att varje v V entydigt kan skrivas som en linjärkombination av ändligt många v α. I ett ändligtdimensionellt vektorrum är detta detsamma som en vanlig bas, och man kan

2 från abstrakta logiska principer visa att varje vektorrum har en Hamel-bas. Problemet är att ingen någonsin lyckats konstruera en konkret Hamel-bas för t ex C([a, b])! När det gäller P är det något lättare, 1, x, x,... utgör verkligen en Hamel-bas för P. Men det blir problem i alla fall p g a att det inte finns något särskilt naturligt sätt att inför skalärprodukt och avstånd. Det visar sig dock att det finns en naturlig generalisering av vektorrum med skalärprodunkt till oändlig dimension. Priset blir att vi måste betrakta oändliga linjärkombinationer: Definition Ett Hilbert-rum är ett (oändligtdimensionellt) vektorrum med en skalärprodukt. (Det tillkommer också ett topologiskt villkor som är mindre viktigt för oss just nu.) Vektorrummet och skalärprodukten kan vara reella eller komplexa. Vi tittar i huvudsak på det reella fallet även om det komplexa fallet är extremt viktigt i t ex kvantmekanik. EX. Rummet l av alla reella talföljder {a k } med K=1 a k < är ett Hilbertrum med {a k }, {b k} = a k b k. (Konvergensen följer av Cauchy-Schwarz.)

3 En ON-bas i l är e 1, e,..., där e i = {δ ki }. Ett annat naturligt Hilbert-rum (lite svårare att definiera exakt) är rummet L (0, π), som något förenklat kan sägas bestå av alla funktioner f(x) på intervallet [0, π] sådana att 0 f(x) dx <, med f, g = f(x)g(x) dx. 0 En ON-bas i L (0, π) är ϕ k (x) = π sin kx, där k = 1,,... Att dessa funktioner verkligen spänner upp rummet är inte trivialt utan kräver en del arbete att visa. Men om vi accepterar detta så kommer vi fram till följande Sats 1 l och L (0, π) är isomorfa (dvs det finns en linjär bijektion mellan dom som bevarar skalärprodukt och avstånd). Det är inte svårt att se hur isomorfin ser ut: vi avbildar helt enkelt ϕ k på e k. Varje linjärkombination 1 a k ϕ k avbildas då på motsvarande talföljd {a k } 1. Men i en ON-bas kan koordinaterna för en vektor räknas ut med skalärprodukt. Vi får för f L (0, π) f(x)= 1 f, ϕ k ϕ k (x) där f, ϕ k = π 0 f(t) sin kt dt.

4 Detta är själva grundidén i s k Fourier-analys: i stället för att betrakta ett element i L (0, π) som en funktion på [0, π] betraktar vi dess koordinater m a p basen ϕ 1, ϕ,... Anmärkning: Om vi i stället betraktar Hilbertrummet av komplexvärda funktioner på [ π, π] med skalärprodukten f, g = π f(x)g(x) dx med ON-basen { 1 e kx } π k= så får vi i stället en isomorfi med rummet av dubbelsidiga kvadratiskt konvergenta serier {c k }. En av våra viktigaste tillämpningar av linjär algebra i kursen var att lösa system av (ordinära) differentialekvationer X = AX (A är en n n-matris). Metoden byggde på att hitta vissa egenriktningar i R n längs vilka motsvarande komponenter av vektorn X utvecklar sig oberoende av varandra. Med hjälp av vår bas ϕ k kan vi nu göra samma sak t ex för följande viktiga PDE ( värmeledningsekvationen ): EX. Betrakta problemet att hitta en kontinuerlig funktion u(x, t) på mängden {(x, t) : 0 x π, 0 t} som (för ett givet f(x)) uppfyller:

5 (i) u(x, 0) = f(x) för 0 < x < π, (ii) u(0, t) = u(π, t) = 0 för t 0, (iii) u xx = u t, för 0 < x < π, t > 0. Den partiella differentialekvationen i (iii) innehåller i vänsterledet differentialoperatorn Dx. En bas av egenvektorer till denna operator visar sig vara just våra funktioner ϕ k, eftersom Dxϕ k (x) = k ϕ k (x). Vi väljer därför att studera u(x, t) i denna bas, dvs vi skriver u(x, t)= A k (t)ϕ k (x)= A k (t) π sin kx. Vi ser här att denna lösning automatiskt kommer att uppfylla (ii), och försöker nu välja A k (t) så att varje term A k (t)ϕ k (x) blir en lösning till ekvationen i (iii). Insättning i ekvationen ger A k (t) måste uppfylla ekvationen A k (t)( k ϕ(x))=a k (t)ϕ k(x) A k (t)= k A k (t), med lösningen A k (t) = a k e kt. Vi får lösningen u(x, t) = a k e kt ϕ k (x), För att uppfylla villkoret (i) så måste gälla att f(x) = u(x, 0) = a k ϕ k (x). a k ska alltså enligt ovan väljas som f, ϕ k!