Kontsys F7 Skalärprodukt och normer

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kontsys F7 Skalärprodukt och normer"

Birgitta Eklund
för 4 år sedan
Visningar:

1 Repetition Skalärprodukt Norm Kontsys F7 Skalärprodukt och normer Pelle 11 februari 2019

2 Linjära rum Repetition Skalärprodukt Norm Linjära rum Linjärt underrum Ett linjärt rum över R är en mängd H där man har definerat två räkneoperationer på elementen addition: multiplikation med tal (skalär): räkneoperationerna uppfyller vanliga räknelagar elementen i H kallas vektorer H kallas även vektorrum u,v H = u + v H λ R,u H = λ u H Om skalärerna är komplexa tal får man linjärt rum över C

3 Linjärt underrum Repetition Skalärprodukt Norm Linjära rum Linjärt underrum En delmängd U H är ett linjärt underrum om u,v U = u + v U λ R,u U = λ u U U blir själv ett linjärt rum

4 Skalärprodukt Repetition Skalärprodukt Norm definition ortogonalitet projektionsformeln En skalärprodukt är en regel som till varje par u,v H ordnar en skalär betecknad (u v) R (C) 1 (u λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 (u v 1 ) + λ 2 (u v 2 ) 2 (u v) = (v u) (u v) = (v u) 3 (u u) 0 och (u u) = 0 u = 0 Då gäller automatiskt (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 v) = λ 1 (u 1 v) + λ 2 (u 2 v) (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 v) = λ 1 (u 1 v) + λ 2 (u 2 v) Alternativa beteckningar (u v) = u v = (u,v) = u v =... Ett linjärt rum H med skalärprodukt kallas ett pre-hilbertrum

5 Ortogonalitet Repetition Skalärprodukt Norm definition ortogonalitet projektionsformeln u och v är ortogonala/vinkelräta om (u v) = 0 skrivs u v

6 Projektionsformeln Repetition Skalärprodukt Norm definition ortogonalitet projektionsformeln Ortogonal projektion av vektor u på vektor v u u u v Komposantuppdelning u = (v u) (v v) v u = u + u (dvs u = u u ) där u parallell med v och u är vinkelrät mot v Koll:...

7 Norm Repetition Skalärprodukt Norm definition Pythagoras sats CBS olikhet projektioner u = (u u) kallas normen av u (längden) u 2 = (u u) För att u ska få kallas norm måste den uppfylla 1 u 0 och u = 0 precis då u = 0 2 λ u = λ u 3 u + v u + v triangelolikheten Egenskap 1 och 2 följer direkt av räknereglerna, 3 kräver lite jobb

8 Pythagoras sats Repetition Skalärprodukt Norm definition Pythagoras sats CBS olikhet projektioner Låt H vara pre-hilbertrum (linjärt rum med skalärprodukt). Pythagoras sats Om u,v H, u v så u + v 2 = u 2 + v 2 u + v v u Bevis:...

9 Repetition Skalärprodukt Norm definition Pythagoras sats CBS olikhet projektioner Cauchy-Bunjakovski-Schwarz Låt H vara pre-hilbertrum (linjärt rum med skalärprodukt). Cauchy-Bunjakovski-Schwarz olikhet Om u,v H, (u v) u v Alternativt (u v) 2 (u u)(v v) Bevis:... Med hjälp av denna visas triangelolikheten för normer.

10 Projektioner Repetition Skalärprodukt Norm definition Pythagoras sats CBS olikhet projektioner Låt H vara pre-hilbertrum (linjärt rum med skalärprodukt). Låt e 1,...,e n vara parvis ortogonala med M = [e 1,...,e n ] underrummet de spänner upp. P M u = n k=1 (e k u) e k 2 kallas ortogonala projektionen av u på M. P [e2 ]u e 2 u P M u e k M e 1 P [e1 ]u

11 Projektioner Repetition Skalärprodukt Norm definition Pythagoras sats CBS olikhet projektioner Projektionssatsen P M u M u P M u M inf v M u v 2 = u P m u 2 = u 2 n (e k u) 2 k=1 e k 2 u u P M u e 2 P M u M e 1 Koll: (e j u P M u) = 0 alla j

12 Repetition Skalärprodukt Norm definition Pythagoras sats CBS olikhet projektioner Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod Gram-Schmidt Om u 1,...,u n är bas för [u 1,...,u n ] så finns finns ON-bas e 1,...,e n sån att [u 1 ] = [e 1 ], [u 1,u 2 ] = [e 1,e 2 ], [u 1,u 2,u 3 ] = [e 1,e 2,e 3 ],... f 1 = u 1 e 1 = f 1 f 1 f 2 = u 2 P [f1 ]u 2 e 2 = f 2 f 2 f 3 = u 3 P [f1,f 2 ]u 3 e 3 = f 3 f 3 f 4 = u 4 P [f1,f 2,f 3 ]u 4 e 4 = f 4 f 4

Relevanta dokument

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd