Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Transkript

1 Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma: x + y x + y x + y =. x n + y n x y x för x =., y = y., x n y n

2 produkt av en vektor med en skalär: kx x kx x k x = för k R och x =.., kx n x n skalärprodukt: x y = x y + x y x n y n norm: x = x + x x n = x x Två vektorer kallas för ortogonala om x y = 0.

3 En avbildning T från R n till R m är en regel som avbildar varje x i R n på ett element T ( x) i R m : T : R n R m x T ( x) En avbildning kan vara given genom en beskrivning av hur T verkar på x en formel för T ( x) ekvationer som ger sambandet mellan komponenterna av x och T ( x)

4 Exempel Låt T : R R vara den avbildning som roterar varje vektor med 90 moturs. T ( x) x x x π x x Då beskrivs T genom följande formel: x x T = x x eller genom ekvationerna w = x w = x

5 Exempel a) Ekvationerna w = x + x w = x x w 3 = x x definierar en avbildning T : R R 3 som avbildar varje w x + x x på w x = x x. Man skriver w 3 x x b) Ekvationerna x T = x x + x x x x x w = x + x w = x w 3 = x x ger T : R R 3. x + x x Observera att T = x x = 0 x x x x

6 Låt A vara en m n-matris. Matrisen kan användas för att definiera en avbildning T A : R n R m genom att sätta T A ( x) = A x. Exempel Enhetsmatrisen I n definierar identitetsavbildningen I : R n R n som avbildar varje vektor x R n på sig själv, I ( x) = I n x = x. Exempel Nollmatrisen av storlek m n definierar nollavbildningen 0 : R n R m som avbildar varje vektor x R n på nollvektorn i R m, 0( x) = 0 x = 0 R m.

7 En avbildning T kallas för linjär om man kan uttrycka T ( x) genom matrismultiplikation med en lämplig matris [T ]: för alla x R n. T ( x) = [T ] x I så fall kallas [T ] för standardmatrisen till T. Exempel (forts.) T är linjär eftersom 0 x T ( x) = 0 x 0 och [T ] = är standardmatrisen till T. 0 Exempel (forts.) T är linjär med [T ] = 0.

8 Exempel 3 argument! Vilka av följande avbildningar är linjära? Ge ett T : R 3 R, T x = x + x + x 3 x 3 T : R R x, T (x) = x T 3 : R 3 R, T 3 x 0 = x x x 3 3 x Lösning T, T 3 är linjära eftersom x T x = ( ) x, T 3 x 3 Hur är det med T? x x 3 x x x 3 = x x. x 3

9 Observation: En linjär avbildning T uppfyller () T ( x + y) = T ( x) + T ( y), () T (k x) = k T ( x) för alla vektorer x, y R n och alla tal k R. Det är anmärkningsvärd att omvändningen också gäller: Sats: En avbildning T är linjär om och endast om den uppfyller båda () och (). Följd: T linjär = T ( 0) = 0. Bevis: T ( 0) = T ( 0 0) = T ( 0) T ( 0) = 0 Exempel Om f : R R uppfyller () så gäller f (x) = a x med ett lämpligt tal a ty f (x) = f (x ) () = x f () }{{} =:a

10 Exempel 3 (forts.) T är inte linjär eftersom T = 0 0 Exempel (forts.) men ( T + 0 T är inte linjär eftersom ( 0 ) ) = T = 0 0 T + T 0 = = 0 0 (Problemet är termen x x!)

11 Exempel 4 Avbildningen T : R n R n där T. =. är linjär med 0 [T ] = x x n x n x

12 Exempel 5 a) Låt T vara en linjär avbildning med T ( 0 ) T = 3. Bestäm T. 3 = 0 3 och 0 Lösning Observera att = + ( 3). 3 0 Eftersom T är linjär får vi ( 0 ) T = T + ( 3) = T + ( 3)T 0 ( ) = 3 + ( 3) 3 3 = 9

13 b) Givna är standardenhetsvektorerna e = vektorerna v =, v =, w 3 =, e 0 =, w = 0 och. Låt T vara en linjär avbildning med T v = w och T v = w. Bestäm T e och T e. Lösning För att skriva båda e och e som en linjär kombination av v, v löser vi det linjära ekvatiossystemet λ v + λ v = b { λ λ = b λ + 3λ = b för en allmän höger sida b = ( b b ).

14 Gausseliminationen ger b 3 b 3 b b ( 3 b 3 b 0 7 b b 0 7 (b b ) ), alltså λ = 7 (3b + b ), λ = 7 (b b ). Som resultat får vi för standardenhetsvektorerna som högra sidor e = 3 7 v 7 v (b =, b = 0), e = 7 v + 7 v (b = 0, b = ).

15 Eftersom T är linjär får vi T e = T 3 7 v 7 v = 3 7 T ( v ) 7 T ( v ) = 3 7 w 7 w = = 7 5 T e = T 7 v + 7 v = 7 T ( v ) + 7 T ( v ) = 7 w + 7 w = = Observera att vi har visat följande formel för T : ( x 7 T = x 3 7 x ) (x ) 3 x 5 7 x x = x

16 Hur hittar man standardmatrisen [T ] till en given linjär avbildning T? Betrakta fallet T : R 3 R 3 : Först observerar vi att varje vektor x i R 3 kan skrivas x x = y = x ı + y j + z k. z ( = T ( x) = T x ı + y j + z ) k T linjär = xt ( ı) + yt ( j) + zt ( k) ( = T ( ı) T ( j) T ( ) x k) y }{{} z standardmatrisen till T

17 Sats: Om T : R n R m är en linjär avbildning är standardmatrisen till T given genom ( ) [T ] = T ( e ) T ( e )... T ( e n ) där e, e,..., e n R n betecknar standardenhetsvektorerna, d.v.s. 0 0 e =.,..., e n = Observera att [T ] är en m n-matris.

18 Exempel 6 a) Hitta standardmatrisen till den linjära avbildningen T : R R 3 med b) Bestäm T T ( e ) = 3, T ( e ) =. 0. Lösning a) [T ] = 3. 0 b) T = T e + e = T ( e ) + T ( e ) 4 = 3 + =. 0

19 Exempel 5 (forts.) Hitta standardmatriserna till avbildningarna i Exempel 5! 3 a) [T ] = Observera att T = = b) [T ] =

20 Exempel 7 Låt T vara en linjär avbildning med 4 T =, T =. 4 5 Ange [T ]. Lösning = = T = = = T = = 0 4 = [T ] = = 5. 3,

21 Exempel 8 Hitta standardmatrisen till den avbildning R θ som roterar varje vektor med vinkeln θ moturs. Lösning Vi kollar vad som händer med enhetsvektorerna. (0, ) ( cos(θ), sin(θ) ) R θ ( e ) = cos(θ) sin(θ) θ (, 0) (0, ) ( sin(θ), cos(θ) ) R θ ( e ) = θ (, 0) sin(θ) cos(θ) cos(θ) sin(θ) = [R θ ] = sin(θ) cos(θ)

22 Exempel 9 y = x. Lösning proj x = Hitta standardmatrisen till projektionen P på linjen ( x x ) + = ( x + x ) x + x = ( ) (x ) x = [P] = ( Alternativt: för d = P( e ) får vi ) = d + ( ) d = ) P( e ) = P( e ) = (. }{{} enhetsvektor i rätt riktning (0, ) y = x P( e ) (, 0)

23 Några viktiga avbildningar från R till R : avbildning T [T ] utvidning/ förkortning < k x 0 < k < x k 0 0 rotation med vinkeln θ moturs θ x ( cos(θ) ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) Anmärkning: Förflyttningen T ( x) = x + x 0 med x 0 0 är inte en linjär avbildning!

24 avbildning T [T ] spegling i -> y-axeln x ( ) 0 0 -> x-axeln x ( ) 0 0 -> linjen y = x x 0 0 -> origo x 0 0

25 avbildning T [T ] projek- ortogonala tionen på -> x-axeln x ( ) > y-axeln x > linjen y = x x ( )

26 Exempel a) Skjuvning av R i x-riktningen med faktor k. x x + ky k T =, [T ] = y y 0 k = : (0, ) (, 0) b) Skjuvning av R i y-riktningen med faktor k. T x x =, [T ] = y y + kx 0 k

27 Sammansättning av linjära avbildningar: Låt T : R n R k och T : R k R m vara linjära avbildningar. T T R n R k R m Sammansättningen av T med T är den avbildning som erhålls genom att först använda T och sedan T. Vi skriver T T. T T är alltså en avbildning från R n till R m. Observera att den är igen linjär! Vi har T T }{{} avbildning ( x) = T T ( x). }{{} vektor i R k

28 Exempel 0 genom T För T : R 3 R och T : R R som är givna x x = x x 3, T (x) = x 3 x x är x x (T T ) x = T (T x ) x x = T (x x 3 ) = 3. x x 3 x 3 x 3 Däremot är T T inte definierad.

29 Sats: [T T ] = [T ] [T ] Bevis: T T ( x) = T T ( x) }{{} T linjär = [T ] y =: y T linjär y = [T ] x = [T ] ( [T ] x ) = ( [T ] [T ] ) x }{{} standardmatris till T T Anmärkning: Sammansättningen är inte kommutativ!

30 Exempel 0 (forts.) [T ] = ( 0 ), [T ] = = [T T ] = [T ][T ] = 0 0 = 0

31 Exempel Låt T vara speglingen i linjen y = x och T projektionen på y-axeln y = x = [T ] =, [T 0 ] =. 0 Alltså [T T ] = [T T ] = Vi ser: T T T T. T ( x) T T ( x) x T T ( x) T ( x) y = x x

32 Det gäller dock att rotationer i planet kommuterar: Sats: Låt R θ : R R beteckna rotationen med vinkeln θ moturs. Då är R θ R θ = R θ +θ. Bevis: (med matrisräkning) [R θ R θ ] = [R θ ] [R θ ] cos(θ ) sin(θ = ) cos(θ ) sin(θ ) sin(θ ) cos(θ ) sin(θ ) cos(θ ) }{{} ( cos(θ ) cos(θ ) sin(θ ) sin(θ ) cos(θ ) sin(θ ) sin(θ ) cos(θ ) = sin(θ ) cos(θ ) + cos(θ ) sin(θ ) sin(θ ) sin(θ ) + cos(θ ) cos(θ ) Additionsteorem = ( cos(θ + θ ) ) sin(θ + θ ) sin(θ + θ ) cos(θ + θ ) = [R θ +θ ] )

33 Inverterbara avbildningar En linjär avbildning T : R n R n kallas för inverterbar om det finns en avbildning S : R n R n sådan att T S = S T = I där I är identitetsavbildningen, d.v.s. I : R n R n med I ( x) = x för alla x R n. Om inversa avbildningen S finns, så är den entydig bestämt och själv en linjär avbildning. Vi skriver S =: T. ( T.ex. S( x + y) = S } T{{ S} =I ) ( x) + T S( y) ( ) T linjär = S}{{ T} S( x) + S( y) = S( x) + S( y). =I

34 Sambandet mellan avbildningar och deras standardmatriser ger Sats: Om T är en inverterbar linjär avbildning, då är standardmatrisen [T ] till T en inverterbar matris och det gäller [T ] = [T ]. Följd: En linjär avbildning T är inverterbar om och endast om det([t ]) 0.

35 Exempel Rotationen R θ med vinkeln θ moturs är inverterbar och (R θ ) = R θ. Exempel 3 eftersom Projektionen P på y-axeln är inte inverterbar 0 0 det[p] = det = 0. 0 Exempel 4 Visa att avbildningen T som ges genom ekvationerna w = x w = x + x är inverterbar och bestäm den inversa avbildningen. Lösning 0 [T ] =. Eftersom det[t ] = 0 är T inverterbar och [T ] = [T ] =. 0 = T w = w ( w + w w ).

36 Exempel 5 Låt T vara avbildningen som roterar 45 medurs och T avbildningen som speglar i linjen y = x. a) Bestäm standardmatriserna ill T och T. b) Bestäm standardmatrisen till den sammansatta avbildningen T T. Tolka avbildningen geometriskt! c) Är T T inverterbar? Bestäm den inversa avbildningen i så fallet. d) Kommuterar T och T? Lösning a) [T ] = T ( e ) = T ( e ) =

37 [T ] = ( 0 ) 0 T ( e ) = e T ( e ) = e y = x b) [T T ( ] = [T ][T ) ] =. y = x y = x T T är speglingen i linjen y = x. T T ( e ) T T ( e )

38 c) Eftersom det[t T ] = 0 är T T inverterbar och vi får [(T T ) ] = = [T T ]. Avbildningen är självinvers. Observera att speglingar alltid är självinversa. d) [T T ] = [T ][T ] =. Eftersom [T T ] [T T ] kommuterar avbildningarna T och T inte.