Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.
|
|
- Rebecka Inga Samuelsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. A v B Definition. En vektor v är mängden av riktade sträckor, som har egenskapen att två riktade sträckor AB och CD båda tillhör v om och endast om de kan överföras till varandra genom parallellförflyttning. Varje riktad sträcka i mängden utgör en representant för vektorn.
2 Terminologi. 4 / 18 Riktad sträcka AB. Fotpunkt, spets I uttrycket AB sägs A vara dess fotpunkt och B dess spets. Nollvektor Om A B i vektordefinitionen så får vi nollvektorn 0. Längd Med längden av en vektor menas längden av en av dess representanter. Längden betecknas v.
3 Räkneoperationer för vektorer. 5 / 18 Två grundläggande operationer: u u+v v u v u+v u tu Addition, Multiplikation med skalär.
4 6 / 18 v u-v -v u Anmärkning. Vektorer kan subtraheras: u v u p 1q v. Definition. En vektor e med egenskapen e 1 kallas en enhetsvektor. Att normera en vektor v görs genom att dividera med vektorns längd: e ˆv v v
5 7 / 18 Exempel. Låt O, A, B vara tre punkter i rummet. Antag vidare att OA u och OB v. Om M är mittpunkten på AB så gäller att OM 1 2 pu vq. Visa det. A u M O v B
6 Basbegreppet. 8 / 18 Ett koordinatsystem i planet består av en punkt O och en bas te x, e y u. Vi skall titta litet närmare på vad en bas är för något. y v y e y v (x,y) O e x v x x Plana fallet Låt e x, e y vara två icke-parallella vektorer i planet. Då kan varje vektor v i planet skrivas v v x v y x e x y e y, x, y P R. 3-dim. fallet Låt e x, e y, e z vara tre vektorer som inte ligger i ett plan. Då kan varje vektor v i rummet skrivas v x e x y e y z e z, x, y, z P R.
7 Koordinater. 9 / 18 Definition. Planet Två icke-parallella vektorer e x, e y är en bas för vektorerna i planet. I uttrycket v x e x y e y x är koordinaterna för vektorn v m. a. p. y basen te x, e y u. Rummet Tre vektorer e x, e y, e z, som inte ligger i samma plan, är en bas för vektorerna i rummet. I uttrycket v x e x y e y z e z är x y koordinaterna för vektorn v m. a. p. basen z te x, e y, e z u. Uttryck av typen x e x y e y kallas en linjärkombination av e x resp. e y. Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes ortogonala. Är dessutom basvektorernas längder lika med 1, har vi en ortonormerad bas eller en ON-bas.
8 10 / 18 Anmärkning. När en ON-bas te x, e y u är definierad, förenklas beteckningarna och kalkylerna avsevärt. Man skriver normalt v x e x y e y på x den kortare formen v. y Antag att u ON-bas.) Vi får: u tu v tu1 tu 2 u1 u 2 u1 v 1 u 2 v 2.. och v v1 v 2 (m.a.p. en
9 11 / 18 y u P:(p,q) A:(a,b) r Q:(p-a,q-b) O x Vi betraktar ett rätvinkligt koordinatsystem i planet. Antag att vektorn u AP har sin fotpunkt i punkten A : pa, bq och sin spets i punkten P : pp, qq. Då gäller att vektorn AP har koordinaterna AP u p a q b Längden av vektorn AP blir med Pythagoras sats AP a pp aq 2 pq bq 2.. Anmärkning. Vi noterar att vektorn AP är ekvivalent med ortsvektorn r OQ, som har fotpunkt i origo och spets i punkten Q.
10 Exempel. Låt u 1 2 och v / Beräkna 2u 3v. 2. Beräkna v. 3. Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som v. 4. Betrakta punkterna P : p1, 2q och Q : p4, 3q. Bestäm avståndet mellan P och Q.
11 Exempel. 13 / 18 Betrakta triangeln ABC. Antag att 2 AP P C samt att CQ 1 CB. Bestäm koordinaterna till vektorn P Q med avseende på basen 4 tab, ACu. C Q P A B
12 14 / 18 Exempel. Uttryck en godtycklig enhetsvektor u i två olika ON-baser. ON-basen tv 1, v 2 u är vriden vinkeln α i förhållande till ON-basen te 1, e 2 u. Enhetsvektorn u bildar vinkeln β med basvektorn v 1. v 2 e 2 u v 1 e 1 M.a.p. ON-basen tv 1, v 2 u gäller u cos β v 1 sin β v 2. (1) M.a.p. ON-basen te 1, e 2 u gäller u cospα βq e 1 sinpα βq e 2. (2)
13 15 / 18 Vi skriver ett samband mellan de bägge baserna: v 1 cos α e 1 sin α e 2, v 2 sin α e 1 cos α e 2. (3) Vi sätter in (3) i (1) och får u cos β pcos α e 1 sin β p sin α e 1 sin α e 2 q cos α e 2 q pcos α cos β sin α sin βq e 1 psin α cos β cos α sin βq e 2. Vi har med elementär vektorräkning fått de (välkända?) additionsformlerna, genom att vi identifierar slututtrycket med (2).
14 A D 16 / 18 Exempel. B Låt ABCD vara en oregelbunden fyrhörning i planet. Om A väljs som origo och vektorerna AB och AD väljs till basvektorer får C koordinaterna p2, 3q, dvs. AC 2 AB 3 AD. Vilka koordinater får A om C väljs till origo och vektorerna CB och CD väljs till basvektorer? C
15 Lösningsförslag. 17 / 18 A D B C Ur förutsättningarna får vi: AC 2AB BC AB AD AC 3AD 3AD CD
16 Detta ger att 18 / 18 AC 2pBC 3pAC CDqq 3pAC CDq. Förenkling ger AC 2BC 6AC 6CD 3AC 3CD. Vi löser ut AC: 4AC 2BC 3CD dvs. AC 1 2 BC 3 4 CD Slutligen får vi: CA 1 2 CB 3 4 CD, dvs. koordinaterna för punkten A är p 1 2, 3 4 q med avseende på basen pcb, CDq.
17 Projektion, koordinater. 1 / 21 u s u v v Definition. Låt u vara en godtycklig vektor och L en rät linje med riktningsvektor v. Den ortogonala projektionen u v på L är den vektor med egenskapen u v L, u u v K L.
18 2 / 21 Det är ofta praktiskt att uttrycka en vektor som en summa av två andra vektorer, parallella med och ortogonala mot en föreskriven riktning. v v N v L Definition. Låt L och N vara två vinkelräta linjer i planet med riktningsvektorer v L och v N. En godtycklig vektor v kan då uttryckas som summan v v L v N (1) Vektorerna v L och v N kallas v:s komposanter. Uttrycket (1) kallas en komposantuppdelning av v.
19 3 / 21 Exempel. Ett föremål dras längs en vågrät väg L med en kraft F som bildar en vinkel φ med förflyttningen. F 2 F ø F 1 s Enligt definitionen av arbete utför kraften F arbetet W F s cos φ. Vi komposantuppdelar F och finner att F cos φ F 1. Definitionen av arbete visar att W F 1 s.
20 Skalärprodukt. 4 / 21 Föregående exempel kan tjäna som inledning till begreppet skalärprodukt. u ø v Definition. Skalärprodukten u v, där u, v 0, definieras som u v u v cos φ, och φ är vinkeln mellan u och v.
21 Speciellt gäller: 5 / 21 u u u 2, Om u v 0 så är u och v ortogonala (vinkelräta) (eller någon faktor är lika med nollvektorn), Om u v 0 så är vinkeln spetsig. Om u v 0 så är vinkeln trubbig.
22 Räkneregler. 6 / 21 (Kommutativ lag) u v v u, (Distributiv lag) u pv wq u v u w, (För λ P R) pλ uq v λpu vq. Exempel. Vektorerna u och v har längden 3 respektive 4 och bildar vinkeln π. Bestäm längden 4 av 1. deras summa, 2. deras skillnad.
23 ON-baser och skalärprodukt. 7 / 21 Sats. Om x1 u y 1, v x2 y 2, i ON-basen te x, e y u, så är u v x 1 x 2 y 1 y 2. Anmärkning. rummet. Motsvarande gäller för vektorer i och v 1 (ON- Exempel. u 1 1 bas). Bestäm vinkeln mellan vektorerna.
24 Vinkelrät projektion. 8 / 21 Vektorn u är godtycklig. Linjen L har riktningsvektor v. Komposanten u L kallas u:s (vinkelräta) projektion på L. Det gäller att u L u cos φ u v cos φ v u v. v φ u v u L L
25 Vi dividerar med v och får 9 / 21 u L v u v v 2 u v v v. Vi frigör u L och får den s.k. projektionsformeln: u L u v v v v. (2) Anmärkning. I (2) kan vi sätta enhetsvektorn e v och får alternativt v u L pu eq e. (3)
26 10 / 21 Exempel. u Givet vektorn samt linjen L med riktningsvektor v Bestäm ortogonala projektionen u L samt dess längd.
27 11 / 21 Exempel. Låt u och v 0 2. Komposantuppdela: u u u K, där u är parallell med v och u K är ortogonal mot v.
28 12 / 21 Exempel. Vektorerna u och v har längderna 1 resp. 2 längdenheter. Vinkeln mellan u och v är π{3. 1. Bestäm längden av vektorn 3 u 2 v. 2. Bestäm a så att vektorerna 3 u 2 v och 2 u a v blir ortogonala. 3. En parallellogram vars sidor är lika långa kallas en romb. Visa (med skalärprodukt) att diagonalerna i en romb är vinkelräta.
29 Vektorprodukt. 13 / 21 Definition. Vektorprodukten av u och v, u v, är en vektor som uppfyller: 1. u v u v sin θ, där θ är vinkeln mellan u och v, 2. pu, v, u vq är en högerorienterad trippel, 3. u v är ortogonal mot såväl u som v, 4. u v 0 ô u och v är parallella.
30 14 / 21 u v P v u
31 15 / 21 Anmärkning. Två viktiga skillnader mellan skalär- och vektorprodukt: skalärprodukten är ett tal, vektorprodukten en vektor, vektorprodukten gäller endast i det tredimensionella rummet. De viktigaste räknereglerna för vektorprodukten redovisas i följande Sats. 1. v u u v, 2. u pv wq u v u w, 3. pλuq v λpu vq.
32 16 / 21 Komponenträkning i en högerorienterad ON-bas. Sats. u Om u och v har koordinatframställningen x 1 x2 y 1, v y 2 z 1 m. a. p. en högerorienterad ON-bas te x, e y, e z u, så gäller att z 2 u v y 1 z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2.
33 Bevis-skiss. Från definitionen: 17 / 21 e x e x e y e y e z e z 0, e x e y e z, e y e z e x, e z e x e y. Detta ger (för z-komponenten): u v px 1 e x y 1 e y z 1 e z q px 2 e x y 2 e y z 2 e z q x 1 y 2 pe x e y q px 1 y 2 y 1 x 2 qe z y 1 x 2 pe y e x q Vi resonerar på analogt sätt för de återstående komponenterna.
34 18 / 21 Minnesregel (Sarrus regel) e x e y e z e x e y x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 x 2 y 2 z 2 x 2 y Exempel lomon... Sarrus regel
35 19 / Exempel. Bestäm arean av triangeln med hörn i punkterna A p1, 1, 0q, B p3, 0, 2q samt C p0, 1, 1q. C 0 A B Den sökta arean är hälften av arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna AB och AC. Men höjden mot AB är lika med AC sin θ, där θ är vinkeln mellan AB och AC. Vi åberopar def. av vektorprodukt och den sökta arean blir: 1 2 AB AC.
36 v Trippelprodukt. 20 / 21 w u h w v Definition. Uttrycket u pv wq kallas (den skalära) trippelprodukten av vektorerna u, v och w. Geometrisk tolkning: Volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och wq är beloppet av trippelprodukten av vektorerna u, v och w.
37 21 / 21 Anmärkning. Trippelprodukten pu vq w används ofta för att avgöra om tre vektorer ligger i ett plan. u pv wq $& % 0 ñ u, v, w högerorient. 0 ñ u, v, w vänsterorient. 0 ñ u, v, w i samma plan Exempel. Bestäm a så att punkten P : pa, 2, 6q ligger i samma plan som punkterna P 1 : p7, 3, 8q,P 2 : p 5, 3, 10q och P 3 : p4, 3, 1q.
38 Räta linjen i planet och i rummet. 1 / 13 z v r r 0 P P 0 r r 0 x y En rät linje i R 2 och R 3 bestäms (entydigt) av en punkt P 0 (med ortsvektor r 0 ) och en riktningsvektor v. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på linjen om och endast om vektorn r r 0 är parallell med v.
39 Detta uttrycks med 2 / 13 Räta linjens ekvation på vektorform r r 0 t v (1) eller r r 0 t v, (2) där t P R.
40 v Vi betraktar situtationen i rummet. Om vektorerna r α β γ x y z, r 0 x 0 y 0 z 0, kan (2) alternativt skrivas: 3 / 13 och Räta linjens ekvation på parameterform $ & % x x 0 t α y y 0 t β z z 0 t γ där t P R.
41 Räta linjen i planet. 4 / 13 Antag att en rät linje passerar genom punkterna P : px 1, y 1 q och Q : px 2, y 2 q. y Q x 2 y 2 D y y 2 y 1 P x 1 y 1 x 2 x 1 C x 2 y 1 x x Linjens riktningskoefficient k y 2 y 1 x 2 x 1
42 5 / 13 Om R : px, yq är en godtycklig punkt på linjen, så gäller y y 1 x x 1 k, (3) så att y kpx x 1 q y 1. (4) Uttrycket (4) kan alternativt uttryckas som en generell linjär ekvation: Ax By C 0, där A och B inte är noll samtidigt.
43 är normalvek- A Exempel. Visa att vektorn B tor till linjen Ax By C 0. 6 / 13 Punkterna P px 1, y 1 q resp. Qpx 2, y 2 q antas ligga på linjen. Därför gäller: " Ax1 By 1 C 0 Ax 2 By 2 C 0 Vi subtraherar och får Apx 2 x 1 q Bpy 2 y 1 q 0.
44 7 / 13 Detta kan alternativt uttryckas som skalärprodukten A B x2 x 1 y 2 y 1 0. A Detta betyder att vektorerna och P Q B x2 x 1 A är ortogonala, dvs. är en y 2 y 1 B normalvektor till linjen, eftersom P Q är en riktningsvektor till linjen.
45 8 / 13 Exempel. Bestäm en riktningsvektor till linjen med ekvationen 1. y kx m, 2. Ax By C Välj den oberoende variabeln x som parameter, dvs. sätt x t. Detta medför att y kt m, och vi skriver linjens ekvation på parameterform blir " x t y m kt
46 På vektorform blir linjens ekvation x y 0 m t 1 k 9 / 13 Vi konstaterar: Vektorn v är en riktningsvektor till linjen. 2. Välj t.ex. vektorn u till riktningsvektor. B A 1 k
47 10 / 13 v 2 α v 1 Exempel. linjerna Bestäm vinkeln 0 α π{2 mellan y k 1 x m 1 och y k 2 x m 2
48 11 / 13 Genom att parameterframställa linjerna, erhålls 1 1 riktningsvektorerna v 1 resp. v 2. k 1 Med definitionen på skalärprodukt får vi att k 2 cos α 1 k 1 k 2 a 1 k 2 1 a 1 k 2 2. Om k 1 k 2 =-1 så är linjerna ortogo- Anmärkning. nala.
49 Exempel. 12 / Punkterna P 1 och P 2 har koordinaterna p1, 0, 1q resp. p4, 3, 3q i ett ON-system. Undersök om någon av punkterna p 2, 3, 1q, p5{2, 3{2, 2q och p11{2, 9{2, 4q ligger på sträckan P 1 P Visa att linjerna L 1 : $ & % x 5 t y 2 t z 3 t och L 2 : $ & % x 1 2t y 3 3t z 2 t skär varandra och bestäm skärningspunkten.
50 13 / 13 Exempel. Bestäm ekvationen för linjen genom punkterna P 0 p1, 3q och P p 2, 0q på parameterform. En partikel som rör sig rätlinjigt med konstant fart, befinner sig vid tiden t 0 i punkten P 0 p 1, 3, 7q och vid t 1 i punkten Q p3, 5, 3q. Ekvationen för den linje som utgör partikelbanan? Vid vilken tidpunkt passeras xy-planet? Partikelns läge då?
51 Planets ekvation. 1 / 24 z n r 0 P 0 r r 0 P r x y Figure Ett plan bestäms (entydigt) av en punkt P 0 (med ortsvektor r 0 ) och en normalvektor n 0. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på planet om och endast om vektorn r r 0 K n. Detta uttrycks med
52 Planets ekvation på vektorform. 2 / 24 P 0 P n 0 (1) eller pr r 0 q n 0, (2) där P 0 P ligger i planet. A B, r x y Om n C z kan (2) alternativt skrivas: och r0 x 0 y 0 z 0, Planets ekvation på parameterfri form. Apx x 0 q Bpy y 0 q Cpz z 0 q 0 Detta kan skrivas mer förenklat: Ax By Cz D 0 (3) där D Ax 0 By 0 Cz 0.
53 3 / 24 Anmärkning. Observera att (3) är ekvationen för ett plan. I R 3 skrivs räta linjer enbart på parameterform. Exempel. Genom punkterna P 1 : p1, 0, 1q, P 2 : p1, 1, 0q och P 3 : p0, 1, 1q (ON-system) går ett plan. Bestäm dess ekvation.
54 4 / 24 Exempel. Bestäm skärningslinjen mellan planen x y z 0 och y 2z 6. De två planen har normalvektorerna n 1 resp. n Eftersom linjen ligger i bägge 2 planen är dess riktningsvektor v ortogonal mot såväl n 1 som n 2. Därför är v n 1 n
55 5 / 24 Vi behöver veta en punkt på linjen för att kunna teckna linjens ekvation. Man väljer en koordinat godtyckligt, sätt t.ex. z 0 i de bägge ekvationerna. Detta ger y 6 och x 6. Slutligen får vi skärningslinjens parametriserade ekvation: L : $ & % x 6 3t y 6 2t z t
56 Exempel. 6 / Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten p2, 3, 0q och har 2 1 som normalvektor Låt Π vara planet x 2y az 3 0, där a är en konstant. Ange a så att linjen L : $ & % ligger i Π. x t y 1 t z 2 2t
57 Avståndsberäkningar: Punkt-plan. 7 / 24 z P 0 s r 0 r n P 1 r P x y Figure Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : px 0, y 0, z 0 q och planet Π : Ax By Cz D 0.
58 1. Planets normalvektor n A B C. 8 / Vi normerar n : n e 1? A B A 2 B 2 C 2 C. 3. Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P : p0, 0, D{Cq. Vi tecknar vektorn P P 0 z 0 x 0 y 0 D{C.
59 4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen 9 / 24 s P P 0 n e, vilket ger: s 1? A B A 2 B 2 C 2 C z 0 x 0 y 0 D{C Ax 0 By 0 Cz 0 D? A 2 B 2 C 2.
60 10 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : p 1, 3, 2q och planet Π : 2x 3y z Planets normalvektor n Vi normerar n : n 1 e? Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P : p0, 0, 1q. Vi tecknar vektorn P P
61 4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen 11 / 24 s P P 0 n e, vilket ger: s 1? ? 14.
62 Avståndsberäkningar: Punkt-linje. 12 / 24 P 1 v R s L P 0 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 och linjen L : r r 1 t v. 1. Normera v. v e v v. 2. Bestäm annan punkt godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P 1 med ortsvektor r Teckna P 1 P 0 r 0 r P 1 R är P 1 P 0 :s komposant parallell med L.
63 Projektionssatsen: 13 / 24 P 1 R P 1 P 0 v e. 5. Sökta avståndet b P 1 P 0 2 P 1 R 2. s Anmärkning. som Alternativt kan avståndet beräknas s P 1 P 0 v e P 1 P 0 v v
64 14 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : p2, 0, 3q och linjen L : x y 1 1 t. z Bestäm annan punkt P 1 godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P 1 : p1, 1, 3q. 2. Teckna P 1 P P 1 R är P 1 P 0 :s komposant parallell med L. P 1 R pp 1 P 0 v e q v e. 4. Normera linjens riktningsvektor. v 1 e?
65 5. Projektionssatsen: 15 / 24 P 1 R P1 P 0 v e Sökta avståndet: Alt. 1 s b P 1 P 0 2 P 1 R 2 a 2 9{25? Alt. 2 s P 1 P 0 v e 1{5 1{ ? 41 5.
66 Avståndsberäkningar: Linje-linje. 16 / 24 L 2 P 2 v 2 n s P 1 L 1 v 1 Exempel. Bestäm avståndet s mellan linjerna L 1, som går genom punkten P 1 med riktningsvektor v 1 respektive L 2, som går genom punkten P 2 med riktningsvektor v 2.
67 1. Linjernas ekvationer: 17 / 24 L 1 : r r 1 t v 1 resp. L 2 : r r 2 t v Bestäm godtyckliga punkter på L 1 resp. L 2. Exempelvis ger t 0 punkterna P 1 resp. P Teckna P 1 P 2 r 2 r 1.
68 18 / s är längden av P 1 P 2 :s komposant längs den gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna, s P 1 P 2 v e. 5. Normalens enhetsriktningsvektor v e v 1 v 2 v 1 v Sökta avståndet: s v e P 1 P 2.
69 19 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan linjerna L 1, som går genom punkterna P : p1, 2, 1q och Q : p0, 2, 1q respektive L 2, som går genom punkterna R : p 1, 2, 0q och S : p 1, 0, 2q. 1. Linjernas ekvationer: L 1 : x y z t resp. L 2 : x y z t
70 20 / Bestäm godtyckliga punkter P 1 på L 1 resp. P 2 på L 2. Exempelvis P 1 P p1, 2, 1q resp. P 2 R p 1, 2, 0q. 3. Teckna P 1 P s är längden av P 1 P 2 :s komposant längs den gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna, s P 1 P 2 v e.
71 5. Normalens enhetsriktningsvektor 21 / 24 v e v 1 v 2 v 1 v ? Sökta avståndet: s 1? ? 6.
72 Bestäm avståndet mellan de två linjer- Exempel. na nedan. L 1 : $ & % 22 / 24 x 2 t y t z 1 t L 2 : $ & % x 2 4t y 2 6t z 5 t
73 Exempel. 23 / 24 Bestäm en ekvation för det plan som innehåller linjen L : $ & % x 1 t y 2t z 1 3t och punkten p2, 3, 3q. Bestäm avståndet från punkten p0, 1, 1q till planet.
74 . 24 / 24 Visa att linjerna L 1 : $ & % x 2 t y 3 2t z 1 3t resp. L 2 : $ & % x 3 t y 5 3t z 2 2t skär varandra. Bestäm skärningspunkten samt ekvationen för det plan som innehåller båda linjerna.
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 31 Lärare Ove Edlund Föreläsningar
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merVektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson
Vektorgeometri En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 01 Innehåll 1 Inledning Geometriska vektorer.1 Definition av vektorer........................
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merVektorer för naturvetare. Kjell Elfström
Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................
Läs merEftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merkan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.
vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merLinjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och
Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merLinjer och plan (lösningar)
Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merANALYTISK GEOMETRI. Xantcha
ANALYTISK GEOMETRI Xantcha 4 april 06 Innehåll Linjer och plan Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Planets ekvation Incidens 4 Incidens mellan plan 4 Incidens mellan linje och plan 5 3 Incidens
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merTillämpad Matematik II Övning 1
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Tillämpad Matematik II Övning Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
RTNRMERADE BASER I PLAN (D) CH RUMMET (D) RTNRMERAT KRDINAT SYSTEM Vi säger att en bas i rummet e x e e z följande villkor är uppfllda: ( e x e i plan) är en ortonormerad bas om basvektorerna är parvis
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merAtt beräkna:: Avstånd
Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre
Läs merVektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson
Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merVektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merVektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H
Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merVEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb
VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merSkalärprodukt (lösningar)
Skalärprodukt (lösningar) 404. Nej : 40. Utnyttja definitionen u v u v cos θ u v 4 6 u och distributiviteten (u v) (u + v) u u 6v u + u v v v 4 5 6 0 (Ritar man noggrant, ser man att u v och u + v mycket
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs mer1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.
Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merKontsys F7 Skalärprodukt och normer
Repetition Skalärprodukt Norm Kontsys F7 Skalärprodukt och normer Pelle 11 februari 2019 Linjära rum Repetition Skalärprodukt Norm Linjära rum Linjärt underrum Ett linjärt rum över R är en mängd H där
Läs merKontrollskrivning i Linjär algebra ,
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra 7 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merBegrepp:: Kort om Kryssprodukt
Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merVersion 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg
Version 1.0 :: 20 januari 2015 @ 16:52 INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg 20 januari 2015 ii Innehåll 1 Introduktion till vektorer 1 1.1 Begreppet vektor.....................................
Läs merVektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri..
Vektorer Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång 1. Vad är vektorer?...2 2. Räkneregler för vektorer..6 3. Vektorgeometri..15 Facit 19 Bilder: Geometriska konstruktioner och diagram av
Läs mer1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e
. Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel.3 Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att cos α = u v u v, där α är (minsta vinkeln mellan u och v. I vårt fall så får vi cos α = 7 4 4 =. Alltså
Läs merMoment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.
Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merMAA123 Grundläggande vektoralgebra
Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö högskola Malmö 2014 2 Kapitel 1 Linjära ekvationssystem Att lösa ekvationer Vi vill lösa ekvationen 2x 6 = 0 Att lösa
Läs mer3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs mer