Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning."

Transkript

1 Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. A v B Definition. En vektor v är mängden av riktade sträckor, som har egenskapen att två riktade sträckor AB och CD båda tillhör v om och endast om de kan överföras till varandra genom parallellförflyttning. Varje riktad sträcka i mängden utgör en representant för vektorn.

2 Terminologi. 4 / 18 Riktad sträcka AB. Fotpunkt, spets I uttrycket AB sägs A vara dess fotpunkt och B dess spets. Nollvektor Om A B i vektordefinitionen så får vi nollvektorn 0. Längd Med längden av en vektor menas längden av en av dess representanter. Längden betecknas v.

3 Räkneoperationer för vektorer. 5 / 18 Två grundläggande operationer: u u+v v u v u+v u tu Addition, Multiplikation med skalär.

4 6 / 18 v u-v -v u Anmärkning. Vektorer kan subtraheras: u v u p 1q v. Definition. En vektor e med egenskapen e 1 kallas en enhetsvektor. Att normera en vektor v görs genom att dividera med vektorns längd: e ˆv v v

5 7 / 18 Exempel. Låt O, A, B vara tre punkter i rummet. Antag vidare att OA u och OB v. Om M är mittpunkten på AB så gäller att OM 1 2 pu vq. Visa det. A u M O v B

6 Basbegreppet. 8 / 18 Ett koordinatsystem i planet består av en punkt O och en bas te x, e y u. Vi skall titta litet närmare på vad en bas är för något. y v y e y v (x,y) O e x v x x Plana fallet Låt e x, e y vara två icke-parallella vektorer i planet. Då kan varje vektor v i planet skrivas v v x v y x e x y e y, x, y P R. 3-dim. fallet Låt e x, e y, e z vara tre vektorer som inte ligger i ett plan. Då kan varje vektor v i rummet skrivas v x e x y e y z e z, x, y, z P R.

7 Koordinater. 9 / 18 Definition. Planet Två icke-parallella vektorer e x, e y är en bas för vektorerna i planet. I uttrycket v x e x y e y x är koordinaterna för vektorn v m. a. p. y basen te x, e y u. Rummet Tre vektorer e x, e y, e z, som inte ligger i samma plan, är en bas för vektorerna i rummet. I uttrycket v x e x y e y z e z är x y koordinaterna för vektorn v m. a. p. basen z te x, e y, e z u. Uttryck av typen x e x y e y kallas en linjärkombination av e x resp. e y. Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes ortogonala. Är dessutom basvektorernas längder lika med 1, har vi en ortonormerad bas eller en ON-bas.

8 10 / 18 Anmärkning. När en ON-bas te x, e y u är definierad, förenklas beteckningarna och kalkylerna avsevärt. Man skriver normalt v x e x y e y på x den kortare formen v. y Antag att u ON-bas.) Vi får: u tu v tu1 tu 2 u1 u 2 u1 v 1 u 2 v 2.. och v v1 v 2 (m.a.p. en

9 11 / 18 y u P:(p,q) A:(a,b) r Q:(p-a,q-b) O x Vi betraktar ett rätvinkligt koordinatsystem i planet. Antag att vektorn u AP har sin fotpunkt i punkten A : pa, bq och sin spets i punkten P : pp, qq. Då gäller att vektorn AP har koordinaterna AP u p a q b Längden av vektorn AP blir med Pythagoras sats AP a pp aq 2 pq bq 2.. Anmärkning. Vi noterar att vektorn AP är ekvivalent med ortsvektorn r OQ, som har fotpunkt i origo och spets i punkten Q.

10 Exempel. Låt u 1 2 och v / Beräkna 2u 3v. 2. Beräkna v. 3. Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som v. 4. Betrakta punkterna P : p1, 2q och Q : p4, 3q. Bestäm avståndet mellan P och Q.

11 Exempel. 13 / 18 Betrakta triangeln ABC. Antag att 2 AP P C samt att CQ 1 CB. Bestäm koordinaterna till vektorn P Q med avseende på basen 4 tab, ACu. C Q P A B

12 14 / 18 Exempel. Uttryck en godtycklig enhetsvektor u i två olika ON-baser. ON-basen tv 1, v 2 u är vriden vinkeln α i förhållande till ON-basen te 1, e 2 u. Enhetsvektorn u bildar vinkeln β med basvektorn v 1. v 2 e 2 u v 1 e 1 M.a.p. ON-basen tv 1, v 2 u gäller u cos β v 1 sin β v 2. (1) M.a.p. ON-basen te 1, e 2 u gäller u cospα βq e 1 sinpα βq e 2. (2)

13 15 / 18 Vi skriver ett samband mellan de bägge baserna: v 1 cos α e 1 sin α e 2, v 2 sin α e 1 cos α e 2. (3) Vi sätter in (3) i (1) och får u cos β pcos α e 1 sin β p sin α e 1 sin α e 2 q cos α e 2 q pcos α cos β sin α sin βq e 1 psin α cos β cos α sin βq e 2. Vi har med elementär vektorräkning fått de (välkända?) additionsformlerna, genom att vi identifierar slututtrycket med (2).

14 A D 16 / 18 Exempel. B Låt ABCD vara en oregelbunden fyrhörning i planet. Om A väljs som origo och vektorerna AB och AD väljs till basvektorer får C koordinaterna p2, 3q, dvs. AC 2 AB 3 AD. Vilka koordinater får A om C väljs till origo och vektorerna CB och CD väljs till basvektorer? C

15 Lösningsförslag. 17 / 18 A D B C Ur förutsättningarna får vi: AC 2AB BC AB AD AC 3AD 3AD CD

16 Detta ger att 18 / 18 AC 2pBC 3pAC CDqq 3pAC CDq. Förenkling ger AC 2BC 6AC 6CD 3AC 3CD. Vi löser ut AC: 4AC 2BC 3CD dvs. AC 1 2 BC 3 4 CD Slutligen får vi: CA 1 2 CB 3 4 CD, dvs. koordinaterna för punkten A är p 1 2, 3 4 q med avseende på basen pcb, CDq.

17 Projektion, koordinater. 1 / 21 u s u v v Definition. Låt u vara en godtycklig vektor och L en rät linje med riktningsvektor v. Den ortogonala projektionen u v på L är den vektor med egenskapen u v L, u u v K L.

18 2 / 21 Det är ofta praktiskt att uttrycka en vektor som en summa av två andra vektorer, parallella med och ortogonala mot en föreskriven riktning. v v N v L Definition. Låt L och N vara två vinkelräta linjer i planet med riktningsvektorer v L och v N. En godtycklig vektor v kan då uttryckas som summan v v L v N (1) Vektorerna v L och v N kallas v:s komposanter. Uttrycket (1) kallas en komposantuppdelning av v.

19 3 / 21 Exempel. Ett föremål dras längs en vågrät väg L med en kraft F som bildar en vinkel φ med förflyttningen. F 2 F ø F 1 s Enligt definitionen av arbete utför kraften F arbetet W F s cos φ. Vi komposantuppdelar F och finner att F cos φ F 1. Definitionen av arbete visar att W F 1 s.

20 Skalärprodukt. 4 / 21 Föregående exempel kan tjäna som inledning till begreppet skalärprodukt. u ø v Definition. Skalärprodukten u v, där u, v 0, definieras som u v u v cos φ, och φ är vinkeln mellan u och v.

21 Speciellt gäller: 5 / 21 u u u 2, Om u v 0 så är u och v ortogonala (vinkelräta) (eller någon faktor är lika med nollvektorn), Om u v 0 så är vinkeln spetsig. Om u v 0 så är vinkeln trubbig.

22 Räkneregler. 6 / 21 (Kommutativ lag) u v v u, (Distributiv lag) u pv wq u v u w, (För λ P R) pλ uq v λpu vq. Exempel. Vektorerna u och v har längden 3 respektive 4 och bildar vinkeln π. Bestäm längden 4 av 1. deras summa, 2. deras skillnad.

23 ON-baser och skalärprodukt. 7 / 21 Sats. Om x1 u y 1, v x2 y 2, i ON-basen te x, e y u, så är u v x 1 x 2 y 1 y 2. Anmärkning. rummet. Motsvarande gäller för vektorer i och v 1 (ON- Exempel. u 1 1 bas). Bestäm vinkeln mellan vektorerna.

24 Vinkelrät projektion. 8 / 21 Vektorn u är godtycklig. Linjen L har riktningsvektor v. Komposanten u L kallas u:s (vinkelräta) projektion på L. Det gäller att u L u cos φ u v cos φ v u v. v φ u v u L L

25 Vi dividerar med v och får 9 / 21 u L v u v v 2 u v v v. Vi frigör u L och får den s.k. projektionsformeln: u L u v v v v. (2) Anmärkning. I (2) kan vi sätta enhetsvektorn e v och får alternativt v u L pu eq e. (3)

26 10 / 21 Exempel. u Givet vektorn samt linjen L med riktningsvektor v Bestäm ortogonala projektionen u L samt dess längd.

27 11 / 21 Exempel. Låt u och v 0 2. Komposantuppdela: u u u K, där u är parallell med v och u K är ortogonal mot v.

28 12 / 21 Exempel. Vektorerna u och v har längderna 1 resp. 2 längdenheter. Vinkeln mellan u och v är π{3. 1. Bestäm längden av vektorn 3 u 2 v. 2. Bestäm a så att vektorerna 3 u 2 v och 2 u a v blir ortogonala. 3. En parallellogram vars sidor är lika långa kallas en romb. Visa (med skalärprodukt) att diagonalerna i en romb är vinkelräta.

29 Vektorprodukt. 13 / 21 Definition. Vektorprodukten av u och v, u v, är en vektor som uppfyller: 1. u v u v sin θ, där θ är vinkeln mellan u och v, 2. pu, v, u vq är en högerorienterad trippel, 3. u v är ortogonal mot såväl u som v, 4. u v 0 ô u och v är parallella.

30 14 / 21 u v P v u

31 15 / 21 Anmärkning. Två viktiga skillnader mellan skalär- och vektorprodukt: skalärprodukten är ett tal, vektorprodukten en vektor, vektorprodukten gäller endast i det tredimensionella rummet. De viktigaste räknereglerna för vektorprodukten redovisas i följande Sats. 1. v u u v, 2. u pv wq u v u w, 3. pλuq v λpu vq.

32 16 / 21 Komponenträkning i en högerorienterad ON-bas. Sats. u Om u och v har koordinatframställningen x 1 x2 y 1, v y 2 z 1 m. a. p. en högerorienterad ON-bas te x, e y, e z u, så gäller att z 2 u v y 1 z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2.

33 Bevis-skiss. Från definitionen: 17 / 21 e x e x e y e y e z e z 0, e x e y e z, e y e z e x, e z e x e y. Detta ger (för z-komponenten): u v px 1 e x y 1 e y z 1 e z q px 2 e x y 2 e y z 2 e z q x 1 y 2 pe x e y q px 1 y 2 y 1 x 2 qe z y 1 x 2 pe y e x q Vi resonerar på analogt sätt för de återstående komponenterna.

34 18 / 21 Minnesregel (Sarrus regel) e x e y e z e x e y x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 x 2 y 2 z 2 x 2 y Exempel lomon... Sarrus regel

35 19 / Exempel. Bestäm arean av triangeln med hörn i punkterna A p1, 1, 0q, B p3, 0, 2q samt C p0, 1, 1q. C 0 A B Den sökta arean är hälften av arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna AB och AC. Men höjden mot AB är lika med AC sin θ, där θ är vinkeln mellan AB och AC. Vi åberopar def. av vektorprodukt och den sökta arean blir: 1 2 AB AC.

36 v Trippelprodukt. 20 / 21 w u h w v Definition. Uttrycket u pv wq kallas (den skalära) trippelprodukten av vektorerna u, v och w. Geometrisk tolkning: Volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och wq är beloppet av trippelprodukten av vektorerna u, v och w.

37 21 / 21 Anmärkning. Trippelprodukten pu vq w används ofta för att avgöra om tre vektorer ligger i ett plan. u pv wq $& % 0 ñ u, v, w högerorient. 0 ñ u, v, w vänsterorient. 0 ñ u, v, w i samma plan Exempel. Bestäm a så att punkten P : pa, 2, 6q ligger i samma plan som punkterna P 1 : p7, 3, 8q,P 2 : p 5, 3, 10q och P 3 : p4, 3, 1q.

38 Räta linjen i planet och i rummet. 1 / 13 z v r r 0 P P 0 r r 0 x y En rät linje i R 2 och R 3 bestäms (entydigt) av en punkt P 0 (med ortsvektor r 0 ) och en riktningsvektor v. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på linjen om och endast om vektorn r r 0 är parallell med v.

39 Detta uttrycks med 2 / 13 Räta linjens ekvation på vektorform r r 0 t v (1) eller r r 0 t v, (2) där t P R.

40 v Vi betraktar situtationen i rummet. Om vektorerna r α β γ x y z, r 0 x 0 y 0 z 0, kan (2) alternativt skrivas: 3 / 13 och Räta linjens ekvation på parameterform $ & % x x 0 t α y y 0 t β z z 0 t γ där t P R.

41 Räta linjen i planet. 4 / 13 Antag att en rät linje passerar genom punkterna P : px 1, y 1 q och Q : px 2, y 2 q. y Q x 2 y 2 D y y 2 y 1 P x 1 y 1 x 2 x 1 C x 2 y 1 x x Linjens riktningskoefficient k y 2 y 1 x 2 x 1

42 5 / 13 Om R : px, yq är en godtycklig punkt på linjen, så gäller y y 1 x x 1 k, (3) så att y kpx x 1 q y 1. (4) Uttrycket (4) kan alternativt uttryckas som en generell linjär ekvation: Ax By C 0, där A och B inte är noll samtidigt.

43 är normalvek- A Exempel. Visa att vektorn B tor till linjen Ax By C 0. 6 / 13 Punkterna P px 1, y 1 q resp. Qpx 2, y 2 q antas ligga på linjen. Därför gäller: " Ax1 By 1 C 0 Ax 2 By 2 C 0 Vi subtraherar och får Apx 2 x 1 q Bpy 2 y 1 q 0.

44 7 / 13 Detta kan alternativt uttryckas som skalärprodukten A B x2 x 1 y 2 y 1 0. A Detta betyder att vektorerna och P Q B x2 x 1 A är ortogonala, dvs. är en y 2 y 1 B normalvektor till linjen, eftersom P Q är en riktningsvektor till linjen.

45 8 / 13 Exempel. Bestäm en riktningsvektor till linjen med ekvationen 1. y kx m, 2. Ax By C Välj den oberoende variabeln x som parameter, dvs. sätt x t. Detta medför att y kt m, och vi skriver linjens ekvation på parameterform blir " x t y m kt

46 På vektorform blir linjens ekvation x y 0 m t 1 k 9 / 13 Vi konstaterar: Vektorn v är en riktningsvektor till linjen. 2. Välj t.ex. vektorn u till riktningsvektor. B A 1 k

47 10 / 13 v 2 α v 1 Exempel. linjerna Bestäm vinkeln 0 α π{2 mellan y k 1 x m 1 och y k 2 x m 2

48 11 / 13 Genom att parameterframställa linjerna, erhålls 1 1 riktningsvektorerna v 1 resp. v 2. k 1 Med definitionen på skalärprodukt får vi att k 2 cos α 1 k 1 k 2 a 1 k 2 1 a 1 k 2 2. Om k 1 k 2 =-1 så är linjerna ortogo- Anmärkning. nala.

49 Exempel. 12 / Punkterna P 1 och P 2 har koordinaterna p1, 0, 1q resp. p4, 3, 3q i ett ON-system. Undersök om någon av punkterna p 2, 3, 1q, p5{2, 3{2, 2q och p11{2, 9{2, 4q ligger på sträckan P 1 P Visa att linjerna L 1 : $ & % x 5 t y 2 t z 3 t och L 2 : $ & % x 1 2t y 3 3t z 2 t skär varandra och bestäm skärningspunkten.

50 13 / 13 Exempel. Bestäm ekvationen för linjen genom punkterna P 0 p1, 3q och P p 2, 0q på parameterform. En partikel som rör sig rätlinjigt med konstant fart, befinner sig vid tiden t 0 i punkten P 0 p 1, 3, 7q och vid t 1 i punkten Q p3, 5, 3q. Ekvationen för den linje som utgör partikelbanan? Vid vilken tidpunkt passeras xy-planet? Partikelns läge då?

51 Planets ekvation. 1 / 24 z n r 0 P 0 r r 0 P r x y Figure Ett plan bestäms (entydigt) av en punkt P 0 (med ortsvektor r 0 ) och en normalvektor n 0. En punkt P (med ortsvektor r) ligger på planet om och endast om vektorn r r 0 K n. Detta uttrycks med

52 Planets ekvation på vektorform. 2 / 24 P 0 P n 0 (1) eller pr r 0 q n 0, (2) där P 0 P ligger i planet. A B, r x y Om n C z kan (2) alternativt skrivas: och r0 x 0 y 0 z 0, Planets ekvation på parameterfri form. Apx x 0 q Bpy y 0 q Cpz z 0 q 0 Detta kan skrivas mer förenklat: Ax By Cz D 0 (3) där D Ax 0 By 0 Cz 0.

53 3 / 24 Anmärkning. Observera att (3) är ekvationen för ett plan. I R 3 skrivs räta linjer enbart på parameterform. Exempel. Genom punkterna P 1 : p1, 0, 1q, P 2 : p1, 1, 0q och P 3 : p0, 1, 1q (ON-system) går ett plan. Bestäm dess ekvation.

54 4 / 24 Exempel. Bestäm skärningslinjen mellan planen x y z 0 och y 2z 6. De två planen har normalvektorerna n 1 resp. n Eftersom linjen ligger i bägge 2 planen är dess riktningsvektor v ortogonal mot såväl n 1 som n 2. Därför är v n 1 n

55 5 / 24 Vi behöver veta en punkt på linjen för att kunna teckna linjens ekvation. Man väljer en koordinat godtyckligt, sätt t.ex. z 0 i de bägge ekvationerna. Detta ger y 6 och x 6. Slutligen får vi skärningslinjens parametriserade ekvation: L : $ & % x 6 3t y 6 2t z t

56 Exempel. 6 / Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten p2, 3, 0q och har 2 1 som normalvektor Låt Π vara planet x 2y az 3 0, där a är en konstant. Ange a så att linjen L : $ & % ligger i Π. x t y 1 t z 2 2t

57 Avståndsberäkningar: Punkt-plan. 7 / 24 z P 0 s r 0 r n P 1 r P x y Figure Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : px 0, y 0, z 0 q och planet Π : Ax By Cz D 0.

58 1. Planets normalvektor n A B C. 8 / Vi normerar n : n e 1? A B A 2 B 2 C 2 C. 3. Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P : p0, 0, D{Cq. Vi tecknar vektorn P P 0 z 0 x 0 y 0 D{C.

59 4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen 9 / 24 s P P 0 n e, vilket ger: s 1? A B A 2 B 2 C 2 C z 0 x 0 y 0 D{C Ax 0 By 0 Cz 0 D? A 2 B 2 C 2.

60 10 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : p 1, 3, 2q och planet Π : 2x 3y z Planets normalvektor n Vi normerar n : n 1 e? Välj punkten P godtyckligt i planet, t.ex. P : p0, 0, 1q. Vi tecknar vektorn P P

61 4. Det sökta avståndet är enligt projektionssatsen 11 / 24 s P P 0 n e, vilket ger: s 1? ? 14.

62 Avståndsberäkningar: Punkt-linje. 12 / 24 P 1 v R s L P 0 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 och linjen L : r r 1 t v. 1. Normera v. v e v v. 2. Bestäm annan punkt godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P 1 med ortsvektor r Teckna P 1 P 0 r 0 r P 1 R är P 1 P 0 :s komposant parallell med L.

63 Projektionssatsen: 13 / 24 P 1 R P 1 P 0 v e. 5. Sökta avståndet b P 1 P 0 2 P 1 R 2. s Anmärkning. som Alternativt kan avståndet beräknas s P 1 P 0 v e P 1 P 0 v v

64 14 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan punkten P 0 : p2, 0, 3q och linjen L : x y 1 1 t. z Bestäm annan punkt P 1 godtyckligt på L. Exempelvis ger t 0 punkten P 1 : p1, 1, 3q. 2. Teckna P 1 P P 1 R är P 1 P 0 :s komposant parallell med L. P 1 R pp 1 P 0 v e q v e. 4. Normera linjens riktningsvektor. v 1 e?

65 5. Projektionssatsen: 15 / 24 P 1 R P1 P 0 v e Sökta avståndet: Alt. 1 s b P 1 P 0 2 P 1 R 2 a 2 9{25? Alt. 2 s P 1 P 0 v e 1{5 1{ ? 41 5.

66 Avståndsberäkningar: Linje-linje. 16 / 24 L 2 P 2 v 2 n s P 1 L 1 v 1 Exempel. Bestäm avståndet s mellan linjerna L 1, som går genom punkten P 1 med riktningsvektor v 1 respektive L 2, som går genom punkten P 2 med riktningsvektor v 2.

67 1. Linjernas ekvationer: 17 / 24 L 1 : r r 1 t v 1 resp. L 2 : r r 2 t v Bestäm godtyckliga punkter på L 1 resp. L 2. Exempelvis ger t 0 punkterna P 1 resp. P Teckna P 1 P 2 r 2 r 1.

68 18 / s är längden av P 1 P 2 :s komposant längs den gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna, s P 1 P 2 v e. 5. Normalens enhetsriktningsvektor v e v 1 v 2 v 1 v Sökta avståndet: s v e P 1 P 2.

69 19 / 24 Exempel. Bestäm avståndet s mellan linjerna L 1, som går genom punkterna P : p1, 2, 1q och Q : p0, 2, 1q respektive L 2, som går genom punkterna R : p 1, 2, 0q och S : p 1, 0, 2q. 1. Linjernas ekvationer: L 1 : x y z t resp. L 2 : x y z t

70 20 / Bestäm godtyckliga punkter P 1 på L 1 resp. P 2 på L 2. Exempelvis P 1 P p1, 2, 1q resp. P 2 R p 1, 2, 0q. 3. Teckna P 1 P s är längden av P 1 P 2 :s komposant längs den gemensamma enhetsnormalvektorn till linjerna, s P 1 P 2 v e.

71 5. Normalens enhetsriktningsvektor 21 / 24 v e v 1 v 2 v 1 v ? Sökta avståndet: s 1? ? 6.

72 Bestäm avståndet mellan de två linjer- Exempel. na nedan. L 1 : $ & % 22 / 24 x 2 t y t z 1 t L 2 : $ & % x 2 4t y 2 6t z 5 t

73 Exempel. 23 / 24 Bestäm en ekvation för det plan som innehåller linjen L : $ & % x 1 t y 2t z 1 3t och punkten p2, 3, 3q. Bestäm avståndet från punkten p0, 1, 1q till planet.

74 . 24 / 24 Visa att linjerna L 1 : $ & % x 2 t y 3 2t z 1 3t resp. L 2 : $ & % x 3 t y 5 3t z 2 2t skär varandra. Bestäm skärningspunkten samt ekvationen för det plan som innehåller båda linjerna.

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha ANALYTISK GEOMETRI Xantcha 4 april 06 Innehåll Linjer och plan Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Planets ekvation Incidens 4 Incidens mellan plan 4 Incidens mellan linje och plan 5 3 Incidens

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Skalärprodukt (lösningar)

Skalärprodukt (lösningar) Skalärprodukt (lösningar) 404. Nej : 40. Utnyttja definitionen u v u v cos θ u v 4 6 u och distributiviteten (u v) (u + v) u u 6v u + u v v v 4 5 6 0 (Ritar man noggrant, ser man att u v och u + v mycket

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg Version 1.0 :: 20 januari 2015 @ 16:52 INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg 20 januari 2015 ii Innehåll 1 Introduktion till vektorer 1 1.1 Begreppet vektor.....................................

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Vektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri..

Vektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri.. Vektorer Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång 1. Vad är vektorer?...2 2. Räkneregler för vektorer..6 3. Vektorgeometri..15 Facit 19 Bilder: Geometriska konstruktioner och diagram av

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö högskola Malmö 2014 2 Kapitel 1 Linjära ekvationssystem Att lösa ekvationer Vi vill lösa ekvationen 2x 6 = 0 Att lösa

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR VEKTORGEOMETRI och ANDRAGRADSYTOR Lars-Åke Lindahl c Lars-Åke Lindahl Matematiska institutionen, Uppsala universitet 000 Innehåll Del 1 Vektorgeometri 1 1 Inledning 1 Vektorer Baser, koordinater och koordinatsystem

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

Vektorprodukt: lösningar

Vektorprodukt: lösningar Vektorprodukt: lösningar 50. Vektorn (5, 4,z) är mot (4, 5, 0), oavsett vad z är skalärprodukten blir ju 50. 50. (4, 5, 0) (5, 4,z)4 5 5 4+0 z 0 Då återstår det bara att bestämma z så att vektorn blir

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

för de svenske Lärjungar, der önska sig tilegna

för de svenske Lärjungar, der önska sig tilegna F ö r e l ä s n i n g a r ö f v e r A N A L Y T I S K G E O M E T R I för de svenske Lärjungar, der önska sig tilegna S T J E R N O R N E S M A T H E M A T I Q U E hvarjemte full Vetskap åstunda om Mechanismerne

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0. 1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

för de svenske Lärjungar, der önska sig tilegna

för de svenske Lärjungar, der önska sig tilegna F ö r e l ä s n i n g a r ö f v e r A N A L Y T I S K G E O M E T R I för de svenske Lärjungar, der önska sig tilegna S T J E R N O R N E S M A T H E M A T I Q U E hvarjemte full Vetskap åstunda om Mechanismerne

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Mekanik FK2002m. Vektorer

Mekanik FK2002m. Vektorer Mekanik FK2002m Föreläsning 2 Vektorer 2013-09-02 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2 Introduktion Förra gången pratade vi om rörelse i en dimension. När vi går till flera dimensioner behöver

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Mer om geometriska transformationer

Mer om geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer