Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Transkript

1 Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem: u t au xx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena randvillkor och givna begynnelsevillkor ut au Sök först icke-triviala lösningar av typ u(x, t) = T (t)x(x) till xx = 0 T X at X = 0 T a T = X X = λ T + aλt = 0 X = λx Differentialekvationerna för X resp T kan nu lösas var för sig Ekvationen för X tillsammans med randvillkoren ger diskreta värden på λ, egenvärdena λ k och tillhörande egenfunktioner X k (x) = ϕ k (x) Totalt får man u k (x, t) = c k e aλkt ϕ k (x), För homogena Dirichletvillkor är λ k = k 2 π 2 /L 2 och ϕ k (x) = sin(kπx/l), k =, 2, För homogena Neumannvillkor är λ k = k 2 π 2 /L 2 och ϕ k (x) = cos(kπx/l), k = 0,, Med superposition finner vi fler lösningar u(x, t) = k c ke aλkt ϕ k (x) Konstanterna c k bestäms av begynnelsevillkoren (Oftast med lämplig Fourierserieutveckling) Värmeledning i en begränsad stav med ansatsmetod Detta är en förkortad variant av föregående och används om man vet vilka egenfunktionerna ϕ k är Problem: u t au xx = 0 i 0 < x < L, t > 0 med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor och givna begynnelsevillkor Ansätt då direkt u = u k (t) sin(kπx/l) (Dirichlet) eller u = k= u k (t) cos(kπx/l) (Neumann) Derivera termvis och sätt in i differentialekvationen Detta leder till differentialekvationerna u k (t) + aλ ku k (t) = 0 med lösningarna u k (t) = c k e aλ kt Koefficienterna c k bestäms av begynnelsevillkoret Kommentar: En fördel med denna metod är att den också fungerar för inhomogena differentialekvationer (u t au xx = f(x, t)) Skillnaden är att man får en inhomogen differentialekvation för u k (t), se nedan Samma ansatser fungerar ockå för den endimensionella vågekvation (odämpad k=0

2 u tt c 2 u xx = f(x, t) eller dämpad u tt au t c 2 u xx = f(x, t)) med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor, och för Laplace/Poissons ekvation ( u = f) på en rektangel med homogena Dirichlet- eller Neumannvillkor i x-led Diffusion och värmeledning med homogena randvillkor i operatorform Detta är en vidarutveckling av föregående och kan användas på allmännare differentialekvationer med allmännare homogena randvillkor Med A = (eller en allmännare differentialoperator av Sturm-Liouvilletyp) och D A = u C 2 (Ω) αu + β u = 0} kan värmeledningsproblemet formuleras n ut + aau = f u(x, 0) = g Bestäm först egenfunktioner och egenvärden till A genom att lösa Au = λu, u 0 u D A (Om problemet är välbekant och man redan vet vilka egenfunktionerna är behöver man naturligtvis inte räkna ut dem) Ansätt en lösning u(x, t) = k u k (t)ϕ k (x) Utveckla f och g i egenfunktioner till A Här utnyttjas att dessa är en ortogonal bas i L 2 f(x, t) = k f k ϕ k (x), g(x) = k g k ϕ k (x) Koefficienterna f k och g k beräknas med projektionsformeln t ex f k = (ϕ k f)/(ϕ k ϕ k ) (I fallet med sinus- eller cosinusserier är detta de vanliga formlerna för beräkning av Fourierkoefficienter) Derivera u termvis (använd Aϕ k = λ k ϕ k ), sätt in i värmeledningsekvationen och begynnelsevillkoret Detta leder till följande differentialekvation för u k (t) u k (t) + aλ ku k (t) = f k (t), u k (0) = g k Lösningen kan skrivas som summan av en partikulärlösning u k,part och allmänna homogena lösningen c k e aλ kt Konstanterna c k bestäms av begynnelsevärdet (u k (0) = g k ) Alternativ om f inte beror på t Låt u stat vara en stationär (= tidsoberoende) lösning till diffekvationen och randvillkoren v = u u stat uppfyller då ekvationen t + aav = 0 v v(x, 0) = g u stat

3 Denna löses som ovan, med ansatsen v(x, t) = k v k(t)ϕ k (x), och ger en homogen differentialekvation för v k Totala lösningen är av formen u = u stat + k c ke aλkt ϕ k (x) Här ses att om alla λ k > 0 så u u stat, t (ungefär som e aλt, där λ är det minsta egenvärdet) I detta alternativet kan man alltså direkt utläsa den asymptotiska (= stationära) lösningen u stat I lösningen till det förra alternativet kan man se den stationära lösningen i form av en serie Vågekvationen med homogena randvillkor, begränsat område Med A =, D A = u C 2 (Ω), homogena randvillkor} kan problemet formuleras utt + c 2 Au = 0 u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x) Problemet löses analogt med värmeledningsekvationen Starta med att bestämma egenfunktioner till A Utveckla i dessa u(x, t) = k u k (t)ϕ k (x), g(x) = k g k ϕ k (x), h(x) = k h k ϕ k (x) Insättning i vågekvationen leder till med lösningar av typ u k (t) + c2 λ k u k (t) = 0, u k (0) = g k, u k (0) = h k u k (t) = a k cos c λ k t + b k sin c λ k t om λ k > 0 och u k (t) = a + bt om λ k = 0 a k och b k bestäms av begynnelsevärdena Lösningen blir en överlagring av stående vågor med egenvinkelfrekvenserna ω k = c λ k Svängningen är odämpad och behåller sin form Inhomogena randvillkor Starta med att homogenisera randvillkoren genom att sätta v = u ũ där ũ uppfyller randvillkoren Välj ũ så enkel som möjligt Ofta går det bra med en konstant eller ett första- eller andragradspolynom Dirichlets problem (Behandlas i kommande sammanfattning)

4 Hilbertrum, operatorer, egenfunktioner Ett linjärt rum H är en mängd med addition och multiplikation med skalärer, som följer de vanliga räknelagarna Tex R n och C 2 (Ω) (u v) är skalärprodukt i H om (u λ v + λ 2 v 2 ) = λ (u v ) + λ 2 (u v 2 ) (u v) = (v u) (u u) 0 med likhet u = 0 Speciellt gäller att (u λv) = λ(u v) och (λu v) = λ(u v) Normen av u är u = (u u) Linjära rum med skalärprodukt kallas prehilbertrum eller Hilbertrum om de är fullständiga Ett viktigt exempel på Hilbertrum är L 2 (w, Ω) med skalärprodukten och normen (u v) = Ω ( /2 u(x)v(x)w(x) dx resp u = u(x) 2 w(x) dx) Ω Funktionen w(x) > 0 kallas viktfunktion I prehilbertrum gäller Pythagoras sats: u v = u + v 2 = u 2 + v 2 Schwarz olikhet: (u v) u v med likhet då och endast då u och v är proportionella Triangelolikheten: u + v u + v Ortogonalitet: Funktionerna ϕ k } är parvis ortogonala i pre-hilbertrummet H om (ϕ k ϕ l ) = 0 då k l Om dessutom ϕ k 2 = (ϕ k ϕ k ) = är systemet ortonormerat Projektioner Låt ϕ,, ϕ n vara parvis ortogonala och låt M = [ϕ,, ϕ n ] vara det linjära höljet av ϕ,, ϕ n Projektionen på M av ett godtyckligt u H definieras av P M u = n ρ k (ϕ k u)ϕ k där ρ k = ϕ k 2 = (ϕ k ϕ k ) Minsta-kvadrat-metoden är en följd av projektionssatsen som säger att inf u v M v 2 = u P M u 2, dvs att P M u är det element i M som bäst approximerar u om avvikelsen mäts i norm Med hjälp av Pythagoras sats ses att avvikelsen u P M u 2 = u 2 P M u 2 = u 2 n (ϕ k u) 2 k= ρ k Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess: Ur en linjärt oberoende följd skapas ett ortogonalt system som har samma linjära hölje som den ursprungliga följden

5 Om, x, x 2, ortogonaliseras med skalärprodukten i L 2 (w, Ω) fås olika ortogonalpolynom Med viktsfunktionen w(x) = och intervallet Ω = [, ] fås Legendrepolynomen P n Man brukar dessutom lägga till kravet att P n () = Konvergens i norm: u n u i H u n u 0 Generaliserade Fourierserier Låt u vara ett element i ett pre-hilbertrum H och ϕ k } parvis ortogonala i H, då är c k = ρ k (ϕ k u) de generaliserade Fourierkoefficienterna för u och c kϕ k är den generaliserade Fourierserien för u Det är inte säkert att serien konvergerar mot u Om varje u H kan skrivas u = c ku k (konvergens i norm), så säger man att ϕ k } är en ortogonal bas för H Exempel: e ikπx } är en ortogonal bas i L 2 ([, ]) sin kπx} är en ortogonal bas i L 2 ([0, ]) cos kπx} 0 är en ortogonal bas i L 2 ([0, ]) Legendrepolynomen P k (x)} 0 är en ortogonal bas i L 2 ([, ]) sin kπx sin jπy} j,k= är en ortogonal bas i L 2 (Ω), Ω : 0 x, 0 y Parsevals formel: Om ϕ k } c k 2 ϕ k 2 k Fler kommer i kap S är en ortogonal bas för H och u = c kϕ k så är u 2 = En operator A har egenfunktionen ϕ med egenvärdet λ om Aϕ = λϕ, ϕ 0 En operator A är symmetrisk om (Au v) = (u Av) för alla u, v D A En symmetrisk operator har reella egenvärden och egenfunktioner hörande till olika egenvärden är ortogonala A är positivt semidefinit om (Au u) 0 för alla u D A, då är alla egenvärden 0 Sturm-Liouvilleoperatorerna Au = w ( (pu ) + qu) (w, p > 0, q 0) med homogena randvillkor, av typ αu + β u = 0 (α, β 0, ej båda = 0) på randen Ω, är symmetriska och positivt n semidefinita Dess egenfunktioner bildar en ortogonal bas i L 2 (w, Ω) (Observera viktfunktionen) För att finna en ortogonal bas av egenfunktioner till en operator i flera variabler kan man göra en variabelseparation och ett täthetsresonemang som visar att varje u L 2 (w, Ω) kan approximeras godtyckligt bra med linjärkombinationer av de separerade egenfunktionerna (Se ex H27, S4 och S6 ( Ex 28 i kap H, Ex 3 och Ex 6 i kap S i gamla kompendiet)) Härvid uppkommer några endimensionella differentialekvationer som man måste behärska (I kommande sammanfattning fyller vi på med kopplingar mellan kapitel H och S)