Tillämpningar av komplex analys på spektralteori

Transkript

1 Tillämpningar av komple analys på spektralteori Anders Källén, baserat på föreläsningar hösten 1979 av Lars Hörmander MatematikCentrum LTH Sammanfattning I det här dokumentet härleds först spektralsatsen för symmetriska reella matriser med hjälp av komple analys. Sedan utvidgas detta till att på ett mostvarande sätt analysera egenvärdesproblemet för för differentialekvationen u + pu = f, u() = u(1) =, där p är en given kontinuerlig funktion.

2 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 1 (7) Vi skall börja med att ge ett bevis för att en reell symmetrisk n n-matris A = (a jk ) har ett fullständigt ortogonalsystem av egenvektorer. Betrakta därför resolventen R(z) = (A zi) 1, z C, där I är identitetsmatrisen. Detta är en n n-matri definierad utom då z är ett nollställe till det(a zi), vilket är ett polynom av graden n. Som R(z) är lika med matrisen av kofaktorerna i A zi delad med det(a zi) så är R (eller rättare varje komponent av R) en rationell funktion som går mot då z. Vi påstår att polerna är enkla och rationella. Om u C n och (A zi)u = f så får vi nämligen om vi multiplicerar den j:te ekvationen med u j och adderar n j,k=1 a jk u j u k z u 2 = f j u j, där u 2 = j u j 2. Om vi tar imaginärdelen av båda sidor och använder Schwartz olikhet så får vi eftersom summan i vänsterledet är reell alltså om Im z Im z u 2 f u u Med beteckningen R(z) innebär detta att R(z)f f Im z. f, Im z, Im z och att R saknar singulariteter utanför reella aeln. Om λ R är en pol så får vi då y är reellt lim R(λ + iy)yf f, y så polen är enkel. Alltså är där R(z) = j P j λ j z P j = lim z λj R(z)(λ j z) är reell och symmetrisk eftersom vi kan låta z gå mot λ j genom reella värden. Nu har vi I = (A zi)r(z) = j (A λ j I)P j λ j z + j P j vilket visar att P j = I, AP j = λ j P j. j

3 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 2 (7) Om R n får vi därför att = j där j = P j är en egenvektor till A med egenvärdet λ j, A j = λ j j. Egenvektorer som hör till olika egenvärden är ortogonala, för om Ay = λy och Az = µz så får vi (λ µ)(y, z) = (Ay, z) (y, Az) =, alltså (y, z) = om λ µ. Om vi för varje j väljer en ortogonal bas i värderummet för P j så får vi därför en ortogonal bas för R n som består av egenvektorer. Föregående argument bygger bara på att en rationell funktion har en partialbråksuppdelning. Man kan efter samma mönster studera operatorer i rum av oändlig dimension. Skillnaden är att man då stöter på allmännare analytiska funktioner. Vi skall eemplifiera detta i ett enkelt fall, nämligen Sturm-Liouvilleoperatorn u u + pu där u är en C 2 funktion (dvs u C 1 och u C 1 ) med u() = u(1) = och p är en given kontinuerlig reellvärd funktion i [, 1]. I analogi med bildningen av resolventen vill vi undersöka för givet f C([, 1]) när ekvationen har en lösning u C 2 ([, 1]) med u + pu zu = f (1) u() = u(1) =. (2) Först observerar vi att enligt de grundläggande satserna om ordinära differentialekvationer så finns en och endast en lösning till Cauchyproblemet och likaså till problemet U + pu zu = f, U() = U () =, (3) V + pv zv =, V () =, V () = 1. (4) U och V beror differentierbart på z, och derivationen / z använd på ekvationera medför med beteckningen D = V/ z eller D = U/ z D + pd zd =, D() = D () =. Detta medför att D =, så U och V är analytiska funktioner av z. Varje lösning u till (1) med u() = kan skrivas u = U + av där a = u (). Om V (1, z) ger villkoret u(1) = att a = U(1, z)/v (1, z), så (1), (2) har då en och endast en lösning u(, z) = U(, z) U(1, z)v (, z). V (1, z)

4 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 3 (7) Detta är en meromorf funktion, för vi kan visa att V (1, z) inte är identiskt noll. Multiplikation av (4) med V och integration ger nämligen alltså Im z ( V 2 + (p z) V 2 )d = V (1, z)v (1, z), V (, z) 2 d = Im V (1, z)v (1, z). (5) Eftersom dv (, z)/dz = 1 då = kan integralen i vänsterledt aldrig bli, så V (1, z) kan bara ha nollställen på reella aeln och de måste vara enkla. Om λ är ett sådant nollställe så är V (1, λ), och om vi multiplicerar (3) med V (, λ) och integrerar så får vi med hjälp av att V (1, λ) = f()v (, λ)d = ( U (, λ) + pu(, λ) U(, λ))v (, λ)d = U(1, λ)v (1, λ). Vi sätter V (1, λ + z) = az + O( z 2 ) och observerar att a är reell. Det följer då av (5) att av (1, λ) = V (, λ) 2 d, vilket betyder att residyn av z u(, z) då z = λ är U(1, λ)v U(1, λ)v (, λ)/a = (1, λ)v (, λ) av (1, λ) = V (, λ) f(y)v (y, λ)dy V (y, λ)2 dy. Låt λ j vara nollställena till V (1, λ) och sätt u j () = V (, λ j ). 1 V (y, λ j)dy Då är u j() 2 d = 1 och u j + (p λ j )u j =, u j () = u j (1) =, så u j är en normerad egenfunktion till operatorn (1) med egenvärdet λ j. (Observera att u j är reell.) Som i fallet av en matris får vi u j u k d = om j k genom att multiplicera med λ j λ k och använda att både u j och u k är egenfunktioner. Nära λ j har u(, z) singulariteten u j ()f j λ j z, f j = f(y)u j (y)dy,

5 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 4 (7) och vi skall visa att utom i punkterna λ j så gäller u(, z) = j u j ()f j λ j z. (6) Genom att låta z längs imaginära aeln skall vi sedan då f C 2 och f() = f(1) = härav dra slutsatsen att med likformig konvergens f() = j f j u j (), f j = f(y)u j (y)dy, (7) alltså att f kan utvecklas i en likformigt konvergent serie av egenfunktioner. (Formeln för koefficienterna f j följer naturligtvis genast på grund av ortogonaliteten om vi multiplicerar serien (7) med u j och integrerar.) Om λ är ett egenvärde så ger multiplikation av (4) med V och integration (V (, λ) 2 + (p() λ)v (, λ) 2 )d =, alltså λ > min p. Vi kan därför ordna egenvärdena i en väande följd min p < λ 1 < λ 2 <... < λ n <... Vi skall nu uppskatta egenvärdena genom att visa att alla λ j väer om p väer. Lemma 1 Om p t () beror kontinuerligt deriverbart på en parameter t [, 1] och p t / t, så är λ j en väande funktion av t. Bevis. Lösningen V (, λ, t) till (4) är nu en C 1 funktion av λ och t. Eftersom V (, λ, t ) = medför V (1, λ, t)/ λ så bestämmer ekvationen V (1, λ, t) = en deriverbar funktion λ(t) nära t med λ(t ) = λ. Derivation av ekvationen V + p t V λ(t)v =, V () =, V (1, λ(t), t) = med avseende på t ger om W = V (, λ(t), t)/ t och q = p t / t W + p t W λw + (q λ (t))v =, W () = W (1) =. Om vi multiplicerar med V (1, λ(t), t) och integrerar så får vi nu vilket bevisar lemmat. (q λ (t))v 2 d =, alltså λ (t) = qv 2 d V 2 d, Nu kan vi få uppskattningar av λ j uppåt och nedåt genom att ersätta p med ma p eller min p. Vi kan nämligen tillämpa lemmat på p t = tp + (1 t) min p eller t ma p + (1 t)p. För att bestäma egenvärdena då p är konstant räcker det att betrakta fallet p =, alltså bestämma egenvärdena till u + λu =, u() = u(1) =.

6 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 5 (7) Ekvationen och villkoret i ger u() = C sin( λ), alltså λ = jπ med heltal j eftersom u(1) =. Vi får alltså λ = j 2 π 2, j = 1, 2,... I det allmänna fallet följer nu att j 2 π 2 + min p λ j j 2 π 2 + ma p. (8) Vi skall nu uppskatta u(, z) då z är på betryggande avstånd från egenvärdena. Återigen är det lämpligt att först behandla fallet p = eplicit, alltså lösa randvärdesproblemet u zu = f, u() = u(1) =. (9) Låt z = ζ 2 där ζ väljs med Im ζ. Lösningarna till differentialekvationen med f = är lineärkombinationer av e ±iζ, så G(z, y, ζ 2 ) = i 2 (eiζ y a + (y)e iζ a (y)e iζ ), uppfyller den homogena differentialekvationen för y som funktion av. Vidare är G kontinuerlig då = y medan dg/d har språnget 1, och G = då = eller = 1 om Lösningen till detta ekvationssystem är För fit δ > har vi a + + a = e iζy, a + e iζ + a e iζ = e iζ(1 y). a + (e iζ e iζ ) = e iζ(1 y) e iζ(y 1), a (e iζ e iζ ) = e iζy e iζy. e iζ + e iζ C δ e iζ e iζ om ζ Ω δ = {ζ; Im z, ζ jπ δ för alla heltal j}. Båda sidor är nämligen priodiska med perioden π så det räcker att verifiera olikheten då Re ζ π/2 och ζ δ. Då är kvoten mellan de två leden kontinuerlig och går mot 1 i oändligheten vilket visar påståendet. Det följer nu att a + (y) och a (y)e iζ har fia begränsningar, varav Insättning av a + och a i definitionen av G visar att G(, y, ζ 2 ) C δ ζ, ζ Ω δ. (1) G(, y, z) = G(y,, z), så G har samma egenskaper som funktion av y som vi har observerat för G som funktion av. Lösningen till (9) ges därför av u() = G(, y, z)f(y)dy vilket följer om vi sätter in f = u zu och integrerar partiellt två gånger med hänslyn till att G är kontinuerlig medan dg/dy har ett språng då y =. Med hjälp av (1) får vi därför u(, ζ 2 ) C δ ζ 1 f, ζ Ω δ ; f 2 = f() 2 d. (11)

7 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 6 (7) Om vi nu återgår till lösningen av (1), (2) så får vi genom att flytta över termen pu i (1) alltså enligt (11) om p M ma u zu = f pu, u(, ζ 2 ) C δ ζ 1 ( f + M ma u(, ζ 2 ) ), ζ Ω δ. Om ζ är så stor att MC δ / ζ < 1/2 så kan vi flytta över den sista termen i vänsterledet och får att ma u(, ζ 2 ) 2C δ ζ 1 f, ζ > C, ζ Ω δ. (12) Speciellt kan vi tillämpa (12) då u = u j är en egenfunktion med egenvärdet λ j och f = (λ j z)u. Detta ger ma u j () 2C δ ζ 1 λ j ζ 2, ζ > C, ζ Ω δ. Vi tar ζ = (j + 1 )π och får enligt (8) 2 ζ 2 λ j π 2 (j 2 + j j2 ) + M = π 2 (j ) + M, alltså med en konstant C som inte beror på j ma u j () C. (13) (8) och (13) tillsammans medför konvergens av serien (6). För att bevisa (6) låter vi Γ j vara cirkeln z = π 2 (j )2 som svarar mot ζ = π(j + 1 ). På denna har vi om j är stor 2 u(, z) C 3 z 1/2 f. Enligt Cauchys integralformel är f j u j () u(, z) λ j z = 1 2πi λ j <π 2 (j+ 1 2 )2 Γ j u(, w)dw w z (se beviset för sats??). För fit z och stort j kan vi uppskatta integralen med C 4 j 1/2 f då j. Därmed har vi bevisat (6). Låt oss nu anta att f C 2 och att f() = f(1) =. Då är λ j f j = λ j f()u j ()d = f( u j + pu j )d = ( f + pf)u j d en begränsad följd, alltså f j = O(j 2 ). Serien (7) är därför likformigt konvergent, och f j u j () = lim iyu(, iy) (14) y j eftersom iy/(iy λ j ) = 1/(1 + iλ j /y) 1 då j och absolutbeloppet alltid är 1. För att bestämma gränsvärdet sätter vi u(, iy) = f iy + v

8 Tillämpningar av komple analys på spektralteori 7 (7) i (1), (2). Då är v() = v(1) = och så en tillämpning av (12) ger v + pv iyv = ( f + pf)/iy sup v() Cy 3/2. Gränsvärdet i (14) är därför f(), vilket bevisar (7). Vi sammanfattar: Sats 1 Det finns en följd λ j som uppfyller (8) och reellvärda funktioner u j med u j + pu j = λ j u j, u j () = u j (1) =, u 2 jd = 1, u j u k d = då j k, så att varje f C 2 ([, 1]) med f() = f(1) = kan utvecklas i en likformigt konvergent serie f() = f j u j (), f j = f()u j ()d. 1