Bo E. Sernelius Residuer och Poler 27

Transkript

1 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol Vi använder residuekalkyl för att beräkna integraler Vi går igenom residueteoremet och Cauchys integralformel Om en funktion är analytisk i någon punkt i varje omgivning till en punkt utom i själv så kallas en singulär punkt, eller singularitet, till funktionen Om det finns någon omgivning till en singulär punkt,, till en funktion f där f är analytisk överallt utom i punkten själv så kallas an isolerad singulär punkt till f Eempel: ) Funktionen f()= 5 ( ) + (87) har fyra isolerade singulära punkter: =, = och = ±i ) Funktionen f()= sin π (88) har oändligt många isolerade singulära punkter: = ±, = ±/, = ± /3 osv Punkten = är också en singulär punkt men den är inte isolerad pga att det i varje omgivning till = finns andra singulära punkter 3) Funktionen f()= Log() (89) har singulära punkter utmed negativa realaeln och i origo Varje punkt utmed negativa realaeln är en singulär punkt, men ingen av dessa är isolerad Detsamma gäller origo När är en isolerad singulär punkt till f så eisterar det ett positivt tal

2 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 8 r sådant att funktionen är analytisk i varje punkt för vilken < - <r I detta område kan funktionen representeras med en sk Laurentserie: n b f()= an( ) + + n= b + L (9) Koefficienten b kallas residuen för funktionen f i den isolerade singulära punkten Laurentserien består av två delar, en med positiva eponenter och en med negativa Delen med negativa eponenter kallas principaldelen Antag att principaldelen består av endast ett ändligt antal termer Om den högsta negativa potensen är m kallas den singulära punkten en pol till funktionen av ordning m Om m = kallas polen en enkelpol Om m = kallas polen också dubbelpol, för m = 3 för trippelpol osv Residueteoremet Låt C vara en sluten kontur inom vilken och på vilken funktionen f är analytisk utom i ett ändligt antal singulära punkter,,, n, i det inre av C Om K, K,, K n är residuerna till f i dessa punkter så gäller att f() d = πi K + K + K C L n (9) där integralen tas i positiv riktning, dvs moturs runt C Det här teoremet är mycket användbart i flera olika sammanhang

3 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 9 Hur finner vi då residuerna? Metod : Gör en Laurentserieutveckling runt polen och identifiera koefficienten b framför /(- ) Metod : Om polen är av ordning m så är m m d ( ) f() b = m d ( m )! = (9) och speciellt är för en enkelpol: b = f () = (93) Metod 3: Det finns ett alternativt sätt om funktionen är på bråkform p f()= () q () och p och q är båda analytiska i och p( ) Om p och q uppfyller villkoren q( ) =, q'( ) och p( ) så har funktionen en enkelpol i och residuen för f är b p q' = (94) Hur kommer det sig då att endast b -koefficienten i Laurentutvecklingen bidrar? Vi försöker få lite erfarenhet genom att studera det enklaste fallet där vi har en pol av ordning n i origo och integrerar utmed en cirkel med centrum i origo π iθ iθ n iθ n d = / låt = re, d = ire dθ/ = ir d e n θ iπ, n= = n ir i n e iπ n n ( )( )=, (95)

4 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 3 Eempel: Vi löser nu en reell integral mha residuekalkyl bara för att illustrera hur metoden kan användas för att underlätta lösandet eller ge en alternativ lösningsmetod: d + 4 Funktionen ( + ) =? f()= + 4 ( i) ( + i) ( i) ( + i) ( + ) = har fyra enkelpoler i punkterna ± i, ± i Vi studerar följande integral: df () utmed en av de följande två konturerna (a) (b) där vi låter radien på halvcirkeln gå mot oändligheten Integrationen utmed halvcirkeln går då i båda alternativen mot noll I alternativ (a) blir då den sökta integralen πi gånger summan av residuerna för de två polerna i övre halvplanet I alternativ (b) bli integralen -

5 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 3 πi gånger summan av residuerna för de två polerna i undre halvplanet För att få residuen för en pol gör vi enklast så att vi multiplicerar funktionen med (- ) och ersätter med i det resulterande uttrycket pol residue i -i 6 -i i 6 i i -i -i Resultatet enlig kontur (a) ger πi( -i 6+i )= π 6 Resultatet enlig kontur (b) ger πi( i6-i )= π 6 Resultaten är lika som sig bör Cauchys integralformel Låt funktionen f() vara analytisk på och innanför en sluten kontur C i komplea talplanet Låt punkten vara en inre punkt till C Då har funktionen f() en enkelpol i med residuen f( ) och integralen runt C i positiv riktning blir: och f() d if ( ) = π ( ) f( )= πi d f() (96)

6 Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler:Problem E 3 Problem E Lös integralen d + Lös integralen d + i 3 Lös integralen d i 4 Lös integralen d ( + i )( + i )( + 3 i ) 5 Lös integralen d i ( + ) 6 Lös integralen d i ( ) 7 Lös integralen d + 8 Lös integralen d + 4 ( + ) 9 Lös integralen d 4 + Lös integralen d 6 + Lös integralen d + + Lös integralen d + 3 Lös integralen d + ( + + ) 4 Lös integralen d ( + )( + )