Mat Grundkurs i matematik 3-I

Transkript

1 Mat Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

3 Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

4 Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy) = x Imaginär del: Im (x + iy) = y så Im (z) är alltså ett reellt tal G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

5 Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy) = x Imaginär del: Im (x + iy) = y så Im (z) är alltså ett reellt tal Konjugering: x + iy = x iy (= x + i( y)) Absolutbelopp (eller modul) x + iy = mod (x + iy) = x 2 + y 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

6 Komplexa tal Reell och imaginär del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x, y R, i 2 = 1 C är mängden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy) = x Imaginär del: Im (x + iy) = y Konjugering: x + iy = x iy så Im (z) är alltså ett reellt tal (= x + i( y)) Absolutbelopp (eller modul) x + iy = mod (x + iy) = x 2 + y 2 Räkneregler z 2 = zz, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z = z, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 + z 2 z 1 + z 2, ( ) z1 z 2 = z 1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

7 Exempel Vid addition och subtraktion av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna var för sig så att tex. (8 + 2i) + ( 3 4i) = (8 + ( 3)) + (2 + ( 4))i = 5 2i. Vid multiplikation gäller det bara att komma ihåg att i 2 = 1: (8 + 2i)( 3 4i) = 8 ( 3) + 8 ( 4)i + 2 ( 3)i + 2 ( 4)i 2 = 24 32i 6i 8 ( 1) = 16 38i. Division av komplexa tal kan räknas så att man förlänger med nämnarens konjugat så att man i nämnaren får ett reellt tal, tex.: 8 + 2i 3 4i (8 + 2i)( 3 + 4i) i 6i + 8i2 = = ( 3 4i)( 3 + 4i) ( 3) 2 (4i) i i = 9 16i 2 = = i. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

8 Kommentar Ett annat, formellt mera korrekt, sätt att definiera de komplexa talen är att inte alls (explicit) tala om den imaginära konstanten i utan tala om punkter (eller vektorer) (x, y) i planet R 2 och definiera räkneoperationer för dem som motsvarar räkneoperationerna för vanliga reella tal. Addition är inget problem eftersom det enda förnuftiga är att definiera (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), vilket är addition av vektorer. Ett viktigt villkor som multiplikationen skall uppfylla är att produkten av två punkter endast får vara noll (dvs. (0, 0)) om åtminstone den ena faktorn är noll. Detta uppnås om man definierar (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) och man kan då visa att alla räkneregler gäller. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

9 Argument eller fasvinkel Ifall Re (z) = x och Im (z) = y så är argumentet θ = arg(z) av z ( y ) arctan (+2kπ), x > 0, x + iy x. ( y ) θ. θ = arctan + π (+2kπ), x < 0, x y π y 2 (+2kπ), x = 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

10 Argument eller fasvinkel Ifall Re (z) = x och Im (z) = y så är argumentet θ = arg(z) av z ( y ) arctan (+2kπ), x > 0, x + iy x. ( y ) θ. θ = arctan + π (+2kπ), x < 0, x y π y 2 (+2kπ), x = 0 atan2 I de flesta programmeringsspråk finns en funktion atan2 som räknar ut det argument av x + iy som ligger i intervallet ( π, π] med kommandot atan2(y,x). Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2(x;y) dvs. byta ordning på argumenten. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

11 Polär framställning z = r(cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ, r 0 z = r och arg(z) = θ Re (z) = r cos(θ) och Im (z) = r sin(θ) Kommentar Om x är ett reellt tal kan man skriva x = x sign (x) vilket motsvarar den polära framställningen z = z e iθ med den skillnaden att teckenfunktionen sign (x) bara får två värden (eftersom man inte behöver bry sig om sign (0)). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

12 Exempel arg( 3) =? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

13 Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

14 Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

15 Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? Argumentet är arctan( 2 2 ) (+2kπ) = π 4 (+2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

16 Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? Argumentet är arctan( 2 2 ) (+2kπ) = π 4 (+2kπ). arg( 3e i ) =? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

17 Exempel arg( 3) =? Eftersom den reella delen är negativ är argumentent arctan( 0 3 ) + π (+2kπ) = π (+2kπ). arg(2 2i) =? Argumentet är arctan( 2 2 ) (+2kπ) = π 4 (+2kπ). arg( 3e i ) =? Argument är arg( 3) + arg(e i ) = π (+2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

18 Räkneregler z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z n = z n, z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) arg (z n z1 ) = n arg(z), arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) z 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

19 Räkneregler z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z n = z n, z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) arg (z n z1 ) = n arg(z), arg = arg(z 1 ) arg(z 2 ) z 2 z 1 = z 2 Re (z 1 ) = Re (z 2 ), Im (z 1 ) = Im (z 2 ) z 1 = z 2, θ 1 = θ 2 + 2kπ där θ 1 = arg(z 1 ) och θ 2 = arg(z 2 ) Två personer som har samma födelsedag är inte nödvändigtvis lika gamla men skillnaden i ålder är ett antal hela år. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

20 Exponentfunktionen exp(x + iy) = e x+iy = e x( cos(y) + i sin(y) ) e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 e z = e Re (z), arg(e z ) = Im (z) e z 0, z C, e iθ = 1 θ R d Moivres formel cos(nt) + i sin(nt) = e int = ( e it) n = ( cos(t) + i sin(t) ) n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

21 Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

22 Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y och om w = e z måste w = e z = e x och arg(w) + 2kπ = arg(e z ) = y G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

23 Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y och om w = e z måste w = e z = e x och arg(w) + 2kπ = arg(e z ) = y dvs. x = ln( w ) så att z = ln(w) = ln( w ) + i(arg(w) + 2kπ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

24 Logaritmfunktionen z = ln(w) w = e z Om z = x + iy så är e z = e x och arg(e z ) = y och om w = e z måste w = e z = e x och arg(w) + 2kπ = arg(e z ) = y dvs. x = ln( w ) så att z = ln(w) = ln( w ) + i(arg(w) + 2kπ). För att få en ordentlig logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Ln(w) = ln( w ) + iarg(w) där Arg(w) är argumentet valt så att π < Arg(z) π så att tex. ln( w ) egentligen är Ln( w ) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

25 Rötter: z = w 1 n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = arg(z) så är z n = z n och arg(z n ) = nϕ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

26 Rötter: z = w 1 n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = arg(z) så är z n = z n och arg(z n ) = nϕ och om w = z n så är w = z n och arg(w) + 2kπ = nϕ så att om arg(w) = θ så är z = w 1 n och ϕ = θ n + 2kπ n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

27 Rötter: z = w 1 n w = z n Om z = z e iϕ, dvs. ϕ = arg(z) så är z n = z n och arg(z n ) = nϕ och om w = z n så är w = z n och arg(w) + 2kπ = nϕ så att om arg(w) = θ så är z = w 1 n och ϕ = θ n + 2kπ n dvs. ( z = w 1 n = n w = n w cos( θ+2kπ n ) ) + i sin( ) θ+2kπ n, där k = 0, 1,..., n 1 eftersom man får samma värden för k + n som för k. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

28 Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

29 Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = = , och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

30 Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = = , och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. Ifall z = r och arg(z) = ϕ, så är z 4 = r 4 och arg(z 4 ) = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

31 Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = = , och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. Ifall z = r och arg(z) = ϕ, så är z 4 = r 4 och arg(z 4 ) = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r = och ϕ = π 16 + π 2 k = k. Nu får man olika lösningar då k = 0, 1,..., 3 eftersom man då tex. k = 4 får samma tal som då k = 0 osv. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

32 Exempel Låt w = 1 + i. Bestäm den lösning till ekvationen z 4 = w, vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π]. Lösning: Absolutbeloppet av talet w är w = = , och w:s argument är arctan( 1 1 ) = π 4. Ifall z = r och arg(z) = ϕ, så är z 4 = r 4 och arg(z 4 ) = 4ϕ. Om nu z 4 = w så är r 4 = w = 2 och 4ϕ = π 4 + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r = och ϕ = π 16 + π 2 k = k. Nu får man olika lösningar då k = 0, 1,..., 3 eftersom man då tex. k = 4 får samma tal som då k = 0 osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är π 16, π 16 + π 2, π 16 + π och π π 2 så ser vi att den lösning vars argument ligger i intervallet [π, 3 2 π] fås då k = 2 och är alltså ( ) z 2 = cos( ) + i sin( ) = i G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

33 Trigonometriska funktioner sin(z) = 1 ( 2i e iz e iz) cos(z) = 1 ( 2 e iz + e iz) sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y) Möbius-avbildning z az+b cz+d, ad bc 0 Cirklar och linjer avbildas på cirklar eller linjer G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

34 Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

35 Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

36 Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

37 Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = där randen Ω består av de punkter z C för vilka det för varje δ > 0 finns en punkt z i Ω och en punkt z u C \ Ω så att z i z < δ och z u z < δ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

38 Öppna och slutna mängder En mängd Ω C är öppen ifall för varje z 0 Ω finns ett tal δ > 0 så att { z C : z z 0 < δ } Ω En mängd A C är sluten ifall C \ A = { z C : z / A } är öppen En mängd Ω C är öppen när den inte innehåller någon randpunkt, dvs. Ω Ω = där randen Ω består av de punkter z C för vilka det för varje δ > 0 finns en punkt z i Ω och en punkt z u C \ Ω så att z i z < δ och z u z < δ En mängd Ω C är sluten när den innehåller alla randpunkter, dvs. Ω Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

39 Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z 0, z 1 Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] Ω så att γ(0) = z 0 och γ(1) = z 1 (och alltså γ(t) Ω, t [0, 1], dvs. en kurva i Ω från z 0 till z 1). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

40 Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z 0, z 1 Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] Ω så att γ(0) = z 0 och γ(1) = z 1 (och alltså γ(t) Ω, t [0, 1], dvs. en kurva i Ω från z 0 till z 1). Mera allmänt: A C är sammanhängande om följande gäller (som alltså är ekvivalent med ovanstående villkor då A är öppen): Ifall A Ω 1 Ω 2 där Ω j C, j = 1, 2 är öppen och Ω 1 Ω 2 = så är A Ω 1 = eller A Ω 2 = G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

41 Sammanhängande mängder En öppen mängd Ω C är sammanhängande ifall det för alla z 0, z 1 Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] Ω så att γ(0) = z 0 och γ(1) = z 1 (och alltså γ(t) Ω, t [0, 1], dvs. en kurva i Ω från z 0 till z 1). Mera allmänt: A C är sammanhängande om följande gäller (som alltså är ekvivalent med ovanstående villkor då A är öppen): Ifall A Ω 1 Ω 2 där Ω j C, j = 1, 2 är öppen och Ω 1 Ω 2 = så är A Ω 1 = eller A Ω 2 = Kontinuerliga funktioner Om Ω C så är funktionen f : Ω C kontinuerlig i Ω om lim z z 0 z Ω f (z) = f (z 0 ) z 0 Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

42 Derivator En funktion f är deriverbar i punkten z 0 ifall lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 = f (z 0 ) för något komplext tal f (z 0 ) dvs., för varje ɛ > 0 finns det ett tal δ > 0 så att om 0 < z z 0 < δ så är f definierad för z och z 0 och f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) z z 0 < ɛ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

43 Derivator En funktion f är deriverbar i punkten z 0 ifall lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 = f (z 0 ) för något komplext tal f (z 0 ) dvs., för varje ɛ > 0 finns det ett tal δ > 0 så att om 0 < z z 0 < δ så är f definierad för z och z 0 och f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) z z 0 < ɛ Alla normala deriveringsregler gäller och tex. d dz zm = mz m 1 ( då m inte är ett heltal) d dz ez = e z d dz ln(z) = 1 z d d dz sin(z) = cos(z) dz cos(z) = sin(z) d dz g( f (z) ) = g ( f (z) ) f (z) ( ) d dz f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

44 Analytiska funktioner En funktion f är analytisk i mängden A C ifall det finns en öppen mängd Ω C så att A Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

45 Analytiska funktioner En funktion f är analytisk i mängden A C ifall det finns en öppen mängd Ω C så att A Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω Cauchy-Riemann ekvationerna Ifall f (z) = u(x, y) + iv(x, y) då z = x + iy så gäller u x (x, y) = v y (x, y) u y (x, y) = v x (x, y) i de punkter där f är deriverbar G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

46 Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion γ : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t 0 < t 1 <... < t n = b så att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j 1, t j ] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0. γ def = { γ(t) : t [a, b] } G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

47 Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion γ : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t 0 < t 1 <... < t n = b så att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j 1, t j ] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0. γ def = { γ(t) : t [a, b] } Stigintegraler Ifall γ är en stig är γ f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

48 Stig En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva är en kontinuerlig funktion γ : [a, b] C så att det finns ändligt många punkter a = t 0 < t 1 <... < t n = b så att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t j 1, t j ] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0. γ def = { γ(t) : t [a, b] } Stigintegraler Ifall γ är en stig är γ f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt Ofta skriver man C f (z) dz istället för f (z) dz där C är en riktad kurva om γ det är klart hur parameterframställningen γ för C (som alltså är γ med riktning ) skall väljas. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

49 Exempel på integraler Om C är sträckan från z 0 till z 1 så är f (z) dz = f (z) dz = C γ 1 0 f (γ(t))γ (t) dt, där γ(t) = (1 t)z 0 + tz 1, t [0, 1]. Alternativt, C f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt där γ(t) = b t b a z 0 + t a b a z 1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

50 Exempel på integraler Om C är sträckan från z 0 till z 1 så är f (z) dz = f (z) dz = C γ 1 0 f (γ(t))γ (t) dt, där γ(t) = (1 t)z 0 + tz 1, t [0, 1]. Alternativt, C f (z) dz = b a f (γ(t))γ (t) dt där γ(t) = b t b a z 0 + t a b a z 1 Om C är cirkelbågen z z 0 = r från z 0 + re iα till z 0 + re iβ motsols (där α < β) så är C f (z) dz = där γ(t) = z 0 + re it, t [α, β]. γ f (z) dz = β α f (γ(t))γ (t) dt, G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

51 Lemma Två stigar γ 1 : [a, b] C och γ 2 : [c, d] C där γ 1 (b) = γ 2 (c) kan kombineras till en stig γ = γ 1 γ 2, γ : [a, b + d c] C, så att { γ 1(t), t [a, b], γ(t) = γ 2(c + t b), t [b, b + d c], och då är γ f (z) dz = f (z) dz + γ 1 f (z) dz. γ 2 (På motsvarande sätt kan en stig delas upp.) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

52 Lemma Två stigar γ 1 : [a, b] C och γ 2 : [c, d] C där γ 1 (b) = γ 2 (c) kan kombineras till en stig γ = γ 1 γ 2, γ : [a, b + d c] C, så att { γ 1(t), t [a, b], γ(t) = γ 2(c + t b), t [b, b + d c], och då är γ f (z) dz = f (z) dz + γ 1 f (z) dz. γ 2 (På motsvarande sätt kan en stig delas upp.) Lemma Om γ : [a, b] C är en stig och γ eller γ är stigen γ (t) = γ(a + b t), t [a, b], dvs. stigen γ i omvänd riktning, så är f (z) dz = f (z) dz. γ γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

53 Slutna stigar En stig γ : [a, b] C är sluten ifall γ(a) = γ(b) och γ f (z) dz betyder att γ är sluten. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

54 Slutna stigar En stig γ : [a, b] C är sluten ifall γ(a) = γ(b) och γ f (z) dz betyder att γ är sluten. Lemma Ifall f (z) M då z γ, (a < b) och längden av γ är L så gäller b f (z) dz f (γ(t)) γ (t) dt ML. γ a G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

55 Slutna stigar En stig γ : [a, b] C är sluten ifall γ(a) = γ(b) och γ f (z) dz betyder att γ är sluten. Lemma Ifall f (z) M då z γ, (a < b) och längden av γ är L så gäller b f (z) dz f (γ(t)) γ (t) dt ML. Lemma γ a Om γ : [a, b] C är en stig och f är en kontinuerlig funktion så att det finns en deriverbar funktion F så att F (z) = f (z) då z γ så är f (z) dz = F (γ(b)) F (γ(a)). γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

56 Vridningstal Ifall γ är en sluten stig så är ν(γ, w) = 1 1 2πi γ z w dz stigens vridningstal i förhållande till w / γ. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

57 Vridningstal Ifall γ är en sluten stig så är ν(γ, w) = 1 1 2πi γ z w dz stigens vridningstal i förhållande till w / γ. Lemma ν(γ, w) ett heltal som anger hur många varv γ går runt w i positiv riktning och är konstant i varje öppen sammanhängande delmängd av C \ γ. ν(γ, w) = ν(γ, w), w / γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

58 Cauchys integralteorem Om γ är en sluten stig och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (z) dz = 0 γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

59 Cauchys integralteorem Om γ är en sluten stig och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (z) dz = 0 γ Antagandet mera exakt: γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att γ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z C \ Ω G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

60 Exempel Visa hur man kan räkna ut integralen sin(t) 0 t dt med hjälp av Cauchys integralteorem. Lösning: Vi bildar en sluten stig γ som är sammansatt av stigarn γ S, γ [ S, r], γ r och av γ [r,s] där 0 < r < S och γ S är den stig som består av sträckorna från S till S + i S, från S + i S till S + i S och från S + i S till S, γ [ S, r] är sträckan från S + 0i till r + 0i, γ r är cirkelbågen z = r i negativ riktning från r to r och γ [r,s] är sträckan från r + 0i till S + 0i. Av Cauchys integralteorem följer att γ z dz = 0 dvs. e iz γ S z dz + e iz γ [ S, r] z dz + e iz γ r z dz + e iz γ [r,s] z dz = 0 så det gäller att visa att ( sin(t) 1 0 t dt = lim r 0 2 Im e iz γ S [ S, r] z sedan räkna ut lim S γ S e iz z dz och lim r 0 γ r e iz z e iz dz + γ [r,s] e iz z dz ) och dz. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

61 Cauchys integralteorem, ver. 1.1 Om γ 1 och γ 2 är slutna stigar och f är analytisk på γ1 och γ 2 punkter mellan γ1 och γ 2 så är f (z) dz = f (z) dz. γ 1 γ 2 och i alla G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

62 Cauchys integralteorem, ver. 1.1 Om γ 1 och γ 2 är slutna stigar och f är analytisk på γ1 och γ 2 punkter mellan γ1 och γ 2 så är f (z) dz = f (z) dz. γ 1 γ 2 och i alla Antagandet mera exakt: γ 1 och γ 2 är slutna stigar, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att γ 1 Ω, γ 2 Ω och ν(γ 1, z) = ν(γ 2, z) för alla z C \ Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

63 Cauchys integralformel, ver 1.0 Om γ är en sluten stig som går ett varv runt punkten w och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (w) = 1 f (z) 2πi z w dz. γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

64 Cauchys integralformel, ver 1.0 Om γ är en sluten stig som går ett varv runt punkten w och f är analytisk på γ och i alla punkter innanför γ så är f (w) = 1 f (z) 2πi z w dz. γ Cauchys integralformel, ver 1.1 Om γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω så att γ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z C \ Ω så är f (w)ν(γ, w) = 1 f (z) 2πi γ z w dz, för alla w Ω \ γ. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

65 Exempel z + 2 Beräkna integralen dz då γ är randen (i positiv riktning) γ (z + 1)(z 2) av rektangeln med hörn i punkterna 2 + 3i, 2 3i, 1 3i och 1 + 3i.Lösning: Vi konstaterar att funktionen som skall integreras är analytisk i alla punkter utom 1 och 2 och av dessa är det bara 1 som ligger innanför γ. Därför väljer vi f (z) = z + 2 och eftersom f är z 2 analytisk i alla punkter utom 2 och eftersom denna punkt ligger utanför rektangeln kan vi använda Cauchys integralteorem. Punkten 1 ligger inne i rektangeln och vi får därför γ z + 2 (z + 1)(z 2) dz = γ f (z) dz = 2πif ( 1) = 2πi z ( 1) 1 2 = 2π 3 i. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

66 Cauchys integralformel, ver 1.2 Om f är en analytisk funktion i en öppen mängd Ω C, γ 1, γ 2,..., γ n är slutna stigar så att γj Ω och n j=1 ν(γ j, z) = 0 för varje z C \ Ω så är f (w) n j=1 n j=1 ν(γ j, w) = 1 2πi γ j f (z) dz = 0 n j=1 γ j f (z) z w dz, w Ω \ n j=1γ j G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

67 Teorem Om f är analytisk i den öppna mängden Ω så är också f deriverbar i Ω, dvs. f oändligt många gånger deriverbar i Ω. Cauchys olikheter f (n) (w) n!m r n ifall f är analytisk i { z : z w r } och f (z) M då z w = r eller ifall f är analytisk i { z : z w < r } och f (z) M då z w < r. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

68 Liouvilles teorem Om f är analytisk i C och f är begränsad (dvs. f (z) M < för alla z C) så är f en konstant. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

69 Liouvilles teorem Om f är analytisk i C och f är begränsad (dvs. f (z) M < för alla z C) så är f en konstant. Moreras teorem Om f är kontinuerlig i den öppna mängden Ω C och för varje triangel T Ω så är f analytisk i Ω. T f (z) dz = 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

70 Konvergensradie Om z 0 C och a n C, n 0 så finns det ett tal R, 0 R, så att serien n=0 a n(z z 0 ) n konvergerar (absolut) då z z 0 < R divergerar då z z 0 > R. Talet R kallas seriens n=0 a n(z z 0 ) n konvergensradie. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

71 Exempel Bestäm konvergensradien för potensserien Vi använder kvottestet och räknar (n+1)! z 2(n+1)+2 lim (n+1) n+1 n = lim n! n n z 2n+2 n n=1 n + 1 (n + 1) (n+1)n n n n! n n z2n+2. z 2n+2 2 2n 2 1 = lim n (1 + 1 z 2 = 1 n )n e z2. Serien konvergerar då gränsvärdet är < 1 dvs. då z 2 < e eller z < e. På motsvarande sätt divergerar serien då gränsvärdet av kvoterna är > 1, dvs. då z > e. Detta innebär att seriens konvergensradie är e. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

72 Potensserie Ifall f är analytisk innanför cirkeln z z 0 = r så är f (z) = a n (z z 0 ) n, z z 0 < r, n=0 där a n = 1 n! f (n) (z 0 ) och konvergensradien är r. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

73 Potensserie Ifall f är analytisk innanför cirkeln z z 0 = r så är f (z) = a n (z z 0 ) n, z z 0 < r, n=0 där a n = 1 n! f (n) (z 0 ) och konvergensradien är r. Omvänt, ifall f (z) = n=0 a n(z z 0 ) n så är f analytisk i mängden { z : z z 0 < R } där R är konvergensradien och f (z) = na n (z z 0 ) n 1, n=1 z z 0 < R dvs. serien kan deriveras (och integreras) termvis. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

74 Laurent-serie Om f är analytisk i mängden { z : r < z z 0 < R } så är f (z) = n= a n (z z 0 ) n, där serien konvergerar (absolut) för alla z så att r < z z 0 < R och kan deriveras och integreras termvis. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

75 Laurent-serie Om f är analytisk i mängden { z : r < z z 0 < R } så är f (z) = n= a n (z z 0 ) n, där serien konvergerar (absolut) för alla z så att r < z z 0 < R och kan deriveras och integreras termvis. a n = 1 f (z) dz, 2πi (z z 0 ) n+1 C r,z0 där C r,z 0 är cirkeln z z 0 = r, r < r < R, G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

76 l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z 0 och f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0 och gränsvärdet f (z) lim z z 0 g existerar så är (z) f (z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

77 l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z 0 och f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0 och gränsvärdet f (z) lim z z 0 g existerar så är (z) f (z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) Exempel på serieutvecklingar 1 1 z = 1 + z + z2 + z = n=0 zn, z < 1 e z = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... = n=0 zn n! G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

78 l Hopitals regel Om f och g är analytiska i z 0 och f (z 0 ) = g(z 0 ) = 0 och gränsvärdet f (z) lim z z 0 g existerar så är (z) f (z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z) Exempel på serieutvecklingar 1 1 z = 1 + z + z2 + z = n=0 zn, z < 1 e z = 1 + z + z2 2! + z3 3! +... = n=0 zn n! sin(z) = z z3 3! + z5 5!... = n=0 ( 1) n z 2n+1 (2n+1)! cos(z) = 1 z2 2! + z4 4!... = ( 1) n z 2n n=0 (2n)! G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

79 z-transformer Om x(n), n = 0, 1, 2, är en talföljd så är z-transformen av x Z(x)(z) = x(n)z n n=0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

80 z-transformer Om x(n), n = 0, 1, 2, är en talföljd så är z-transformen av x Z(x)(z) = x(n)z n n=0 Konvergensområdet Det finns ett tal R, 0 R så att serien n=0 x(n)z n konvergerar då z > R och divergerar då z < R. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

81 Överföringsfunktioner Antag att H är en funktion som avbildar en talföljd x = (x(n)) n=0 på en talföljd H(x) = (H(x)(n)) n=0 så att H är linjär, dvs H(λx + µy) = λh(x) + µh(y); H är translationsinvariant, dvs. H(τ(x)) = τ(h(x)) där τ(x)(0) = 0 och τ(x)(n) = x(n 1) då n 1; Det finns ett tal C < så att H(δ)(n) C n+1, n 0 där δ(0) = 1 och δ(n) = 0, n 1. då finns det en funktion H(z), den sk. överföringsfunktionen så att Y (z) = H(z)X (z) där X = Z(x) och Y = Z(H(x)). Funktionen H(z) är z-transformen av H(δ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

82 Residy Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R så är a 1 = Res(f, z 0 ) n= residyn av f i punkten z 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

83 Residy Om f (z) = n= residyn av f i punkten z 0. Lemma Om a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R så är a 1 = Res(f, z 0 ) ( lim (z z0 )f (z) ) = w existerar z z 0 eller då m > 1 1 d m 1 ( lim (z z0 z z 0 (m 1)! dz m 1 ) m f (z) ) = w existerar så är Res(f, z 0 ) = w. (m måste vara minst ordningen av polen i z 0.) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

84 Residyteoremet Ifall γ är en sluten stig och f är analytisk på och innanför γ bortsett från punkterna z j för vilka ν(γ, z j ) = 1, j = 1,..., k så är γ f (z) dz = 2πi k Res(f, z j ). j=1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

85 Varför? Om γ j är en cirkel med mittpunkt z j och så liten radie r j att f är analytisk i { z : 0 < z z j r j } Ω så kan vi skriva Eftersom d dz n 1 och f (z) = n= a j,n (z z j ) n, 0 < z z j r j. 1 n+1 zn+1 = z n då n 1 blir γ j a j,n (z z j ) n dz = 0 då γ j f (z) dz = a j, 1 γ j 1 z z j dz = 2πia j, 1 = 2πiRes(f, z j ). Nu följer residyteoremet av att man tillämpar Cauchys integralteorem, ver 1.2 på stigarna γ och γ j, j = 1,..., k. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

86 Beräkning av integraler Om f är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet (Im (z) > 0) bortsett från punkterna z j, j = 1,..., k, och lim Im z 0 zf (z) = 0, (dvs. om z f är rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 2) så är R k f (x) dx = lim f (x) dx = 2πi Res(f, z j ). R R j=1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

87 Exempel Beräkna med hjälp av residyteoremet integralen 1 (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

88 Exempel 1 Beräkna med hjälp av residyteoremet integralen (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx. 1 Låt f (z) =. Denna funktion är analytisk i alla punkter utom (z 2 +1)(z 2 +4) nämnarens nollställen vilka är z = ±i och z = ±2i. Av dessa är det endast +i och +2i som ligger i övre halvplanet. Eftersom nämnarens gradtal minus täljarens gradtal är 4 så ser vi också att lim z f (z) = 0. z G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

89 forts. Vi kan alltså använda residyteoremet och vi får 1 (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx = 2πi( Res(f, i) + Res(f, 2i) ) = 2πi lim z i ( (z i)f (z) ) + 2πi lim z 2i ( (z 2i)f (z) ) = 2πi lim z i z i (z i)(z + i)(z 2i)(z + 2i) z 2i + 2πi lim z 2i (z i)(z + i)(z 2i)(z + 2i) 1 1 = 2πi lim + 2πi lim z i (z + i)(z 2i)(z + 2i) z 2i (z i)(z + i)(z + 2i) = 2πi 2i ( i) 3i + 2πi i 3i 4i = π 3 π 6 = π 6. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

90 Teorem Ifall a > 0, g är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet (Im (z) > 0) bortsett från punkterna z j, j = 1,..., k, och lim Im z 0 g(z) = 0 (när g är z rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 1) så är R e iax g(x) dx = lim e iax g(x) dx = 2πi R R k Res(e iaz g(z), z j ). j=1 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

91 Teorem Ifall a > 0, g är analytisk på reella axeln och i övre halvplanet (Im (z) > 0) bortsett från punkterna z j, j = 1,..., k, och lim Im z 0 g(z) = 0 (när g är z rationell, ifall skillnaden mellan nämnarens och täljarens gradtal är minst 1) så är R e iax g(x) dx = lim e iax g(x) dx = 2πi R R k Res(e iaz g(z), z j ). j=1 Obs! Om g(x) är reell så är ( R ) R sin(ax)g(x) dx = Im R R eiax g(x) dx och ( R R cos(ax)g(x) dx = Re R R eiax g(x) dx), och det är i båda fallen enklare att räkna ut lim R R R eiax g(x) dx och sedan ta imaginära eller reella delen än att skriva tex. sin(ax) = 1 2i (eiax e iax ). (Att försöka tillämpa residyteoremet på funktionen sin(az)g(z) eller cos(az)g(z) lyckas vanligen inte alls.) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

92 Lemma 2π 0 F (cos(t), sin(t)) dt 2π = F ( ( 1 2 e it + e it), 1 ( 2i e it e it)) 1 0 ie it ieit dt = f (z) dz γ ( ( 1 ifall f (z) = F 2 z + 1 ) (, 1 z 2i z 1 )) 1 och γ är enhetscirkeln z iz z = 1. Integralen kan räknas ut med residyteoremet (ifall förutsättningarna är uppfyllda). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

93 Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

94 Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), z 0 är en pol av ordningen m om m < 0 (dvs. med multipliciteten m ). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

95 Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), z 0 är en pol av ordningen m om m < 0 (dvs. med multipliciteten m ). Om f (z) = a n (z z 0 ) n och a n 0 för oändligt många n < 0 så är z 0 en n= väsentlig singularitet. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

96 Nollställen, poler Om f (z) = a n (z z 0 ) n då 0 < z z 0 < R där a m 0 och R > 0, n=m (och f (z 0 ) = a 0 om m 0) så är z 0 ett nollställe av ordningen m om m > 0 (dvs. med multipliciteten m), z 0 är en pol av ordningen m om m < 0 (dvs. med multipliciteten m ). Om f (z) = a n (z z 0 ) n och a n 0 för oändligt många n < 0 så är z 0 en n= väsentlig singularitet. Exempel 0 är ett nollställe av ordningen 1 till sin(z) 0 är ett nollställe av ordningen 2 till 1 cos(z) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

97 Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

98 Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

99 Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

100 Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f Lemma z 0 är en pol av ordningen m till f G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

101 Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f Lemma z 0 är en pol av ordningen m till f lim z z0 (z z 0 ) m f (z) existerar och är 0 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

102 Lemma z 0 är ett nollställe av ordningen m till f f (z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ) = 0 och f (m) (z 0 ) 0 lim z z 0 f (z) existerar och är 0 (z z 0 ) m z 0 är en pol av ordningen m till 1 f Lemma z 0 är en pol av ordningen m till f lim z z0 (z z 0 ) m f (z) existerar och är 0 z 0 är ett nollställe av ordningen m till 1 f G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

103 Lemma Om f är analytisk i z 0 och z 0 är ett nollställe av ordningen m så är ( ) f Res f, z 0 = m Lemma Om f är analytisk i mängden { z : 0 < z z 0 < r } där r > 0 och z 0 är en pol av ordningen m så är ( ) f Res f, z 0 = m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

104 Antalet lösningar till en ekvation innanför en sluten stig Om f är analytisk på och innanför γ (och den slutna stigen γ går ett varv i positiv riktning) och ϕ, där ϕ(t) = f (γ(t)), t [a, b], går m varv runt w så finns det m lösningar till ekvationen f (z) = w innanför γ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

105 Antalet lösningar till en ekvation innanför en sluten stig Om f är analytisk på och innanför γ (och den slutna stigen γ går ett varv i positiv riktning) och ϕ, där ϕ(t) = f (γ(t)), t [a, b], går m varv runt w så finns det m lösningar till ekvationen f (z) = w innanför γ Mera exakt Ifall ν(γ, z) = 1 eller 0 då z C \ γ och f är analytisk på och innanför γ bortsett från högst ett ändligt antal poler innanför γ så är 1 f (z) 2πi f (z) w dz = 1 1 dz = ν(ϕ, w), 2πi z w γ där ϕ(t) = f (γ(t)), t [a, b], antalet lösningar till ekvationen f (z) = w minus antalet poler innanför γ (räknade med multiplicitet). ϕ G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

106 Lemma Om f är analytisk i punkten z 0 och f (z 0 ) = 0 så finns det ett tal r > 0 så att antingen gäller f (z) = 0 då z z 0 < r eller f (z) 0 då 0 < z z 0 < r. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

107 Lemma Om f är analytisk i punkten z 0 och f (z 0 ) = 0 så finns det ett tal r > 0 så att antingen gäller Ifall f (z) = 0 då z z 0 < r eller f (z) 0 då 0 < z z 0 < r. Analytisk fortsättning Ω är en öppen sammanhängande mängd, f och g är analytiska i Ω, f (z) = g(z) då z A Ω där A är sådan att det finns zj A, z j z, j 1 och lim j z j = z Ω, tex. så att A och antingen är öppen eller A = Ω γ där γ är en stig (så att γ inte består av bara en punkt), så är f (z) = g(z) för alla z Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

108 Exempel Definiera Γ(z) = 0 e t t z 1 dt. Man kan visa att Γ då kommer att vara analytisk då Re (z) > 0 (eftersom t z 1 = t Re (z) 1 då t > 0). Hur är det med Γ(z) för andra värden av z? G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

109 Exempel Definiera Γ(z) = 0 e t t z 1 dt. Man kan visa att Γ då kommer att vara analytisk då Re (z) > 0 (eftersom t z 1 = t Re (z) 1 då t > 0). Hur är det med Γ(z) för andra värden av z? Då Re (z) > 0 får vi med hjälp av partiell integrering Γ(z + 1) = 0 e t t z dt = Detta betyder att Γ(z) = Γ(z) = / 0 Γ(z + 1) z ( e t t z) ( e t zt z 1) dt = zγ(z). 0 då Re (z) > 0 och vi kan definiera Γ(z + 1), z 0, Re (z) > 1. z G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

110 forts. Av teoremet om analytisk fortsättning följer att ifall f (z) är en analytisk funktion i mängden { z : z 0, Re (z) > 1 } så att f (z) = Γ(z) då Re (z) > 0 så måste den vara Γ(z+1) z. Vi kan nu fortsätta på samma sätt och definiera Γ(z) = Γ(z + k), z j, j = 0,..., k 1, Re (z) > k, z(z + 1)... (z + k 1) och vi ser vi får en funktion Γ som är analytisk i alla punkter utom { 0, 1, 2,... }. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

111 Definition En funktion u(x 1,..., x n ) är harmonisk i (den öppna) mängden Ω R n om den för alla (x 1,..., x n ) Ω uppfyller Laplace-ekvationen u = u x1 x 1 (x 1,..., x n ) u xnx n (x 1,..., x n ) = 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

112 Definition En funktion u(x 1,..., x n ) är harmonisk i (den öppna) mängden Ω R n om den för alla (x 1,..., x n ) Ω uppfyller Laplace-ekvationen u = u x1 x 1 (x 1,..., x n ) u xnx n (x 1,..., x n ) = 0. Teorem Funktionen u(x, y) är harmonisk i Ω u(x, y) = Re (f (x + iy)) där f (z) är en analytisk funktion i Ω (då x + iy = (x, y) Ω). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

113 Definition En funktion u(x 1,..., x n ) är harmonisk i (den öppna) mängden Ω R n om den för alla (x 1,..., x n ) Ω uppfyller Laplace-ekvationen u = u x1 x 1 (x 1,..., x n ) u xnx n (x 1,..., x n ) = 0. Teorem Funktionen u(x, y) är harmonisk i Ω u(x, y) = Re (f (x + iy)) där f (z) är en analytisk funktion i Ω (då x + iy = (x, y) Ω). Lemma Om v(x, y) är en harmonisk funktion i (den öppna) mängden Ω 1 och f : Ω 2 Ω 1 är en analytisk funktion i (den öppna) mängden Ω 2 så är u(x, y) = v(re (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) harmonisk i Ω 2. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

114 Exempel Bestäm en harmonisk funktion (u xx + u yy = 0) i första kvadranten { (x, y) : x > 0, y > 0 } så att u(x, 0) = 0, x > 0 och u(0, y) = 4, y > 0 genom att visa att v(x, y) = π arctan( x y ) är en harmonisk funktion då y > 0 så att v(x, 0) = 1 då x < 0 och v(x, 0) = 0 då x > 0 och genom att använda den analytiska funktionen z z 2. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

115 Exempel Bestäm en harmonisk funktion (u xx + u yy = 0) i första kvadranten { (x, y) : x > 0, y > 0 } så att u(x, 0) = 0, x > 0 och u(0, y) = 4, y > 0 genom att visa att v(x, y) = π arctan( x y ) är en harmonisk funktion då y > 0 så att v(x, 0) = 1 då x < 0 och v(x, 0) = 0 då x > 0 och genom att använda den analytiska funktionen z z 2. När vi deriverar får vi och v x (x, y) = 1 π v y (x, y) = 1 π 1 y 1 + x2 y 2 x y x2 y 2 = 1 π = 1 π y x 2 + y 2 och v xx (x, y) = 1 2xy π (x 2 + y 2 ) 2, x x 2 + y 2 och v yy (x, y) = 1 2xy π (x 2 + y 2 ) 2 Av detta är det klart att v xx + v yy = 0 så v är harmonisk. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

116 forts. x Om x > 0 så är lim y 0+ y = + så att lim y 0+ v(x, y) = π π 2 = 0 x och om x < 0 så är lim y 0+ y = så att lim y 0+ v(x, y) = π ( π 2 ) = 1. Eftersom f (z) = z2 är analytisk och avbildar mängden { z C : Re (z) > 0, Im (z) > 0 } på mängden { z C : Im (z) > 0 } så är funktionen u(x, y) = cv(re (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) harmonisk i mängden { (x, y) : x > 0, y > 0 }. Dessutom ser vi att mängden { (0, y) : y > 0 } avbildas mängden { (x, 0) : x < 0 } så att om vi vill att u(0, y) = 4 och så skall vi välja c = 4. På motsvarande sätt ser vi att mängden { (x, 0) : x > 0 } avbildas på mängden { (x, 0) : x > 0 } så att vi också automatiskt får u(x, 0) = 0 då u definieras som ovan. Eftersom f (x + iy) = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy y 2 så blir u(x, y) = 4v(Re (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) = 4v(x 2 y 2, 2xy) = ( x 2 π arctan y 2 ) 2xy G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

117 Harmoniska funktioner i polära koordinater Antag att w(r, θ) = v(r cos(θ), r sin(θ)) (dvs. w är v uttryckt med polära koordinater). Då uppfyller v Laplace-ekvationen v xx + v yy = 0, (dvs. den är harmonisk) om och endast om w rr + 1 r w r + 1 r 2 w θθ = 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

118 Harmoniska funktioner i polära koordinater Antag att w(r, θ) = v(r cos(θ), r sin(θ)) (dvs. w är v uttryckt med polära koordinater). Då uppfyller v Laplace-ekvationen v xx + v yy = 0, (dvs. den är harmonisk) om och endast om Medelvärdesegenskapen Om Ω R n är öppen så gäller: w rr + 1 r w r + 1 r 2 w θθ = 0. u är två gånger deriverbar och harmonisk ( u = 0) i Ω u är oändligt många gånger deriverbar och harmonisk ( u = 0) i Ω 1 u är kontinuerlig i Ω och u(x 0 ) = x =1 u(x 0 + rx) ds, för alla x 0 och r 0 så att { x R n : x x 0 r } Ω x =1 1 ds G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

119 Maximumprincipen Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u är kontinuerlig i Ω Ω och harmonisk i Ω så är max u(x) = max u(x). x Ω Ω x Ω Om Ω dessutom är sammanhängande så gäller att om u(x 0 ) = max x Ω Ω u(x) för något x 0 Ω så är u en konstant funktion. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

120 Maximumprincipen Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u är kontinuerlig i Ω Ω och harmonisk i Ω så är max u(x) = max u(x). x Ω Ω x Ω Om Ω dessutom är sammanhängande så gäller att om u(x 0 ) = max x Ω Ω u(x) för något x 0 Ω så är u en konstant funktion. Entydighet Om Ω är en öppen begränsad mängd i R n med rand Ω och u 1 och u 2 är kontinuerliga i Ω Ω och harmoniska i Ω och u 1 (x) = u 2 (x) då x Ω så är u 1 (x) = u 2 (x) för alla x Ω. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

121 Poissons formel i enhetscirkeln Om u(x, y) är t.ex. begränsad då x 2 + y 2 < 1 så är u harmonisk i { (x, y) : x 2 + y 2 < 1 } u(r cos(θ), r sin(θ)) = 1 2π 2π 0 1 r 2 1 2r cos(θ t) + r 2 u( cos(t), sin(t) ) dt, r < 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

122 Poissons formel i enhetscirkeln Om u(x, y) är t.ex. begränsad då x 2 + y 2 < 1 så är u harmonisk i { (x, y) : x 2 + y 2 < 1 } u(r cos(θ), r sin(θ)) = 1 2π 2π 0 Poissons formel i övre halvplanet 1 r 2 1 2r cos(θ t) + r 2 u( cos(t), sin(t) ) dt, r < 1. Om u(x, y) är t.ex. begränsad då x R och y > 0 så är u harmonisk i { (x, y) : x R, y > 0 } u(x, y) = 1 π y (x t) 2 u(t, 0) dt, y > 0. + y 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90

123 Strömningsproblem i två dimensioner Hastighetsvektorn för en virvelfri strömning av en inkompressibel vätska med viskositet 0 (dvs. utan friktion ) är v(x, y) så att v = Φ och v = 0. Dessa villkor innebär att 0 = Φ = Φ xx + Φ yy, dvs. Φ är harmonisk. Om nu f (x + iy) = Φ(x, y) + iψ(x, y) är analytisk så följer av Cauchy-Riemann ekvationerna att hastighetsvektorn (Φ x, Φ y ) = (Re (f ), Im (f )) och (Φ x, Φ y ) (Ψ x, Ψ y ), dvs. hastighetsvektorn är parallell med kurvan Ψ = c (där c är en konstant) som alltså är en strömningslinje. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober / 90