Elliptiska funktioner enligt Weierstrass

Transkript

1 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH Elliptiska funktioner är detsamma som dubbelperiodiska meromorfa funktioner av en komplex variabel. Dessa upptäcktes av Abel och Jacobi i början av 800-talet när de analyserade s.k. elliptiska integraler. Men det var Weierstrass som gjorde ett mer systematiskt studium av dem. I den här artikeln ska vi titta närmare på hans ansats. För att illustrera den börjar vi med att återupptäcka en av våra elementära funktioner på ett nytt sätt. Därefter ska vi koppla Weierstrass funktioner till tredjegradskurvor och se att varje sådan som är icke-singulära parametriseras av dessa och hur man identifierar perioderna från kurvans ekvation.

2 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass (7) Introduktion Att det finns dubbelperiodiska funktioner, vilka av lite långsökta skäl kallas elliptiska funktioner, upptäcktes av Abel och Jacobi i början av 800-talet när de analyserade s.k. elliptiska integraler. Men det var Weierstrass som gjorde ett mer systematiskt studium av dem. I den här artikeln ska vi titta närmare på hans ansats. För att illustrera den börjar vi med att återupptäcka en av våra elementära funktioner på ett nytt sätt. Weierstrass konstruktion är också grundläggande inom teorin för elliptiska kurvor, vilken har en mångfald tillämpningar, bl.a. inom kryptologin. 2 Allmänt om periodiska funktioner En funktion f : C C sägs vara meromorf om det finns en sluten, diskret, delmängd S C sådan att f är holomorf utanför S och att singulariteterna i S alla är poler, d.v.s. om w S, så finns ett heltal n sådant att (z w) n f(z) är holomorf i någon omgivning av w. Om n är det minsta möjliga sådant heltal, säger vi att polen w har ordningen n. En meromorf funktion f sägs vara periodisk med perioden ω om det gäller att f(z + ω) = f(z) för alla z / S. Om f inte är en konstant är mängden Γ av sådana perioder en diskret undergrupp till (C, +) och det finns bara tre möjligheter: antingen finns inga perioder, eller så finns ett ω 0 sådan Γ = Zω (vi talar då om enkelperiodiska funktioner), eller så finns två komplexa tal ω, ω 2 0 med en icke-reell kvot, sådana att Γ = Zω + Zω 2. Dubbelperiodiska, meromorfa, funktioner, som inte är konstanta, kallas elliptiska funktioner. En diskret mängd Γ = Zω + Zω 2 på formen ovan utgör ett gitter i C, med basen ω, ω 2. Vi ser att två komplexa tal ω, ω 2 tillhör Γ om och endast om det finns en heltalsmatris A sådan att ω = ωa (här skriver vi ω som en radvektor (ω, ω 2 )), och det gäller att ω, ω 2 är en annan bas för Γ precis då det A = ±, eftersom det är villkoret på att A har en invers med heltalselement. Parallellogrammet P = {t ω + t 2 ω 2 ; 0 t, t 2 < } kallas det fundamentala parallellogrammet till gittret Γ. En funktion som är definierad på hela C och har Γ som periodgitter är uppenbarligen entydigt bestämd av sina värden i P. Men också i varje translation av detta, z 0 + P, vilka vi kallar gittrets celler. Anmärkning Ett annat sätt att uttrycka detta är följande. Avbildningarna z z + ω i, i =, 2 genererar en grupp genom sammansättning. Allmänt gäller att om G är en grupp av avbildningar C C, så definieras banan för en punkt z som mängden ω 2 ω

3 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 2 (7) {g(z); g G}. Ett fundamentalområde för G är en delmängd D C sådan att det innehåller precis en punkt från varje bana, d.v.s. till varje z C finns precis ett z D sådant att g(z ) = z. Från den allmänna teorin för analystiska funktioner har vi nu en del fundamentala observationer för elliptiska funktioner. Lokalt kring en punkt z 0 kan vi utveckla den i en Laurentserie k=m a k(z z 0 ) k, a m 0, vilken konvergerar lokalt likformigt. Funktionen sägs har ordningen m i z 0. För poler gäller att m < 0 och deras residy ges av a, och om f är ett nollställe är m > 0 och m ger nollställets multiplicitet. En elliptisk funktion kan inte sakna poler, ty då skulle den vara en begränsad, hel analytisk funktion på C, och sådana är enligt en sats av Liouville av nödvändighet konstanta. Vidare gäller att om P är en periodcell, så gäller att a) Summan av residuerna i P är noll. b) Räknat med multiplicitet gäller att antalet nollställen är lika med antalet poler. c) Om z,..., z n är nollställena och p,..., p n är polerna, så gäller att z i = p i mod Γ. i i För att bevisa dessa påståenden väljer vi en periodcell P som inte innehåller något nollställe eller någon pol på randen P och integrerar i tur och ordning funktionerna f(z), f (z)/f(z), zf (z)/f(z) runt P. Resultaten följer då om vi använder Cauchys integralformel på lämpligt sätt. Vi säger att en elliptisk funktion är av ordning n om den har n nollställen (eller poler) i en periodcell. Observationerna spelar stor roll när vi nedan till ett givet periodgitter ska konstruera en elliptisk funktion, nämligen Weierstrass -funktion. 3 Konstruktion av en enkel-periodisk funktion Som förberedelse för Weierstrass konstruktion ska vi nu se hur man kan konstruera en enkelperiodisk funktion av en komplex variabel. Vi kan utan inskränkning anta att perioden är ett. Om vi utgår ifrån en funktion φ(z), så får vi en periodisk funktion av period genom f(z) = k Z φ(z + k), förutsatt att summan är konvergent utanför eventuella poler. Här kan vi t.ex. ta φ(z) = /z 2, vilket ger oss f(z) = (z + k), 2 k Z som vi kan notera är en jämn funktion. Denna kan skrivas f(z) = z 2 + g(z),

4 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 3 (7) där g(z) = k 0 (z + k) 2 är holomorf (och jämn) i en omgivning av z = 0. f blir därför en meromorf funktion med poler av ordning 2 precis i de reella heltalen. Funktionen g är jämn och kan därför utvecklas i en potensserie g(z) = a 2m z 2m, där a 2m = 2(2m + ) k 2m 2. Här är m=0 a 0 = π2 3, a 2 = π4 5, så vi kan skriva f(z) = z 2 + π2 3 + π4 z O(z6 ). Deriverar vi detta två gånger får vi att f (z) = z 4 + 2π4 5 + O(z4 ), f(z) 2 = z π2 z 2 + π O(z2 ). Ur det följer att f (z) 6f(z) 2 + 4π 2 f(z) = O(z 2 ) är noll då z = 0 och är analytisk i en omgivning av origo och periodisk. Dessutom är den begränsad då z går mot oändligheten i en periodstrimla, så den är begränsad och därför noll. Det följer att f (z) = 6f(z) 2 4π 2 f(z). Multiplicerar vi med f (z) kan vi integrera ekvationen och får då att f (z) 2 4f(z) 3 + 4π 2 f(z) 2 = C. Jämför vi med utvecklingarna ovan så ser vi att C = 0. Vi har därmed visat att f uppfyller differentialekvationen f (z) 2 4f(z) 3 + 4π 2 f(z) 2 = 0. För att identifiera funktionen f ska vi lösa denna ekvation. För detta skriver vi u(z) = f(z) /2, och får då differentialekvationen u (z) 2 = π 2 u(z) 2. Vi ser också att u(z) = z/ + zg(z), så u(0) = 0. Deriverar vi ekvationen får vi att u (z) = π 2 u(z), och eftersom u(0) = 0 följer att u(z) = A sin(πz). Stoppas det in i föregående ekvation får vi att A 2 π 2 cos 2 (πz) = π 2 A 2 sin 2 (πz), vilket visar att Aπ =. Vi har alltså visat att f(z) = n Z Integrerar vi detta får vi f.ö. relationen (z + k) 2 = π 2 sin 2 (πz). () π cot πz = z + ((z + k) k ) = z + ( z + k + z k ), k 0 k= en observation vi ska använda nedan. k=

5 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 4 (7) 4 Weierstrass elliptiska funktioner Weierstrass konstruktion av elliptiska funktioner bygger på samma idé som vi använde i föregående avsnitt för att konstruera en enkel-periodisk funktion. Vi börjar med att observera att en elliptisk funktion inte kan vara en hel analytisk funktion, eftersom den skulle vara en begränsad sådan. Vidare måste summan av residyerna i en periodcell vara noll, så den kan inte vara en meromorf funktion med endast en enkel pol i varje periodcell. Den i någon mening enklaste elliptiska funktionen skulle därför i en cell ha en enda pol av 2:a ordningen, och vi kan välja att lägga denna i origo. En sådan funktion f gör f(z) f( z) till en elliptisk funktion med pol av :a ordningen, och därför en konstant. Den är udda så f måste vara jämn. Genom att ersätta f med af + b, kan vi därför anta att f(z) = z 2 + O(z 2 ) kring origo. Det följer att f (z) + 2z 3 är analytisk i en omgivning av origo, alltså att f (z) + 2(z ω) 3 är analytisk i en omgivning av ω, där ω är en godtycklig period. Men då följer att funktionen f (z) + 2 ω Γ (z ω) 3 är en udda, holomorf, elliptisk funktion, och alltså noll. Integrerar vi detta får vi att f(z) = z 2 + ω 0((z ω) 2 ω 2 ) blir en jämn meromorf funktion på C. Att den verkligen har perioderna ω Γ följer av att f(z + ω) f(z) är en konstant, eftersom dess derivata är noll. Sätter vi in z = ω/2 och utnyttjar att f är en jämn funktion ser vi att konstanten är noll, och funktionen har alltså perioden ω. Detta är Weierstrass explicita konstruktion av icke-konstanta elliptiska funktioner; funktionen f(z) skrivs (z) = (z; Γ) och beror på val av periodgitter. Vår första observation om (z) rör dess derivatas nollställen: om ω Γ men 2ω / Γ så gäller att ω/2 är ett nollställe av ordning ett till (z). För att se detta observerar vi först att ekvationen 2z = 0 mod Γ har i varje fundamentalområde de fyra lösningarna 0, ω /2, ω 2 /2 och ω 3 /2, där ω 3 = ω + ω 2. Eftersom (z) är udda gäller att (ω i /2) = ( ω i /2) = (ω i ω i /2) = (ω i /2), så ω i /2, i =, 2, 3 är nollställen till (z). Eftersom funktionen har som enda singularitet en pol av 3:e ordningen i origo, följer att dessa är de enda nollställena, och att de är enkla. Låt nu P vara en periodcell till Γ och tag ett w C sådant att det inte är på formen (ω/2) med ω Γ, 2ω / Γ. Eftersom endast har en pol, och den är av ordning 2 finns det två nollställen till (z) w, och dessa måste vara olika. Vore det nämligen ett dubbelt nollställe, skulle det också vara ett nollställe till. Det finns alltså precis två olika punkter z, z 2 P sådana att (z ) = (z 2 ) = w och då gäller att z + z 2 Γ. ω 2 ω

6 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 5 (7) Funktionen är en elliptisk funktion med periodgitter Γ och med pol högst av ordning 2 och inga andra singulariteter. Genom att subtrahera en lämplig multipel av får vi en holomorf elliptisk funktion. Vi har därför en ekvation (z) 2 = 4 (z) 3 g 2 (z) g 3, där man, genom att jämföra de två sidornas Laurentutvecklingar kring origo, ser att g 2 = g 2 (Γ) = 60 ω 0 ω 4, g 3 = g 3 (Γ) = 40 ω 0 ω 6. Dessa tal kallas Weierstrass-invarianterna till gittret Γ. Men detta betyder att kurvan y 2 = 4x 3 g 2 x g 3 i C 2 parametriseras av z ( (z), (z)). Ur diskussionen ovan ser vi att polynomet 4x 3 g 2 x g 3 har de tre enkla rötterna e, e 2, e 3, ur vilket det följer att diskrimininanten = g g 2 3 0, d.v.s. kurvan y 2 = 4x 3 g 2 x g 3 är irreducibel. Denna kurva är den ändliga delen av den projektiva kurvan zy 2 = 4x 3 g 2 xz 2 g 3 z 3. Sådana kurvor, vars ändliga del har formen y 2 = 4x 3 ax b, och som inte är reducibla, kallas elliptiska kurvor. De parametriseras alltså av dubbelperiodiska funktioner om vi kan hittat ett gitter Γ sådant att a = g 2 (Γ) och b = g 3 (Γ). Om vi sätter e i = (ω i /2) så kan vi skriva (z) 2 = 4 3 ( (z) e i ), där e, e 2, e 3 måste vara olika, eftersom e i antas i ω i /2 med multiplicitet 2. Jämför vi med ekvationen ovan ser vi då att e + e 2 + e 3 = 0, e e 2 + e 2 e 3 + e e 3 = g 2 /4, e e 2 e 3 = g 3 /4 Vi ser då också att vi kan skriva diskriminanten som = (4(e e 2 )(e 2 e 3 )(e e 3 )) 2. Vi avslutar detta avsnitt med följande observation: det finns väsentligen inga andra elliptiska funktioner med dessa perioder. Sats Varje elliptisk funktion med periodgitter Γ kan skrivas R( (z)) + (z)s( (z)), där R(z), S(z) är rationella funktioner och (z) = (z; Γ). Bevis. Vi börjar med att betrakta en jämn elliptisk funktion f(z) = a 2n z 2n +... vars poler ligger i Γ. Vi kan då skriva f som ett polynom i på följande sätt. Med hjälp av potensserierna för funktionerna ser vi att f(z) a 2n (z) n är en elliptisk funktion av strängt lägre ordning än f. Upprepar vi processen får vi till slut en elliptisk funktion av ordning noll.

7 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 6 (7) Om f är en jämn elliptisk funktion med godtyckliga poler kan vi skriva f som en rationell funktion i på följande sätt. För varje pol z j / Γ betraktar vi avbildningen z f(z)( (z) (z j )) N, där N är så stor att den tar bort polen i z j. Detta leder oss till en elliptisk funktion vars poler ligger i Γ, nämligen f(z) j ( (z) (z j )) N j. Men vi har sett att denna kan skrivas som ett polynom i, så vi ser att f kan skrivas som en rationell funktion i. En godtycklig elliptisk funktion delar vi sedan upp i en jämn och en udda del. Den jämna har vi klarat av, den udda kan vi dividera med för att få en jämn elliptisk funktion, som alltså är en rationell funktion i. Detta visar satsen. Exempel Betrakta integralen I(z) = z 0 dt t 4. Den definierar en elliptisk funktion φ(z) som uppfyller φ (z) 2 = φ(z) 4, φ(0) = 0, vilket ger den en potensserieutveckling kring z = 0 på formen φ(z) = z z5 0 + O(z6 ). Då gäller att (φ(z), φ (z)) definierar en birationell avbildning mellan kurvan y 2 = x 4 och torusen C/Γ, där Γ = {2nω +i2mω; n, m Z} där 2ω är den totala båglängden. Men den kan också realiseras som en icke-singulär tredjegradskurva y 2 = 4x 3 g 2 x g 3, och då gäller att φ C(, ), där (z) = (z; 2ω, 2iω). Låt oss nu ta dessa saker i tur och ordning. För det första noterar vi att g 3 = 0 eftersom iγ = Γ. Vidare ser vi att i Ω n = {z C; Re z (n + )ω, Im z (n + )ω} är /φ likformigt begränsad eftesom den är 2 2 periodisk. Här har vi använt att φ(z) = 0 om och endast om z = (n + im)ω, n, m Z. (Polerna får man genom att lägga ω( + i)/2 till nollställena.) Vi har att φ ((n + im)ω) = ±, med +-tecken om n och m har samma paritet, annars -tecken. Integrerar vi nu /z 4 φ(z) längs Ω n och sedan låter n, följer, eftersom (z 4 φ(z)) = z 5 (+z 4 /0+ O(z 5 )), att φ ((n + im)ω) + ω4 (n + im) 4 0 = 0. n 2 +m 2 0 Inför nu beteckningen L = z L z 4 om L är ett lattice. Vi kan då notera att zl = z 4 L. Utgå ifrån L 0 = Z[i] och bilda L o som den delmängd som består av n och m av olika paritet och L s de som har samma paritet. Formeln ovan innebär då att L s L o + ω4 0 = 0.

8 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 7 (7) Vi kan dela upp L s i de där n och m är jämna, L j s och de där de är udda, L u s. Eftersom ( + i)(n + im) = (n m) + i(n + m) ser vi att ( + i)l o = L u s och ( + i)l s = L j s. Vi får nu L o = ( + i) 4 L u s = 4 L u s, L s = ( + i) 4 L j s = 4 L j s Eftersom L s = L j s + L u s följer av den andra likheten att L u s = 5 L j s och vi får L s L o = 4 L j s + 4 L u s = 24 L j s = L 0. Ur detta följer att L 0 = n 2 +m 2 0 (n + im) 4 = ω4 5. En följd av detta är att den elliptiska kurva som svarar mot lemniskatan är y 2 = 4x 3 4 x, eftersom g 2 = 60 n 2 +m 2 0 (2ωn + i2ωm) 4 = 60(2ω) 4 ω 4 /5 = /4. 5 Additionsformeln för Weierstrass funktion En elliptisk funktion är en funktion på en komplex torus, och på en sådan kan vi addera punkter. Men via Weierstrass är en sådan komplex torus egentligen inget annat än en icke-singulär tredjegradskurva y 2 = 4x 3 g 2 x g 3, vilket betyder att det finns en additionsstruktur även på tredjegradskurvan. Dessutom måste det finnas en egenskap hos som ger detta, och den egenskapen ges i nästa sats. Sats 2 (Additionsformeln) Det gäller att (z ) (z ) (z 2 ) (z 2 ) (z + z 2 ) (z + z 2 ) = 0. För att se detta noterar vi att ekvationerna (z ) = A (z ) + B, (z 2 ) = A (z 2 ) + B bestämmer konstanterna A och B om inte (z ) = (z 2 ). Funktionen (u) A (u) B har en trippel pol i u = 0 och precis tre nollställen. Vidare, om z och z 2 är två av nollställena, så måste det tredje, z 3, vara sådant att z +z 2 +z 3 Γ. Med andra ord, även u = z z 2 är ett nollställe till funktionen, d.v.s ( z z 2 ) = A ( z z 2 ) + B. En alternativ formulering av satsen är att om z + z 2 + z 3 = 0, så är (z ) (z ) (z 2 ) (z 2 ) (z 3 ) (z 3 ) = 0.

9 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 8 (7) Vidare, om vi sätter p i = (z i ) så ser vi att dessa är nollställena till tredjegradspolynomet från vilket vi ser att 4p 3 A 2 p 2 (2AB + g 2 )p (B 2 + g 3 ), p + p 2 + p 3 = A 2 /4, p p 2 + p 2 p 3 + p p 3 = (2AB g 2 ), p p 2 p 3 = (g 3 + B 2 )/4. så villkoret i satsen kan skriva (p + p 2 + p 3 )(4p p 2 p 3 g 3 ) = (p p 2 + p 2 p 3 + p 3 p + g 2 /4) 2. eftersom båda leden blir A 2 B 2 /4. Villkoret p + p 2 + p 3 = A 2 /4 är ekvivalent med additionsformeln (u + v) = ( ) (u) 2 (v) (u) (v), 4 (u) (v) och ur den får vi dupliceringsformeln (2u) = 4 ( ) 2 (u) 2 (u). (u) Om vi sätter u = z och v = ω, där ω är en halv period, får vi (z + ω) + (z) + (ω) = ( ) (z) 2 (ω). 4 (z) (ω) Vidare får vi, om vi använder att (z) 2 = 4 3 ( (z) e k), att (z + ω) = ( (z) w 2 )( (z) e 3 ) (z) e = (e e 2 )(e e 3 ) + e. 4 (z) e (z) e Här använde vi att e + e 2 + e 3 = 0. Andra formler vi kan visa är och (ω/2) = e ± (e e 2 )(e e 3 ) (u + v) (u v) = (u) (v) ( (u) (v)). 2 Additionsformeln får en viktig konsekvens för strukturen av irreducibla tredjegradskurvor. Låt Γ vara ett periodgitter sådant att z [ : (z) : (z)] definierar en parametrisering av tredjegradskurvan y 2 = 4x 3 g 2 x g 3. Den är den ändliga delen av den projektiva kurvan y 2 z = 4x 3 g 2 xz 2 g 3 z 3 som har en inflektionspunkt i oändligheten [0 : : 0]. Om vi sätter p i = [ : (z i ) : (z i )] så innebär additionsformeln att z + z 2 + z 3 = 0 mod Γ p, p 2, p 3 ligger på en rät linje.

10 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 9 (7) Med hjälp av denna observation kan vi definiera en addition på kurvan y 2 = 4x 3 g 2 x g 3 på följande sätt. Tag först två olika punkter P, Q på kurvan. Drag den räta linjen (kordan) genom dessa. Den kommer då att skära kurvan i en tredje punkt, R. Vi definierar nu summan P Q som den reflekterade punkten till R. Med den reflekterade punkten menar vi den andra skärningspunkten mellan den vertikala linjen och kurvan, vilket är det samma som den räta linjen genom punkten i oändligheten och R. Om vi istället vill bilda 2P så drar vi tangenten till kurvan i punkten P och reflekterar den tredje skärningspunkten. Detta definierar en addition på tredjegradskurvan vars nolla är punkten i oändligheten. S = P + R R P Exempel 2 Punkten P = (, 2) ligger på kurvan y 2 = x 3 5x + 8. Med hjälp av tangentkonstruktionen får vi då att 2P = (7/4, 27/8). Med hjälp av kordakonstruktionen får vi sedan att Q = 2R 3P = 2P P = ( 553 2, ). Nästa exempel är en tillämpning på detta. Exempel 3 Antag att vi har ett antal klot staplade i en pyramid med rektangulär bas. Frågan är om det är möjligt att lägga dessa i form av en kvadrat. För att avgöra detta, börjar vi med att observera att antalet klot i en kvadratisk pyramid som har sidan n i basen ges av n 2 = n(n + )(2n + ). 6 Vi ser därför att vår fråga är om det finns heltal x, y sådana att y 2 = x(x + )(2x + ). 6 Två omedelbara lösningar är (0, 0) och (, ). Den räta linjen mellan dem skär kurvan i en tredje punkt som ges av ekvationen x(x 2 3x/2+/2) = 0 och är alltså (/2, /2). Det är ingen heltalslösning (men rationell, som den måste vara). Dessutom finns den reflekterade punkten (/2, /2). Vi går nu vidare och bestämmer en tredje punkt ifrån denna punkt och (, ), alltså skärningen mellan kurvan och den räta linjen y = 3x 2. Och den visar sig vara (24, 70). Vi har alltså hittat en lösning på problemet: om det finns 4900 klot kan vi dels lägga dem som en kvadrat med sidan 70 klot, dels lägga dem som en kvadratisk pyramid, vars bas då kommer ha sidan 24 klot. Det finns faktiskt inga andra heltalslösningar till ekvationen!

11 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 0 (7) 6 Potensserieutveckling av Weierstrass funktion För att hitta en serieutveckling av Weierstrass elliptiska funktion ansätter vi (z) = z 2 + k a kz k. Vi ser då nästan direkt att a k = (k + ) ω 0 ω k 2, av vilka vi ser att alla udda koefficienter är noll. Dessutom är a 0 = 0. Vi har därför att a 2k = (k + )G 2k+2 (Γ), där G 2k = G 2k (Γ) = ω 0 ω 2k kallas Eisenstein serien. Vi noterar att G 2k (Γ) är absolutkonvergent om k > men endast betingat konvergent om k =. Vi kan här hitta samband mellan koefficenterna genom att utnyttja differentialekvationen. Om vi ansätter (z) = z 2 + b nz 2n, så har vi b n = (2n+)G 2n+2 (Γ). Om vi identifierar koefficienter i differentialekvationen får vi att vilket är ekvivalent med att (z) = 6 (z) 2 g 2 /2 n 2 (2n + 3)(n 2)b n = 3 b k b n k, n 2 (2k + )(2n 2k ) G 2n+2 (Γ) = 3 (2n + 3)(n 2)(2n + ) G 2k+2(Γ)G 2n 2k (Γ). k= Härigenom kan vi uttrycka alla G 2k (Γ) i g 2 = G 4 (Γ) och g 3 = G 6 (Γ). Som exempel har vi att G 8 (Γ) = G 4(Γ)G 6 2 (Γ) = 3G 4 (Γ) 2 /7. k= och att G 0 (Γ) = 5G 4 (Γ)G 6 (Γ)/ En viktig observation i sammanhanget är att om G 4 (Γ) och G 6 (Γ) båda är rationella, så blir alla G 2k (Γ) rationella tal. Vi säger att ett gitter Γ är konjugatinvariant om Γ = Γ. T.ex. gäller att ett rektangulärt gitter, för vilket ω /i, ω 2 båda är reella, är konjugatinvariant. Om gittret är konjugatinvariant gäller att (z) = ( z) och (z) = ( z). Speciellt är (z) reellt om z är reellt eller rent imaginärt. Det följer att g 2 (Γ) och g 3 (Γ) är reella om och endast om Γ är konjugatinvariant. k= 7 Om ekvivalens av tredjegradskurvor Vi har sett ovan att givet ett gitter Γ kan vi hitta icke-singulär tredjegradskurva y 2 = 4x 3 g 2 x g 3 som är ekvivalent med torusen C/Γ. Frågan är om omvändningen gäller: kan vi till en godtycklig icke-singulär tredjegradskurva hitta ett sådant gitter? Svaret på den fråga är ja, och detta ses enklast på följande sätt. Låt C : zy 2 = 4x 3 + axz 2 + bz 3 vara motsvarande projektiva kurva. På den gäller att differentialformen w = dx/y är holomorf och vi kan integrera den från oändligheten till varje punkt på ytan, så länge vi

12 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass (7) inte korsar nollställena e, e 2, e 3 till polynomet 4x 3 + ax + b, vilka är förgreningspunkter på kurvan. Vi kan då definiera funktionen φ(u) genom relationen u = φ(u) så länge vi väljer att undvika nollställena ovan längs kurvan. Om vi definierar ω i = 2 ei dx y dx, i =, 2, 3, y där vi integrerar längs någon (tillåten) rät linje, så gäller alltså att e i = φ(ω i /2). Vidare har vi att e + e 2 + e 3 = 0, vilket betyder att ω 3 = ω + ω 2 (???). Ur det följer att e2 dx ω = ω 3 ω 2 = 2 e 3 y = dx α y, α e 3 e dx ω 2 = ω 3 ω = 2 e 3 y = dx α 2 y, e 2 e där α, α 2 är kurvorna i figuren till höger. Genom en Möbiustransformation i x kan vi överföra e i 0 och e 2 i, så att vi får C på formen och vi sätter Här kan vi notera att ω (z) = 2 z 0 w z = 2 0 C z : y 2 = x(x )(x z), z 0,, ω i (z) = w z, i =, 2, w z = dx α i y. dt dt 2 = 2π, då z 0, t( t)( zt) 0 t( t) medan ω 2 (z) divergerar då z 0. Men vi kan säga mer, ty om w z betyder derivata m.a.p. z får vi att x(x )(x z) d( ) = (x z) 2 2 w z (4z 2)w z 2z(z )w z, varför w(z) = ω i (z) uppfyller Picard-Fuchs ekvation 4 w(z) + (2z )w (z) + z(z )w (z) = 0. Enligt teorin för ordinära differentialekvationer har denna ekvation en bas av lösningar på formen a(z), zb(z) + (ln z)a(z), där a(z) och b(z) är holomorfa funktioner och 0 då z = 0. En potensserieansats ger att α 2 a(z) = k=0 ( ) 2 2 z k, k

13 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 2 (7) som är då z = 0, varför ω (z) = 2π k=0 ( ) 2 2 z k, k medan ω 2 (z) ln z då z 0. Lite räknande visar nu att integralen I(x) i Exempel?? har perioderna K och ik där K = 8 Modulära former 0 dt ( t2 )( k 2 t 2 ), K = /k dt (t2 )( k 2 t 2 ). Vi kan se funktionerna G k (Γ) ovan som funktioner på mängden av gitter Γ i C. Tidigare kallades ett gitter en modul, och man kallade funktioner på mängden av gitter för modulära former. Vi säger att en modulär form F är av grad k om det gäller att F (λγ) = λ k F (Γ). T.ex. har vi att G 2k (Γ) är en modulär form av grad 2k om k >. För en modulär form F av grad k har vi att F (Γ) = F (ω (Z + Zτ)) = ω k F (τ), där τ = ω 2 /ω och F (τ) är värdet av F på det gitter som genereras av och τ. Dessutom gäller att (λz, λγ) = λ 2 (z, Γ), så det är ingen inskräkning att studera elliptiska funktioner på gitter som har basen, τ med Im τ > 0. Om vi byter bas för Γ kommer vi att få ett nytt τ, definierat av Möbiustransformationen τ = a + bτ c + dτ, där a, b, c, d alla är heltal med ad bc =. Sådana transformationer kallas modulära transformationer ( ) och beskrivs ofta av unimodulära matriser, alltså heltalsvärda matriser a b vars determinant är ett. Dessa utgör matrisgruppen SL(2, Z) av speciella, linjära c d 2 2-matriser. Dessutom är det så att vi får samma τ om vi byter tecken på alla talen, så det är de projektiva matriserna P SL(2, Z) som är relevanta matriser för att beskriva de modulära transformationer. Vi har nu att z ( c + dτ, τ ) = (c + dτ) 2 (z, τ), G k (τ ) = (c + dτ) k G k (τ), k 4. Anmärkning För G 2 (τ) gäller att G 2 (τ ) = (c + dτ) 2 G 2 (τ) iπc(c + dτ), vilket visar att G 2 inte är en modulär form. Detta beror ytterst på att G 2 (τ) = 2 ( n + 2 (m + nτ) ), 2 n 0 m 0 n Z och eftersom dubbelsumman inte är absolutkonvergent kan vi inte ändra summationsordning.

14 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 3 (7) Storheten j = (2g 2 ) 3 /(g g 2 3) blir nu sådan att j(λγ) = j(γ). Uttryckt som funktion av τ betyder det att j( a + bτ c + dτ ) = j(τ) för alla modulära transformationer. En analytisk funktion som på detta sätt är invariant under modulära transformationer sägs vara en modulär funktion. Begreppet kan ses som en generalisering av begreppet periodicitet. Det följer nu att Γ = λγ för något λ om och endast om j(γ ) = j(γ). 9 Fourierutveckling av modulära former För en modulär form F (τ) av ordning k gäller att F ( a + bτ c + dτ ) = (c + dτ) k F (τ). Om vi här sätter d = 0, a = b = c = ser vi att F (z + ) = F (z), så F (z) kan utvecklas i en Fourierserie, alltså i en potensserie i q = e 2πiτ. Speciellt gäller detta för G 2k (τ), och för den kan vi idenifiera Fourierserien i följande steg. Vi har att π cot πτ = iπ q + q = iπ( 2 q ) = iπ 2iπ q k. Med hjälp av () får vi nu att k= τ + ( τ + m + τ m ) = iπ 2iπ q m. m= m= m= Deriverar vi den relationen får vi att (2πi)2k = d 2k q d, (τ + m) 2k (2k )! ur vilket vi får att G 2k (τ) = m + 2k m 0 n 0 m= d= (2πi)2k = 2ζ(2k) + 2 (nτ + m) 2k (2k )! = 2ζ(2k) + 2 (2πi)2k (2k )! σ 2k (n)q n, där σ r (n) = d n dr är summan av r:te potenserna av delarna till n. Från detta får vi nu att diskriminanten har en Fourierserie på formen (τ) = (2π) 2 m= n= τ(m)q m d= a= d 2k q da

15 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 4 (7) där τ(m) är heltal och Im τ > 0. Att så är fallet bygger på att g 2 (τ) = 60G 4 (τ) och g 3 (τ) = 40G 6 (τ) och från ovan har vi då att g 2 (τ) = (2π)4 2 ( σ 3 (m)q m ), m? g 3 (τ) = (2π)6 26 ( 540 m= σ 5 (m)q m ). Kallar vi summorna för A respektive B följer ur detta att = g g 2 3 = (2π)2 728 (( + 240A)3 ( 504B) 2 ) = (2π) 2 (q +...), alltså en potensserie i q. För att se att koefficienterna är heltalsvärda noterar vi att d 3 = d 5 mod 2 om d är heltal, så σ 3 (m) = σ 5 (m) mod 2 om m är ett naturligt tal. Det betyder att A = B mod 2, och från det får vi att ( + 240A) 3 ( 504B) 2 = 0 mod 2. Eftersom 728 = 2 3 följer påståendet. Eftersom g 2, g 3 är holomorfa är det också, och (τ) 0. Ur detta får vi nu att j(τ) = q + m 0 j m q m = q q +... för heltal j m. Detta därför att om f, g är heltalsvärda potensserier i q som konvergerar då q <, så gäller att f/g också är en potensserie med heltalskoefficienter som konvergerar då q <. 0 Inversionssatsen Vi vet att ett periodgitter Γ definiera Weierstrass-invarianterna g 2 (Γ) och g 3 (Γ) och att den tillhörande funktionen (z; Γ) parametriserar tredjegradskurvan y 2 = 4x 3 g 2 x g 3. Vi vet också att en kurva av nödvändighet är irreducibel. Frågan är nu om det till en given, irreducibel, kurva y 2 = 4x 3 + ax + b finns ett periodgitter Γ sådant att a = g 2 (Γ) och b = g 3 (Γ). För att utreda det ska vi studera funktionen j(τ) lite närmare. Gruppen av modulära transformationerna, som vi kan se som P SL(2, Z) genereras av transformationerna (i det övre halvplanet) τ τ +, τ = /τ. Ur dessa transformationers geometriska tolkningar kan man anta att ett fundamentalområde för P SL(2, Z) utgörs av det öppna område i övre halvplanet som begränsas av Re τ = /2, Re τ = /2, τ =,

16 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 5 (7) samt halva randen, nämligen de punkter som ligger på cirkeln på den del där realdelen av τ ligger mellan /2 och 0. Om vi känner j där, känner vi j överallt i övre halvplanet. Vad gäller j(z) har den en enkelpol i i och ett nollställe i ρ = e 2iπ/3. Dessutom tar den värdet i punkten i. Vi ska nu visa att det gråa området ovan verkligen är ett fundamentalområde för j(z). För detta, låt z C vara en godtycklig punkt och sätt F (τ) = j (τ) j(τ) c. För den gäller att F (τ + ) = F (τ), F ( /τ) = τ 2 F (τ), och från det får vi, med beteckningar som i figuren till höger, att F (τ)dτ + γ F (τ)dτ = γ 3 F (τ)dτ + γ 4 F (τ)dτ = 0. γ 5 γ 2 Vidare gäller att eftersom F (τ) har en Fourierutveckling på formen F (τ) = 2πi + a m e 2πimτ, m= så följer att γ 2 F (τ)dτ = 2πi. Det följer att F (τ)dτ =, 2πi D γ 3 D i γ 4 γ 5 γ så F (τ) har en enkelpol i D. Med andra ord, i D finns precis ett tal τ sådant att j(τ) = z. Sats 3 (Inversionssatsen) Om de komplexa talen c 2, c 3 är sådana att c c 2 3 0, så finns ett entydigt bestämt gitter Γ sådant att c 2 = g 2 (Γ) och c 3 = g 3 (Γ). Bevis. Enligt vad vi sett finns det ett gitter Γ sådant att j(γ) = c 3 2/(c c 2 3). Betrakta först fallet c 2 = 0, så att j(γ) = 0. Tag ett komplext tal λ 0 sådant att g 3 (Γ) = λ 6 c 3. Då duger λγ. Om c 2 0, tar vi istället λ så att g 2 (Γ) = λ 4 c 2. Då gäller att g 2 (λγ) = c 2 och eftersom j(λγ) = j(γ) får vi även att c 2 3 = g 3 (λγ) 2. Weierstrass zeta- och sigmafunktioner på torusar Weierstrass -funktion definieras på C av serieutvecklingen (z) = z 2 + ((z + ω) 2 ω 2 ). ω Γ\0

17 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 6 (7) Denna har residyn noll i varje pol och har därför en envärd primitiv funktion som efter ett teckebyte blir Weierstrass zeta-funktion ζ(z) = z z 0 ( (u) u 2 )du = z + ((z + ω) ω + zω 2 ). ω Γ\0 Funktionen ζ(z + ω) ζ(z) är konstant för varje fixt ω Γ eftersom dess derivata är identiskt noll. Sätter vi (2) η = ζ(z + ω ) ζ(z), η 2 = ζ(z + ω 2 ) ζ(z), så följer att ζ(z + nω + mω 2 ) = nη + mη 2, så om vi integrerar ζ(z) längs randen γ till en cell med origo i sitt inre får vi (3) (Legendres relation) ζ(z)dz = 2πi = ω 2 η ω η 2. Singulariteterna till ζ(z) är enkla poler med residyn, varför dess integral kommer att ha en logaritmisk förgreningspunkt i var och en av dessa punkter och alltså bli flervärd. Genom att sammansätta med exponentialfunktionen får vi en envärd funktion; resultatet blir Weierstrass sigma-funktion: σ(z) = exp(log z + z 0 (ζ(u) u )du) = z γ ω Γ\0 ( z + ω ω exp( z ω + z2 2ω 2 )). Denna är en udda holomorf funktion på C vars enda nollställen enligt (3) är enkla sådana i Γ:s punkter. Integrerar vi (2) och tar exponential på resultatet får vi σ(z + ω j ) = B j σ(z) exp(zη j ), j =, 2. Sätter vi z = ω j /2 och använder att σ(z) är udda och inte är noll i ω j /2, följer att B j = exp(zω j /2) och alltså (4) σ(z + ω j ) = σ(z) exp(η j (z + ω j /2)), j =, 2. Ur detta följer den allmänna funktionalekvationen σ(z+ω) = ( ) N σ(z) exp(η(z+ω/2)), ω = nω +mω 2, η = nη +mη 2, N = mn+n+m. Som snart ska framgå är sigma-funktionen den viktigaste av Weierstrass funktioner. Visserligen har den en komplicerad funktionalekvation, men detta uppvägs av dess enkla divisorer. Som exempel kan vi ge en explicit formel för funktionerna i Sats??. Låt u,..., u n vara punkter sådana att u k = v k mod Γ och k u k = k v k. Enligt (4) duger då f(z) = k σ(z u k ) σ(z v k ).

18 Elliptiska funktioner enligt Weierstrass 7 (7) Speciellt gäller att, om a / Γ, σ(z + a)σ(z a) (z) (a) = C, σ(z) 2 eftersom σ(z) är en jämn funktion. Multiplicerar vi med z 2 och observerar att z 2 (z) och σ(z)/z 0 då z 0, så får vi att = Cσ(a) 2, d.v.s. (z) (a) = σ(z + a)σ(z a) σ(z) 2 σ(a) 2. Jämför f.ö. med faktoriseringen k funktionerna på P C. z u k z v k av en rationell funktion, vilka är de meromorfa