Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

Transkript

1 Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande homogena ekvation är en Euler-Cauchy-ekvation med den allmänna lösningen y h (x) C 1 x 1 + C x + C 3 x. För att lösa den ickehomogena ekvationen så använde vi metoden med variation av parametrar (kursboken sid 14). Vi skriver om ekvationen som y + x 1 y x y + x 3 y ln x, x >. En partikulärlösning ges av W1 (x) y p (x) y 1 (x) W (x) r(x)dx + y W (x) (x) W (x) r(x)dx + y W3 (x) 3(x) W (x) r(x)dx där r(x) ln x och de olika Wronskideterminanterna tillhörande y 1 (x) x 1, y (x) x, y 3 (x) x är W (x) det x 1 x x x 1 x 6x 1, W 1 (x) det x x 1 x x, x 3 1 W (x) det x 1 x x x 3, W 3 (x) det x 1 x x 1 x 1. x 3 1 x 3 1 Detta ger y p (x) x 1 x 3 x 1 ln xdx + x ln xdx + x ln xdx 6x 1 6x 1 6x 1 x 1 x 3 ln xdx x x ln xdx + x ln xdx 6 3 ( x 1 ln x 6 x4 4 1 ) x ( ln x 16 x 1 ) + x x (ln x 1) 4 3 x3 ln x 8 7x3 3.

2 Tillsammans ger detta den allmänna lösningen y(x) y h (x) + y p (x) C 1 x 1 + C x + C 3 x + x3 ln x 8 Där C 1, C, C 3 är godtyckliga konstanter. 7x3 3. Hitta två linjärt oberoende serielösningar till differentialekvationen 4xy + y + y. Försök att identifiera serierna som kända funktioner. Lösning: Vi försöker hitta lösningar på formen y(x) x r a n x n a n x n+r där a. Derivatorna av y(x) är och y (x) y (x) a n (n + r)x n+r 1 a n (n + r)(n + r 1)x n+r. ätter vi in dessa i ekvationen så får vi 4xy + y + y 4x a n (n + r)(n + r 1)x n+r + a n (n + r)x n+r 1 + a n (n + r)(4n + 4r )x n+r 1 + a r(4r )x r 1 + a r(4r )x r 1 + a n x n+r a n+1 (n r)(4n + 4r + )x n+r + a n x n+r a n x n+r (a n+1 (n r)(4n + 4r + ) + a n )x n+r. Eftersom a så måste r(4r ), dvs. r 1/ eller r. Vi studerar först fallet r 1/. Koefficienterna framför x n+1/ måste alla vara noll, dvs a n+1 (n r)(4n + 4r + ) + a n

3 eller a n a n+1 (n + 3)(n + ) för n, 1,,.... Med detta samband kan vi beräkna de första termerna och vi kan gissa att a 1 a 3, a a a 5 4 3, a 3 a 7 6 a 7!, a 4 a a 9!, a n ( 1)n, n, 1,,... (n + 1)! där vi nu har satt a 1. Detta ger lösningen y 1 (x) sin ( x ). ( 1) n (n + 1)! xn+1/ ( 1) n ( ) n+1 x (n + 1)! Fallet r ger lösningen y (x) ( 1) n (n)! xn ( 1) n (n)! cos ( x ). ( x ) n 3. Vilka av följande funktioner är analytiska? a) f(z) Re(z ) i Im(z ), b) f(z) Im(z ) i Re(z ). Motivera noggrannt.

4 Lösning: Om z x + iy så är Re(z ) x y och Im(z ) xy. I uppgift a) är f(z) (x y ) + i( xy) u(x, y) + iv(x, y). Eftersom u v x x så är Cauchy-Riemanns ekvationer ej uppfyllda, så x y f(z) är ej analytisk. I uppgift b) har vi f(z) (xy) + i( x + y ) u(x, y) + iv(x, y). I detta fall är u v u v y samt x x y y x är båda uppfyllda och f(z) är analytisk. så Cauchy-Riemanns ekvationer 4. Låt f(t) n1 sin(nt). I Beta ser vi att f(t) π t πt + t3 för < t < π. n a) Beräkna f( 11π ). b) ummera med hjälp av Parsevals formel serien n1 1. n 6 Lösning: a) Eftersom f(t) är en Fourierserie med bara sin-termer så är f(t) en π-periodisk udda funktion. Alltså är b) Parsevals formel säger att f( 11π ) f( π + 3 π) f( π ) f( π ) ( π 6 π π ( π ) 4 1 ( π ) ) π π (f(t)) dt a + π ( a n + bn) n1

5 där a n, b n är Fourierkoefficienterna till f(t). I detta fall är b n 1 alla a n 3 n så 1 b n 6 n n1 n1 1 π ( ) π t π 6 πt 4 + t3 dt 1 π t 6 1 π 144 πt π t π3 t π4 t 36 dt 1 ( (π) 7 π π (π)6 + 13π (π) π π3 (π) ) + π4 (π) Värmefördelningen u(x, t), x, t i en halvoändlig isolerad stång som initialt har temperatur och värms upp i sin ändpunkt beskrivs av följande randvärdesproblem: u t u c x, u(x, ), x, u(, t) f(t), t, lim x u(x, t), t, där f(t) beskriver den temperatur som ändpunkten ges vid tiden t. Visa att u(x, t) kan beräknas som en faltning ( convolution ) av f(t) med en funktion k x (t) samt bestäm denna funktion. (Ledning: Laplacetransformera i t.) Lösning: Låt U(x, s) vara Laplacetransformen av u(x, t). Då är su(x, s) u(x, ) c U (x, s) eller x su(x, s) c U (x, s) x eftersom u(x, ). Lösningen på denna differentialekvation i x är U(x, s) C(s)e s c x s + D(s)e c x där integrationskonstanterna C(s), D(s) får bero av s. För att få en begränsad lösning U(x, s) så måste vi välja D(s) identiskt noll, så U(x, s) C(s)e s c x. Låt F (s) vara Laplacetransformen av f(t). Eftersom u(, t) f(t) så får vi C(s) U(, s) F (s)

6 när vi sätter x. Tillsammans ger detta U(x, s) F (s)e s c x. Eftersom Laplacetransformen U(x, s) är en produkt av transformer så är den ursprungliga funktionen u(x, t) en faltning av motsvarande funktioner, se Beta Laplacetransform L1. F (s) är transformen av f(t) och enligt Beta formel L61 så är e s c x transformen av x k x (t) c x πt 3 e c t. Vi har alltså u(x, t) f(t) k x (t) t f(t τ)k x (τ)dτ x c π t f(t τ)τ 3/ e x c τ dτ. 6. Beräkna integralen med hjälp av residykalkyl. π cos θ 17 8 cos θ dθ Lösning: Vi gör variabelbytet z e iθ. Då blir dθ 1 dz och integralen från till π iz överförs till integralen längs kurvan C som är enhetscirkeln med orientering moturs. Vi får π cos θ π 17 8 cos θ dθ 1 + (e iθ + e iθ ) 17 4(e iθ + e iθ ) dθ 1 + (z + z 1 ) 17 4(z + z 1 ) 1 iz dz i 4 C C z + z + z(z 1/4)(z 4) dz Integranden har poler i punkterna z, z 1/4 och z 4. Av dessa ligger z och z 1/4 innanför integrationskurvan C. Enligt formler på sid i kursboken är residyn vid z lika med och residyn vid z 1/4 lika med Residysatsen ger nu att π cos θ 17 8 cos θ dθ i 4 C z + z + z(z 1/4)(z 4) dz ) i 4 πi ( π 15.

7 7. Låt Γ vara skärningskurvan mellan sfären x + y + z 1 och planet x + z 1 med orientering sådan att projektionen av Γ på xy-planet är positivt orienterad. Låt vektorfältet F vara definierat av F(x, y, z) (y z e xz + z, yze xz + xz, y (1 + xz)e xz + xy). a) Visa att rot F (x, z y, z). (I kursboken betecknas rot med curl.) b) Beräkna Γ F dr. Lösning: a) Enligt formler på sid. 457 i kursboken beräknas rot F F (x, z y, z). b) Kurvan Γ är en cirkel i planet x + z 1. Låt vara den cirkelskiva i x + z 1 som begränsas av Γ. Eftersom projektionen av Γ på xy-planet är positivt orienterad så ska enhetsnormalen n till ha positiv z-komponent, dvs n 1 (1,, 1). Enligt tokes sats är F dr rot F nda Γ Γ 1 1 (x, z y, z) (x + y)da da 1 {Arean av } 1 (1,, 1)dA där den näst sista likheten följer av att ligger i planet x + z 1. För att beräkna arean av cirkelskivan behöver vi veta dess radie. Vi ser att centrum för ligger i punkten ( 1,, 1 ), dessutom ser vi att punkten (1,, ) ligger på randen Γ. Radien är lika med avståndet från centrum till en punkt på randen och blir i detta fall r ( 1,, 1 ) (1,, ) 1. Detta ger F dr 1 {Arean av } 1 π r π.