Vad är Riemannytor och vad är de bra till?
|
|
- Emilia Berglund
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH I den här artikeln ska vi titta på hur man hanterar flervärda funktioner, såsom roten ur, inom den komplexa analysen. Idén är Riemanns och innebär att vi istället för att tala om en funktion z, så definirar vi en yta (komplex kurva) så definierad att rotfunktionen blir en naturlig och väldefinierad funktion på denna yta. Efter att ha diskuterat de grundläggande fallen för detta följer vi upp med att integrera på denna yta. Problemet är att integraler, definierade genom analytisk fortsättning, ibland blir flervärda.
2 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 1 (10) 1 Introduktion Ekvationen y 2 = x, där x och y är reella tal, har två lösningar om x > 0, nämligen y = ± x (och en om x = 0). Mer precist, vi definierar x som den positiva lösningen till ekvationen, och kan då beskriva alla lösningar som mängden { x, x}. Det betyder att den funktion som anger lösningarna till ekvationen för ett visst x inte är en funktion (som ska ett värde för varje x), utan en flervärd funktion. Men flervärda funktioner skapar ett identifieringsproblem (vilket värde ska vi välja?), varför vi vill hitta ett alternativt betraktelsesätt. För detta utgår vi ifrån kurvan y 2 = x i planet, och betraktar istället rotfunktionen som en funktion på denna kurva, nämligen som projektionen på y-axeln, alltså funktionen S (x, y) y. Det som vi normalt kallar funktioner av x och x, betraktar vi som en funktion definierad på kurvan y 2 = x. y a a y 2 = x I den reellvärda analysen är det inte mycket vits - med detta, definitionen av rotfunktionen som vi a gjorde ovan är tillräcklig. Men i det komplexa är detta problem mer komplext, och där visar sig detta vara ett kraftfullt sätt att betrakta flervärda funktioner på: att inte betrakta dem som funktioner på C utan på en yta i C 2 som har två reella dimensioner (liksom C självt). x 2 Riemannytor till rotfunktioner Betrakta den komplexa ekvationen w 2 = z där z C. Denna har två lösningar, av vilka den ena är minus den andra. Om vi vill göra som vi gör i det reella fallet kan vi därför först försöka definiera z som den lösning till ekvationen som har positiv imaginärdel. Om vi bestämmer denna rot när vi låter z genomlöpa en cirkel med radien r och medelpunkt i origo moturs, så ser vi att om vi börjar i den reella punkten r med roten r, och går runt ett varv för att åter närmar oss punkten r, men nu nerifrån, så kommer roten att närma sig värdet r. Mer explicit, om vi skriver z = re iθ med 0 θ < 2π ges vårt val av rot att w = re iθ/2. När vi börjar är den r, eftersom θ = 0, men när vi gått runt ett varv är den re iπ = r, eftersom θ = 2π. z = re iθ w = re iθ/2 θ w = r r w = r Vill vi därför att z, med denna definition, ska vara en kontinuerlig funktion, kan vi inte definiera den på hela planet, utan måste skära bort den positiva reella axeln. Vi får en funktion : C\R + C.
3 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 2 (10) Men vi kan också bestämma att z ska betyda den lösning som har positiv realdel. Det betyder att vi tar ekvationen z = re iθ med π θ < π så att roten får argument i intervallet [ π/2, π/2). Men då får vi problem när vi går ett varv moturs med start från ett negativt reellt tal: när vi startar är r = i r, men när vi slutar är det i r. För att kunna definiera denna rotfunktion som en kontinuerlig funktion måste vi därför skära bort den negativa reella axeln, men då får vi å andra sidan en kontinuerlig funktion : C\R C. Om vi inte vill skära bort något, så kan vi tänka oss att roten z = w genomlöper en kurva samtidigt som w genomlöper en cirkel. Denna kurva kommer då också att vara periodisk, men när vi går ett varv runt bascirkeln går vi bara halva den övre kurvan; för att komma tillbaka till ursprungspunkten måste vi går runt bascirkeln två varv. Detta illustreras i figuren till höger, där vi ser att avbildningen w = z 2 är sådan att varje punkt på cirkeln har två urbilder på den blå kurvan. Vi säger att den blå kurvan är en 2-överlagring av den röda kurvan, och den blå kurvan är så nära vi kan beskriva en Riemannyta till rotfunktionen, i brist på tillräckligt många dimensioner. Med denna bild i minnet återvänder vi nu till problemet att definierar rotfunktionen för godtyckliga komplexa tal, så ser vi att vi kan definiera oändligt många rot-funktioner genom att börja med att skära bort olika strålar ugående från origo. Även om detta i konkreta fall kan vara praktiskt, är det otillfredsställande ur en teoretisk synpunkt: vi vill inte ha denna typ av tvetydighet i matematiken. Vi kan därför göra som vi gjorde i introduktionen och betrakta kurvan S : w 2 = z i C 2, en kurva som, sett med reella ögon, är en 2-dimensionell yta. Sedan betraktar vi rotfunktionen som projektionen S (z, w) w C. Denna kurva S är ett första exempel på en Riemann-yta. Om vi ska försöka beskriva hur denna yta ser ut, ska vi utgå ifrån två kopior av C, båda uppskurna längs en viss stråle. Var och en av dem svarar mot en av de två rötterna. Sedan limmar vi ihop dem längs strålarna så att, om vi går runt origo ett varv med början på det undre bladet så kommer vi, när vi passerar strålen, upp på det övre bladet. Fortsätter vi vår vandring runt origo kommer vi med tiden åter till strålen, och då ska vi komma tillbaka till det undre bladet. Att göra denna yta rättvisa i rummet är omöjligt. Den är en 2D yta i C 2, och i det fyrdimensionella rummet är det inget problem med denna yta. I rummet kan vi inte realisera den utan att den skär över sig själv, som figuren ovan illustrerar. Det som gäller här är att varje komplext tal 0 svarar mot precis två punkter på ytan. Origo är ett undantag; i en aldrig så lite omgivning av origo ser ytan
4 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 3 (10) komplicerad ut. Man kallar origo en förgreningspunkt. Den grundläggande idén med Riemannytor är att ersätta definitionsområdet för en flervärd funktion, t.ex. en som definieras som lösningarna till en polynomekvation med motsvarande mängd P (z, w) = w n + a n 1 (z)w n a 1 (z)w + a 0 (z) = 0 S = {(z, w) C 2 ; P (z, w) = 0}. Denna kommer typiskt att bestå av n stycken sammanhängande kopior av C, svarande mot de olika lösningarna, vilka är sammankopplade och ytan vrider sig runt ett antal förgreningspunkter så som rotytan vred sig runt origo. Vi säger att ytan är n-överlagring av det komplexa talplanet, när varje punkt, utom förgreningspunkterna, svarar mot precis n punkter i Riemannytan. När vi ska försöka visualisera sådana ytor är en viss konstruktion behändig: det utvidgade komplexa talplanet. Med det menas det komplexa talplanet plus en punkt i oändligheten. De funktioner vi är intresserade av på det utvidgade komplexa talplanet är de som har ett väldefinierat gränsvärde, möjligen oegentligt, när z. Det utvidgade komplexa talplanet kan identifieras med en sfär genom att vi använder den stereografiska projektionen från nordpolen på tangentplanet till sydpolen. Nordpolen kommer då att svara mot just punkten i oändligheten. Vi säger att vi gör en enpunktskompaktifiering av C. Fördelen med det är att vi då kan realisera även andra Riemannytor som kompakta ytor. Exempel 1 Låt P (z, w) = w 2 (z 2 1). Ekvationen P (z, w) = 0 har två lösningar w till givet z, vilka dock sammanfaller då z = ±1. Det betyder att motsvarande Riemannyta har förgreningspunkter i z = ±1, men för övrigt är en 2-överlagring. Runt en förgreningspunkt gäller att ytan ser ut som rotytan ovan. För att inse detta, betrakta punkten z = 1 och inför ny variabel ζ = z 1. Då gäller att ekvationen kan skrivas w 2 = ζ(ζ + 2) 2ζ när ζ 0. Det betyder precis att i en liten omgivning av z = 1 ser ytan ut som rotytan. Detsamma gäller naturligtvis kring z = 1. För att nu förstå hela Riemannytan tar vi två kopior av C och skär upp intervallet [ 1, 1] i båda. Vi ska nu limma ihop de två bladen längs intervallet på sådant sätt att när man lämnar det ena bladet, så kommer man till det andra på samma sätt som ovan. Vi kan illustrera detta genom att tänka oss att vi vänder det undre bladet upp och ner och sprättar upp intervallet så att det får två kanter. Kanterna på de två bladen limmas sedan ihop parvis, så att de två bladen sitter ihop längs något som kan betraktas som en cirkel.
5 Vad a r Riemannytor och vad a r de bra till? 4 (10) I figuren till ho ger a r detta illustrerat sa att det uppskurna intervallen a r separerade till tva linjer var, vilka ska limmas ihop mellan planen, sa att bla kurva ska limmas ihop med ro d kurva. Ba ttre fo rsta s detta om vi la gger till punkten i oa ndligheten pa vart och ett av bladen innan vi bo rjar. Vi utga r alltsa fra n tva sfa rer. Sedan go r vi ett snitt i var och en av dem, och vidgar dessa till cirklar. Vi har da plo tsligt fa tt tva halvsfa rer. Sedan ska de limmas ihop till en ny sfa r. Sa Riemannytan till ekvationen w2 = z 2 1 kan uppfattas som en sfa r. Notera att vi nu har tva oa ndlighetspunktrpunkter pa denna sfa r: en i nordpolen och en i sydpolen. Anma rkning Generellt sa tt har vi att P (z, w) = w2 (az 2 + bz + c) definierar en Riemannyta som vi kan uppfatta som en sfa r. Vi har ju tva nollsta llen till polynomet az 2 + bz+c, och vi go r som i exemplet ett snitt mellan dessa punkter och limmar ihop tva halvor. Fallet a = 0 hanterar vi genom att vi la ter en av punkterna vara oa ndlighetspunkten, vilket var vad vi gjorde med rotytan ovan. Exempel 2 La t P (z, w) = w2 (z 2 1)(z 2 k 2 ), k C, k 6= ±1. A ven nu har vi en 2-o verlagring av C, denna ga ng med fo rgreningspunkter i z = ±1, ±k. Var och en av dessa ser ut som origo gjorde pa rotytan. Vi tar tva sfa rer, svarande mot det utvidgade komplexa talplanet fo r de tva lo sningarna. I dessa go r vi tva snitt: ett mellan 1 och k och ett mellan 1 och k. Liksom i fo rega ende exempel vidgar vi dem till ett cirkula rt ha l. En sfa r med tva ha l i a r topologiskt detsamma som en cylinder, sa vi har tva cylindrar som vi ska limma ihop som vi limmade ihop sfa rerna i fo rega ende exempel. Resultatet blir en torus som bildsekvensen nedan visar. Anma rkning Vi inser att konstruktionen kan generaliseras till ett godtyckligt polynom P (z, w) = w2 p(z) da r p(z) a r av fja rde graden med fyra olika nollsta llen. Konstruktionen kan ocksa anva ndas om p(z) a r ett tredjegradspolynom med olika nollsta llen vi anva nder da punkten i oa ndligheten som en fja rde fo rgreningspunkt.
6 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 5 (10) 3 Definition av Riemann-ytor Historiskt sett uppkom Riemann-ytor som grafer för flervärda analytiska funktioner, definierade i någon delmängd av C. Här ska vi göra två olika definitioner, inspirerad av detta. Vi behöver då först Definition En komplex funktion F (z, w) som är definierad i någon öppen delmängd av C 2, sägs vara holomorf om det, nära varje punkt (z 0, w 0 ) i dess definitionsområde, gäller att F kan utvecklas i en konvergent potensserie F (z, w) = F mn (z z 0 ) m (w w 0 ) n. m,n 0 En sådan funktion kan vi derivera både m.a.p. z och m.a.p. w, såsom vi alltid deriverar polynom (konvergensradien ändras inte). Definition Med en konkret Riemannyta menar vi en delmängd S C 2 sådan att varje punkt s S har en omgivning U i vilken det finns en holomorf funktion F sådan att n wf (s) 0 för något n, så att det gäller att S U = {(z, w) U; F (z, w) = 0.} En punkt s S sägs vara icke-singulär om df (s) 0. Anmärkning Implicita funktionssatsen säger att om w F (s) 0, så kan vi lokalt kring s lösa ut w = w(z), medan om z F (s) 0, kan vi på samma sätt lösa ut z = z(w). Om vi kan göra båda sakerna, är dessa funktioner varandras inverser. En konkret Riemannyta är per definition inbäddad i C 2. Vi vill emellertid ha en abstrakt definition som frigör oss från inbäddningsinformation. För att närma oss en abstrakt definition börjar vi med några exempel. Exempel 3 Vi har ovan beskrivit det utvidgade komplexa talplanet som en sfär, Riemannsfären S 2. För att förstå denna som en Riemannyta, betraktar vi två kopior av C med koordinater z och w. Avbildningen w = z 1 identifierar C\{0} i z-planet med C\{0} i w-planet, bijektivt och analytiskt (vi säger att avbildningen är biholomorf). Definiera nu ett nytt topologiskt rum genom att limma ihop de två kopiorna över dessa ytor. Vi får en topologisk sfär, men också en mening till vad det ska betyda att en funktion är holomorf på den: vi säger att f är holomorf på S 2 om dess restriktion till S 2 \{0} och dess restriktion till S 2 \{ } båda är holomorfa. Ett ekvivalent sätt att beskriva en holomorf funktion på S 2 är som en som är holomorf dels som funktion av z, dels som funktion av w = 1/z i en omgivning av w = 0. I det senare fallet sätter vi värdet i origo till f( ). Exempel 4 En torus är en Riemannyta och kan konstrueras på följande sätt.
7 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 6 (10) Låt A = {z; 1 < z < R + ɛ} och identifiera randbiten {z; 1 < z < 1 + ɛ/r} med randbiten {z; R < z < R + ɛ} genom att vi multiplicerar med ett fixt q C med längd R, en identifikation som naturligtvis är biholomorf. Låt T vara den yta vi får genom denna identifikation. Denna är uppenbarligen en torus och vi har en öppen, surjektiv avbildning π : A T. Om U T är öppen, säger vi att funktionen f : U C är holomorf om och endast som f π : π 1 (U) C är holomorf. Varje punkt t T har en tillräckligt liten omgivning sådan att π 1 (U) är antingen en eller två disjunkta öppna delmängder i A; i det senare fallet identifieras dessa av avbildningen z qz. För att kontrollera analyticiteten nära t räcker det därför att kontrollera den nära en av urbilderna. Med andra ord, varje t T har en omgivning U t som vi kan identifiera via π med en cirkelskiva i C som är sådan att holomorfa funktioner svarar mot holomorfa funktioner. Vi gör nu följande definition. Definition En holomorf atlas på en topologisk yta är en samling öppna mängder U α som bildar en övertäckning av ytan, tillsammans med homeomorfismer h α mellan U α och enhetscirkelskivan D i C, som är sådana att för alla α, β gäller att övergångsfunktionerna h α h 1 β : h β (U α U β ) h α (U α U β ) är holomorfa avbildningar mellan öppna delmängder av D. Anmärkning Vi kan se varje omgivning h α (U α ) som ett kartblad, så att atlasen utgörs av en samling kartblad tillsammans med specifikationer av hur man går från ett kartblad till ett annat. Från detta får vi nu Definition En topologisk yta försedd med en holomorf atlas kallas en abstrakt Riemannyta. Om U är en öppen delmängd på ytan, så säger vi att f : U C är holomorf om alla funktioner f h 1 α : h α (U U α ) C är holomorfa funktioner. Exempel 5 En holomorf atlas på S 2 ges av kartorna U 0 = {z; z < 1} och U = {z; z > 1/2}, där h 0 är identitetsavbildningen och h 1 (z) = 1/2z. Övergångsfunktionen h 1 h 1 0 : U 0 U U 0 U avbildar z på 1/2z. Som diskuteras i artikeln Om trianguleringar och Eulerkarakteristiken så kan varje orienterbar, 2-dimensionell yta beskrivas som den sammanhängande summan av g tycken torusar. Dessa i sin tur kan också konstrueras som följer då g 1. Vi startar med en 4g-polygon P i C med hörn i a 1, b 1, a 1, b 1,..., a g, b g, a g, b g, så ordnade att om vi identifierar a i med a i och b i med b i, så får vi en sfär S med g handtag. Genom denna identifikation övergår alla hörn i en punkt o S och kanterna a i och b i övergår i slutna kurvor α i respektive β i som alla utgår ifrån o. Kurvan α 1 β 1 α1 1 β α g β g αg 1 svarar mot randen till P och är därför homotop med en punkt. Vi ska nu se att en sådan yta kan förses med en komplex struktur, vilket alltså gör den till en Riemannyta. βg 1
8 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 7 (10) Vi ska nu definiera öppna mängder β 1 2 α 1 U 0, U 1,..., U g, U g+1,..., U 2g, U 2g+1 i S utifrån urbilder Ũi i P. Här ska o ligga enbart i U 0, U i skär endast α i, U g+i endast β i och U 2g+1 skär ingen av dessa vägar. Det följer att i P är (1) Ũ2g+1 sammanhängande, (2) Ũi har två sammanhängande komponenter och (3) Ũ0 splittras upp i 4g sammanhängande komponenter. Härnäst ska vi konstruera kartor h i : V i U i. α 2 För i = 2g + 1 kan vi identifera mängderna och låta h 2g+1 vara restriktionen av den kanoniska avbildningen P S. För i = 1,..., 2g låter vi V i vara cirkelskivor. Vi får h i om vi avbildar två halvor på de två sammanhängande komponenterna av Ũi. För i = 0 delar vi in en cirkelskiva av lämplig radie i 4g lika stora cirkelsektorer. Dessa har basvinkel φ = π/2g och komponenterna av Ũ0 har basvinkel (2g 1)φ, så vi kan sätta ihop h 0 från translationer och (2g 1)-potenser. En abstrakt Riemannyta är alltså en storhet som inte ligger i något speciellt rum, medan en konkret Riemannyta, per definition, är en 2-dimensionell (reella dimensioner) delmängd av ett 4-dimensionellt rum. Idén är nu att man vill se konkreta Riemannytor som realiseringar av abstrakta, och att det är de abstrakta Riemannytorna som de fundamentala objekten. En skillnad är dock att en konkret Riemannyta kan innehålla singulära punkter, alltså sådana som inte har en omgivning som ser ut som en cirkelskiva. Origo på rotytan är ett tydligt exempel. En konkret Riemannyta utan några singulära punkter blir emellertid också en abstrakt Riemannyta, vilket implicita funktionssatsen visar, såsom antytts ovan. Låt S vara en konkret Riemannyta med åtminstone en singulär punkt. Man är då intresserad av att av-singularisera dessa punkter, och den adekvata frågan är om det finns någon abstrakt Riemannyta R och avbildning R S som är biholomorf i de reguljära punkterna på S. Vi säger då att R löser upp singulariteterna. Detta går alltid, men det kan inte göras i C 2, det rum som den konkreta Riemannytan lever i. Men det gör att de intressanta objekten att studera är just de abstrakta Riemannytorna, och vilka holomorfa funktioner (och differentialformer) som vi kan definiera på dem. α 1 2 β 2 β 1 1 β 1 α Integration på Riemannytor Låt oss börja med att integrera rationella funktioner på C. Genom att partialbråksuppdela vet vi att dessa genereras av monom t k, k 0 samt funktioner på formen (t α) k, k 1 och α C. Dessa är enkla att integrera och ger rationella funktioner förutom fallet (t α) 1 som ger en logaritmfunktion. Efter denna inledande observation vill vi nu hitta primitiva funktioner till differentialformen R(z, p(z))dx, där p(z) är ett polynom, inte en konstant och utan dubbla nollställen, och R(x, y) är en rationell funktion i två variabler. Sådana kan alltid skrivas A(z) + B(z)/ p(z), där A, B är rationella funktioner och vi ska studera fallet A = 0, B = 1 närmare för att förstå integrationsproblematiken.
9 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 8 (10) Om p är ett förstagradspolynom betraktar vi rationella funktioner i w = p(z) som lätt löses genom att vi inför w som ny integrationsvariabel. Det första intressanta fallet är därför när p(z) är ett andrgradspolynom, och genom att göra ett variabelbyte z az + b räcker det att betrakta fallet p(z) = 1 z 2. Vi vill då studera funktionen φ(z) = z 0 dt 1 t 2. Låt oss först betrakta z i det övre halvplanet Im z 0 och vi definierar rotfunktionen så att 1 = 1. Om vi endast betraktar integrationsvägar i det övre halvplanet kommer φ(z) att vara en väldefinierad funktion sådant att [ 1, 1] avbildas på [ π/2, π/2]. Om vi, alltjämnt i det övre halvplanet, går ifrån 1 ɛ till 1 + ɛ, där ɛ > 0, så kommer argumentet för 1 t 2 att öka med π och integranden alltså att öka med π/2. Det följer att [1, ) avbildas på {π/2 + iw; w > 0}. På samma sätt ser vi att (, 1] avbildas på { π/2+iw; w > 0}, och alltså avbildar φ hela det övre halvplanet konformt och bijektivt på {z; π/2 < Re z < π/2, Im z > 0}. z w = φ(z) w 1 1 π 2 π 2 Om vi nu vill utöka definitionen av φ till hela C dyker det upp två problem: integranden är en flervärd funktion och integralen beror av vilken väg vi integrerar mellan 0 och z. Om vi håller oss borta från punkterna ±1 så har vi två två rötter 1 z 2, men längs en given kurva kan vi med analytisk fortsättning definiera en rot. Vi kan därför definiera integralen dz/ 1 z γ 2 för varje kurva i C \ {±1} från 0 till z C. Problemet är att olika vägar kan ge olika svar beroende på hur kurvan tar sig runt punkterna ±1. Detta i sin tur beror i så fall på att det finns slutna kurvor som ger ett integralvärde som är 0. Mer precist har vi att dt = 2π. 1 t 2 z =R Det betyder att beroende av vilken väg vi väljer kan vi få svar som skiljer sig åt på heltalsmultipler av 2π. För att få den envärd, kan vi därför välja att betrakta värdena mod 2π, alltså i C/2πZ, vilket topologiskt är en cylinder. Vi vet från tidigare att en kurva som skär intervallet ( 1, 1) kommer att leda till att vi byter rotfunktion. Med andra ord, vi går från ett blad till ett annat på motsvarande Riemannyta, kurvan C : w 2 = 1 z 2. En sluten kurva på Riemannytan måste då gå tillbaka över intervallet för att kunna återvända till startpunkten. Genom att lägga till en bit av intervallet ( 1, 1) kan integralen längs en sådan kurva skrivas som summan av integralen av två slutna kurvor, vilka båda ligger i samma blad. Den totala integralen är därför noll. Om vi däremot går ett varv runt intervallet ( 1, 1) i något av bladen, blir integralen lika med ±2π, där tecknet beror av val av blad och av genomloppsriktning. 1 1
10 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 9 (10) Vi ser nu att φ : C C/2πZ blir en biholomorf avbildning, och dess invers definierar de trigonometriska funktionerna φ 1 (ζ) = (sin ζ, cos ζ). Eftersom dessa är punkter på kurvan gäller den trigonometriska ettan, och (sin ζ) 2 = 1 sin 2 ζ = cos 2 ζ. Det betyder att ζ (P (ζ), P (ζ)), där P (ζ) = sin ζ, är en parametrisering av C. Vi ser att sin ζ har en essentiell singularitet i i, vilket betyder att vi inte utan vidare kan definiera den som en funktion på kompaktifierad cylinder (som vi vet är en Riemannsfär). Vi går så till fallet då polynomet p(z) är av grad 3 eller 4. Genom en Möbiustransformation kan ett fjärdegradspolynom alltid transformeras till ett tredjegradspolynom (genom att skjuta ett av nollställena till )och på samma sätt kan vi alltid placera två av ett tredjegradspolynom nollställena i 0 och 1. Det betyder att vi behöver förstå funktionen ψ(z) = z dt t(t 1)(t λ) där λ är något komplext tal. Vi antar, för enkelhets skull, att vi har 0 < λ < 1. Bilden av den reella axeln ges av linjestyckena där vi har att ψ(± ) = 0. [ψ( ), ψ(0)], [ψ(0), ψ(λ)], [ψ(λ), ψ(1)], [ψ(1), ψ( )], z ψ(0) w = ψ(z) 0 0 λ 1 w ψ(λ) ψ(1) Dessa linjestycken skär under rät vinkel, vilket betyder att det övre halvplanet avbildas på det inre av en rektangel. För allmänna λ får vi på motsvarande sätt ett parallellogram. För att få entydighet i rotfunktionen betraktar vi, som tidigare, ψ som en funktion på en Riemannyta som uppkommit genom att vi klistrar två kopior av C längs snitten [0, λ] och [1, ]. Liksom tidigare ger detta en topologisk torus som kan realiseras som den komplexa kurvan C i PC 2 som definieras av den homogena ekvationen y 2 z = x(x z)(x λz). Nu är ψ:s värden väldefinierade endast modulo multipler av värdet på integralen längs två slutna banor. Den första är integralen runt endera av snitten, som har värdet ω 1 = 2(ψ(0) ψ( )) = 2(ψ(1) ψ(λ)) = 2ψ(0). Det andra är integralen tas mellan de två snitten, vilken har värdet ω 2 = 2(ψ(λ) ψ(0)) = 2ψ(1). λ 0 1
11 Vad är Riemannytor och vad är de bra till? 10 (10) Det betyder alltså att funktionen ψ(z) endast är definierad modulo Γ = Zω 1 + Zω 2, och dess inversa funktion blir därför en avbildning C/Γ C. Som ett alternativt sätt att se detta, betrakta rektangeln nedan. Den är en beskrivning av torusen, som utgörs av en enkelt sammanhängade yta (rektangeln) tillsammans med information om sidor som ska identifieras. Vi inser då att längs varje sluten kurva som ligger i kvadraten kommer dz/w att ha integral noll. För en kurva som går mellan två motstående sidor gäller att den blir en sluten kurva vars värde är samma för alla sådana kurvor och ges av vad den är för den räta linjen mellan dem.
Analys på en torus. MatematikCentrum LTH
Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och
Läs merOm Riemannytor och algebraiska kurvor
Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Riemannytor Om Riemannytor och algebraiska kurvor Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om Riemannytor och algebraiska kurvor 1 (13) 1 Introduktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merOm att rita funktioner av två variabler
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merBo E. Sernelius Residuer och Poler 27
Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merNågot om algebraiska kurvor
85 Något om algebraiska kurvor Björn Gustafsson K T H Inledning. De enklaste matematiska funktionerna är de som kan definieras direkt med hjälp av de fyra räknesätten, dvs polynomen, (bara tre räknesätt
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merOm immersioner och Whitneys inbäddningssats
Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om immersioner och Whitneys inbäddningssats Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om immersioner och Whitneys inbäddningssats
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merOm mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum
Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om mångfalder, abstrakta och som
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSpiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs mer18 Kurvintegraler Greens formel och potential
Nr 8, 6 april -5, Amelia 8 Kurvintegraler Greens formel och potential 8. Greens formel Vi studerar i detta avsnitt kurvor i planet, i R. En kurvintegral är som vi sett en integral på en kurva i planet.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merElliptiska funktioner enligt Weierstrass
Elliptiska funktioner enligt Weierstrass Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Elliptiska funktioner är detsamma som dubbelperiodiska meromorfa funktioner av en komplex
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje
Läs merOm Gauss skosnöreformel och planimetrar
Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merFör ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0
Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merDimensioner och fraktal geometri. Johan Wild
Dimensioner och fraktal geometri Johan Wild 9 februari 2010 c Johan Wild 2009 johan.wild@europaskolan.se Får gärna användas i undervisning, kontakta i så fall författaren. 9 februari 2010 1 Inledning och
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer