Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.

Transkript

1 Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida. Lärare Kursansvarig. Föreläsningar och lektioner. Ulf Backlund, e-post ulf.backlund@ math.umu.se, tel Föreläsningar. Undervisning som kommer att ges på momentet Komplex analys, 3p Lektioner. Individuell handledning ges. Dessutom ges tre problemlösningslektioner, märkta med 1 på schemat. Examinationsregler Examinationen utgörs av en skriftlig tentamen där totalt 15 poäng kan erhållas. För att bli godkänd på kursen krävs minst 7,5 poäng på den skriftliga tentamen. Tre skriftliga tentamenstillfällen ges: 28/ , 18/ och 4/ De godkända erhåller betyget 3, 4 eller 5. För att erhålla betyget 3 krävs minst 50 procent av totalpoängen på den skriftliga tentamen. För att erhålla betyget 4 krävs minst 65 procent av totalpoängen och för att erhålla betyget 5 krävs minst 80 procent av totalpoängen. Hjälpmedel vid den skriftliga tentamen. Inga.

2 Kurslitteratur Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science av E.B. Saff och A.D. Snider. Prentice Hall 2003, 3:e upplagan. Kursens omfattning Komplexa tal Analytiska funktioner Harmoniska funktioner Komplex integration Serierepresentation för analytiska funktioner Residueteori Konform avbildning

3 Studenten skall efter genomgången kurs kunna följande: Kapitel 1. Komplexa tal. 1. Definiera begreppen omgivning, inre punkt, öppen mängd, sammanhängande mängd, område, randpunkt, rand, sluten mängd, begränsad mängd, kompakt mängd och region (s32-34). 2. Veta att om u(x, y) är en reellvärd funktion på ett område Ω C och om u x = u y = 0 i Ω, så är u C (en konstant) i Ω (sats 1 s40). Kapitel 2. Analytiska funktioner. 3. Definiera begreppet gränsvärde av en följd av komplexa tal (s58). 4. Definiera begreppen gränsvärde och kontinuitet för en komplexvärd funktion (s59-61). 5. Definiera begreppet derivata av en komplexvärd funktion (s67). 6. Definiera vad som menas med en analytisk (holomorf) funktion (s70). 7. Ge exempel på funktioner som ej är analytiska och visa påståendet för någon av dessa funktioner (s67-68). 8. Definiera vad som menas med en hel funktion (s70). 9. Visa att om f = u+iv är analytisk i en öppen mängd G, så uppfyller u och v Cauchy-Riemanns ekvationer i G (sats 4, s73) samt veta, omvänt, att om f = u + iv är definierad i en öppen mängd G och om u och v har kontinuerliga partiella derivator av första ordningen i G och uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer i G, så är f analytisk i G (sats 5, s74). 10. Kunna två sätt att beräkna f (z 0 ) om f är deriverbar i z 0 (ekvation (1) och (2) s73). 11. Veta att om f är analytisk i ett område D och om f (z) = 0 i D, så är f konstant i D (sats 6 s76). 12. Definiera Laplaceoperatorn och vad som menas med en harmonisk funktion (s79). 13. Visa att om f är analytisk i ett område D, så är Ref och Imf harmoniska i D (sats 7 s79-80). 14. Kunna beräkna det harmoniska konjugatet till en harmonisk funktion (s80-81). Kapitel 3. Elementära funktioner. 15. Veta att varje polynom med komplexa koefficienter kan faktoriseras i förstagradspolynom med komplexa koefficienter (s99-101). 16. Definiera den komplexa exponentialfunktionen och de komplexa trigonometriska funktionerna (s ). 17. Begreppen enkelvärd respektive flervärd funktion (s118). 18. Definiera den komplexa logaritmfunktionen och veta vad som menas med en gren (speciellt principalgrenen) av funktionen (s ). 19. Veta att principalvärdet av logaritmen, Log z, är analytisk i D = C \ {z : Im z = 0, Re z 0} (sats 4 s ). 20. Veta varför Arg z är harmonisk i D och varför Log z är harmonisk i C \ {0} (s121). 21. Kunna hitta harmoniska funktioner som uppfyller randvillkor i områden (s ). 22. Definiera z α när α C (s132). 23. Veta att principalvärdet av z α är analytisk i D (s ).

4 Kapitel 4. Komplex integration. 24. Definiera begreppen reguljär kurva, sluten reguljär kurva, riktad reguljär kurva, kontur och sluten kontur (s ). 25. Känna till Jordans kurvsats (sats 1 s158). 26. Definiera integralen av en komplexvärd funktion f längs en riktad reguljär kurva γ i C (s ) och kunna beräkna den med hjälp av en parametrisering av γ (sats 4, s165). 27. Hur kan man beräkna integralen av en komplexvärd funktion f längs det reella intervallet [a, b] (sats 3 s164)? 28. Definiera integralen av en komplexvärd funktion f längs en kontur Γ i C (s 167). 29. Beräkna C r (z z 0 ) n dz, där n är ett heltal och C r är cirkeln z z 0 = r som är positivt orienterad och genomlöps ett varv (s166). 30. Använda integraluppskattningssatsen (sats 5, s170). 31. Formulera satsen om vägoberoende (sats 6, kor ). 32. Formulera satsen som karakteriserar de områden i C i vilka varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion i D (sats 7, ). 33. Definiera vad som menas med att två slutna konturer är homotopa i ett område D och ge exempel på par av homotopa slutna konturer respektive par av icke-homotopa slutna konturer (s ). 34. Definiera vad som menas med ett enkelt sammanhängande område (s184). 35. Formulera invarianssatsen för integraler av analytiska funktioner längs två homotopa slutna konturer Γ 0 och Γ 1 (sats 8 s ). 36. Formulera och bevisa Cauchys integralsats (sats 9 s187). 37. Formulera och bevisa Cauchys integralformel (sats 14 s ). 38. Formulera Cauchys allmänna integralformel (sats 19, s211) samt veta att om f = u + iv är en analytisk funktion i ett område D, så existerar f, f, f (3),... och är analytiska i D och alla partiella derivator av u och v existerar och är kontinuerliga i D (sats 16, sats 17, s ). 39. Formulera Liouvilles sats (sats 21 s215). 40. Formulera Algebrans fundamentalsats (sats 22, s216).

5 Kapitel 5. Serierepresentation för analytiska funktioner. 41. Veta när en geometrisk serie är konvergent. Vad är dess summa om den är konvergent? (Lemma 1 s236). 42. Kunna jämförelsekriteriet och kvotkriteriet (Sats 1, Sats 2 s ). 43. Definiera Taylorserien som hör till en analytisk funktion f kring z 0 (s242). 44. Formulera satsen om Taylorutveckling av analytiska funktioner (sats 3 s ). 45. Kunna satsen om termvis derivering av Taylorserier (s246). 46. Kunna satsen (sats 7) om konvergensen av en potensserie (s ). 47. Formulera satsen om Laurentutveckling av analytiska funktioner i öppna cirkelringar (sats 14 s ). 48. Definiera begreppet isolerad singularitet (s277) samt begreppen hävbar singularitet, pol av ordning m och väsentlig singularitet (s ). 49. Formulera Picards sats (sats 17 s282). 50. Karakteriseringssatsen för isolerade singulariteter (sats 18 s284). Kapitel 6. Residueteori. 51. Definiera begreppet residue av en analytisk funktion f i en punkt z 0 (s308). 52. Visa att om f har en pol av ordning m i z 0, så gäller att 1 d Res(f, z 0 ) = lim (m 1) z z0 (m 1)! dz [(z z m 1 0 ) m f(z)] (sats 1 s310). 53. Formulera Cauchys residuesats (sats 2 s ). 54. Lösa reella integraler med hjälp av konturintegraler (s ). Kapitel 7. Konform avbildning. 55. Kunna satsen som säger att om f : D D (där D och D är områden) är en bijektiv analytisk funktion och om Ψ(w) löser Laplaces ekvation i D, så löser Ψ(f(z)) Laplaces ekvation i D (s ). 56. Kunna lösa Laplaces ekvation på ett område D med randvillkor genom att avbilda D på ett område D med en bijektiv analytisk funktion. (Ett exempel för specialfallet då D är en öppen disk finns på s ). 57. Definiera begreppet konform avbildning (s378). 58. Veta att om f är analytisk och om f (z 0 ) 0, så är f konform i z 0 (sats 2 s ). 59. Formulera Riemanns avbildningssats (sats 4 s ). 60. Känna till Riemannsfären Ĉ = C { } och stereografisk projektion (s44-48). 61. Definiera begreppet Möbiusavbildning (s389). 62. Kunna egenskaperna hos en Möbiusavbildning (sats 5 s390).

6 Rekommenderade övningsuppgifter i Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science (3:e upplagan) av E.B. Saff och A.D. Snider 1.1 s4-7 5, 7, s , 4, 7abcdhij, 8, 10, s ab, 5ab, 7abc, 9, 12abc, 13, 15, s , 3, 5, 7, 10, 11, 17ab 1.5 s a, s , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 17, s abcde, 3, s , 7, 11abce 2.3 s , 4ab, 7abce, 9, 11abcdeg, s , 7, 8, s , 3, 7, 8ab, s b 3.2 s , 5acd, 7, 11, 14a, 17ab, 19, s , 3, 5, s (svar: 5), 4, s ace, s , s ac, 5, 7, 9, 11, 14a 4.3 s abc, 2, s , 3, 9, 10abcd, 11, s , s s abc, 7ab, 11b 5.2 s a, 5a 5.3 s , 3ad, 5a 5.5 s , s ab 6.1 s abcd, 3abd 6.2 s , 2, s , s s s , 3, 5, s

7 Examinationsregler för kursen Fysikens matematiska metoder, 10p, ht 2006 Kursen Fysikens matematiska metoder, 10p, utgörs av tre moment: Teknisk Fysik Energiteknik Differentialekvationer 1 (DE1) 5p Differentialekvationer 1 (DE1) 5p Differentialekvationer 2 (DE2) 2p Differentialekvationer 2 (DE2) 2p Komplex analys 3p Vektoranalys 3p För att bli godkänd på kursen Fysikens matematiska metoder, 10p, krävs att man blivit godkänd på de tre skriftliga proven (DE1, DE2 och Komplex analys/vektoranalys) samt att de tre datorlaborationerna (två i DE1 och en i DE2) blivit godkända. De godkända på kursen Fysikens matematiska metoder, 10p, erhåller betyget 3, 4 eller 5. Betyget utgörs av den, till närmaste heltal avrundade, viktade summan av de tre betygen för de tre momenten. Vikterna utgörs av respektive moments poängtal i förhållande till hela kursens poängtal. Exempel: Betyg 3 (DE1) Betyg 5 (DE2) Betyg 4 (Komplex analys) ger = och Betyg 4 på kursen Fysikens matematiska metoder. (Avrundning vid och sker till Betyg 4 respektive Betyg 5.)