3. Analytiska funktioner.
|
|
- Leif Nyberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig till deras egenskaper på reella axeln. Exempel : Trivialt : definitionen av ı Bara det faktum att de reella talen inte är en sluten mängd i avseende på kvadratroten 1 = a a a R 1 medan 1 = ı ı ı 1 (3.1.1) visar att vi behöver utvidga R 1 1. Betrakta ekv.(3.1.2) : f(x) = 1 + 2π + e ıkx 1 f(k) dk = 2π e ıkx R(k) k 2 + ıpk + q dk (3.1.2) Frågan är nu vad som händer då nämnaren i ekv.(3.1.2) har nollställen? Dessa kan inträffa för komplexa k och vi behöver en metod att dels beräkna dessa k, dels för att kunna hantera hur funktionen hur f(x) och f(k) kan analyseras Komplexa tal och funktioner av en komplex variabel. Ett komplext tal kan representeras som eller i polär representation z = x + ıy { x = r cos θ y = r sin θ (3.2.1) z = r( cos θ + ı sin θ ) = r exp( ıθ ) belopp fas (3.2.2) Till varje komplext tal z = a + ıb = z exp(ı arg z) kan associeras ett komplexkonjugat z = a ıb = z exp( ı arg z). Låt z 1 och z 2 vara två komplexa tal. Då gäller följande relationer addition - subtraktion z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 multiplikation - absolutbelopp z 1 z 2 = z 1 z 2 (3.2.3) multiplikation - argument arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 )
2 34 Nils Elander, 8/ / :2:2 Funktioner av en komplex variabel z = x + ıy kan analogt uppdelas i sina reella och imaginära delar f(z) = u(x, y) + ıv(x, y) (3.2.4) Exempel : az, z + b, z 2, z 1/2,, exp(z), (3.2.5) 3.3. Mångvärda funktioner och Riemannytor. För att vissa funktioner f(z) skall bli entydiga måste man skära upp koordinatplanet. Exempel : f(z) = z 1/2 = r 1/2 exp(ı θ/2) (3.3.1) 1 1 Avbildningar - Translation. Betrakta den komplexa funktionen w = z + z ; u = x + x ; v = y + y (3.3.2)
3 35 Fysikens matematiska metoder : Studievecka Avbildningar - Rotation. w = zz utnyttja polär representation Rotationen innebär således att w = ρ exp(ıφ) z = r exp(ıθ) z = r exp(ıθ ) (3.3.3) ρ exp(ıφ) = rr exp[ ı(θ + θ ) ] { ρ = rr φ = θ + θ (3.3.4) 1 1 Avbildningar - Inversion. Betrakta funktionen w = 1 z (3.3.5) utnyttja polär representation ρ exp(ıφ) = 1 r exp(ıθ) = 1 r exp( ıθ) ρ = 1 r φ = θ
4 36 Nils Elander, 8/ / :2:2 2 1 Avbildningar - Kvadraten. w = z 2 { ρ = r 2 φ = 2θ (3.3.6) - Denna transformation är icke-linjär. Fasvinkeln fördubblas A) 1sta kvadranten i z : θ < π 2 φ < π övre halvpl. i w B) övre halvpl. i z : θ < π φ < 2π hela planet i w ) undre halvpl. i z : π θ < 2π φ < hela pl. i w (3.3.7)
5 37 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. n 1 Avbildningar - Ett Exempel Betrakta funktionen w = exp( z ) ρ exp(ıφ) = exp(x + ıy) = exp(x) exp(ıy) { ρ = exp(x) φ = y (3.3.8) Om 2nπ y < (2n + 2)π och < x < + ( < e x < + ) < ρ < + 2nπ φ < (2n + 2)π (3.3.9) Ett horisontellt band med bredden 2π och längden < x < + avbildas på hela w planet Detta är en många till en avbildning. Avbildningen w = z 1/2. w = z 1/2 ρ exp(ıφ) = r 1/2 exp(ıθ/2) { ρ = r 1/2 2φ = θ (3.3.1) För att detta skall bli en entydig funktion istället för att vara en dubbelvärd funktion måste vi begränsa argumentet. Detta kan exempelvis åstadkommas genom att vi förskriver att θ < 2π DEF : Vi har på detta sätt förskrivet att man aldrig får korsa uppskärningen i figuren nedan. Punkten z = definierar var i 1 som en uppskärningen börjar. Den kallas för en förgreningspunkt. - Vilken som helst annan linje som börjar i z = ger en uppskärning som åstadkommer att w är en entydig funktion av z.
6 38 Nils Elander, 8/ / :2:2 Avbildningen w = ln z. w = ln z u + ıv = ln[r exp(ıθ) ] = ln r + ıθ (3.3.11) För en given punkt z i 1 är argumentet θ obestämt med avseende på en multipel 2π.
7 39 Fysikens matematiska metoder : Studievecka Komplex differentiering : Analytiska funktioner och Singulariteter. Låt f(z) = u(x, y) + ı v(x, y) (3.4.1) Derivatan bör rimligen definieras av f (z) = df(z) dz = lim z f(z + z) f(z) z (3.4.2) z = x + ıy = r exp( ıθ) är i någon mening en tvådimensionell variabel. Hur kommer gränsvärdet att bero av z? Klart är att vi menar att r men Hur beror f (z) av θ? (i) Välj z = x : f (z) = u x + ı v x (3.4.3) (ii) Välj z = y : f (z) = 1 ı ( u + ı v ) = ı u + v (3.4.4) Om vi väljer z = x + ı y får vi en linjärkombination som kan beskrivas i form av ekv.( ) varför det räcker med villkor ur dessa två ekvationer. Derivatan blir entydigt definierad om gränsvärdena är de samma i både ekv.(3.4.3) och ekv.(3.4.4) d.v.s. : u x = v (3.4.5) v x = u Dessa villkor kallas för auchy-riemann villkor och är nödvändiga och också tillräckliga villkor för att derivatan skall vara väldefinierad. DEF : Om en funktion f(z) är deriverbar enl. auchy-riemann i en punkt z och dess omgivning sägs f(z) vara analytisk eller holomorf i z. DEF : Om en funktion f(z) är deriverbar enl. auchy-riemann i ett område D i det komplexa talplanet utom i ett uppräkneligt antal diskreta punkter z k sägs f(z) vara meromorf i D. DEF : Om f(z) är en analytisk funktion som inte är analytisk i en punkt z benämnes z som en singulär punkt till f(z).
8 4 Nils Elander, 8/ / :2:2 Exempel : Låt f(z) = 1 z = u(x, y) + ı v(x, y) (3.4.6) Separera real och imaginärdelar av 1/z 1 z = 1 x + ı y = x ı y (x + ı y )( x ı y ) = x x 2 + y 2 + ı y x 2 + y 2 }{{}}{{} u(x, y) v(x, y) (3.4.7) Ger auchy-riemann derivatorna u x = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 v = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = u x v x = + 2xy (x 2 + y 2 ) 2 u = + 2xy (x 2 + y 2 ) 2 = v x f(z) är analytisk om z (3.4.8) z = är en isolerad singulär punkt till f(z). DEF : Om z är en isolerad singulär punkt till f(z) och dessutom (z z ) n 1 f(z) har z som en islolerad singulär punkt medan (z z ) n f(z) är analytisk i z sägs f(z) ha en pol av ordningen n i z D.v.s. f(z) = g(z) (z z ) n där g(z) är analytisk i ett område innehållande z (3.4.9)
9 41 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. Problem 3.2 En icke isolerad singularitet Betrakta funktionen f(z) = z 1/2 = u(x, y) + ı v(x, y) = (x + ı y) 1/2 = (r exp(ıθ ) ) 1/2 = r 1/2 exp(ı θ/2) = r 1/2 cos(θ/2) + ır 1/2 sin(θ/2) u(x, y) = r 1/2 cos(θ/2) v(x, y) = r 1/2 sin(θ/2) Använd problemets ledning i modifierad form cos θ 2 = ± cos θ sin θ 2 = ± 1 cos θ 2 r + x = ± 2 r r x = ± 2 r (3.4.1) (3.4.11) Undersök auchy-riemann villkoren u x = v = dr dx + 1 = 1 r + x 2 2 dr dy = 1 r x 2 2 r + x r y r r x = r + x r (3.4.12) där använt att dr dx = dr dy = x x 2 + y = x 2 r y x 2 + y 2 = y r = r2 x 2 r { + för y > om för y < (3.4.13) Analogt kan man visa at de andra auchy-riemannvillkoret är uppfyllt. f(z) = z 1/2 är således en analytisk funktion förutom i förgreningspunkten z = och längs uppskärningen från z =. Denna uppskärning är en typ av icke-isolerad singularitet. Anm. : Funktioner av typen f(z) = z α har denna typ av singularitet om inte α = n =, ±1, ±2, ±3, 3.5. auchys integralsats och integralformler. Låt f(z) vara analytisk i ett enkelt sammanhängande område D och låt vara en kurva i D.
10 42 Nils Elander, 8/ / :2:2 D Då gäller enligt auchys integralsats att f(z) dz = (3.5.1) Detta kan också formuleras så att integralen 2 1 f(z) dz = A oberoende av vägen mellan 1 och 2 (3.5.2) Bevis : Betrakta f(z) dz = = (u + ıv)(dx + ıdy) = (u dx v dy ) + ı (v dx + u dy ) (3.5.3) Antag nu att partialderivatorna av u och v är kontinuerliga inom. - Stokes sats kan enligt ekv.(1.8.8) skrivas som V dλ = V ds (1.8.8) Låt nu S V = ˆxV x + ŷv y så kan vi skriva den första delan av ekv.(3.5.3) som (u dx v dy ) = ( V y x V ) x dx dy och analogt för den andra delen av ekv.(3.5.3) Således får vi för den forsta delen av ekv.(3.5.3) att { u = Vx v = V y (u dx v dy ) = ( V y x V ) x dx dy = ( v x + u ) dx dy
11 43 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. Den andra integralen i ekv.(3.5.3) visas på samma sätt övergå till (v dx + u dy ) = ( u x v ) dx dy Genom att använda auchy-riemann villkoren inser vi att båda dessa integraler är noll f(z) dz = ( v x + u ) dx dy + ı ( u x v ) dx dy = + = Q.E.D. Betydelse för integralevaluering Exempel : Antag att f(z) = 1, n = 1, 2, 3, (z a) n z a = ɛ exp(ıθ) Detta innebär att på cirkeln gäller att θ 2π { z a = ɛ, dz = ı ɛ exp(ıθ) dθ dz (z a) n = 2π ɛ exp(ıθ) ı dθ (ɛ exp(ıθ) n = ı ɛ (n 1) 2π exp[ ı(n 1)θ] dθ = { n 1 2πı n = 1 Anm. : Om f(z) analytisk men med en pol av första ordningen i z = z d.v.s. f(z) där z z z z f(z) dz = 2πı
12 44 Nils Elander, 8/ / :2: Residuesatsen Residuesatsen : Om en funktion f(z) är analytisk med isolerade singulariteter i { z i } n i=1 och är en kurva i z planet som omsluter alla dessa isolerade singulariteter så gäller att n f(z) dz = 2πı Res [ f(z i ) ] (3.9.1) Residuen : Exempel : Funktionen Res [ f(z i ) ] definieras av i=1 Res [ f(z i ) ] = lim z zi ( z z i ) f(z) (3.9.2) f(z) = 1 (z + a)(z a), a > (3.9.3) kan skrivas om till för vilka gäller att 1 f(z) = f(z) dz = 2πı 1 2a 1 2a(z a) 1 2a(z + a) resp. 2 f(z) dz = 2πı 1 2a (3.9.4) (3.9.5) Anm. : Lägg märke till att för en kurva som omsluter bägge polerna så gäller att 3 f(z) dz = 2πı 1 2a 2πı 1 2a = (3.9.6) Om a f(z) = 1 z 2 vilken har en dubbelpol i origo. (3.9.7) 3.1. Komplex integration : Residuekalkyl. Ofta kan integraler av typen I = + f(x) dx (3.1.1) beräknas genom att låta integrationsvägen gå ut i komplexa talplanet. Detta förutsätter att det finns en analytisk f(z) som på reella axeln blir f(x). Metod 1. Antag att f(z) z med z. På halvcirkeln är då z = R exp( ıθ )
13 45 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. Då gäller att I X = 2πı n i=1 Res [ f(z i ) ] I R (3.1.2) Alltså I R = π f(r e ıθ ) R e ıθ ı dθ då R (3.1.3) n I = 2πı Res [ f(z i ) ], Iz i > (3.1.4) i=1 n I = 2πı Res [ f(z i ) ], Iz i < (3.1.5) i=1 Exempel : Betrakta integralen I = + dx 1 + x 2 (3.1.6)
14 46 Nils Elander, 8/ / :2:2 f(z) = z 2 = 1 2 (z ı) (z + ı) (3.1.7) I övre halvplanet :I = 2π ı 1 2ı = π I undre halvplanet :I = 2π ı 1 2ı = π eller Metod 2. Antag att Detta är en Fourierintegral. (3.1.8) I = [arctan x] + = π ( 2 π ) = π (3.1.9) 2 I = + g(x) exp( ıλx) dx (3.1.1) Jordans lemma : Om g(z) då z kan integrationsvägen slutas i övre halvplanet om λ > och i undre halvplanet om λ <. Betrakta samma integrationsväg som under metod 1. I R = π g(r e ıθ ) dz = π g(r e ıθ ) exp(ıλr cos θ λr sin θ) ı R exp(ıθ) dθ (3.1.11) Låt R vara så stor att Då gäller att g(z) = g(r e ıθ ) < ɛ (3.1.12) π I R ɛr exp( λr sin θ) dθ = 2ɛR π/2 exp( λr sin θ) dθ (3.1.13) I området [, π/2] så π/2 2 π θ sin θ I R 2ɛR exp( λr 2 π θ) (3.1.14) Gå nu i gränsen Exempel : Betrakta integralen I R 2ɛR 1 exp( λr) 2λR π (3.1.15) lim I R π R λ ɛ lim lim I R = (3.1.16) ɛ R I λ = + exp( ıλx ) x + ıa dx, a > (3.1.17)
15 47 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. I λ = λ > I λ = 2π ı exp(λa) λ < (3.1.18) Metod 3. Finns det en kurva där integranden är väsentligen densamma? Exempel : Betrakta integralen I = x 1 + x 2 dx (3.1.19) Observera att om x z z exp(2π ı) byter integranden tecken då lim θ + R exp(ıθ) = R medan lim θ R exp(ı(θ + 2π) ) = exp(ıπ ) R = R (3.1.2) Använd integrationsvägen nedan f(z) dz = I + + f(z) dz + I + f(z) dz Stora irkeln Lilla irkeln }{{}}{{} med R med r = + x 1 + x 2 dx + + x 1 + x 2 dx = 2 I = 2π ı i=1 Res [ f(z) ] (3.1.21)
16 48 Nils Elander, 8/ / :2:2 Då f(z) = x 1 + x 2 = z 1 + z 2 = ı z 2(z ı ) + ı z 2(z + ı ) ı = z exp(ı arg z/2) 2(z ı ) + ı z exp(ı arg z/2) 2(z + ı ) (3.1.22) och får vi Res [ f(i) ] = 2I = 2π ı ( exp(ı π/4) 2ı exp(ı π/4) 2ı 1 2ı exp(ı 3π/4) 2ı Res [ f( i) ] = ) 1 2ı exp(ı 3π/4) 2ı (3.1.23) [ = π 2 cos π ] = π 2 (3.1.24) 4
Blixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merBo E. Sernelius Residuer och Poler 27
Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merKOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.
KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b)
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merMat Grundkurs i matematik 3-I
Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)
Läs merBo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL
Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merKap Generaliserade multipelintegraler.
Kap 4.3. Generaliserade multipelintegraler. 50. Beräkna följande generaliserade multipelintegraler: A a. dxdy, ges av x, 0 xy x A b. A c. A d. A e. K x ( + x 2 )( + x 2 y 2 ) dxdy, ges av x > 0, xy x dxdy,
Läs merLäsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merPatologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)
Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs mer1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder
Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merImz. Rez. Bo E. Sernelius
KKKA 2005 Imz Rez Bo E. Sernelius Kort kurs i komplex analys Förord Den här kursen är avsedd som en kort introduktion till komplex analys för studenter som går på Fysikprogrammet. Avsikten är delvis att
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merFör ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0
Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen
Läs merDugga 2 i Matematisk grundkurs
Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska
Läs merTentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl
Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merNollställena till Riemanns Zeta-funktion och dess Beteende på den Kritiska Linjen. Linus Bergkvist
Nollställena till Riemanns Zeta-funktion och dess Beteende på den Kritiska Linjen Linus Bergkvist Introduktion Riemannhypotesen beskrevs för första gången 859 av Bernhard Riemann och lyder: Alla icke-triviala
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 219-1-15 kl 14. 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje uppgift
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merEXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Komplexa tal.......................................... 3. Cauchy-Riemannekvationerna..........................
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merSkrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merKRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER
Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mer