3. Analytiska funktioner.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "3. Analytiska funktioner."

Transkript

1 33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig till deras egenskaper på reella axeln. Exempel : Trivialt : definitionen av ı Bara det faktum att de reella talen inte är en sluten mängd i avseende på kvadratroten 1 = a a a R 1 medan 1 = ı ı ı 1 (3.1.1) visar att vi behöver utvidga R 1 1. Betrakta ekv.(3.1.2) : f(x) = 1 + 2π + e ıkx 1 f(k) dk = 2π e ıkx R(k) k 2 + ıpk + q dk (3.1.2) Frågan är nu vad som händer då nämnaren i ekv.(3.1.2) har nollställen? Dessa kan inträffa för komplexa k och vi behöver en metod att dels beräkna dessa k, dels för att kunna hantera hur funktionen hur f(x) och f(k) kan analyseras Komplexa tal och funktioner av en komplex variabel. Ett komplext tal kan representeras som eller i polär representation z = x + ıy { x = r cos θ y = r sin θ (3.2.1) z = r( cos θ + ı sin θ ) = r exp( ıθ ) belopp fas (3.2.2) Till varje komplext tal z = a + ıb = z exp(ı arg z) kan associeras ett komplexkonjugat z = a ıb = z exp( ı arg z). Låt z 1 och z 2 vara två komplexa tal. Då gäller följande relationer addition - subtraktion z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 multiplikation - absolutbelopp z 1 z 2 = z 1 z 2 (3.2.3) multiplikation - argument arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 )

2 34 Nils Elander, 8/ / :2:2 Funktioner av en komplex variabel z = x + ıy kan analogt uppdelas i sina reella och imaginära delar f(z) = u(x, y) + ıv(x, y) (3.2.4) Exempel : az, z + b, z 2, z 1/2,, exp(z), (3.2.5) 3.3. Mångvärda funktioner och Riemannytor. För att vissa funktioner f(z) skall bli entydiga måste man skära upp koordinatplanet. Exempel : f(z) = z 1/2 = r 1/2 exp(ı θ/2) (3.3.1) 1 1 Avbildningar - Translation. Betrakta den komplexa funktionen w = z + z ; u = x + x ; v = y + y (3.3.2)

3 35 Fysikens matematiska metoder : Studievecka Avbildningar - Rotation. w = zz utnyttja polär representation Rotationen innebär således att w = ρ exp(ıφ) z = r exp(ıθ) z = r exp(ıθ ) (3.3.3) ρ exp(ıφ) = rr exp[ ı(θ + θ ) ] { ρ = rr φ = θ + θ (3.3.4) 1 1 Avbildningar - Inversion. Betrakta funktionen w = 1 z (3.3.5) utnyttja polär representation ρ exp(ıφ) = 1 r exp(ıθ) = 1 r exp( ıθ) ρ = 1 r φ = θ

4 36 Nils Elander, 8/ / :2:2 2 1 Avbildningar - Kvadraten. w = z 2 { ρ = r 2 φ = 2θ (3.3.6) - Denna transformation är icke-linjär. Fasvinkeln fördubblas A) 1sta kvadranten i z : θ < π 2 φ < π övre halvpl. i w B) övre halvpl. i z : θ < π φ < 2π hela planet i w ) undre halvpl. i z : π θ < 2π φ < hela pl. i w (3.3.7)

5 37 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. n 1 Avbildningar - Ett Exempel Betrakta funktionen w = exp( z ) ρ exp(ıφ) = exp(x + ıy) = exp(x) exp(ıy) { ρ = exp(x) φ = y (3.3.8) Om 2nπ y < (2n + 2)π och < x < + ( < e x < + ) < ρ < + 2nπ φ < (2n + 2)π (3.3.9) Ett horisontellt band med bredden 2π och längden < x < + avbildas på hela w planet Detta är en många till en avbildning. Avbildningen w = z 1/2. w = z 1/2 ρ exp(ıφ) = r 1/2 exp(ıθ/2) { ρ = r 1/2 2φ = θ (3.3.1) För att detta skall bli en entydig funktion istället för att vara en dubbelvärd funktion måste vi begränsa argumentet. Detta kan exempelvis åstadkommas genom att vi förskriver att θ < 2π DEF : Vi har på detta sätt förskrivet att man aldrig får korsa uppskärningen i figuren nedan. Punkten z = definierar var i 1 som en uppskärningen börjar. Den kallas för en förgreningspunkt. - Vilken som helst annan linje som börjar i z = ger en uppskärning som åstadkommer att w är en entydig funktion av z.

6 38 Nils Elander, 8/ / :2:2 Avbildningen w = ln z. w = ln z u + ıv = ln[r exp(ıθ) ] = ln r + ıθ (3.3.11) För en given punkt z i 1 är argumentet θ obestämt med avseende på en multipel 2π.

7 39 Fysikens matematiska metoder : Studievecka Komplex differentiering : Analytiska funktioner och Singulariteter. Låt f(z) = u(x, y) + ı v(x, y) (3.4.1) Derivatan bör rimligen definieras av f (z) = df(z) dz = lim z f(z + z) f(z) z (3.4.2) z = x + ıy = r exp( ıθ) är i någon mening en tvådimensionell variabel. Hur kommer gränsvärdet att bero av z? Klart är att vi menar att r men Hur beror f (z) av θ? (i) Välj z = x : f (z) = u x + ı v x (3.4.3) (ii) Välj z = y : f (z) = 1 ı ( u + ı v ) = ı u + v (3.4.4) Om vi väljer z = x + ı y får vi en linjärkombination som kan beskrivas i form av ekv.( ) varför det räcker med villkor ur dessa två ekvationer. Derivatan blir entydigt definierad om gränsvärdena är de samma i både ekv.(3.4.3) och ekv.(3.4.4) d.v.s. : u x = v (3.4.5) v x = u Dessa villkor kallas för auchy-riemann villkor och är nödvändiga och också tillräckliga villkor för att derivatan skall vara väldefinierad. DEF : Om en funktion f(z) är deriverbar enl. auchy-riemann i en punkt z och dess omgivning sägs f(z) vara analytisk eller holomorf i z. DEF : Om en funktion f(z) är deriverbar enl. auchy-riemann i ett område D i det komplexa talplanet utom i ett uppräkneligt antal diskreta punkter z k sägs f(z) vara meromorf i D. DEF : Om f(z) är en analytisk funktion som inte är analytisk i en punkt z benämnes z som en singulär punkt till f(z).

8 4 Nils Elander, 8/ / :2:2 Exempel : Låt f(z) = 1 z = u(x, y) + ı v(x, y) (3.4.6) Separera real och imaginärdelar av 1/z 1 z = 1 x + ı y = x ı y (x + ı y )( x ı y ) = x x 2 + y 2 + ı y x 2 + y 2 }{{}}{{} u(x, y) v(x, y) (3.4.7) Ger auchy-riemann derivatorna u x = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 v = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 = u x v x = + 2xy (x 2 + y 2 ) 2 u = + 2xy (x 2 + y 2 ) 2 = v x f(z) är analytisk om z (3.4.8) z = är en isolerad singulär punkt till f(z). DEF : Om z är en isolerad singulär punkt till f(z) och dessutom (z z ) n 1 f(z) har z som en islolerad singulär punkt medan (z z ) n f(z) är analytisk i z sägs f(z) ha en pol av ordningen n i z D.v.s. f(z) = g(z) (z z ) n där g(z) är analytisk i ett område innehållande z (3.4.9)

9 41 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. Problem 3.2 En icke isolerad singularitet Betrakta funktionen f(z) = z 1/2 = u(x, y) + ı v(x, y) = (x + ı y) 1/2 = (r exp(ıθ ) ) 1/2 = r 1/2 exp(ı θ/2) = r 1/2 cos(θ/2) + ır 1/2 sin(θ/2) u(x, y) = r 1/2 cos(θ/2) v(x, y) = r 1/2 sin(θ/2) Använd problemets ledning i modifierad form cos θ 2 = ± cos θ sin θ 2 = ± 1 cos θ 2 r + x = ± 2 r r x = ± 2 r (3.4.1) (3.4.11) Undersök auchy-riemann villkoren u x = v = dr dx + 1 = 1 r + x 2 2 dr dy = 1 r x 2 2 r + x r y r r x = r + x r (3.4.12) där använt att dr dx = dr dy = x x 2 + y = x 2 r y x 2 + y 2 = y r = r2 x 2 r { + för y > om för y < (3.4.13) Analogt kan man visa at de andra auchy-riemannvillkoret är uppfyllt. f(z) = z 1/2 är således en analytisk funktion förutom i förgreningspunkten z = och längs uppskärningen från z =. Denna uppskärning är en typ av icke-isolerad singularitet. Anm. : Funktioner av typen f(z) = z α har denna typ av singularitet om inte α = n =, ±1, ±2, ±3, 3.5. auchys integralsats och integralformler. Låt f(z) vara analytisk i ett enkelt sammanhängande område D och låt vara en kurva i D.

10 42 Nils Elander, 8/ / :2:2 D Då gäller enligt auchys integralsats att f(z) dz = (3.5.1) Detta kan också formuleras så att integralen 2 1 f(z) dz = A oberoende av vägen mellan 1 och 2 (3.5.2) Bevis : Betrakta f(z) dz = = (u + ıv)(dx + ıdy) = (u dx v dy ) + ı (v dx + u dy ) (3.5.3) Antag nu att partialderivatorna av u och v är kontinuerliga inom. - Stokes sats kan enligt ekv.(1.8.8) skrivas som V dλ = V ds (1.8.8) Låt nu S V = ˆxV x + ŷv y så kan vi skriva den första delan av ekv.(3.5.3) som (u dx v dy ) = ( V y x V ) x dx dy och analogt för den andra delen av ekv.(3.5.3) Således får vi för den forsta delen av ekv.(3.5.3) att { u = Vx v = V y (u dx v dy ) = ( V y x V ) x dx dy = ( v x + u ) dx dy

11 43 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. Den andra integralen i ekv.(3.5.3) visas på samma sätt övergå till (v dx + u dy ) = ( u x v ) dx dy Genom att använda auchy-riemann villkoren inser vi att båda dessa integraler är noll f(z) dz = ( v x + u ) dx dy + ı ( u x v ) dx dy = + = Q.E.D. Betydelse för integralevaluering Exempel : Antag att f(z) = 1, n = 1, 2, 3, (z a) n z a = ɛ exp(ıθ) Detta innebär att på cirkeln gäller att θ 2π { z a = ɛ, dz = ı ɛ exp(ıθ) dθ dz (z a) n = 2π ɛ exp(ıθ) ı dθ (ɛ exp(ıθ) n = ı ɛ (n 1) 2π exp[ ı(n 1)θ] dθ = { n 1 2πı n = 1 Anm. : Om f(z) analytisk men med en pol av första ordningen i z = z d.v.s. f(z) där z z z z f(z) dz = 2πı

12 44 Nils Elander, 8/ / :2: Residuesatsen Residuesatsen : Om en funktion f(z) är analytisk med isolerade singulariteter i { z i } n i=1 och är en kurva i z planet som omsluter alla dessa isolerade singulariteter så gäller att n f(z) dz = 2πı Res [ f(z i ) ] (3.9.1) Residuen : Exempel : Funktionen Res [ f(z i ) ] definieras av i=1 Res [ f(z i ) ] = lim z zi ( z z i ) f(z) (3.9.2) f(z) = 1 (z + a)(z a), a > (3.9.3) kan skrivas om till för vilka gäller att 1 f(z) = f(z) dz = 2πı 1 2a 1 2a(z a) 1 2a(z + a) resp. 2 f(z) dz = 2πı 1 2a (3.9.4) (3.9.5) Anm. : Lägg märke till att för en kurva som omsluter bägge polerna så gäller att 3 f(z) dz = 2πı 1 2a 2πı 1 2a = (3.9.6) Om a f(z) = 1 z 2 vilken har en dubbelpol i origo. (3.9.7) 3.1. Komplex integration : Residuekalkyl. Ofta kan integraler av typen I = + f(x) dx (3.1.1) beräknas genom att låta integrationsvägen gå ut i komplexa talplanet. Detta förutsätter att det finns en analytisk f(z) som på reella axeln blir f(x). Metod 1. Antag att f(z) z med z. På halvcirkeln är då z = R exp( ıθ )

13 45 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. Då gäller att I X = 2πı n i=1 Res [ f(z i ) ] I R (3.1.2) Alltså I R = π f(r e ıθ ) R e ıθ ı dθ då R (3.1.3) n I = 2πı Res [ f(z i ) ], Iz i > (3.1.4) i=1 n I = 2πı Res [ f(z i ) ], Iz i < (3.1.5) i=1 Exempel : Betrakta integralen I = + dx 1 + x 2 (3.1.6)

14 46 Nils Elander, 8/ / :2:2 f(z) = z 2 = 1 2 (z ı) (z + ı) (3.1.7) I övre halvplanet :I = 2π ı 1 2ı = π I undre halvplanet :I = 2π ı 1 2ı = π eller Metod 2. Antag att Detta är en Fourierintegral. (3.1.8) I = [arctan x] + = π ( 2 π ) = π (3.1.9) 2 I = + g(x) exp( ıλx) dx (3.1.1) Jordans lemma : Om g(z) då z kan integrationsvägen slutas i övre halvplanet om λ > och i undre halvplanet om λ <. Betrakta samma integrationsväg som under metod 1. I R = π g(r e ıθ ) dz = π g(r e ıθ ) exp(ıλr cos θ λr sin θ) ı R exp(ıθ) dθ (3.1.11) Låt R vara så stor att Då gäller att g(z) = g(r e ıθ ) < ɛ (3.1.12) π I R ɛr exp( λr sin θ) dθ = 2ɛR π/2 exp( λr sin θ) dθ (3.1.13) I området [, π/2] så π/2 2 π θ sin θ I R 2ɛR exp( λr 2 π θ) (3.1.14) Gå nu i gränsen Exempel : Betrakta integralen I R 2ɛR 1 exp( λr) 2λR π (3.1.15) lim I R π R λ ɛ lim lim I R = (3.1.16) ɛ R I λ = + exp( ıλx ) x + ıa dx, a > (3.1.17)

15 47 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. I λ = λ > I λ = 2π ı exp(λa) λ < (3.1.18) Metod 3. Finns det en kurva där integranden är väsentligen densamma? Exempel : Betrakta integralen I = x 1 + x 2 dx (3.1.19) Observera att om x z z exp(2π ı) byter integranden tecken då lim θ + R exp(ıθ) = R medan lim θ R exp(ı(θ + 2π) ) = exp(ıπ ) R = R (3.1.2) Använd integrationsvägen nedan f(z) dz = I + + f(z) dz + I + f(z) dz Stora irkeln Lilla irkeln }{{}}{{} med R med r = + x 1 + x 2 dx + + x 1 + x 2 dx = 2 I = 2π ı i=1 Res [ f(z) ] (3.1.21)

16 48 Nils Elander, 8/ / :2:2 Då f(z) = x 1 + x 2 = z 1 + z 2 = ı z 2(z ı ) + ı z 2(z + ı ) ı = z exp(ı arg z/2) 2(z ı ) + ı z exp(ı arg z/2) 2(z + ı ) (3.1.22) och får vi Res [ f(i) ] = 2I = 2π ı ( exp(ı π/4) 2ı exp(ı π/4) 2ı 1 2ı exp(ı 3π/4) 2ı Res [ f( i) ] = ) 1 2ı exp(ı 3π/4) 2ı (3.1.23) [ = π 2 cos π ] = π 2 (3.1.24) 4

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y), Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.

KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i. KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b)

Läs mer

Harmoniska funktioner

Harmoniska funktioner Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt

Läs mer

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-I

Mat Grundkurs i matematik 3-I Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Om komplexa tal och funktioner

Om komplexa tal och funktioner Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida. Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 1 Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys IV,

Lösningar till Matematisk analys IV, Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 = MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna

Läs mer

Vad är Riemannytor och vad är de bra till?

Vad är Riemannytor och vad är de bra till? Vad är Riemannytor och vad är de bra till? Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi titta på hur man hanterar flervärda funktioner, såsom roten

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER

KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER M. SAPRYKINA 1. INLEDNING Syftet med denna lilla text är att ge en kort sammanfattning av baskunskaper inom komplexa tal och introducera begreppet

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Komplexa tal. z 2 = a

Komplexa tal. z 2 = a Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

P L P N P L P N L π(p) Kartprojektioner Ett bonusproblem: longitudproblemet Lätt att på öppet hav bestämma latitud (nord-sydlig position). Lösning: mät solens höjd över horisonten med sextant. Tabell

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Signaler några grundbegrepp

Signaler några grundbegrepp Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Generaliserade multipelintegraler. Komplement till Arne P.

Generaliserade multipelintegraler. Komplement till Arne P. Generaliserade multipelintegraler. Komplement till Arne P. Ju fler dimensioner, desto fler sätt kan integralerna konstra. Området kan vara obegränsat, t ex hela planet eller första kvadranten. Integranden

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer