För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0

Transkript

1 Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är ω 0 G(s) = s + ζω 0 s + ω0 ω 0 är avståndet från polerna till origo. Större ω 0 ger snabbare system. ζ kallas för relativ dämpning, och ger stegsvarets kvalitativa dämpning. Större ζ, mindre -del -del, bättre dämpat. Rotort Ett sätt att visa polernas placering som en funktion av en systemparameter K. 0 steg för att skissa upp rotorten. Teori Argumentvariationsprincipen petition från komplex analysen. Låt f(z) vara en analytisk funktion (dess komplexa derivata existerar) i ett öppet område Ω C, så när som på ett ändligt antal poler. Låt γ vara en sluten kurva som inte skär sig själv, och är riktad motsols. N P = π var arg γ f(z) N = antalet omslutna nollställen, P = antalet omslutna poler. För att bestämma var arg γ f(z) så låter vi γ : [0, ] C, och ritar kurvan f(γ(t)) för t [0, ]. arg är vinkeln i det komplexa talplanet, och var är variationen, d.v.s., vi integrerar vinkeln till kurvan. När vi tittar på π var arg får vi antalet varv som kurvan går kring origo, räknat motsols (negativt tecken om kurvan går medsols).

2 γ f(z) Ω Figure : Avbildning av kurvan γ med funktionen f(z) Nyquistkriteriet Vi är intresserade av det slutna systemets poler, men oftast är det enklare att arbeta med det öppna systemet. Nyquistkriteriet använder argumentvariationsprincipen för att ge ett villkor på det öppna systemet som garanterar stabilitet för det slutna systemet. Y ref (s) + E(s) U(s) Y (s) F (s) G(s) Figure : Slutna systemet G O (s) = F (s)g(s) G O G C (s) = + G O Poler till G C är nollställen till + G O, så har + G O några nollställen i HHP? Låt kurvan γ omsluta HHP (motsols), och uteslut poler på imaginära axeln. Använd argumentvariationsprincipen för + G O längs med kurvan γ, så fås N P för + G O som antalet varv kurvan gör runt origo. Om vi istället tittar på G O längs med kurvan γ så fås N P för + G O som antalet varv kurvan gör kring -. Notera nu att ett nollställe till + G O är en pol till G C, och en pol till + G O är även en pol till G O. Nyquistkriteriet Då är Låt P O vara antalet poler till G O i HHP, och P C antalet poler till G C i HHP. P C P O = antal varv kurvan gör kring -

3 γ Figure 3: Kurvan γ som omsluter HHP P C = P O + antal varv kurvan gör kring - Observera att varven alltid räknas med tecken! Positivt för varv som går motsols, negativt för varv som går medsols. Om G O saknar poler i HHP (P O = 0) så fås polerna till G C direkt som antalet varv kurvan gör kring -. Nyquistkurvan Plot av G O (iω) enbart för ω [0, ). Räcker oftast för att lista ut hur många varv kurvan gör kring -. Gummibandsprincipen för att räkna varv kring -. Tänk er kurvan som ett gummiband, och en spik som är nedslagen i -. Ni får deformera gummibandet hur ni vill, men inte föra det över spiken. Räkna antalet varv som gummibandet är lindat runt spiken. Om det öppna systemet är stabilt så är Nyquistkriteriet ekvivalent med att gummibandet inte sitter fast runt spiken. Problem a) Notera först att G O saknar poler i HHP, vilket innebär att Nyquistkriteriet säger att det slutna systemet G C är stabilt om kurvan inte omsluter -. (i) Kurvan omsluter inte -, och alltså är G C stabil. (ii) Kurvan omsluter inte heller här -, och alltså är G C stabil. (iii) Kurvan omluster - två varv, och alltså är G C instabil. 3

4 (iv) Titta noga, och räkna varv med tecken. Kurvan omsluter faktiskt inte -! Alltså är G C stabil även här. 3.5 b) I figurerna är K =. Vad händer om vi ändrar K? Varje punkt på kurvan multipliceras med K, och alltså är K en ren skalning av kurvan. Frågan är alltså hur mycket kan kurvan skalas om, för att systemet ska vara stabilt? (i) Systemet kan skalas upp 0 < K < =.5 gånger innan - omsluts två varv. Dvs stabil om (ii) Här spelar inte skalningen någon roll, kommer aldrig omslutas av kurvan. Stabil för alla K > 0. (iii) Systemet var instabilt, men om kurvan skalas ner med minst en faktor längre -. Stabil för 0 < K < 0.5. så omsluts inte (iv) Rita upp halva Nyquistkurvan för att enklare se omslutningarna. Om K < 4 så ligger hela kurvan innanför -, och är alltså stabil, och om K > så ligger - i den inre cirkeln, där vi redan sett att systemet är stabilt. Vad händer då 4 < K <? Titta noggrant så ser vi att kurvan omsluts två varv, och systemet blir därför instabilt! Problem a) Rita Nyquistkurvan för en integrator G(s) = s. Notera att det är en pol i origo (på imaginära axeln) som ska uteslutas av kurvan γ. 3 G(s)= s Figure 4: Kurvan γ 4

5 Delar in kurvan i fyra delar: Del Övre delen av imaginära axeln, s = iω, w : 0 Avbildas till nedre delen av imaginära axeln. G(s) = G(iω) = iω = i ω Del Halvcirkeln som går runt origo s = re iθ, r 0 +, θ : π π. Avbildas på en halvcirkeln som omsluter HHP. G(s) = r e iθ Del 3 Nedre delen av imaginära axeln s = iω, w : 0 G(s) = G(iω) = iω = i ω Avbildas på övre delen av imaginära axeln. Del 4 Halvcirkeln som omsluter HHP s = iθ, R, θ : π π. Avbildas på halvcirkeln som går runt origo. G(s) = R e iθ Problem a) Öppna systemet är G O = KG(s), G O är stabil och har alltså inga poler i HHP. G C är då stabil om Nyquistkurvan inte omsluter -. Den proportionella regulatorn K innebär en ren skalning av Nyquistkurvan, och kurvan måste minskas med en faktor.5 = 3 för att inte omsluta -. Alltså är det slutna systemet G C stabilt om K < 3. 5

6 3.7 b) Från deluppgift a) såg vi att systemet är instabilt om K 3. Om systemet är instabilt så existerar inget slutvärde, så vi antar nu att K < 3 för att systemet ska vara stabilt. Slutvärdet existerar då, och vi kan använda slutvärdessatsen för att bestämma det statiska felet. lim e(t) = lim se(s) t s 0 E(s) = Y ref (s) Y (s), E(s) = ferenssignalen var ett enhetssteg, Y ref (s) = s Y (s) = E(s)KG(s) + KG(s) Y ref(s) lim e(t) = lim se(s) = lim s t s 0 s 0 + KG(s) s = + KG(0) Från figuren ser vi att G(0) =, och alltså får vi att det statiska felet är som gäller då K < 3, och instabil om K 3. lim e(t) = t + KG(0) = + K 3.7 c) Nu byter vi ut den proportionella regulatorn mot en integrerande regulator, d.v.s., öppna systemet är G O (s) = K s G(s). I figuren har vi Nyquistkurvan för G(s), hur påverkas den av K s? Titta först på vinkeln arg (G O (iω)) = arg Kurvan vrids alltså med vinkeln π, eller minus 90. Titta nu på beloppet ( ) K iω G(iω) = arg K arg iω + arg G(iω) = arg G(iω) π }{{}}{{} 0 π G O (iω) = K iω G(iω) = K ω G(iω) Beloppet skalas alltså om med faktorn K ω, som är frekvensberoende. Den kritiska punkten är - på den reella axeln. När figuren har vridits π så fås att den kritiska frekvensen är vid ω = (i.e., där den vridna kurvan skär negativa reella axeln). Kurvans belopp vid frekvensen ω = är alltså Från figuren fås även att G(i) = 3, så G O (i) = K G(i). G O (i) = K 3 6

7 För att systemet ska vara stabilt så får inte G O omsluta -, vi vill alltså att beloppet ska vara mindre än : G O (i) = K 3 < K < 3 7