Imz. Rez. Bo E. Sernelius

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Imz. Rez. Bo E. Sernelius"

Christian Eklund
för 5 år sedan
Visningar:

1 KKKA 2005 Imz Rez Bo E. Sernelius

2 Kort kurs i komplex analys Förord Den här kursen är avsedd som en kort introduktion till komplex analys för studenter som går på Fysikprogrammet. Avsikten är delvis att ge deltagaren tillräcklig kunskap för att kunna tillgodogöra sig delmomentet Konform avbildning som ingår i kursen Elektromagnetisk fältteori och vågutbredning (NFYD70). Konform avbildning är en klassisk teknik för att lösa Laplaceekvationen för problem med två oberoende variabler. Förutom i elektromagnetisk fältteori är tekniken användbar i t.ex. värmelednings- och strömnings-problem. Deltagaren blir familjär med det komplexa talplanet, räkneregler för komplexa tal, elementära funktioner av komplexa variabler, analytiska funktioner, poler och nollställen, residuer och residuekalkyl. Residuekalkyl är mycket användbar inom fysiken. I kursen tas bl.a. upp hur man kan använda residuekalkyl för att med hjälp av konturintegraler finna alternativa metoder att lösa reella integraler. Härledning utförs av de i fysiken mycket användbara Kramers-Kronigs dispersionsrelationer. Använda teorem ges genomgående utan bevis. Överstad i januari 2003 Bo E. Sernelius

3 Bo E. Sernelius Komplexa Tal:Definition 3 KOMPLEXA TAL I detta kapitel definierar vi begreppet komplexa tal, dess räkneregler och olika representationer av de komplexa talen. Vi inför det komplexa talplanet och representerar det komplexa talet med en punkt i detta eller med en vektor. Räknereglerna för dessa vektorer skiljer sig från de i vanlig två-dimensionell vektoranalys och vi pekar på dessa skillnader när de dyker upp. Definition Ett sätt att definiera ett komplext tal, z, är att säga att det är ett talpar (a, b) av reella tal, med följande räkneregler: ( a,0)= a, ett reelt tal (1) ( a1, b1)= ( a2, b2) om och endast om a1 = a2 och b1 = b2 (2) z1 + z2 =( a1, b1)+ ( a2, b2)= ( a1 + a2, b1 + b2) (3) zz 12= ( a1, b1)( a2, b2)= ( aa 12- bb 1 2, ab 1 2+ ba 1 2) (4) Detta räcker för att definiera ett komplext tal. Ur dessa regler följer många fler. Regel (1) innebär att de reella talen är en undergrupp till de komplexa talen. Vi kallar a för realdelen av z och b för dess imaginärdel. (1,0) är ett reellt tal och (0,1) kallas ett rent imaginärt tal. Vi betecknar detta tal med i. ( ab, )= a( 10, )+ b( 01, )= a+ b( 01, )= a+ ib= a+ bi (5) Vi betecknar real- och imaginardelen av z med Re(z) och Im(z), respektive. Observera att båda dessa är reellvärda och z= Re(z) +iim(z) Räkneregeln för addition, (3), är densamma som för vanliga talpar i tvådimensionell vektoranalys men regel (4) för multiplikation stämmer varken med inre produkt (skalärprodukt) eller vektorprodukt (kryssprodukt). Här ger produkten av två komplexa tal ett nytt komplext tal. Speciellt ger produkten av två reella tal ett reellt tal och produkten av två rent imaginära tal ett reellt tal. Vi har från (4) att i 2 = ( 01, )( 01, )=(-10, )=-1 (6)

4 Bo E. Sernelius Komplexa Tal:Definition 4 Vi behöver nu inte längre memorera räkneregel (4) utan kan uttrycka de komplexa talen enligt (5), räkna på som om i vore reellt och sedan ersätta alla kvadrater av i med -1. ( )( )=( + )( + ) a1, b1 a2, b2 a1 ib1 a2 ib2 ( ) ( ) ( ) 2 = aa 1 2+ i bb iab ba 1 2 = aa 1 2- bb 1 2+ iab 1 2+ ba 1 2 = aa 1 2- bb 1 2, ab 1 2+ ba 1 2 (7) Ur reglerna (1)-(4) följer z = ( a, b)= 0 om och endast om a = 0 och b = 0, (8) subtraktion, som är inversen till addition: z1 - z2 = ( a1 -a2, b1 -b2)= a1 - a2 + i( b1 -b2), (9) division, som är inversen till multiplikation: z1 z2 = = ( )( - ) a1 + ib1 a1 + ib1 a2 ib2 = a2 + ib2 ( a2 + ib2) ( a2 - ib2) 1 aa bb i ab ba a2 2 b [ ( )] (10) Den kommutativa lagen för addition och multiplikation z1 + z2 = z2 + z1 zz 12= z21 z (11) (12) Den associativa lagen för addition och multiplikation: z1 + ( z2 + z3)= ( z1 + z2)+ z3 (13)

5 Bo E. Sernelius Komplexa Tal:Definition 5 z1( z2z3)= ( z1z2) z3 (14) Den distributiva lagen för multiplikation med avseende på addition: z1( z2 + z3)= z1z2 + z1z3 (15)

6 Bo E. Sernelius Komplexa Tal:Problem A 6 Problem A: 1. Beräkna 1/z då z = i. 2. Beräkna 1/z då z = 1 + i. 3. Beräkna 1/z då z = 2 + i. 4. Beräkna z 2 då z = i. 5. Beräkna z 2 då z = 1 + i. 6. Beräkna z 2 då z = 2 + i. 7. Beräkna z 3 då z = i. 8. Beräkna z 3 då z = 1 + i. 9. Beräkna z 3 då z = 2 + i. 10. Beräkna z då z = i. 11. Beräkna z då z = 1 + i. 12. Beräkna z då z = 2 + i. 13. Beräkna zz 12 då z 1 = i och z 2 =1 + i. 14. Beräkna zz 12 då z 1 = i och z 2 =2 + i. 15. Beräkna zz 12 då z 1 = i och z 2 =2 - i. 16. Beräkna zz 12 då z 1 = 1 + i och z 2 =2 + i. 17. Beräkna zz 12 då z 1 = 1 + i och z 2 =2 - i. 18. Beräkna zz 12 då z 1 = 2 + i och z 2 =2 - i. 19. Beräkna z1 z2 1 = i och z 2 =1 + i. 20. Beräkna z1 z2 1 = i och z 2 =2 + i. 21. Beräkna z1 z2 1 = i och z 2 =2 - i. 22. Beräkna z1 z2 1 = 1 + i och z 2 =2 + i. 23. Beräkna z1 z2 1 = 1 + i och z 2 =2 - i. 24. Beräkna z1 z2 1 = 2 + i och z 2 =2 - i. 25. Beräkna ( 31, )( 3, -1)( 1 5, 1 10 ). 26. Beräkna i. 3- i4 5i Beräkna ( 1- i) ( 2- i) ( 3- i ) 28. Beräkna 4 ( 1 - i ).

Relevanta dokument

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella