Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.

Transkript

1 Dagens teman Mängdlära orts. Relationer och unktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Deinition av de naturliga talen, Peanos axiom.

2 Relationer och unktioner Relationer Generell deinition: En relation R på mängden A är detsamma som en delmängd av produktmängden A A. Man skriver ota arb i stället ör (a,b) R, Ex.vis a < b, ör olikhetsrelationen ör reella tal. a = b, ör identitet En viktig typ av relationer är de s.k. ekvivalensrelationerna vars deinierande egenskaper är 1. ara, ör alla a R. (Relexivitet) 2. arb bra, ör alla a och b R. (Symmetri) 3. arb och brc arc. (Transitivitet) Se kompendiet om reella tal, 1.3, särskilt ex

3 Funktioner (Se AM II, K1.2) Generell (halvmodern) deinition: En tillordning som till varje element i en mängd ordnar [högst] ett element i en mängd kallas en unktion rån till. Den sägs vara av typ. Variant 1: [högst] D x V (x ) V Variant 2: [högst] = D x V (x ) V

4 Generell (modern) deinition: En unktion rån mängden till mängden är detsamma som en delmängd av produktmängden, sådan att 1 Om (x, y) och (x, z), så är y = z, [2 För varje x inns något y så att (x, y).] (Punkten 2 utgår ör varianten 1.) Vanligen skriver man y = (x) i stället ör (x, y). Mängden omtalad i deinitionen är också unktionens gra. Villkoren 1 utsäger att en unktion, ör varje x, bara har högst ett (1) värde y.

5 Viktiga glosor: Deinitionsmängd av (domain o). Värdemängd till (range o). Injektion (injection) Om olika element i tillordnas olika element i sägs unktionen vara en injektion. D V Olika punkter Olika punkter en injektion Surjektion (surjection) Om V =, så sägs unktionen vara en surjektion D x V = V (x ) avbildar på

6 är en bijektion (bijection) injektion och surjektion Injektioner har en invers unktion 1 D = V -1-1 V = D -1 Restriktion (restriction) Om ör två unktioner och g gäller att D D g och (x) = g(x) ör alla x D g så säger man att unktionen g är restriktionen av till mängden D g. Observera att och g betraktas som olika unktioner. D D g g

7 Sammansättning (composition), Om g är en unktion av typ och en av typ W så är tillordningen w = (g(x)) en unktion av typ W den sammansatta unktionen, g, till och g. D g x g V g D g (x) V (g (x)) D og W D V g V o g og

8 Om är av typen och A, så betecknas mängden {y ; y = (x) ör något x A} med (A). ( (A) är A:s bild ). (A) Gra ör A Och analogt. om B, så betecknas mängden {x ; (x) B} med 1 (B). ( 1 (B) är B:s urbild ). B Gra ör 1 (B) Observera att mängden 1 (B) inns även i de all då unktionen saknar invers (dvs inte är någon injektion).

9 Peanos axiomsystem ör de naturliga talen P1. Det inns ett naturligt tal 0. P2. Varje naturligt tal n har en s.k. eteröljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt tal har 0 som eteröljare. P5. Om man vet om ett påstående om naturliga tal att I. det är sant ör talet 0 och II. det är sant ör n + om det är sant ör n, så är påståendet sant ör alla naturliga tal. (Induktionsaxiomet)

10 Deinitioner och räkneregler ör de naturliga talen N Addition kan deinieras via induktion utirån 1. n + 0 = n ör alla n N. (D1+) 2. Om n + m är deinierat, så är n + m + deinierat som (n + m) +. (D2+) Olikheter x y (DO ) Det inns ett naturligt tal z så att x + z = y. x < y (DO <) Det inns ett naturligt tal z 0, så att x + z = y. Multiplikation kan deinieras via induktion utirån 1. n 0 = 0 ör alla n N. (D1 ) 2. Om n m är deinierat, så är n m + deinierat som (n m) + n. (D2 ) Speciellt n 0 + = n 0 + n = 0 + n = n. (Vi brukar beteckna 0 + med 1.)

11 Följande kan visas utirån Peanos axiom och dessa deinitioner: Neutrala element n + 0 = n n 1 = n (Neu+, Neu ) Kommutativa lagar n + m = m + n, n m = m n. (Kom+, Kom ) Associativa lagar (n + m) + p = n + (m + p), (Ass+) (n m) p = n (m p). (Ass ) Distributiva lagen (n + m) p = (n p) + (m p) (Dist) Annuleringslagar n + m = n + p m = p. (Ann+) Om n 0: n m = n p m = p. (Ann ) Lagar om olikheter För alla n och m gäller exakt en av relationerna n < m, n = m, m < n. (O1) Om n < m och m < p, så är n < p (O2) n m n + p m + p. (O3+) Om p 0: n < m n p < m p. (O3 )

12 Fler räknesätt: Subtraktion m n kan deinieras om n m:: Man visar örst att: För n m N, så har ekvationen n + x = m precis en lösning x N Denna lösning skrivs x = m n. Division m n Man visar örst att: För n och m N, n 0, har ekvationen n x = m högst en lösning x N. Denna lösning (om den inns) skrivs x = m n. (D) (D/)

13 Uppgiter: AMII: K1. 6 Övningar på extrablad ör lektion 3: 1 2, 6 7, Dagens inlämningsuppgiter: På utdelat blad ör lekt 3, nr 2 och 7d. (För 7d år resultaten i uppgiterna 6-7c anses vara bevisade).