Utvidgad aritmetik. AU

Transkript

1 Utvidgad aritmetik. AU Delområdet omfattar följande tio diagnoser som är grupperade i tre delar, negativa tal, potenser och närmevärden: AUn1 Negativa tal, taluppfattning AUn Negativa tal, addition och subtraktion AUn Negativa tal, multiplikation och division AUn4 Negativa tal AUp1 Potenser, grundläggande AUp Potenslagar 1 AUp Potenslagar AUp4 Kvadratrötter AUp4 Potenser och kvadratrötter Arbetet med de här diagnoserna förutsätter att eleverna har förkunskaper från delområdet Grundläggande aritmetik (AG). Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Här framgår att de olika delarna negativa tal, potenser och närmevärde inledningsvis är oberoende av varandra men alla kräver förkunskaper i grundläggande aritmetik. En hel del av uppgifterna på de här diagnoserna är centrala förkunskaper på flera program inom gymnasieskolan. Även om alla elever inte behöver behärska samtliga dessa uppgifter så är diagnoserna viktiga. Diagnoserna ska kunna användas för att ge stöd vid bedömning av de duktiga eleverna. Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Genom att följa pilarna i strukturschemat kan du till exempel se att diagnosen AU1 innehåller förkunskaper till AU, att AU innehåller förkunskaper till AU o.s.v. På motsvarande sätt innehåller AUp1 förkunskaper till AUp, att AUp innehåller förkunskaper till AUp, o.s.v. Ett avsteg från detta är AUp4 som fordrar förkunskper från AUp1 och ger förkunskaper till AUp5.

2 AU. Aritmetik Utvidgad AG Grundläggande Aritmetik AUn1 Negativa tal, taluppfattning AUp1 Potenser grundläggande AUn Negativa tal, addition och subtraktion AUn Negativa tal, multiplikation och division AUp Potenslagar 1 AUp Potenslagar AUp4 Kvadratrötter. AUn4 Negativa tal AUp5 Potenser och kvadratrötter Didaktiska kommentarer till delområdet De negativa talen Det är en ny utmaning för eleverna när talområdet utvidgas till att omfatta även de negativa talen. Det gäller att eleverna får en grundläggande förståelse för hur man opererar med de negativa talen, och hur man generaliserar räknelagarna, innan de lär sig regler som annars kan verka förbryllande. De negativa talen dyker upp i en rad olika situationer, bl.a. som svar till vissa ekvationer såsom x + 1 = 0 och x + 7 = eller som koordinater på grafen till y = x. En förutsättning för att eleverna med framgång ska kunna arbeta med negativa tal, är att de förstår vad ett negativt tal är och vilka egenskaper de negativa talen har. Många av de svårigheter som uppstår, t.ex., vid multiplikation av två binom, beror på att eleverna inte förstår vad de gör. Det lönar dig därför att ägna lite tid åt att reda ut innebörden av detta, så att eleverna senare kan använda operationerna på ett korrekt sätt och utveckla sin förståelse.

3 De negativa talen -1, -, -, -4, -5. är de motsatta talen till 1,,, 4, 5, vilket innebär att 5 + (-5) = 0. Om man på tallinjen speglar ett naturligt tal i punkten 0, så får man motsvarande negativa tal. Som framgår av figuren så är -5 spegelbilden till 5. Eftersom eleverna redan vet att 5 5 = 0, bör man nu koppla samman de här två erfarenheterna, vilket ger det användbara sambandet 5 5 = 5 + (-5). En konsekvens av detta är att uttryck som 4x 5 x + 6 kan skrivas 4x + (-5) + (-)x + 6. Eftersom de kommutativa räknelagen gäller vid addition (men inte vid subtraktion) kan termerna byta ordning. Detta förklarar varför man har rätt att skriva det här uttrycket som 4x x = x +. För att undvika sammanblandning mellan det minustecken som betecknar ett negativt tal och det minustecken som betecknar subtraktion är det ofta lämpligt att skriva talet -6 som (-6). Elever som i årskurs 1 har lärt sig förstå kopplingen mellan subtraktion och öppen utsaga, kan nu använda den strategin även vid subtraktion av negativa tal. Subtraktionen 6 (-4) kan ses som en öppen utsaga, nämligen (-4) + = 6, vilket är avståndet på tallinjen från (-4) till 6 alltså 10. Subtraktionen (-6) (-4) kan ses som den öppna utsagan (-4) + = (-6), vilket är avståndet från (-4) till (-6) på tallinjen (i negativ riktning) alltså (-). En bra regel, som alltid fungerar, är annars att subtraktion av ett negativt tal är detsamma som en addition av det motsatta talet. Det betyder att (-6) (-4) = (-6) + 4. Subtraktioner som 6 (-4) kan också lösas med hjälp av lika tillägg. Idén är detsamma som att 19 = 0 = 4 1. Om man adderar samma tal till båda termerna i en subtraktion så förändras inte differensen. På motsvarande sätt kan man addera 4 till båda termerna i subtraktionen 6 (-4) vilket ger (-4) + 4 = Multiplikation och division med negativa tal Den enklaste multiplikationen med ett negativt tal är av typen (-4) som i sin tur är lika med (-4) + (-4) + (-4) = (-1). På motsvarande sätt är (-1) / = (-4) / = (-4). (Lägg märke till att (-1) = (-4) + (-4) + (-4) = (-4). Eftersom multiplikation är kommutativ gäller det även att (-4) = (-4) = (-1). Att multiplicera två negativa tal är lite svårare. För att beräkna produkten (-) (-4) kan man börja med att addera talet (-) 4 vilket ger (-) (-4) + (-) 4. Genom att bryta ut (-) kan man skriva om detta som (-)[(-4) + 4] = (-) 0. Eftersom summan av de två talen är noll måste de två talen (-) (-4) och (-) 4 vara motsatta tal. Vi vet emellertid redan att (-) 4 = (-1). Alltså är det motsatta talet (-) (-4) = 1. På motsvarande sätt är (-1) / (-4) = (-). Det är genom att resonera så här med eleverna och göra dem förtrogna med matematikens uttrycksformer som de lär sig matematik såsom att operera med negativa tal. Detta underlättar även förståelsen för de formler man så småningom kommer att använda. Diskussioner av det här slaget som hjälper eleverna att förstå formler som (-a)(-b) = ab och (-a) / (-b) = a / b eller att a / (-b) = (-a) / b. Detta leder i sin tur till en större säkerhet när de ska arbeta med algebra. Grundpotensform

4 Med hjälp av grundpotensform kan talet 000 skrivas som 10, talet 900 som,9 10 och talet 980 som, På motsvarande sätt som man kan skriva 1000 som 10, och 100 som 10 och 10 som 10 1 kan man skriva 0,1 som 10-1, 0,01 som 10 - och 0,001 som Det betyder att man även kan skriva små tal i grundpotensform. Talet 0,0045 kan skrivas som,45 0,001 eller i grundpotensform, Det innebär t.ex. att protonens massa kan skrivas som 1, kg. Ett alternativ till att använda grundpotensform är prefixen. Istället för att skriva watt kan man skriva 4 gigawatt (GW). På motsvarande sätt kan man skriva 10 6 volt som megavolt (MV), meter som 5 mikrometer (μm) och 10-9 sekunder som nanosekunder (ns). Arbetet med detta bör ske i samverkan med NO-ämnena. Det här handlar om att använda matematikens uttrycksformer.. Räkneregler för multiplikation och division av tal i potensform För att multiplicera tal som och 5 bör man vara medveten om att talen står för respektive. Det innebär att 5 = ( ) ( ) = Detta kan i sin tur skrivas +5 = 8. På motsvarande sätt kan man skriva ( ) som ( ) ( ) = = 6. Samtidigt finner man att 5 / = ( ) / ( ) = 5- =. Genom att från början tänka så här blir det lättare att förstå innebörden av räkneregler som a b = a+b, a / b = a-b och ( a ) b = a b. Multiplikation och division av potenser med negativa exponenter. Potenser som 5 och multipliceras genom att exponenterna adderas. 5 = 5+ = 8. På motsvarande sätt divideras potenser genom att exponenterna subtraheras. 5 / = 5- =. Genom att tänja på gränserna och tillämpa formeln finner man att / 5 = -5 = -. Det innebär att = =. För negativa exponenter gäller alltså att a - 1 =. Logiken blir 7 a tydlig i följande talföljd: a = a a a, a = a a, a 1 = a, a 0 = 1, a -1 1 =, a - 1 = a a, 1 a- = a. Det är genom matematiska resonemang och användning av matematiska begrepp och metoder elever lär sig detta, samtidigt som det skapar mening i de formler de använder.. Räkneregler för kvadratrötter Eleverna bör sen tidigare veta att om a>0 så är a = a = ( a) vilket kan relateras till kvadratens sidor och area. Det bör nu föras en diskussion med eleverna om varför ( a) = a men att a inte är ett reellt tal, liksom att ekvationen x = a har två lösningar, x = a och x = (-a). När man reder ut detta för eleverna kan man utgå från en kvadrat med sidan a. Vid introduktion av övriga räkneregler såsom a b = a b kan man utgå från ett konkret exempel: ( ) = ( ) ( ) = =. Genom att ta kvadratroten

5 ur båda leden i ( ) = får man = ( = - kan inte accepteras). Detta leder i sin tur till beräkningar som att Det är angeläget att man för den här typen av resonemang med eleverna. Det handlar om att ge dem förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och att föra matematiska resonemang. På motsvarande sätt kan man visa att a a / b alltså att b 1 leder till beräkningar som att 1 / 4 /. Vilket i sin tur