Rationella tal. R. Området består av följande tre delområden: Sambanden mellan delområden ser ut så här: RB Bråk. AG Grundläggande Aritmetik

Transkript

1 . Diagnoserna i området avser att kartlägga elevernas förståelse och färdighet avseende tal i bråkform, tal i decimalform, proportionalitet och procent. Området består av följande tre delområden: B Bråk D Tal i decimalform P Proportionalitet och procent Strukturschemat visar att den grundläggande aritmetiken, AG omfattar förkunskaper till området och att delar av B, tal i bråkform, utgör förkunskaper till proportionalitet och procent, P och tal i decimalform, D. Detaljer för detta framgår av strukturschemat för respektive delområde. Sambanden mellan delområden ser ut så här: AG Grundläggande Aritmetik B Bråk P Proportionalitet och procent D Tal i decimalform DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 1

2 kommentarerk Området i relation till syfte och centralt innehåll i kursplanen i matematik Område omfattar delområdena B, tal i bråkform, D, tal i decimal form och P, proportionalitet och procent, och handlar om de rationella talen och dess aritmetik. Logiskt sett borde givetvis B, D och P vara delområden till A, aritmetik, men området A skulle då bli ohanterligt stort. Vi har därför valt att låta de rationella talen utgöra ett eget område. Med hjälp av diagnoserna inom detta område kan man ta reda på kvalitet och omfattning av de begrepp och metoder som eleven har inom rationella tal för att kunna utveckla förmågan att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser Beräkningar med rationella tal bygger på samma räknelagar och räkneregler som den övriga aritmetiken. Men nu är det en annan typ av tal jämfört med de naturliga talen som eleverna arbetat med tidigare. Genom att synliggöra detta i undervisningen underlättar man för eleverna att utveckla förmågan att kunna resonera, bygga begrepp och se samband samt att senare kunna generalisera den grundläggande aritmetiken till andra områden. Genom att tala matematik och göra skriftliga redovisningar ska eleven få hjälp att använda matematiska uttrycksformer och beräkningsmetoder inom området, på ett korrekt sätt. Diagnoserna ger eleven möjlighet att visa kunskap inom följande centrala innehåll: Det centrala innehållet som behandlar rationella tal finner man under rubrikerna Taluppfattning och tals användning och under Samband och förändring. Årskurs 1 3 Taluppfattning och tals användning: Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer. Samband och förändring: Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3 finns följande: Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk. Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer. Eleven ska alltså själv aktivt kunna dela helheter i olika antal lika stora delar och sedan uttrycka delarnas storlek med tal i bråkform. Detta förutsätter att eleven har förstått nämnarens och täljarens innebörd. Årskurs 4 6 Taluppfattning och tals användning: och deras egenskaper Positionssystemet för tal i decimalform. Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. Centrala metoder för beräkningar med enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder Samband och förändring: Proportionalitet och procent samt deras samband Grafer för att uttrycka olika typer av proportionella samband vid enkla undersökningar. I kunskapskraven i slutet av årskurs 6 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men det är nödvändigt att eleverna behärskar grundläggande bråkräkning och räkning med tal i decimalform, inte minst med tanke på att bråkräkning är en viktig förkunskap såväl till räkning med procent som inom algebra. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 2

3 kommentarerk Årskurs 7 9 Taluppfattning och tals användning: eella tal och deras egenskaper och användning i vardagliga och matematiska situationer. Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal: Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder Samband och förändring: Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktorer samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och situationer inom olika ämnes områden I kunskapskraven i slutet av årskurs 9, finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet, men arbete med rationella tal genomsyrar under dessa årskurser stora delar av skolans matematikundervisning. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 3

4 kommentarerk Didaktiska kommentarer till område Bråkens roll i samhället har successivt övertagits av deci maltalen (bland annat efter införandet av SIenheter för olika storheter). Detta får emellertid inte tolkas så att vi inte längre behöver undervisa om bråk i skolan. Bråket har fortfarande en stor roll att spela när det gäller att beskriva andelar och är samtidigt en förkunskap för att lära sig algebra. Att elever kan multiplicera, dividera eller förlänga tal i bråkform är nödvändigt på flera av gymnasieskolans program. äkning med bråk är en förkunskap för såväl räkning med decimaltal som för algebra. Decimaltal är en speciell typ av bråk och reglerna för hur man multiplicerar och dividerar decimaltal är desamma som för tal i bråkform. Decimaltal är inte något annat än bråktal med nämnaren 10, 100, etc. skrivna på ett annat sätt. I vardagen använder man relativt sällan tal i bråkform. Gör man det är det snarare som namn på en storhet. Du spelar en halvton för högt. Hon kommer om en kvart. I andra fall räcker det med att kunna tolka storleken av de nämnda bråken. Lektionen varade i tre kvart. Bråkformen i de här exemplen är egentligen skenbar. En kvart är inte ett bråktal i egentlig mening utan utgör snarare en proportion. När man studerar hur bråk behandlas i vardagen, och hur detta speglas i läromedel och under lektioner, visar det sig att bråk förekommer i en rad olika situationer. Det är emellertid inte lätt att genomskåda på vilket sätt de matematiska modellerna för bråkräkning används i dessa olika situationer. Man kan uttrycka detta som att bråken har många ansikten/aspekter. Ett bråk kan uppfattas på bland annat följande sätt, som: ett tal, en del av en hel, en del av ett antal, en andel, en proportion, ett förhållande t.ex. en skala. division som metafor. För att lösa problem som hör samman med de olika situationerna använder man sig av bråken som rationella tal och opererar med dem enligt gällande räknelagar. Det är emellertid inte alltid lätt för en elev att se sambanden mellan de olika situationerna. För en elev är det inte så lätt att inse att man kan arbeta med 2_ 3 av en helhet och 2_ av ett antal utgående från samma 3 matematiska modell, eller att en strategi som beskrivits för del av en hel också gäller för en del av ett antal. När man själv behärskar detta och därmed tar det för givet, kan det vara svårt att föreställa sig elevernas problem. Eftersom de räkneregler som gäller för tal i decimalform bygger på motsvarande regler för tal i bråkform är det lämpligt att behandla tal i bråkform före tal i decimalform, så att reglerna för hur man opererar med decimaltal inte enbart blir procedurella utan att eleverna får förståelse. Varje reellt tal kan utvecklas i decimalform med en decimalutveckling som är ändlig om talet är ett decimaltal, 3_ 8 = 0,375 oändlig och periodisk om talet är ett rationellt tal, som inte är ett decimaltal, 2_ = 0, eller 3 16 = 0, oändliga och ickeperiodiska om talet är ett irrationellt tal, π = 3, Varje bråk kan skrivas som en ändlig eller periodisk decimalutveckling. I vissa fall består perioden av enbart nollor. Sådana tal kallas för decimaltal. Alla rationella tal (tal i bråkform) kan uttryckas i decimalform och har en plats på tallinjen vilket gör att Positionssystemet för tal i decimalform utgör ett centralt undervisningsinnehåll. För att undvika en rad räknefel bör ett tal som 3,25 läsas 3 hela och 25 hundra delar och även kunna tecknas som 3 25 eller ännu hellre 100 som Mellan två rationella tal på tallinjen 100 finns det alltid oändligt många andra rationella tal. Mellan talen 0,25 och 0,26 finns t.ex. talen 0,251, 0,252 och 0,2511, 0,2512, osv. För att avgöra vilket av två tal i decimalform som är störst, t.ex. 3,547 och 3,539, börjar man med att jämföra entalen. De är lika stora. Därefter jämför man tiondelarna. De är lika stora. I nästa steg jämför man hundradelarna. Eftersom 4 hundradelar är större än 3 hundradelar så är talet 3,547 störst, oberoende av tusendelen. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 4

5 kommentarerk En förutsättning för att man skall kunna addera eller subtrahera två tal är att de är jämförbara. Man adderar t.ex. inte storheter som 2 cm och 3 mm utan att först uttrycka dem i samma enhet. Mätetalet blir alltså inte = 5 utan = 23 (mm) eller 2 + 0,3 = 2,3 (cm). På motsvarande sätt utför man inte subtraktioner som 2,10 2,9 utan att först skriva talen i samma enhet, nämligen hundradelar. Det bli då lätt att se att 2,10 är ett mindre tal än 2,90. Finns det verkligen tal mellan 1 och 0,9? Att skriva talen i samma enhet, alltså som 1,0 och 0,9 hjälper inte heller. Det gäller att inse att varje tal i decimalform kan skrivas på olika sätt. I det här fallet kan talen också skrivas som 1,00 och 0,90 eller 1,000 och 0,900 (jämför förlängning och förkortning av bråk). En bra metafor för detta är tallinjen. De första tiondelarna på tallinjen ser ut så här, uttryckt i såväl bråkform som decimalform. Inom de naturorienterande ämnena är det viktigt att man anger noggrannheten i en mätning. Om man anger att en sträcka är 1,9 meter lång, så menar man något helt annat än om man anger att sträckan är 1,90 meter lång. Detsamma gäller för matematikens avrundningsregler. När man anger en sträcka till 1,9 meter, så menar man i allmänhet att den är mellan 1,85 meter och 1,95 meter lång. Det betyder att decimaltalet 1,9 oftast tolkas som ett tal inom det skuggade området i figuren. 1,70 1,80 1,90 2,00 Det här betyder i sin tur att man inte kan avgöra vilket tal som är störst, 1,9 eller 1,86. Som framgår av nedanstående figur så kan 1,9 vara såväl större som mindre än 1,86. Däremot vet man med säkerhet att 1,90 är större än 1, ,70 1,80 1,90 2,00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Av tallinjen framgår det tydligt att det är ett avstånd mellan 0,9 och 1,0. På den sträckan finns det nya tal. Om man nu förstorar tallinjen mellan 0,9 och 1,0 tio gånger så ser det ut så här. I det här fallet bör talen skrivas som 0,90 och 1,00 eftersom noggrannheten nu är en hundradel ,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 Det här betyder att det mellan talen 0,9 och 1 finns åtminstone nio tal, 0,91, 0,92,, 0,99. Sträckan mellan 0,91 och 0,92 kan i sin tur förstoras upp tio gånger så mellan dessa tal ligger det åtminstone nio nya tal nämligen 0,911, 0,912,, 0,919. Eftersom detta kan upprepas i all oändlighet visar det sig att det i själva verket finns oändligt många tal mellan decimaltalen 0,9 och 1,0. Man kan också uttrycka detta på följande sätt. De naturliga talen känner sina grannar. Talen 8 och 10 är grannar till 9. Bland de naturliga talen finns inga tal mellan 9 och 10. När man kommer till de rationella talen (decimaltalen är rationella tal) så är det tvärtom. De rationella talen känner inte sina grannar. Det förhåller sig i stället så att det mellan två godtyckligt valda decimaltal finns oändligt många tal. Det är detta som demonstreras med hjälp av ovanstående tallinjer. I en inledande undervisning kanske man ska undvika att jämföra tal som 1,86 och 1,9. Får man en sådan uppgift bör man direkt ställa följdfrågan vad avses. Menar man 1,90 eller 1,9? Om talen hade angetts i samma enhet eller skrivits om så att de fick samma enhet så hade uppgifterna varit enkla att lösa. Då hade en uppgift som att jämföra talen 3,521, 3,6 och 3,75 i stället handlat om att jämföra talen 3,521, 3,600 och 3,750 och det hade inte rått någon tvekan om vilket tal som var störst. Dagligen möter man procentbegreppet i olika situationer. De matematiska modeller som används vid procenträkning har sina rötter i bråkräkningen och handlar i grunden om att räkna med andelar. Det krävs därför en god taluppfattning kopplad till bråk och decimaltal för att eleverna skall lyckas med procenträkning. Man bör därför ge eleverna möjlighet att få en fördjupad förståelse av procentbegreppet så att det fungerar vi problemlösning. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 5

6 kommentarerk. Alla diagnoser B1 En del av en hel B2 Flera delar av en hel B4 Bråk som tal D1 Tal i decimal form B3 Del av ett antal B5 Taluppfattning av bråk D2 Taluppfattning av tal i decimalform, addition och subtraktion P1 Grundläggande proportionalitet P3 Grundläggande procent B6 Addition och subtraktion av tal i bråkform D4 Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion D3 Taluppfattning av tal i decimalform, multiplikation och division TAg2 P4 Procenträkning B7 Multiplikation och division av tal i bråkform D5 Huvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och division P2 Proportionalitet i grafform P5 Procent problemlösning D6 Närmedvärden P6 Förändringsfaktorer AUp1 Potenser P7 änta DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 6

7 kommentarerk Bråk. B Delområdet B omfattar följande sju diagnoser: B1 En del av en hel B2 Flera delar av en hel B3 Del av ett antal B4 Bråk som tal B5 Taluppfattning av bråk B6 Addition och subtraktion av tal i bråkform B7 Multiplikation och division av tal i bråkform Diagnoserna inom delområdet bygger på att elever har en (intuitiv) kunskap om del av en helhet eller delar av ett antal samt att de behärskar de grundläggande räknelagarna från AG1. Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Där framgår att för att arbeta med bråk som tal B4 B7 krävs konkretiserande förkunskaper från B1 B3. Lägg märke till att arbetet med tal i decimal form kräver förkunskaper från B4. B1 En del av en hel B2 Flera delar av en hel B4 Bråk som tal B3 Del av ett antal B5 Taluppfattning av bråk B6 Addition och subtraktion av tal i bråkform B7 Multiplikation och division av tal i bråkform DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 7

8 kommentarerk Didaktiska kommentarer till delområdet B äkning med bråk är en förkunskap såväl för räkning med tal i decimalform som för algebran. Bråk används för att beskriva en rad olika fenomen inom vardagens matematik. De olika aspekterna kan beskrivas som bråkets olika ansikten. Bråk som beskriver tal. Tal som 3_ 7 och 2_ har liksom 5 talen 2, 3 och 5 en plats på tallinjen. De kan också definieras med hjälp av divisionerna 3/7 och 2/5. Vissa av bråken såsom 2_ kan också skrivas som ett 5 avslutat decimaltal, i det här fallet som 0,4. Däremot kan talet 3_ inte skrivas som ett avslutat 7 decimaltal, men kan ges ett hur noggrant närmevärde som helst med hjälp av en decimalutveckling såsom 0, Bråk som beskriver en eller flera andelar av en hel Talen 1/3 och 3/4 kan illustreras så här. Bråk som beskriver en eller flera andelar av ett antal. En tredjedel av 6 och 3 fjärdedelar av 8 kan beskrivas så här: Bråk som beskriver proportion. Ett exempel på detta är att 7 av 10 elever vill ha pizza på skollunchen. (Detta kan också beskrivas som att 70 % av dem vill ha pizza till lunch.) Bråk som används för att beskriva skala. I dessa fall skrivs bråken ofta som 5:1 eller 1: Bråk som används även för att ange förhållande. Om man ska dela ett 7 m långt rep i förhållandet 2:5, så blir andelarna 2/7 respektive 5/7. Man kan konstatera att bråk används i en rad olika situationer. Många elever har redan vid skolstarten en intuitiv uppfattning om bråk och andelar. Denna intuitiva vardagsuppfattning kan användas i undervisningen på ett sådant sätt att eleverna ges möjligheter att uppfatta begreppen och att på sikt formalisera dem. De flesta diagnoserna i området förutsätter att eleverna har en god taluppfattning och behärskar grundläggande aritmetik. För att förstå varför en division med ett bråk mindre än ett i nämnaren ger en kvot större än täljaren måste division förstås som innehållsdivision. Till exempel bör en uppgift som: 4_ ( _ 1 = 12 3 ) lösas genom tanken att det ryms 12 stycken tredjedelar i 4 hela. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 8

9 kommentarerk DIAGNOS B1 En del av en hel Diagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår en del av en helhet alltså nämnarens innebörd. Alla uppgifterna handlar alltså om stambråk, dvs. bråk där täljaren är 1. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Hur stor del av en figur som är skuggad 2 Ange de figurer där en fjärdedel är skuggad. 3 Skugga en given andel av olika figurer. Indelning gjord på förhand. 4 Skugga en given andel av olika figurer. Ingen indelning är gjord på förhand. 5 Skriva enkla bråk med siffror. 6 Ange de figurer där 1/3 är skuggad, generalisering. 7 Skugga en given andel av olika figurer, geometriskt tänkande. Uppgifterna i diagnosen är av olika slag. Uppgifterna 1, 2 och 6 handlar om att visa en passiv kunskap, där eleven bara behöver avläsa en andel. På uppgifterna 3, 4 och 7 krävs det en aktiv kunskap, där eleven själva måste konstruera andelarna. Det här, nämnarens betydelse, är det första viktiga begreppet som eleven måste förstå för att kunna arbeta med bråk. Det handlar om att uppfatta en del av en helhet. För att få en fjärdedel som i uppgift 4 gäller det att dela figuren i fyra lika stora delar och välja en sådan del. Detta kan göras på olika sätt. Uppgift 6b testar om eleven förstått att delarna måste vara lika stora. Om 1/3 är en ruta av tre så gäller det sedan att kunna generalisera detta tänkande till att 1/3 av sex rutor är två rutor. Detta testas i 3c och 6c. Facit 1a (en fjärdedel) 1b (en tredjedel) 1c (en halv) 2a Ja 2b Nej 2c Ja 2d Nej 3a 3b 3c På uppgift 3c kan eleven betrakta de sex rutorna som 3 par. 4a 4b 4c Genomförande I diagnosen används ordet skugga. Detta ord kanske måste förklaras för eleverna. Du kan även använda ordet måla. Det räcker om eleverna på något sätt markerar de avsedda delarna. För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Det är viktigt att eleven delar figurerna i fyra lika stora delar. 5a 1_ 5b 1_ 5c 1_ a Ja. 6b Nej. 6c Ja. 7a 7b 7c 5d 1_ 4 Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljning såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 9

10 diagnosd DIAGNOS B1 Namn 1 Hur stor del av figuren är skuggad? Klass a) b) c) 2 inga in alla figurer där en fjärdedel är skuggad. a) b) c) d) 3 a) Skugga en sjättedel av figuren. b) Skugga en fjärdedel av figuren. c) Skugga en tredjedel av figuren. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 10

11 diagnosd DIAGNOS B1 4 Skugga en fjärdedel av dessa figurer. a) b) c) 5 Skriv med siffror (i bråkform) a) en tredjedel b) en halv c) en sjättedel d) en fjärdedel 6 inga in alla figurer där 1 är skuggad? 3 a) b) c) 7 Skugga 1 av följande figurer. 5 a) b) c) DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 11

12 resultat En del av en hel DIAGNOS B1 Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c 7a 7b 7c Kommentarer Elev DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 12

13 kommentarerk DIAGNOS B2 Flera delar av en hel Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår bråk med fler än en andel. Det är alltså täljarens betydelse som står i fokus. Här kan man iaktta om eleven förstår att 2:an och 3:an i bråket 2_ har helt olika funktion. Siffran 3 ska här inte 3 tolkas som ett separat tal utan hela bråkuttrycket ( 1_ 3 ) måste beaktas. Talet 2 står för att man avser summan av två sådana bråk, alltså 1_ 3 + 1_ 3. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Ange andelen som är skuggade i olika figurer. 2 Skriva bråktal som uttrycks med bokstäver med hjälp av siffror. 3 Markera en given andel av figurer när bråken är givna med siffror. 4 Markera en given andel av figurer där eleven själv får dela in figurerna i delar. Uppgifterna är av olika slag. Uppgift 1 handlar om att visa en passiv kunskap, där eleven bara behöver avläsa andelarna. På uppgift 3 och 4 krävs det en aktiv kunskap, där eleven själv ska skugga en andel. I uppgift 3 finns andelarna redan markerade medan i uppgift 4 måste eleven konstruera andelarna. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, B2, har förkunskaper från B1. Det som diagnostiseras här är ett andra viktigt begrepp när det gäller att förstå och arbeta med tal i bråkform, nämligen att förstå täljarens betydelse. Här gäller det först att identifiera delen (nämnaren) och sedan välja rätt antal delar. Det är det antalet som ger täljaren. Facit 1a två femtedelar ( 2_ 5 ) 1b två tredjedelar ( 2_ 3 ) 1c tre fjärdedelar ( 3_ 4 ) 2a 2_ 3 2b 3_ 2c 3_ 5 4 3a 3b 3c 2d 5_ 6 Genomförande I diagnosen används ordet skugga. Detta ord kanske måste förklaras för eleverna. Du kan även använda ordet måla. Det räcker om eleverna på något sätt markerar de avsedda delarna. För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 3 4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar sannolikt tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ), om uppgiften är överhoppad. 4a 4b 4c Det är viktigt att eleven ritar ut lika stora delar. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 13

14 diagnosd DIAGNOS B2 Namn 1 Hur stor del av figuren är skuggad? Klass a) b) c) Svar: Svar: Svar: 2 Skriv med siffror (i bråkform) a) två tredjedelar b) tre femtedelar c) tre fjärdedelar d) fem sjättedelar 3 a) Skugga 2 5 av figuren. b) Skugga 3 4 av figuren. c) Skugga 5 av figuren Skugga 2 3 av följande figurer. a) b) c) DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 14

15 resultat Flera delar av en hel DIAGNOS B2 Elev Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 4a 4b 4c Kommentarer DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 15

16 kommentarerk DIAGNOS B3 Del av ett antal Diagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår hur andelar av ett antal eller av ett tal uttrycks. Uppgifterna behandlar följande innehåll. 1 Ange hur stor andel av ett antal cirklar som är skuggade. 2 Markera en angiven andel av ett uppritat antal figurer. 3 Ange en del av ett tal där antalet andelar är 1 (täljaren är 1). 4 Ange en del av ett tal där antalet andelar är större än 1 (täljaren är större än 1). 5 I en vardagsanknuten situation uppfatta att 1_ 3 = 2_ 6 6 Föränderliga helheter Uppgifterna är av olika slag. Uppgift 1 handlar om att visa en passiv kunskap, där eleverna bara behöver avläsa andelar. På uppgifterna 3, 4, 5 och 6 krävs det en aktiv kunskap, där eleverna själva måste tänka sig/konstruera andelarna. Uppgifterna utgör en förkunskap till proportionalitet. Genomförande I diagnosen används ordet skugga. Detta ord kanske måste förklaras för eleverna. Du kan även använda ordet måla. Det räcker att eleverna markerar de avsedda delarna. För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, B3, kräver förkunskaper från diagnos B2. De här operationerna bör konkretiseras när du diskuterar dem med eleverna i undervisningen. Uppgifterna 3 och 4 är t.ex. betydligt lättare att lösa om eleven använder materiel eller ritar figurer. För att konkretisera uppgift 6 kan man utgå från 12 föremål (karameller). När Ola ätit upp en tredjedel av dem (alltså 4 karameller) så är det bara 8 kvar. Hälften av dessa 8 är 4. Det är så här eleven kan tänka under diagnosen, som ju mäter om de har abstraherat denna kunskap. Betona att det antal som man ska ta en del av, förändras. Facit 1a 4_ 9 1b 2_ 1c 1_ 5 3 eller 2_ 6 2a 2b 2c Uppgift 2b kan man uppfatta som ett av tre tretal och 2c som tre av fyra par. 3a 6 3b 2 3c 2 3d 2 4a 4 4b 6 4c 4 4d (bitar) 6 4 (karameller) DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 16

17 diagnosd DIAGNOS B3 Namn 1 Hur stor andel av cirklarna är skuggade? Svara i bråkform. Klass a) b) c) Svar: Svar: Svar: 2 Skugga a) 3 5 av cirklarna b) 1 3 av cirklarna c) 3 4 av cirklarna 3 Hur mycket är a) hälften av 12? b) en tredjedel av 6? c) en femtedel av 10? d) en fjärdedel av 8? 4 Hur mycket är a) två tredjedelar av 6? b) två tredjedelar av 9? c) två femtedelar av 10? d) tre fjärdedelar av 8? DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 17

18 diagnosd DIAGNOS B3 5 En pizza är delad i 6 bitar. Markus åt upp en tredjedel av pizzan. Hur många bitar åt Markus? Svar: bitar. 6 I en skål låg det 12 karameller. Först åt Ola upp en tredjedel av karamellerna. Sedan åt Lisa upp hälften av de karameller som var kvar. Hur många karameller låg det sedan i skålen? Svar: karameller DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 18

19 resultat Del av ett antal DIAGNOS B3 Elev Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 5 5 Kommentarer DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 19

20 kommentarerk DIAGNOS B4 Bråk som tal Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har grundläggande förståelse av bråk som tal. Bråken har alltså i det här fallet inte någon betydelse av andel. Däremot kan ett tal som 3_ även uppfattas som 5 resultatet av divisionen 3/5. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Placera talen 1_ 2 och 1_ på tallinjen. 4 2 Placera talen 1_ 3 och 5_ på tallinjen. 6 3 Jämföra två tal med samma täljare och olika nämnare. 4 Jämföra två tal i bråkform. 5 Ange olika uttryck för samma bråktal genom att ange rätt täljare. Storleksordning av bråk kan ske på två sätt. Man kan ge dem en plats på tallinjen och man kan skriva dem så att de får samma nämnare. Detta är viktiga egenskaper som ligger till grund för bråkräkning och varje tal i bråkform kan alltså skrivas på oändligt många sätt. Dessa egenskaper bör man konkretisera för eleverna. Att till exempel talen i uppgift 5b och 5a är lika framgår av följande figurer där den vänstra figuren visar att 1_ 2 = 2_ och den högra figuren att 1_ 6 2 = 3_ 6. Facit 1 b a Genomförande Tala om för eleverna att de ska titta noga på hur de två tallinjerna är uppbyggda. För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 3 4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. 2 a b 3a 1_ 3b 1_ 3c 3_ a nej 4b ja 4c nej 4d ja 5a 4_ 8 = b 3_ 9 = 4 5c = d 4_ 4 = 7_ 7 Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, B4, bygger på diagnos B2. DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 20

21 diagnosd DIAGNOS B4 Namn 1 Sätt ett a vid talet 1 2 på tallinjen och ett b vid talet 1 4 på tallinjen. Klass 2 Sätt ett a vid talet 1 3 på tallinjen och ett b vid talet 5 6 på tallinjen. 3 Vilket av de två talen är störst? Gör en ring omkring det största talet i varje par. a) 1 2 eller 1 3 b) 1 7 eller 1 4 c) 3 4 eller Jämför de båda talen i uppgifterna. inga in de uppgifter där båda talen är lika stora. a) 1 2 = 1 6 b) 1 4 = 2 8 c) 2 3 = 2 4 d) 1 2 = Fyll i rätt siffror så att alla tal i raden blir lika stora. a) 1 2 = 3 6 = 8 = 12 c) 2 3 = 4 6 = 15 = 18 b) 1 3 = 2 6 = 9 = 12 d) 1 = 2 2 = 4 = 7 DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 21

22 resultat Bråk som tal DIAGNOS B4 Elev Uppgift nr 1a 1b 2a 2b 3a 3b 3c 4a 4b 4c 4d 5a 5b 5c 5d Kommentarer DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 22

23 kommentarerk DIAGNOS B5 Taluppfattning av bråk Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har grundläggande taluppfattning när det gäller bråk. Detta utgör en grund för räkning med bråk. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Täljarens innebörd 2 Subtraktion av bråk med lika nämnare 3 Multiplikation av ett bråk med ett naturligt tal. 4 Division av ett bråk med ett naturligt tal, delningsdivision. 5 Division där nämnaren är ett bråktal, innehållsdivision. De här uppgifterna handlar egentligen inte om de fyra räknesätten, utan de handlar om taluppfattning, alltså att 1_ 3 + 1_ 3 = 2_ 3 och att 3 1_ 5 = 1_ 5 + 1_ 5 + 1_ 5 = 3_ 5 Genomförande För att lösa dessa uppgifter gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Tala också om att det finns olika tecken för division och här används tecknet /. För elever som har en grundläggande taluppfattning av bråk tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, B5, bygger på diagnos B4. För de elever som har gjort fel på de här uppgifterna kan man rita figurer eller tolka innebörden i uppgifterna. Eftersom 2_ 5 betyder 1_ 5 + 1_ så måste 2 2_ 5 5 betyda ( 1_ 5 + 1_ ) + ( 1_ _ 5 ) alltså 4_. På motsvarande sätt kan 5 visa att 4_ 5 /2 = 2_. Uppgifterna i 5 svarar mot innehållsdivision och uppgift 5b löses enklast genom frågan hur 5 många tredjedelar får det plats (ryms) i en hel. Facit 1a 2_ 3 2a 1_ 3 3a 3_ 5 1b 3_ 5 1c 4_ 5 2b 2_ 5 3b 4_ 5 4b 2_ 5 4a 1_ 3 5a 2 5b 3 5c 2 2c 1_ 4 3c 4_ 3 eller 1 1_ 3 4c 1_ 4 DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 23

24 diagnosd DIAGNOS B5 Namn 1 a) = b) = c) = Klass 2 a) = b) = c) = 3 a) = b) = c) = 4 a) 2 3 / 2 = b) 4 5 / 2 = c) 3 4 / 3 = 5 a) 1 / 1 2 = b) 1 / 1 3 = c) 2 3 / 1 3 = DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 24

25 resultat Taluppfattning av bråk DIAGNOS B5 Elev Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c Kommentarer DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 25

26 kommentarerk DIAGNOS B6 Addition och subtraktion av tal i bråkform Diagnosen omfattar 12 uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon kan utföra additioner och subtraktioner med tal i bråkform. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Additioner där termerna har samma nämnare 2 Additioner där termerna har olika nämnare 3 Subtraktioner där termerna har samma nämnare 4 Subtraktioner där termerna har olika nämnare Genomförande För att lösa dessa uppgifter gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. För elever som förstått hur man räknar med tal i bråkform tar det 5 6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, B6, bygger på diagnos B5. Uppgifterna i diagnosen är av olika komplexitet. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om. Facit 1a 4_ 5 2a 7_ 8 3a 2 4 = 1_ 2 4a 1_ 4 1b 8_ 9 2b b 2_ 7 4b c 4_ 3 = 1 1_ 3 2c = 1 7 3c 4_ 5 4c DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 26

27 diagnosd DIAGNOS B6 Namn 1 a) = b) = c) = Klass 2 a) = b) = c) = 3 a) = b) = c) = 4 a) = b) = c) = DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 27

28 resultat Addition och subtraktion av tal i bråkform DIAGNOS B6 Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c Kommentarer Elev DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 28

29 kommentarerk DIAGNOS B 7 Multiplikation och division av tal i bråkform Diagnosen omfattar 12 uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon kan utföra multiplikationer och divisioner med tal i bråkform. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Multiplikationer där den ena faktorn är ett naturligt tal 2 Multiplikationer där båda faktorerna är tal i bråkform 3 Divisioner där nämnaren är ett naturligt tal 4 Divisioner där nämnaren är ett tal i bråkform Genomförande För att lösa dessa uppgifter gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. För elever som förstått hur man räknar med tal i bråkform tar det 5 6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, B7 bygger på diagnos B6. Uppgifterna i diagnosen är av olika komplexitet. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om. Facit 1a 3 1b 6_ 4 = 1 1_ 1c 4 4_ 2 5 2a 15 6 = 2 1_ 2b = 3 2c = 1 1_ 5 3a 2_ 3b 1 3c 2_ a 6 4b 3 4c 8 15 DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 29

30 diagnosd DIAGNOS B7 Namn 1 a) = b) = c) = Klass 2 a) = b) = c) = 3 a) 6 5 / 3 = b) 1 3 / 4 = c) / 4 = 4 a) 2 / 1 3 = b) 3 4 / 1 4 = c) 2 5 / 3 4 = DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 30

31 resultat Multiplikation och division av tal i bråkform DIAGNOS B7 Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c Kommentarer Elev DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 31

32 kommentarerk Tal i decimalform. D Delområdet D omfattar följande sex diagnoser: D1 Tal i decimalform D2 Taluppfattning av decimaltal, addition och subtraktion D3 Taluppfattning av decimaltal, multiplikation och division D4 Addition och subtraktion av tal i decimalform D5 Multiplikation och division av tal i decimalform D6 Avrundning och gällande siffror Eftersom decimalformen är ett speciellt sätt att uttrycka bråk med nämnare som 10, 100 osv. krävs förkunskaper från B4. För att operera med tal i decimalform kräv dessutom förkunskaper från område A. Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Där framgår att taluppfattning av tal i decimalform föregår operationer med dessa tal. Här gäller det huvudräkning i D2 och D3 men dessa diagnoser utgör i sin tur förkunskaper till AS9, AS10 och AS11 som testar skriftlig räkning med tal i decimalform. B4 Bråk som tal D1 Tal i decimal form D2 Taluppfattning av tal i decimalform, addition och subtraktion D4 Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion D3 Taluppfattning av tal i decimalform, multiplikation och division B7 Multiplikation och division av tal i bråkform D5 Huvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och division D6 Närmedvärden DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 32

33 kommentarerk Didaktiska kommentarer till delområdet D Diagnoserna inom detta delområde innehåller uppgifter som eleven ska lösa med hjälp av effektiva huvudräkningsstrategier vilket förutsätter att eleven har god taluppfattning när det gäller tal i decimalform. Skriftlig räkning med tal i decimalform prövas inom diagnoser i Aritmetik, delområdet skriftlig räkning (AS). Decimaltal kan ses som tal i bråkform där man uttryckt bråket med hjälp av nämnaren 10, 100, och så vidare. I undervisningen behöver du ägna tid åt att diskutera decimaltalens egenskaper och uppbyggnad och det är viktigt att eleverna ges möjlighet att utveckla språklig förståelse och innebörd av positionernas värde. Detta för att räkningen med decimaltal inte ska bli alltför procedurell. På samma sätt som man diskuterar ental, tiotal, hundratal och tusental när det gäller de naturliga talen bör man hantera tiondel, hundradel, tusendel och så vidare när det gäller decimaltalen. 375 ska förstås som: Hundratal Tiotal Ental ,75 ska förstås som: Till exempel behöver eleverna förstå talet 2,75 som 2 + 7/10 + 5/100 det vill säga som 2 hela, 7 tiondelar och 5 hundradelar. Detta för att kunna jämföra med talet 2,8 som då betyder 2 + 8/10 (+ 0/100) det vill säga 2 hela och 8 tiondelar (och inga hundradelar, det samma som 2,80) och på så sätt förstå varför 2,8 ("två komma 8") är större än 2,75 ("två komma 75"), trots att 75 är mer än 8. De båda talen kan jämföras enligt: Ental Tiondel hundradel Ental Tiondel hundradel Effektiva räknestrategier för tal i decimalform bygger liksom räkning med naturliga tal på god förståelse för räknesättens innebörd. Till exempel att subtraktion kan ses som skillnad och att en uppgift som 7,2 3,9 därför kan beräknas som 7,3 4,0 (ett lika-tillägg med 0,1 på båda termer) = 3,3. Samt att 1,2/0,6 = 2 eftersom 0,6 ryms två gånger i 1,2 (innehållsdivision). Ental Tiondel hundradel DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 33

34 kommentarerk DIAGNOS D1 Tal i decimalform Diagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har grundläggande förståelse av tal i decimalform. Det gäller relationen mellan bråktal och decimaltal och förståelse av positionssystemet när det gäller decimaltal. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Uttrycka tal skrivna i bråkform med nämnarna 10 eller 100 i decimalform. 2 Uttrycka tal skrivna i bråkform i decimalform. 3 Ange ett tal som ligger mellan två decimaltal. 4 Storleksordna två decimaltal. 5 Markera decimaltals placering på tallinjen. 6 Tal i decimalform adderas till eller subtraheras från ett naturligt tal 7 Dela ett tal i decimalform i två, tre eller fyra delar Genomförande Uppgifterna är av ett liknande slag som i B4, bråk som tal, men här handlar det om tal i decimalform. För elever som förstått dessa aspekter av bråk och decimaltal tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. För att lösa dessa uppgifter gäller det att ha förståelse av bråk som tal. Att en femtedel är lika med två tiondelar ger till exempel direkt decimaltalet 0,2. Jämför med B4, exempelvis uppgift 5. För den som läser ut decimalformen på ett lämpligt sätt blir en jämförelse av talens storlek inte så svår. Att 0,90 är större än 0,10 eller att 9 tiondelar är större än (1 tiondel) 10 hundradelar är tydligt. För de elever som läser ut 0,10 som noll komma tio, är det emellertid inte så konstigt om de anser att 0,9 är mindre än 0,10. Facit 1a 0,1 1b 0,3 1c 1,1 1d 0,03 2a 0,5 2b 0,25 2c 0,2 2d 0,02 3a t.ex. 0,6 3b t.ex. 0,24 eller 0,25 3c t.ex. 0,45 4a 1,0 4b 0,9 4c 0,8 5 b a 6a 0,4 6b 2,7 6c 1,5 7a 0,4 7b 0,3 7c 0,04 7d 0,8 DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 34

35 diagnosd DIAGNOS D1 Namn 1 Skriv som ett decimaltal Klass a) 1 = b) = c) 11 = d) = 2 Skriv som ett decimaltal a) 1 2 = b) 1 4 = c) 1 = d) = 3 Skriv ett tal som ligger mellan följande tal: a) 0,5 < < 0,7 b) 0,23 < < 0,26 c) 0,4 < < 0,5 4 Vilket tal är störst? inga in det talet. a) 1,0 eller 0,9 b) 0,10 eller 0,9 c) 0,19 eller 0,8 5 Sätt ett a vid talet 0,6 på tallinjen och ett b vid talet 0,25 på tallinjen. 6 Beräkna a) 1 0,6 = b) 2 + 0,7 = c) 2 0,5 = 7 Beräkna a) Hälften av 0,8 = b) En tredjedel av 0,9 = c) En fjärdedel av 0,16 = d) Hälften av 1,6 = DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 35

36 resultat Tal i decimalform DIAGNOS D1 Uppgift nr 1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 7c 7d Kommentarer Elev DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 36

37 kommentarerk DIAGNOS D2 Taluppfattning av decimaltal, addition och subtraktion Diagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har god taluppfattning när det gäller addition och subtraktion av enkla tal i decimalform. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 Addition med tiondelar och hundradelar utan tiondelsövergång 2 Addition med tiondelar och hundradelar medtiondelsövergång 3 Addition med tiondelar och hundradelar 4 Subtraktion med tiondelar och hundradelar utan tiondelsövergång 5 Subtraktion med tiondelar och hundradelar med tiondelsövergång 6 Subtraktion med tiondelar och hundradelar Genomförande Här gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller dels att hålla reda på positionernas betydelse, dels att använda räknelagar och räkneregler på ett bra sätt. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma. För elever som har en grundläggande taluppfattning av decimaltal tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, med 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och Dessutom utgör AG2, AG3 och AG4 förkunskaper till denna diagnos. Elever som till exempel inte behärskar tiotalsövergångar får sannolikt problem med tiondelsövergångar på den här diagnosen. Facit 1a 0,5 1b 1,9 1c 0,08 2a 1,1 2b 2,4 2c 0,12 3a 3,25 3b 4,3 3c 2,00 4a 0,3 4b 1,5 4c 0,04 5a 2,5 5b 0,6 5c 0,9 6a 0,2 6b 0,25 6c 0,06 DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 37

38 diagnosd DIAGNOS D2 Namn 1 a) 0,2 + 0,3 = b) 1,6 + 0,3 = c) 0,03 + 0,05 = Klass 2 a) 0,4 + 0,7 = b) 1,6 + 0,8 = c) 0,05 + 0,07 = 3 a) 3 + 0,25 = b) 2,4 + 1,9 = c) 1,35 + 0,65 = 4 a) 0,7 0,4 = b) 1,8 0,3 = c) 0,07 0,03 = 5 a) 3 0,5 = b) 1,4 0,8 = c) 1,7 0,8 = 6 a) 2,1 1,9 = b) 1 0,75 = c) 2,54 2,48 = DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 38

39 resultat Taluppfattning av decimaltal, addition och subtraktion DIAGNOS D2 Uppgift nr 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 6a 6b 6c Kommentarer Elev DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 39

40 kommentarerk DIAGNOS D3 Taluppfattning av decimaltal, multiplikation och division Diagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har god taluppfattning när det gäller multiplikation och division av enkla tal i decimalform. Uppgifterna behandlar följande innehåll: 1 2 Multiplikation av ett tal i decimalform med ett naturligt tal 3 Multiplikation av ett tal i decimalform med ett tiotal eller hundratal 4 5 Division av ett tal i decimalform med ett naturligt tal, delningsdivision. 6 Division med ett tal i decimalform, innehållsdivision. Genomförande Här gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller dels att hålla reda på positionernas betydelse, dels att använda räknelagar och räkneregler på ett bra sätt. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma. Tala också om att det finns olika tecken för division och att här används tecknet /. För elever som har en grundläggande taluppfattning av decimaltal tar det 4 5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck ( ) om uppgiften är överhoppad. Uppföljning För att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Dessutom utgör AG6, AG7 och AG8 förkunskaper till denna diagnos. Elever som till exempel inte behärskar tiotalsövergångar får sannolikt problem med tiondelsövergångar på den här diagnosen. Uppmärksamma speciellt uppgift 6 som kräver kunskaper om innehållsdivision. Exempelvis handlar uppgift 6a om hur många halva som (hur många gånger 0,5) ryms i 1. Uppgift 6b handlar om hur många gånger 2 (tiondelar) ryms i 8 (tiondelar). Facit 1a 0,6 1b 1,5 1c 0,12 2a 4,48 2b 1,25 2c 6,18 3a 6 3b 7 3c 20 4a 0,4 4b 2,4 4c 0,11 5a 0,16 5b 0,04 5c 1,08 6a 2 6b 50 6c 2 DIAMANT NATIONELLA DIAGNOSE I MATEMATIK 40