Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Transkript

1 Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg

2 Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras sats! 9 Vi använder Pythagoras sats! 10-2-

3 Introduktion till Pythagoras sats När man är liten vill man ofta ta genvägar. Istället för att gå runt fotbollsplanen från ett hörn till det motsatta springer man gärna diagonalt rakt över den istället. Hur lång blir genvägen då? Om man vill ro över en flod med strömmande vatten tar man ofta sikte på en punkt på motsatta stranden men hamnar en bit nedströms innan man är framme. Hur långt har man då egentligen rott? Pythagoras var en man som levde för länge sedan, och han tog fram en formel som han även bevisade matematiskt. När man bevisat något inom matematiken, t ex en formel kallar man den formeln för sats. Det innebär att man kan anta att den är sann just eftersom den är bevisad. 1. Undersök bilderna ovan. Pythagoras sats gäller bara i vissa situationer. a) Känner du igen någon figur i bilderna? b) Det är något speciellt med figuren. Vad är det? -3 -

4 Pythagoras sats Som du nyss konstaterade gäller Pythagoras sats endast i vissa situationer: För att beräkna sidor i trianglar Gäller endast rätvinkliga trianglar Om man är snickare jobbar man ofta med räta vinklar i olika sammanhang. Det kan bli jobbigt om man bygger sådant där vinklarna ska vara räta men där detta inte stämmer. Titta på bilden till vänster. Här kan snickaren använda Pythagoras sats för att säkert få veta att vinkeln mellan stolpen och taket är rät. Det är bra för annars kommer hela taket att luta på ett felaktigt sätt. Pythagoras sats innebär att det finns ett förhållande mellan alla sidorna i en rätvinklig triangel enligt bilden nedan: Så här ser själva satsen ut: a2 + b2 = c2 I avsnitten som följer ska vi gå igenom det du behöver veta för att kunna använda Pythagoras sats. -4 -

5 Variabler När man tittar på Pythagoras sats ser man att sidorna i triangeln är märkta med bokstäverna a, b och c. Detta beror på att man vill att formeln ska kunna kunna gälla alla rätvinkliga trianglar med alla olika längder på sidorna. När man inte vet vad en längd är kan man kalla den för en bokstav istället. Ofta används bokstäverna x, y och z eller a, b och c. Vissa bokstäver används på ett sådant sätt att de har ett bestämt värde. Det är t ex grekiska bokstaven pi (π) som man har bestämt till 3,14 (avrundat). I andra fall används bokstaven så att man kan byta ut den till vilket värde man vill - den kan variera och kallas därför för variabel. Potenser Ja, vad betyder då a 2 eller b 2 eller c 2 i Pythagoras sats? Bokstäverna står ju som vi beskrivit ovan för olika värden, det vill säga längden på den rätvinkliga triangelns olika sidor. För att göra det hela enkelt kan vi titta på a 2 och då säga att a = 3. Då blir hela talet 3 2. Denna typ av tal kallas för potenser, eller att de är skrivna i potensform. 3 2 exponent bas Potensen till vänster utläses som tre upphöjt till 2 eller tre i kvadrat. Den betyder att man multiplicerar talet 3 med sig själv 2 gånger: 3 2 = 3 3 = 9 Det är inte samma sak som att multiplicera talet 3 med = = 6 2. Beräkna nedanstående. a) 3 2 b) 2 2 c) a) 5 2 b) 7 2 c) a) 4 2 b) 8 2 c)

6 Skriv om nedanstående till ett annat räknesätt. 5. a) 3 3 b) c) a) 2 2 b) 7 7 c) a) b) 9 2 c) Hur skulle man kunna rita talet 2 4? 9. Hur skulle man kunna rita talet 4 2? 10. Fyll i det som saknas i tabellen nedan

7 Att komma tillbaka till ursprunget Vissa av våra räknesätt hänger ihop med varandra på ett sätt som gör dem till motsatser till varandra. Addition = 55 För att komma tillbaka till ursprunget Subtraktion 55-5 = 50 Multiplikation 50 2 = 100 För att komma tillbaka till ursprunget Division 100 = 50 2 Även potenser har en sådan typ av "motsatt" räknesätt. Detta räknesätt kallas för kvadratrot eller mer vardagligt "roten ur". För att komma tillbaka till ursprunget p 3 2 = 9 9= 3 "Roten ur 9" ger alltså det talet som multiplicerat med sig själv är Beräkna nedanstående utan att använda miniräknare. a) 4 2 b) 16 c) 1 2 d) 1 e) 2 2 f) 4 g) 3 2 h) Beskriv begreppet potenser för en kompis eller skriv ned din beskrivning. 13. Beskriv begreppet kvadratrot för en kompis eller skriv ned din beskrivning. 14. Hur hänger begreppen potenser och kvadratrötter ihop? Förklara för en kompis eller skriv ned din beskrivning. 15. Fyll i tabellen på nästa sida. Använd inte miniräknare utan gör uppställningar när huvudräkning inte räcker till. Lämna sedan över tabellen till en kompis och jämför om ni svarat lika. Diskutera er fram till lösningar om det visar sig att ni har olika svar. -7-

8 Ursprungstal Beräkning & svar Räkna tillbaka till ursprungstalet = = = / 3 = = = = = 6 2 = = = 9 2 = = = 10 2 = = = 12 2 = = = 25 2 = = = 88 2 = -8-

9 Vi bevisar Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 Area: 5 5 = Area: 3 3 = Area: 4 4 = 16 Vi ger den rätvinkliga triangeln sidorna 3, 4 och 5 istället för a, b och c. Om vi då använder Pythagoras sats ser det ut så här: = = = 25 = stämmer! -9-

10 Vi använder Pythagoras sats 35 cm 46,1 16. Snickaren vill nu kontrollera om hans takvinkel är rät så att han kan fortsätta bygga. Testa att sätta in sidornas längd i Pythagoras sats och kontrollera om det stämmer. cm 30 cm 17. Testa om nedanstående trianglar är rätvinkliga. Du får avrunda till närmsta heltal. a) m m b) 5 cm 4 cm 4 6, cm 40 m c) d) 14 m 10 cm 11 cm 17 m 4,5 cm -10-4m

11 Om vi har en rätvinklig triangel där vi vet de två kortaste sidornas längder (kateterna) kan vi beräkna längden på den tredje och längsta sidan (hypotenusan). Vi använder som tidigare Pythagoras sats och sätter in våra värden Steg 1) a 2 + b 2 = c 2 Steg 2) = c 2 Steg 3) = c 2 Steg 4) 65 = c 2 Vi har nu fått fram att den tredje sidan upphöjt till 2 är 65 cm och för att bli av med exponenten 2 använder vi oss av roten ur. Steg 5) 65 = 8,0622 8,1 cm -11-

12 18. Beräkna längden på hypotenusan på de rätvinkliga trianglarna nedan. Avrunda till en decimal. a) 110 m 70 m c 50 m b) c 20 0m c) Hur lång skulle hypotenusan bli om man kom i land med flotten dubbelt så långt nedströms? -12 -

13 d) Snickare Perre ska bygga en takstol enligt nedanstående mått. Hur långa ska brädorna märkta med c vara? c c 5 m 13 m e) Byt lösningar på uppgift 18a-d med en kompis. Skriv kommentarer till lösningarna enligt listan nedan: Hur väl man visar hur man räknat (redovisa tillvägagångssätt) Hur väl man använder uttrycksformerna (symboler, siffror, bilder, text) Hur väl man använder Pythagoras sats som metod -13-