Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014"

Transkript

1 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04

2 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0

3 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Repetitionsuppgifter i matematik Inför studierna i höst är det lämpligt att fräscha upp räknefärdigheterna. Det är kanske något år sedan du läste gymnasiematematiken, och när du kommer till Linköping sätter vi igång med full fart från första början! I skolan används numera räknare (bl.a. grafritare) flitigt. Detta har många fördelar. Rutinberäkningar går snabbt och man kan därigenom ägna mer tid åt verksamhet som utvecklar begreppsförståelse och problemlösningsförmåga. Det finns dock risker med att använda räknare alltför flitigt. Många moment i matematiken är av den karaktären att man förstår dem bättre om man vänjer sig vid att hantera dem genom att räkna för hand, med penna och papper. Alla uppgifter i detta häfte skall lösas helt utan tekniska hjälpmedel. De fyra räknesätten.. Bestäm de tal på tallinjen, som är markerade med A, B och C... Vilket tal ligger mitt emellan 0, och 0, 0,96 och 0, 0,79 och 0,8 d) 0,8 och 0,8.. Beräkna + 6 ( + 6 ) ( + 6) d) ( + 6).4. Beräkna ( 0) d) 4 + ( ) e) 6 ( 0) f) 0 ( 0).. Beräkna ( 0) ( ) d) ( 0) + ( 00) Det är inte tillåtet att skriva två operationssymboler intill varandra. Ett vanligt fel är gånger minus, dvs att man får se något sådant som. Detta är förbjudet; man måste sätta parentes om den andra faktorn: ( )..6. Beräkna ( ) ( ) ( 4) 8 ( ) ( ) ( 6) ( ) 7 + ( ) ( 4) d) ( ) ( 0) 6 ( ) e) (4 7 9 ) + ( 6 7 )/

4 4 När man arbetar med bråkuttryck är det mycket viktigt att bråkstrecket står på samma nivå som tecknet = och symboler som + och (om dessa inte själva ingår i bråket). Exempelvis är det fel, ja direkt förbjudet, att skriva a + b = c när man menar a + b = c..7. Beräkna 7 ( ) + ( 0) ( ) ( ) Beräkna 0 0, 0, ,7, 0, d) 0 (0,8 0,).9. Beräkna 0, 0, 0,08 0,7 0,7 0,09 d) 0, 0,00.0. Beräkna 4 0, + 0, 0,7 0, 0, 4, 0, d) 0,8 + 0, 6.. Beräkna 0, + 0, 6 0, + 6 0, 0,4 + 0, 0, d) 0,7 0, 0,.. Beräkna 0,6 0, 0,4 0,7 0,7 0,08 0,04 0,6 d) 0,6 + 0, 0, 0,06 0,4 0,9 0, 0,00.. Vilket tal skall talet, multipliceras med för att resultatet skall bli:.4. Beräkna ,0 0,8 + 0, 0, 0, 0,07 0,07 d) 0,8 0,0.. Summan av två tal är 0,6. Det ena talet är 0,04. Vilket är det andra?.6. Produkten av två tal är 0,04. Det ena talet är 0,9. Vilket är det andra?.7. Vad kostar det att köpa 0, kg köttfärs, om köttfärsen kostar 4 kr/kg?.8. För en viss kopieringsmaskin är kostnaden 0 öre per kopia. Hur många kopior har en kund tagit, om hon får betala 67,0 kr?

5 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Räkning med tal i bråkform Förkortning (med 7) 49 = /7 49/7 = 7 Förlängning (med 7) 9 = = 6 Multiplikation 4 7 = Addition och subtraktion + 6 = = = = = 7/ 0/ = 9 0 Division = 7 = 0 = 0 = 0 Om man förlänger dubbelbråket med nämnaren) får man talet i nämnaren. (det inverterade talet till den ursprungliga.9. Förkorta så långt som möjligt Bestäm det tal, som skall stå på den tomma platsen: = 7 = 8 d) 7 6 = d) = 7.. Skriv upp de tal mellan 0 och, som i enklaste bråkform skrivs med nämnaren... Vilket tecken (=, < eller >) skall stå mellan talen? Vilket tecken (< eller >) skall stå mellan talen? d) 4 9 d) Skriv följande tal i enklaste bråkform: 0,00 0,0 0,07 d) 0, Beräkna d) e) 6 ( 4) ( ) f) 6+( )+ ( 0)+( ) ( ) ( ) 8.6. Summan av två tal är 0. Det ena talet är. Vilket är det andra? 6 4 0

6 6.7. Produkten av två tal är. Bestäm den andra faktorn, om den ena faktorn är Vilket tal skall 6 multipliceras med för att produkten skall bli 8?.9. Beräkna Bestäm det bråk som ligger mitt emellan d) ( ) ( 7 + ) och 8 och.. Beräkna medelvärdet av, 4 och... Beräkna ( ) 8.. Beräkna d) e) / g) + 8 ( ) ( ) ( ) ) 9 d) ( f) 4 ( 9 ) / ( ) 4.4. Av en tygrulle skall man klippa till 40 cm långa stycken till dukar. Hur många dukar får man om tygrullen är 40 m lång?.. Vilket är kilopriset för jäst om 0 g kostar,7 kr?.6. I Sverige kastas i genomsnitt 00 kg sopor per person och år. Hur stor mängd sopor blir det under ett år i ett samhälle med invånare? Svara i ton..7. Vid en regnskur föll mm regn. Hur många liter föll på en rektangulär gräsmatta, som är m lång och 0 m bred?

7 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår 7 Potenser och rötter Uttrycket a x kallas för en potens med basen a och exponenten x. Följande räknelagar för potenser förutsätts vara kända (a, b > 0): a x a y = a x+y ( a ) x a x = b a x a y = ax y (a x ) y = a x y (a x = a x b x b x a x = a x a 0 = a m n = n a m.. Beräkna ,008 0, d) Beräkna ( ) d) ( ).. Beräkna d).4. Beräkna d).. Förenkla så långt som möjligt: 4 ( ) / d) 0 e) 000 / f) 6 /4 g) 4/ 6 x+y h) x y i) /7 7 ( ) 6/7 j) 0 7/ (/0) 4 0 /.6. Beräkna d) Skriv i potensform med basen :.8. Beräkna 8 4 0, 0, e) 0,07 0, , d) d) 8 0,.9. Beräkna ( ) ( 7) ( ) 6 d) ( 0).0. Beräkna ( ) + ( ) (0) + ( ) ( ) + ( ) d) ( 4) + ( ) ( 0) e) ( ) + ( ) 4 ( )

8 8.. Ordna följande tal efter storlek, från det minsta till det största ( ) ; ( 0,) ; ; ( 0,) ; (0,) 4 ; Beräkna 0, , , d) 0, Beräkna d) e) 0 0 f) Skriv i potensform med basen det tal som är dubbelt så stort som 0 hälften så stort som 0.. Skriv som en enda potens av : 7 6 d) ( ).6. Beräkna d) ( 4) 6.7. Skriv som en enda potens av : Beräkna ( 4) ( ).9. Skriv som en enda potens av :.0. Förkorta Skriv som en potens med basen 4 d) ( ) ( 0 4) 0 7 ( ) ( 4) d) 6 8 (6 ) d) 9.. Beräkna d) +.. Beräkna 0, 0, 0, + 0,6 d) 0, + 0,.4. Beräkna och svara i grundpotensform (dvs. på formen a 0 n, där a < 0): d)

9 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår 9.. Med hur många siffror skrivs följande tal om de skrivs utan potenser?, , d) 0, Beräkna och svara i grundpotensform: , 0 d).7. Beräkna och svara i grundpotensform: ( 4 0 4) ( 0 ) ( 0 ).8. a = och b = 0. Beräkna och svara i grundpotensform: ab a/b b/a d) ( 0 ) Ett rotuttryck kan ibland förenklas genom att man faktoriserar under rotmärket efter följande modell: 7 = 8 9 = = ( ) = = 6.9. Följande tio tal är parvis lika. Para ihop de tal som är lika 8,,,,, 8, 7, 4,,.0. Snygga till följande uttryck enligt ovanstående idé: d) + 8 e) f) Beräkna och förenkla följande uttryck: 8 0 d) e) f) Ett bråk med kvadratrotsuttryck i nämnaren brukar inte anses som förenklat. Kvadratrötter i nämnare kan avlägsnas genom att man förlänger med det s.k. konjugatuttrycket: ( + ) + + = ( ) ( ) = ( ) = + = +.. Skriv om följande uttryck utan kvadratrötter i nämnaren: + d) Förenkla så långt som möjligt följande tal: ( ) 6 6 d) 6

10 0 Algebra Förenklingar och omskrivningar Produkten av två polynom innebär multiplikation av två parentesuttryck, som visas i exemplet nedan. Teckenregeln lika tecken ger plus; olika tecken ger minus tillämpas. Exempel: (x 4) (x ) = x x 8x + 0 = x x + 0 Vi fortsätter med några räknelagar: (a + = a + ab + b () (a = a ab + b () (a (a + = a b () De två första, ekvationerna () och (), kallas kvadreringsreglerna och den tredje, (), kallas konjugatregeln. Samtliga dessa räknelagar kan kontrolleras genom att man utför multiplikationen i vänsterledet. Den första kvadreringsregeln kan vi även se på följande geometriska sätt, i alla fall då a och b är positiva. Vänsterledet i den översta ekvationen är arean av hela kvadraten med sidan a + b, högerledet är summan av arean av de fyra delar som kvadraten består av. Konjugatregeln och andra kvadreringsregeln kan på motsvarande sätt ges en geometrisk tolkning. Konjugatregeln är för övrigt ofta användbar, då det gäller att förenkla uttryck som innehåller rotuttryck i nämnaren, vilket illustrerades på sida 9. Faktorisering genom utbrytning xy x y = x y x x y = xy ( x) = xy( x) (x + y) + xz + yz = (x + y) + z(x + y) = (x + y)( + z) Faktorisering genom användning av konjugat- och kvadreringsreglerna 4s 9t = (s + t)(s t) 8a + a + = ( 9a + 6a + ) = (a + ) (x + ) 4y = (x + + y) (x + y)

11 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Ekvationslösning är vad det låter som. Det handlar om att finna samtliga tal som uppfyller en given ekvation. Exempel Lös ekvationen x = 4 ( x) Ekvationen kan skrivas x = 0 x. Vi möblerar om, så att alla x hamnar på ena sidan och alla konstanter på den andra sidan om likhetstecknet, och får ekvationen 4x = d.v.s. x = 4. Exempel Lös ekvationen x + = Samla konstanterna på högra sidan och gör liknämnigt, så fås x = = = Detta ger lösningen x =. Exempel Lös ekvationen (x ) (x 4) = (x 4) ( x) Vi observerar att faktorn (x 4) finns med i båda leden. Om x = 4 så blir alltså såväl höger- som vänsterled 0, d.v.s. x = 4 är en lösning. Om x 4 kan vi dividera båda leden med (x 4) och då erhålla ekvationen x = x, vilken har lösningen x =. Svaret blir att x = eller att x = 4. (Ett mycket vanligt fel är att man direkt dividerar båda leden med den gemensamma faktorn och erhåller ekvationen x = x. Då har man dock dessvärre tappat bort en lösning. Division med (x 4) förutsätter ju att x 4.).. Förenkla (x y) (4x+y) (6x 0y) (x+y) 6 ( x y ( y + 8 ) 6 x ) 9.. Lös ekvationerna x = x 7z + = z (x + ) = 6 (x + ) d) x x = 0 e) 800 = f) x = Lös ekvationen (x + 8) (6 x) (4 x) (x + ) = 44

12 Andragradsekvationer Betrakta en allmän andragradsekvation x + px + q = 0 där p och q är konstanter. För att härleda en formel för ekvationens rötter, använder man sig av en omskrivning, som är mycket vanlig, då man arbetar med andragradsuttryck, nämligen kvadratkomplettering. Detta innebär att man samlar alla uttryck som innehåller x i en kvadrat, vilket kan ses geometriskt i nedanstående figur. Vi kan även se det algebraiskt genom att använda oss av första kvadreringsregeln: x + px + q = x + p x + q = x + p ( p ( p ) ( ) x + + q = x + p ) ( (p ) q ) ( Med denna omskrivning kan ekvationen x + px + q = 0 tecknas x + p ) ( p ) = q under ( p ) förutsättning att q 0. Då har ekvationen lösningarna x + p (p ) = ± p (p ) q, d.v.s. x = ± q.4. Tre på varandra följande positiva heltal (konsekutiva tal) har summan 94. Vilka är talen?.. Lös ekvationerna x + + x 9 x 8 = x 4 = x + x 8 + x = d) x + x + x 4 x 6 = När man skall lösa ekvationen 6 ( x) = 48 nedan, är det enklast att först lösa ut ( x) och inte att multiplicera in i parentesen..6. Lös ekvationerna 6 ( x) = 48 7 (x 7) = Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: x x 4 4 x = x 49 x 8x x d) x 0x +

13 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Vi påminner om begreppet absolutbeloppet av ett reellt tal x, som skrivs x. x = x om x 0 x = x om x < 0 Det viktiga just nu är att x alltid är större än eller lika med 0. Observera att en kvadratrot också alltid är större än eller lika med noll. Detta måste man tänka på exempelvis när man bryter ut ur rotuttryck. Om man skall beräkna ( ) skall man först räkna ut ( ) = 4; sedan får man 4 =. Alltså är ( ). Med hjälp av absolutbelopp kan man skriva en formel som alltid gäller, nämligen ( = a..8. Förenkla följande uttryck: ( ) x d) x + x + e) x 4 + x +.9. Skriv om följande uttryck så att så litet som möjligt blir kvar under kvadratrotstecknet: a 7 a b 6.0. Förenkla följande uttryck ) x y (y + x) z ( z.. Utför multiplikationerna (4y ) (y ) (x ) (4x x 6).. Förenkla följande uttryck och beräkna därefter uttryckets värde för det angivna x- värdet. ( x 6 ) ( x 4 8 ) och x = 6 (x + ) (x 4x + ) (x x + ) och x =.. Utveckla och förenkla (x + 7) (x 7) (x + y) d) (x + ) + (x ) e) (4a + (4a.4. Uttrycket döljer ett heltal. Vilket? ( ) ( ) ( + 4 ) ( 4 + ).. Förenkla genom att förkorta 0a6 a.6. Förenkla a b a ab a b x + 6x x + 4x x x 4.7. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: x + x + 9x x 9 x 9 x 4x x + 0 8a 4a + 8 x x x d) 8x 7 x 6

14 4.8. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: / ( ab a + ) ( a b b b ) ( ) a + b a a + b.9. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: b a + ab + x a + b x + x x + a + b a ab a b.0. Lös ekvationerna 9x = (x ) = x = 6x d) (x ) + (x+) (x ) = (x+) (x+) (x+).. Lös följande ekvationer: d) b ab a ab + a a b x + 4x + 4 = 0 x x 6 = 0 x x 8 = 0 d) 9x + 9x 0 = 0 e) x 0x + 8 = 0.. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: x x x + x + 0 x + x 7 d) 4 x x Kom ihåg följande regel: Om en produkt av två eller flera faktorer är noll, så måste minst en av faktorerna vara noll... Lös följande ekvationer: x (x + ) = 0 (x ) (x + ) = 0 x (x ) = 0 d) (x ) (x + 8) = 0.4. Ekvationen x 4x + a = 0 har en rot x =. Bestäm a och den andra roten... Lös följande ekvationer: x (x + ) (x ) = 0 (x + ) (x + 4) = 4 x x + = x d) x 7 x = x Hur förenklar man bäst ett dubbelbråk, d.v.s. ett bråk som i sin tur innehåller bråk i täljaren och/eller nämnaren? En bra idé är ofta att börja med att förlänga bråket med minsta gemensamma nämnaren (MGN) till småbråken. Ett exempel: x = b a a b a b + b a + Här är MGN lika med ab. Förläng bråket med detta, d.v.s. multiplicera både täljare och nämnare med ab: ( b ab a a ) b b x = ( a ab b + b ) a (b (b + = a + a + b = + ab (a + = b a b + a.

15 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår.6. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a 9 a a + a a + a a b a a a + b Linjära ekvationssystem { 7x y = 70 x 8y = 0 Var och en av dessa ekvationer har obegränsat många lösningar. Att lösa ekvationssystemet innebär att vi bestämmer ekvationernas gemensamma lösningar. Det första steget i lösningen är att eliminera (bortskaff en av de obekanta. Detta kan ske på olika sätt: Metod (Substitutionsmetoden) Den andra ekvationen ger x = 8y 0, som efter division med ger x = 4y. x i den första ekvationen ersättes nu med 4y, d.v.s. substitueras (insättes) i den första ekvationen. Vi har då eliminierat x. 7(4y ) y = 70 ger 8y 0 y = 70 y = y = 7 y = 7 = 7 { x = Om y = 7 blir x = 4 7 = Svar: y = 7. Metod (Additionsmetoden) För att kunna eliminera y multipliceras den första ekvationen med 8 och den andra med, vilket ger nedanstående ekvationssystem { { 8 (7x y) = x 4y = 60 (x 8y) = ( 0) 6x + 4y = 90 Addition av ekvationerna ger: 6x + ( 6x) 4y + 4y = x = 60 x = 60/0 =, vilket i sin tur ger y-värdet efter insättning av x = i exempelvis den första ekvationen. 7x y = 70 7x 70 = y 7 70 = y 9 70 = y = y 7 = y { x = Svar: y = 7.

16 6 Grafisk tolkning av ekvationssystem Varje ekvation i ett linjärt ekvationssystem med två obekanta betyder grafiskt en rät linje. Följande huvudfall förekommer: En lösning Linjerna skär varandra i en punkt Ingen lösning Linjerna är parallella Obegränsat många lösningar Linjerna sammanfaller.7. Lös ekvationssystemen { x y = x y = 8 { x + y = x + y = { 4x + y = e) 7x y =.8. Lös ekvationssystemen { x = y x = 4y + e) { x y = 4 0,x + y = 4, { x + y = 4 x y = 6 { x + y = d) x y = 8 { 4x 7y + = 0 f) 4x + 8y = 0 d) x y = 0 x + y = f).9. Lös ekvationssystemen { x + 6y = 4 x + 4y = 4 { x y = x + 9y = 6 { 0,x +,y = 0,x y = 0 x + y = x y = { 0,x 0,y = 0,9,x +,y =, { x y = x + 6y = 0.0. Ett jetplan startar kl..4 från Arlanda mot Sturup och håller farten 800 km/h. Kl..00 startar ett propellerplan från Sturup mot Arlanda och flyger med farten 60 km/h. Flygvägen mellan Arlanda och Sturup är 0 km. Bestäm när och hur långt från Sturup som flygplanen möts.

17 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår 7 4 Funktioner 4.. Förenkla p(x) = x (x + ) + ( x ) p(x) = x (7 x) x(x + ) 4.. p(x) = x 6x +. Beräkna p() p() p( ) 4.. Funktionen f är definierad av formeln f(x) = x +. Beräkna ( ) f() f( ) f 9 d) För vilket eller vilka x gäller att f(x) = 4? e) För vilket eller vilka x saknar funktionen värde? ( ) 4.4. Beräkna f() f, då f(x) = 0 x Låt f(x) = x x. Beräkna f() f( ) För vilket eller vilka x gäller att f(x) = 0? d) Förenkla uttrycket f(x) f(x) Låt f(x) = x 4 x. Beräkna f( ) f ( ) 6 d) För vilket eller vilka x gäller att f(x) =? f (f()) f( f( e) Förenkla. (I vilket sammanhang förekommer detta?) a b f( f( f) Förenkla. 8a 4.7. Funktionen h är definierad genom h(x) = x x + x. Beräkna ( ) h() h() h() h( ) h() h 4.8. Funktionen g är definierad genom g(x) = (x + ) x + x. Beräkna g() g() g(0) g( ) 4.9. f(x) = x + x. Beräkna f() f() f( ) f( ) f(x + h) f(x) 4.0. Förenkla uttrycket, då h f(x) = f(x) = x + x Vilket matematiskt begrepp hör detta ihop med?

18 8 4.. En kula rör sig så att sambandet mellan tiden t (sekunder) och tillryggalagd sträcka s(t) (meter) beskrivs av s(t) = t + 0, t. Hur långt flyttar sig kulan under tidsintervallet från t = till t = 0? Vilken medelhastighet har kulan under tidsintervallet från t = 4 till t = 6? Teckna ett uttryck för medelhastigheten under tidsintervallet från t = t till t = t. 4.. Vid produktion av en vara är kostnaden att tillverka q enheter T (q) tusen kronor, där T (q) = q + q. Hur stor är kostnadsökningen, när man ökar produktionen från 0 till 60 enheter? Hur stor är den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet, när man ökar produktionen från 0 till 60 enheter? Teckna ett uttryck för den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet, när man ökar produktionen från q till q.

19 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår 9 Logaritmer I det här avsnittet handlar det om 0-logaritmer. Kom ihåg hur dessa definieras. Hela hemligheten finns i formeln: Man kan också uttrycka det så här: x = 0 lg x lg x = y är detsamma som 0 y = x Logaritmlagarna Exempel lg xy = lg x + lg y lg x = lg + lg x ( ) ( ) x 7 lg = lg x lg y lg = lg 7 lg x y x lg x t = t lg x lg x = x lg Varning!!! lg(x + y) kan ej förenklas!!!.. Bestäm följande logaritmvärden: lg 00 lg lg 0,0 d) lg 0,0000 e) lg 0.. Bestäm talet a om lg a = lg a = 4 lg a = d) lg a = 0.. Sätt lg = a och lg = b. Uttryck i a och b: lg 4 lg 6 lg 8.4. I vilket intervall ligger talet t om < lg t < 0 < lg t < < lg t < 0 d) 8 < lg t < 0.. Beräkna med användning av logaritmlagarna lg + lg lg 0 lg lg 4 + lg d) lg 0,0 + lg 0,.6. Lös följande ekvationer lg x = lg + lg lg x = lg 4 lg lg x = lg +lg d) lg x lg(x+) =.7. Antag att lg t = a. Skriv, uttryckt i a, talen lg t lg t lg 00t d) lg 0,t.8. Beräkna 0 lg 0 lg 0 lg +lg lg lg 8 d) 0.9. Skriv a lg x + b lg y + c som en logaritm..0. Förenkla lg lg 0 + lg ( ) lg lg lg 0 + lg 0

20 0 6 Facit. Facit: Räknesätt.. A = 0,7, B = 0,0, C = 0, A = 0,98, B =,0, C = 0,99.. 0, 0,98 0,79 d) 0, d) d) 0 e) 8 f) d) d) 8 e) d) ,06 0,06 8 d) ,9 0,0, d).. 0,9 0 d) 0,0.. 0,0 7 0,0 d) , ,8 0, 0,00 d) 0,77.. Det andra talet är 0,6..6. Den andra talet är 0,0..7.,0 kronor.8. kopior d).0. 4 d) 7.. d).. = > > d) <.. > > < d) > 7.4. d) d) e) f) 0.6. Det andra talet är /.7. Andra faktorn är Talet är 9/ d) 7 9

21 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår e) 6 f) dukar.. kronor per kilo ton sopor liter regn föll på gräsmattan g) d) 0 d) 0. Facit: Potenser och rötter ,09 0, d) d) d) d) 7.. d) e) 0 f) 8 g) 0, h) x y i) 0, j) 0, d) d) ,09 0, d) e) d) d) 4 e) 8 (.. 0, ( 0,) ), 0,09 ( 9 0 ) (, 0,008 (0,) 4) (, 0,09 ( 0,) ), 0,8 ((9/0) ), 0,87 ( 87 0 ) d) d) e) 0,09 f) 0, d) 6.6. = = 7 0 = d) = d)

22 .8. 7 = 49 = 9 0 = 0 d) 6 = d) d) 7 7 d) 9.4., ,4 0 9 d) siffror siffror siffror d) 7 siffror d), ,6 0 9, d) , , =, 8 =, =, 4 =, 7 =.0. 4 d) e) 4 f) d) 77 e) f).. ( ) d) d) ( ). Facit: Algebra x = 4 z = 0 x = d) x = 9 e) x = 600 f) x =.. x =.4. Talen är 97, 98 och 99.. x = x = x = 7 d) x =.6. x = 0 x = x =.7. (x 7) (x + 7) (x ) (x+) x ( x) (+x) d) (x ).8. x d) x + e) x +.9. a a a b 8 a.0. 0y 7 z 6 = 7z.. 8y 6y + 8x 6x +x+0.. Det förenklade uttrycket är x och antar värdet 0 då x =.

23 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Det förenklade uttrycket är x och antar värdet då x =... 9x 49 4x +y +0xy d) 8x + 8 e) 80ab a x (a ) = a 4.6. b (a + x x.7. x d) 4x +.8. a + b.9. a b a (a = b a ab x + a b b x (x ) = x x x + (x ) (x + ) = x x + x 6 d) a b a.0. x = ± x = 7 eller x = x = 0 eller x = 6 d) x = 7.. x = 9 eller x = x = eller x = x = 4 eller x = 7 d) x = eller x = e) x = eller x = 4.. (x ) (x + ) (x + ) (x + 4) (x ) (x + 7) d) (x ) (x + 8).. x = 0 eller x = x = eller x = x = 0 eller x =.4. a = och den andra roten är x = 7 d) x = 8 eller x =.. x = 4 eller x = x = eller x = 0 x = 7 eller x = d) x = eller x = 7.6. a a 6 a + b a b { { { x = 4 x = x =.7. d) y = y = 0 y = x = 7 8 x = e) y = f) y = 8 x = x = x = y = y = y = d) 7 8 { x = y = x = 9 46 y = 7

24 4 { { x = 4 x = e) f) y = 6 y = { x = 6.9. y = Ekvationssystemet saknar lösning, eftersom linjerna är parallella och inte sammanfallande. Ekvationssystemet har oändligt många lösningar, eftersom linjerna är parallella och sammanfallande..0. Kl..0 och 86 km från Sturup. 4. Facit: Funktioner 4.. p(x) = x + p(x) = x x 4.. p() = p() = p( ) = f() = f( ) = ( ) f = d) x = 6 e) x = ( ) 4.4. f() f = 4.. f() = 4 f( ) = 7 x = 0 eller x = d) f(x) f(x) = 7x 6x ( ) 4.6. f( ) = 0 f = f (f()) = 6 4 d) x = eller x = f( f( e) = a+b 4 (I samband med derivat a b f( f( f) = a 8a 4.7. h() h() = g() g() = 4.9. f() f() = f(x + h) f(x) h f(x + h) f(x) h h() h( ) = 6 6 g(0) g( ) = 8 f( ) f( ) = 00 = (x + h + ) (x + ) h x = x (x + h) Derivata h() h ( ) = Kulan förflyttar sig 48 meter. Medelhastigheten är 0 m/s. s(t ) s(t ) = + t + t t t 4.. Kostnadsökningen är 00 tusen kronor. Den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet är 0 tusen kronor. T (q ) T (q ) q q = 00 + q + q

25 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Facit: Logaritmer.. 4 d) e).. a = 000 a = 0,000 a = 0, d) a =.. a a + b a < t < 000 < t < 0 0, < t < d) < t < eller 0 8 < t < lg 0 = lg lg 00 = d) lg 0,0 =.6. x = x = 4 x = 4 d) x =.7. a a + a d) a , =.9. lg (x a y b d) 6

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

Lathund algebra och funktioner åk 9

Lathund algebra och funktioner åk 9 Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken

Läs mer

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

ALGEBRA OCH FUNKTIONER ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion.

Läs mer

Matematik 3000 kurs B

Matematik 3000 kurs B Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs B Innehåll Kursöversikt...4 Så här jobbar du med boken...5 Studieenhet Sannolikhetslära...6 Studieenhet Linjära modeller...8 Studieenhet Icke-linjära

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

KURS A och B lärobok med övningsuppgifter Naturvetenskap och teknik. Sigurd Eriksson. Matematik DEL I. bearbetad av.

KURS A och B lärobok med övningsuppgifter Naturvetenskap och teknik. Sigurd Eriksson. Matematik DEL I. bearbetad av. KURS A och B lärobok med övningsuppgifter Naturvetenskap och teknik Sigurd Eriksson Matematik DEL I bearbetad av Lennart Gombrii Nyutgåva av Sigurd Eriksson Matematik I & II Del I Del II 325 exempel, 1365

Läs mer

NpMa2b vt 2015. Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng.

NpMa2b vt 2015. Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-17. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning

Läs mer

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller = n se ta l l ta al u at sen nt al rat l r l d d n iotu se hun tiot a ent a hu t tu + + 7 tiotusental tusental 7 tiotal 7 7 7 7 Ju längre till höger, desto större är talet. 7 > 7 Siffran betyder tiotusental

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

7 Använd siffrorna 0, 2, 4, 6, 7 och 9, och bilda ett sexsiffrigt tal som ligger så nära 700 000 som möjligt.

7 Använd siffrorna 0, 2, 4, 6, 7 och 9, och bilda ett sexsiffrigt tal som ligger så nära 700 000 som möjligt. Steg 9 10 Numerisk räkning Godkänd 1 Beräkna. 15 + 5 3 Beräkna. ( 7) ( 13) 3 En januarimorgon var temperaturen. Under dagen steg temperaturen med fyra grader och till kvällen sjönk temperaturen med sex

Läs mer

Mattestegens matematik

Mattestegens matematik höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite

Läs mer

Innehåll. 1 Allmän information 5. 4 Formativ bedömning 74. 5 Diagnoser och tester 90. 6 Prov och repetition 107. 2 Kommentarer till kapitlen 18

Innehåll. 1 Allmän information 5. 4 Formativ bedömning 74. 5 Diagnoser och tester 90. 6 Prov och repetition 107. 2 Kommentarer till kapitlen 18 Innehåll 1 Allmän information Seriens uppbyggnad Lärobokens struktur 6 Kapitelinledning 7 Avsnitten 7 Pratbubbleuppgifter Aktivitet Taluppfattning och huvudräkning 9 Resonera och utveckla 9 Räkna och häpna

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term

Läs mer

4. Gör lämpliga avläsningar i diagrammet och bestäm linjens ekvation.

4. Gör lämpliga avläsningar i diagrammet och bestäm linjens ekvation. Repetitionsuppgifter inför prov 2 Ma2 NASA15 vt16 E-uppgifter 1. Beräkna sträckan i triangeln nedan. 3,8 m 37 o 2. En seglare ser en fyr på ett berg. Hon mäter höjdvinkeln till fyrljuset till 7,3 o. På

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Övningar i ekvationer

Övningar i ekvationer i ekvationer Innehåll A. Addition och subtraktion B. Multiplikation och division C. Blandade räknesätt - prioritet D. Enkla förenklingar E. Parenteser F. Tillämpningar Detta häfte är till dig som läser

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Matematik B (MA1202)

Matematik B (MA1202) Matematik B (MA10) 50 p Betygskriterier med exempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR -9 Matematik Etrauppgifter för skolår -9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell Utbildning

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Lösningsförslag Cadet 2014

Lösningsförslag Cadet 2014 Kängurutävlingen 2014 Cadet svar och korta lösningar Lösningsförslag Cadet 2014 1. A 0 2014 2014 2014 2014 = 0 2. D 21 mars Det blir torsdag senast om månaden börjar med en fredag. Då är det torsdag dag

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt

Läs mer

Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov.

Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. Ma2bc. Komvux, Lund. Prov 1. 1-Övningsprov. (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C Kravgränser 110 minuter för Del B, C och Del D. Du får påbörja del D (och börja använda

Läs mer

Mallisivuja. Framåt med matematiken. Raimo Seppänen Tytti Kiiski

Mallisivuja. Framåt med matematiken. Raimo Seppänen Tytti Kiiski Raimo Seppänen Tytti Kiiski Framåt med matematiken REPETITION OCH FÖRDJUPNING INFÖR LÅNG MATEMATIK I GYMNASIET OCH MATEMATIK FÖR KRÄVANDE UTBILDNING VID YRKESINSTITUT MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2010 Beställningar

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Repetitionsuppgifter på Höstens Matematik NV12, 2012, Origo Ma1c, kap. 1-3, 5-6

Repetitionsuppgifter på Höstens Matematik NV12, 2012, Origo Ma1c, kap. 1-3, 5-6 Repetitionsuppgifter på Höstens Matematik NV12, 2012, Origo Ma1c, kap. 1-3, 5-6 Kap.1 Tal E1. På tallinjen nedan är två tal A och B markerade med ett kryss. Ange talen. Endast svar fordras. a) b) (Nationellt

Läs mer

28 Lägesmått och spridningsmått... 10

28 Lägesmått och spridningsmått... 10 Marjan Repetitionsuppgifter Ma2 1(14) Innehåll 1 Lös ekvationer exakt................................... 2 2 Andragradsfunktion och symmetrilinje........................ 2 3 Förenkla uttryck.....................................

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

inga frågor är dumma, varje student skall känna sig sedd och respekterad, studenterna skall få en god introduktion i ett högskolemässigt arbetssätt.

inga frågor är dumma, varje student skall känna sig sedd och respekterad, studenterna skall få en god introduktion i ett högskolemässigt arbetssätt. Institutionen för matematik Staffan Lundberg augusti 2006 FINPLANERING, FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till Dig som undervisar på proppen. Inledning: Efter genomförd enkät med fjolårets ettor, kommer vi

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.

1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken. Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Nationella strävansmål i matematik. Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven

Nationella strävansmål i matematik. Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven Nationella strävansmål i matematik Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära

Läs mer

8-4 Ekvationer. Namn:..

8-4 Ekvationer. Namn:.. 8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar

Läs mer

lång och 15 cm bred. Hur stor area har tomten i verkligheten? 4,5 2 l b) 2-2- 3 4

lång och 15 cm bred. Hur stor area har tomten i verkligheten? 4,5 2 l b) 2-2- 3 4 LÄXA 12 1 Beräkna med huvudräkning a) En kvadrat har arean 81 cm 2. Hur stor är omkretsen? b) Hur mycket kostar 600 g fläskfile, om priset per kilogram är 120 kr? c) En burk energidryck innehåller 200

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 2 digitala övningar med TI 82 Stat, TI 84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

http://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.

http://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts. Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att

Läs mer

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss. 8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Information om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU)

Information om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU) Sida 1 (6) Information om ämnet Militärteknik med diagnostiskt självtest av förkunskaper till blivande studerande på Stabsutbildningen (SU) Militärteknik kan sägas vara läran om hur tekniken interagerar

Läs mer

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2)

MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (B-boken version 2) Provets omfattning: t o m kapitel 4.1 i Matematik 2000 kurs B (version 2). PROVET BESTÅR AV TVÅ DELAR Del 1 testar huvudsakligen

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013 DIAMANT NaTionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11 Diamantmaterialets uppbyggnad 6 Områden 22 Delområden 127 Diagnoser Till varje Område

Läs mer