Repetitionsuppgifter i matematik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Repetitionsuppgifter i matematik"

Transkript

1 Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som är markerade med A, B och C: a) b) C A B 0,7 0,9 A C B,0 Vilket tal ligger mitt emellan a) 0, och 0, b) 0,9 och 0, c) 0,79 och 0,8 d) 0,8 och 0,8? Beräkna a) + b) ( + ) c) ( + ) d) ( + ) Beräkna a) 0 0 b) 0 + c) + ( 0) d) + ( ) e) ( 0) f) 0 ( 0) Beräkna a) + 8 b) 8 + ( 0) ( ) c) d) ( 0) + ( 00) Det är inte tillåtet att skriva två operationssymboler intill varandra Ett tyvärr vanligt fel är gånger minus, dvs att man får se något sådant som Detta är förbjudet; man måste sätta parentes om den andra faktorn: ( ) Sätt hellre ut för många parenteser än för få! Beräkna a) ( ) ( ) ( ) b) 8 ( ) ( ) ( )

2 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! c) ( ) 7 + ( ) ( ) d) ( ) ( 0) ( ) När man arbetar med bråkuttryck är det mycket viktigt att bråkstrecket står på samma nivå som tecknet = och symboler som + och (om dessa inte själva ingår i bråket) Exempelvis är det fel att skriva när man menar a + b = c a + b = c En god idé kan vara att börja med bråkstrecket, när man ska skriva ett bråk 7 Beräkna a) 7 ( ) b) + ( 0) ( ) ( ) 8 Beräkna a) 0 0, b) 0, + 0,7 c), 0, d) 0 (0,8 0,) 9 Beräkna a) 0, 0, b) 0,08 0,7 c) 0,7 0,09 d) 0, 0,00 0 Beräkna a) 0, + 0, b) 0,7 0, 0, c), 0, d) 0,8 + 0, Beräkna a) 0, + 0, b) 0, + 0, c) 0, + 0, 0, d) 0,7 0, 0, Beräkna a) 0, 0, 0, 0,7 b) d) 0, 0,9 0, 0,00 0, + 0, 0, 0,0 c) 0,7 0,08 + 0,0 0, Vilket tal skall talet, multipliceras med för att resultatet skall bli a) b) 0,0? Beräkna a) 0,8 + 0, b) 0, 0, c) 0,07 0,07 d) 0,8 0,0 Summan av två tal är 0, Det ena talet är 0,0 Vilket är det andra? Produkten av två tal är 0,0 Det ena talet är 0,9 Vilket är det andra? 7 Vad kostar det att köpa 0, kg köttfärs, om köttfärsen kostar kr/kg? 8 För en viss kopieringsmaskin är kostnaden 0 öre per kopia Hur många kopior har en kund tagit om hon får betala 7,0 kr? 9 Förkorta så långt som möjligt a) 0 7 b) c) 77 d) 7 0 Bestäm det tal som skall stå på den tomma platsen: a) = b) 7 = c) 8 = d) = 7 Hur stor del av en timme är a) 0 minuter b) minuter c) minuter?

3 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Skriv upp de tal mellan 0 och, som i enklaste bråkform skrivs med nämnaren Vilket tecken (=, < eller >) skall stå mellan talen? a) 8 b) 7 c) 7 d) 9 Hur stor del av en timme är a) 0 sekunder b) sekunder c) sekunder? Vilket tecken (< eller >) skall stå mellan talen? a) b) c) 8 9 Skriv följande tal i enklaste bråkform: 9 0 d) 0 9 a) 0,00 b) 0,0 c) 0,07 d) 0,000 7 Beräkna a) b) 7 9 c) d) Summan av två tal är 0 Det ena talet är Vilket är det andra? 9 Produkten av två tal är Bestäm den andra faktorn om den ena faktorn är a) 7 b) c) 0 Vilket tal skall multipliceras med för att produkten skall bli 8? 0 Beräkna a) + 9 b) ( ) ( 7 + ) c) 9 9 d) 7 + Bestäm det bråk som ligger mitt emellan a) och, b) 8 och Beräkna medelvärdet av, och Beräkna a) d) ( Beräkna a) / b) 0 ) 8 b) c) ( + + ) 8 Av en tygrulle skall man klippa till 0 cm långa stycken till dukar Hur många dukar får man om tygrullen är 0 m lång? 7 Vad är kilopriset för jäst om 0 g kostar,7 kr? 8 En person är ordinerad att ta 0 ml medicin gånger per dag Hur mycket medicin går det åt på 0 dagar? Svara i liter 9 I Sverige kastas i genomsnitt 00 kg sopor per person och år Hur stor mängd sopor blir det under ett år i ett samhälle med invånare? Svara i ton 0 Vid en regnskur föll mm regn Hur många liter föll på en rektangulär gräsmatta som är m lång och 0 m bred? Vad kostar det att duscha 0 minuter under vatten som rinner med 0 liter/minut, om varmvatten kostar kr/m?

4 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Potenser och rötter I det här avsnittet används följande definitioner och räkneregler Dessa regler kan man använda utan att förklara sig, men regler som inte finns i rutan måste man bevisa om man vill använda dem! Potensregler: a 0 = a = a a = a a x = a x (a x ) y = a xy (ab) x = a x b x Rötter: a = a n a = a n a b = ab a x a y = a x+y a a = b b a x a y = ax y Kommentarer: Om a 0, så betyder a alltid det icke-negativa tal vars kvadrat är a Exempelvis är 9 = En vanlig missuppfattning är att 9 skulle ha två olika värden (±), men det är fel! (Däremot gäller att ekvationen x = 9 har två rötter, nämligen ± 9 dvs ± Observera att det inte finns någon räkneregel för tex förenkling av a + b Ett exempel på användning av regeln a b = ab: 7 = = = = (= 7) Beräkna a) b) 0,008 c) 0, d) 7000 Förenkla a) 8 b) c) 0 d) 0 Förenkla a) 8 b) c) d) 00 Beräkna a) b) ( ) c) d) ( ) Beräkna a) b) 0 + c) d) Beräkna a) b) c) + d) 7 Beräkna a) b) c) d) Skriv i potensform med basen : a) 8 b) c) d) 8 9 Beräkna a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, 0 Beräkna a) ( ) b) ( 7) c) ( ) d) ( 0)

5 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Beräkna a) ( ) + ( ) b) 0 + ( ) c) ( ) + ( ) d) ( ) + ( ) ( 0) Beräkna a) 0, b), 0 0 c) 0, 0 0 d) 0,0 0 0 Beräkna a) 0 0 b) c) d) Skriv i potensform med basen det tal som är a) dubbelt så stort som 0, b) hälften så stort som 0 Skriv som en enda potens av : a) 7 b) c) d) ( ) Beräkna a) b) c) d) ( ) 7 Skriv som en enda potens av : a) b) 9 c) d) ( ) 8 Beräkna a) b) ( ) ( ) c) ( 0 ) 0 7 d) 8 ( ) 9 Skriv som en potens av : a) 7 b) ( ) c) ( ) d) 9 0 Beräkna a) 7 b) c) + d) + Beräkna a) 0, b) 0, c) 0, + 0, d) 0, + 0, Beräkna och svara i grundpotensform (dvs på formen a 0 n, där a < 0): a) 0 0 b) 0 0 c) 0 0 d) Med hur många siffror skrivs följande tal om de skrivs utan potenser? a),7 0 8 b) 8, 0 0 c) 0 0 d) 0,0 0 8 Beräkna och svara i grundpotensform: a) 0 0 b) c) 0, 0 d) Beräkna och svara i grundpotensform: a) ( 0 ) b) ( 0 ) c) ( 0 ) d) ( 0 ) a = och b = 0 Beräkna och svara i grundpotensform: a) ab b) a/b c) b/a

6 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Ett bråk med kvadratrotsuttryck i nämnaren brukar inte anses som förenklat Kvadratrötter i nämnare kan avlägsnas genom att man förlänger med sk konjugatuttryck: = + ( )( + ) = + ( ) = + = + 7 Skriv om följande uttryck utan kvadratrötter i nämnaren: + + a) b) c) d) + 8 Förenkla så långt som möjligt följande tal: a) ( ) b) c) d) 9 I en rätvinklig triangel är den ena kateten le och hypotenusan är le Bestäm a) den andra katetens längd, b) triangelns area, c) höjden mot hypotenusan 0 I en liksidig triangel är sidan 8 le Bestäm a) höjden, b) arean

7 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Algebra Här ska vi öva följande räkneregler: () Konjugatregeln: (a + b)(a b) = a b () Kvadreringsregeln: (a + b) = a + ab + b Andragradsekvationen x + px + q = 0 kan man lösa genom kvadratkomplettering: addera p q till båda leden så får man x + px + p = p q Här är vänsterledet kvadraten på uttrycket ( x + p ) Då måste gälla att Detta ger lösningsformeln x + p = ± p () x = p ± p q q () Om andragradsekvationen x + px + q = 0 har rötterna x och x så är x + px + q = (x x )(x x ) och p = (x + x ), q = x x Kommentarer: Om man byter ut b mot b i kvadreringsregeln får man formeln (a b) = a ab + b Om man kommer ihåg denna idé behöver man inte lära sig denna formel separat den är ju bara en variant av den första kvadreringsregeln! Huvudprincipen vid ekvationslösning är att man i varje steg gör samma sak med båda leden: man kan addera samma tal till båda leden, dividera båda leden med samma tal osv Observera att en andragradsekvation ofta kan lösas på enklare sätt än genom kvadratkomplettering eller lösningsformeln Om tex p = 0 har man x + q = 0, som löses direkt genom kvadratrotsutdragning Om q = 0 kan vänsterledet faktoriseras: x(x + p) = 0 Om en produkt av tal är lika med 0 måste något av talen vara 0 Alltså är x = 0 eller x = p Denna idé kan också användas i andra fall, om ekvationen kan skrivas som en produkt av faktorer som är lika med noll Regel () inser man också genom att använda denna idé Denna regel är mycket användbar som ett snabbt sätt att kontrollera att man har löst en andragradsekvation rätt Lös ekvationen (x + 8)( x) ( x)(x + ) = Lös ekvationerna a) x + + x 9 = b) x + x =

8 8 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! c) x 8 = x + x 8 d) x + x + x x = När man skall lösa ekvationen ( x) = 8 är det enklast att först lösa ut ( x), inte att multiplicera in i parentesen Lös ekvationerna a) ( x) = 8 b) c) x x x = 7 (x 7) = Lös ekvationerna a) x c) x + x x = = d) x x = 0 x b) x + = 9 Lös ekvationerna a) x + x x + x = 0 b) x 7 x = Förenkla så långt som möjligt a) (x )(x ) x(x ) b) ( x)( + x) ( x)( + x) c) (x ) (x )(x + ) d) (x + ) (x )(x 8) 7 Faktorisera följande utryck så långt som möjligt: a) x 9 b) x c) 8x x d) x 0x + 8 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) x + x + 9x b) x 9 x 9 c) x x x Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) b b) a + b c) a + b a + b a a a d) 8x 7 x 0 Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) x b) x x x x c) x x x x Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) 9a a + a + a + d) (a + a + )(a ) (a + )(a ) b) / a a d) a + a a a + a d) c) (a )(a ) (a + )(a + ) a a a Hur förenklar man bäst ett dubbelbråk, dvs ett bråk som i sin tur innehåller bråk i täljaren och/eller nämnaren? En bra idé är ofta att börja med att förlänga bråket med minsta gemensamma nämnaren (MGN) till småbråken Ett exempel: x = b a a b a b + b a +

9 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 9 Här är MGN lika med ab Förläng bråket med detta, dvs multiplicera både täljare och nämnare med ab: ( b ab a a ) b b x = ( a ab b + b ) a (b a)(b + a) = a + a + b = + ab (a + b) = b a b + a Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) c) ( a b b )( ) a + b a a + b a a + a d) a b a a a + b a 9 b) a + a Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: a) b) x x + x x + c) a + b a ab a b b a + ab + a + b d) b ab a ab + a a b Lös följande ekvationer: a) x + x + = 0 b) x x = 0 c) x x 8 = 0 d) 9x + 9x 0 = 0 e) x 0x + 8 = 0 Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: a) x x b) x + x + 0 c) x + x 7 d) x x Lös följande ekvationer: a) x(x + ) = 0 b) (x )(x + ) = 0 c) x(x ) = 0 d) (x )(x + 8) = 0 7 Ekvationen x x + a = 0 har en rot x = Bestäm a och den andra roten 8 Lös följande ekvationer: a) x (x + )(x ) = 0 b) (x + )(x + ) = c) x x + = x d) x 7 x = x I följande uppgift lönar det sig att bryta ut en faktor ur hela vänsterledet, i stället för att multiplicera ihop parenteserna 9 Lös följande ekvationer: a) x(x + ) + x(x 9) = 0 b) (x + )(x ) + (x + )(x 9) = 0 c) x(x x) + x( x) = 0 d) (x + )(x + ) + x(x + ) = 0 0 Förenkla a) ( )( + ) ( ) b) ( + ) + ( ) En rektangel har omkretsen 8 cm Låt en sida vara x cm Ange arean uttryckt i x

10 0 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! En rektangel har arean cm Låt en sida vara x cm Ange omkretsen uttryckt i x En rät cirkulär cylinder har volymen cm Låt höjden vara h cm Ange basradien uttryckt i h I en idrottsförening är medlemsavgiften kr för vuxna och 0 kr för ungdomar Ett visst år hade föreningen medlemmar och totalt betalades 08 kr i medlemsavgifter Hur många vuxna och hur många ungdomar var medlemmar i föreningen det året? Den ena roten till ekvationen x 0x + a = 0 är x = 99 Bestäm (utan att lösa ekvationen) den andra roten och värdet på a I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm längre än den andra Omkretsen är cm Beräkna sidornas längder (I denna uppgift gör vi ett undantag och tillåter miniräknare) Räta linjen (7) Om A, B och C är tre tal och inte både A och B är noll, så betyder ekvationen Ax + By + C = 0 en rät linje (8) Om B = 0 (och alltså A = 0), kan ekvationen skrivas x = a, och betyder en lodrät linje som skär x-axeln i punkten (a, 0) (9) Om B = 0, kan man lösa ut y och får en ekvation av formen y = kx + b Talet k är linjens riktningskoefficient eller lutning, och linjen skär y-axeln i punkten (0, b) (0) En rät linje genom punkten (x, y ) med lutningen k har ekvationen y y = k(x x ) () Lutningen för linjen genom punkterna (x, y ) och (x, y ) är Två linjer med lutningarna k och k är k = y y x x () parallella om k = k () vinkelräta om k k = Kommentar: En ekvation av formen Ax + By + C = 0 är inte entydigt bestämd Den kan multipliceras eller divideras med vilket som helst tal som inte är noll, och betyder ända samma linje Dessutom skriver man ofta ekvationen på formen Ax + By = C i stället Exempel: x y = 8 betyder samma linje som x + 0y + = 0

11 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Lutningen k är tangens för lutningsvinkeln α, som är vinkeln mellan linjen och den positiva x-riktningen Se figuren y α x Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna a) (, ) och (, ) b) (, ) och (, ) c) (, ) och (, ) d) (, ) och (, 7 ) Bestäm en ekvation för den linje som går genom a) (, ) och (, ) b) (, ) och (, ) c) (, ) och (, ) Bestäm riktningskoefficienten för följande linjer: a) x y + = 0 b) x + y + = 0 c) x + y = 0 d) y = 0 Bestäm en ekvation för den linje som går genom (, ) och är parallell med linjen x y + = 0 Bestäm konstanten a så att linjerna ax + y = 0 och (a + )x y + = 0 blir parallella Bestäm konstanten a så att linjerna ax + y 7 = 0 och (a + )x y + = 0 blir vinkelräta 7 Rita följande linjer i ett kooordinatsystem: a) x + y = 9 b) x y = 0 8 Linjerna y = x och y = x/ bildar tillsammans med x-axeln en triangel Bestäm arean av denna triangel 9 Linjerna 9y x + = 0 och 8y + x = 0 bildar tillsammans med y-axeln en triangel Bestäm arean av denna triangel 0 Bestäm konstanten a så att linjen y = (a )x + blir parallell med x-axeln Bestäm konstanten b så att linjen y = (b + )x + b b går genom origo Genom den punkt där kurvan y = x x skär y-axeln dras en linje med riktningskoefficienten Bestäm en ekvation för denna + linje

12 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! På kurvan y = x x är A den punkt som har x-koordinaten och B den punkt som har x-koordinaten Linjen genom A och B dras Bestäm en ekvation för denna linje En linje går genom (a, ) och (a, a) Bestäm riktningskoefficienten uttryckt i a Uttrycket ska vara förenklat så långt som möjligt En linje går genom (, ) och (b, b ) Bestäm riktningskoefficienten uttryckt i b Uttrycket ska vara förenklat så långt som möjligt Trigonometri tan v sin v = a c sin v P v c b a cos v = b c tan v = a b v cos v För en spetsig vinkel v kan sin v, cos v och tan v uttryckas som ett förhållande mellan sidor i en rätvinklig triangel, där en vinkel är v För godtyckliga vinklar definieras de trigonometriska värdena med hjälp av enhetscirkeln Många trigonometriska samband ser man lätt med hjälp av denna figur () sin v + cos v = () tan v = sin v cos v () cos( v) = cos v, sin( v) = sin v, tan( v) = tan v (7) sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v (8) sin v = sin v cos v (9) cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v (0) cos v = cos v sin v Genom att byta ut v mot v i formlerna (7) och (9) och använda () får man formler för sin(u v) och cos(u + v) Genom att kombinera () och (0) kan man få alternativa formler för cos v Bestäm sin v, cos v och tan v för vinkeln v i figuren: 0 0 v För en viss spetsig vinkel u gäller att sin u = 7 Bestäm cos u och tan u (Rita en rätvinklig triangel där en vinkel är u)

13 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Rita en liksidig triangel med sidan Beräkna höjden och använd triangeln för att bestämma följande värden: sin 0 = cos 0 = tan 0 = sin 0 = cos 0 = tan 0 = Använd enhetscirkeln för att bestämma a) en vinkel mellan 90 och 0 som har samma sinusvärde som 70, b) en vinkel mellan 90 och 0 som har samma cosinusvärde som 70, c) en vinkel mellan 90 och 0 som har samma tangensvärde som 70 Använd enhetscirkeln för att bestämma följande värden: a) cos b) sin c) tan d) sin 0 e) cos 0 f) sin 70 g) sin( 0 ) h) tan 9 Exempel Lös ekvationen cos x = Lösning: Rita en enhetscirkel! Rita sedan den lodräta linjen som svarar mot att första koordinaten är / : Man ser att en lösning svarar mot läget x = 0, en annan mot läget 0 Alla lösningar ges då av formeln x = ±0 + n 0, där n antar alla heltalsvärden Man kan också illustrera lösningen med grafen av cosinusfunktionen: x 0 0 x 0 x 0 x 0 +0 Exempel Lös ekvationen sin x = Lösning: Korsa enhetscirkeln med en vågrät linje som svarar mot att andra koordinaten är : En lösning är en spetsig vinkel x 0 som (med räknarens hjälp) är approximativt 97 Dessutom finns en lösning som är 80 x 0 Alla lösningar ges då av formlerna x = x 0 + n 0, x = 80 x 0 + n 0, där n är ett godtyckligt heltal

14 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! På grafen ser det i princip ut så här: x 0 0 x 0 x 0 x 0 +0 För vilka vinklar v, 0 v 0, gäller a) sin v =, b) cos v =, c) tan v =, d) cos v =, e) sin v =, f) cos v =, g) tan v =? 7 Antag att 0 v 90 och att sin v = a Uttryck med hjälp av a a) sin( v) b) sin(80 v) c) sin(80 + v) d) sin(0 v) 8 För vilka vinklar v, 0 v 0, gäller att a) sin v >, b) cos v <, c) 0 < sin v <, d) < sin v <? 9 Ange en vinkel v, 0 < v < 80, sådan att a) cos v = cos 80 b) cos v = cos 0 c) cos v = cos 0 d) cos v = cos 00 0 Ange två vinklar v, 0 < v < 0, sådana att a) sin 00 = sin v b) sin 700 = sin v c) sin( 0 ) = sin v d) sin 700 = sin v a) Bestäm sin v då cos v = och 0 < v < 90 7 b) Bestäm cos v då sin v = och 0 < v < 90 c) Bestäm cos v då sin v = och 90 < v < 80 7 d) Bestäm sin v då cos v = och 70 < v < 0 e) Bestäm tan v då cos v = och 0 < v < 80 Lös ekvationen a) sin x = b) sin x = Lös ekvationen a) cos x = b) cos x = Bestäm de vinklar v i intervallet 0 v < 0 som är lösningar till ekvationen a) cos x = 0 b) cos x = 0 Lös ekvationen a) sin x = sin b) sin(x + 0 ) = sin

15 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Lös ekvationen a) cos x = cos 0 b) cos x = 7 Bestäm de vinklar v i intervallet 0 v < 0 som är lösningar till ekvationen cos(x + 0 ) = cos 0 8 Lös ekvationerna a) + cos x = cos x b) sin x + sin x + = c) + cos x = + cos x 9 Bestäm alla vinklar v för vilka a) sin v = b) sin(v 0 ) = c) cos(v + 0 ) = 0 0 Lös följande ekvationer: a) sin x = sin x b) sin x = sin(x + 0 ) c) cos x = cos x d) cos(x 0 ) = cos x Lös följande ekvationer: a) sin x cos x = sin x b) sin x cos x = sin x Lös ekvationen sin x cos x = cos x Lös ekvationen cos x cos x = (Ledning: sätt cos x = t) Lös ekvationen sin x sin x + = 0 a) Visa hur formlerna (8) och (0) på sid kan härledas från formlerna (7) och (9) (ev med hjälp av någon ytterligare formel) b) Visa hur cos v kan uttryckas enbart med hjälp av sin v resp enbart med hjälp av cos v För vinkeln v, 0 v 90, gäller att sin v = Beräkna a) cos v, b) sin v, c) cos v 7 Antag att 0 v 90 och cos v = b Uttryck med hjälp av b a) sin v b) sin v c) sin v d) cos v e) sin(v + 0 ) f) cos(v ) 8 För vinkeln v, 90 v 80, gäller att sin v = Beräkna a) cos v b) sin v c) sin(v 0 ) 9 Lös ekvationen sin x cos x = 0

16 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! I trigonometriska uppgifter där det gäller att bestämma vinklar och sidor i trianglar och att lösa trigonometriska ekvationer går det bra att mäta vinklar i grader, som i ovanstående uppgifter Men när man vill derivera trigonometriska funktioner visar det sig att deriveringsreglerna blir krångliga om man mäter vinkeln i grader I sådana sammanhang använder man därför ett annat vinkelmått, nämligen radianer Storleken av en vinkel anges genom att man mäter hur lång cirkelbåge i enhetscirkeln, som vinkeln upptar En vinkel på upptar en båge vars längd är 0 av hela cirkelns omkrets, dvs vinkelns mått i radianer är 90π 0 π = 0 = π Vinkeln 80 motsvarar ett halvt varv, dvs dess mått i radianer är π Vinkeln 0, ett helt varv, motsvarar π radianer Vinkeln v v motsvarar i radianer 0 π = v π 80 v 0 Uttryck följande gradtal i radianer: a) 0 b) 90 c) d) 70 Uttryck följande radiantal i grader: a) π b) π c) 7π d) π Bestäm med hjälp av enhetscirkeln följande värden: a) cos π b) sin π c) cos π d) tan π e) cos π f) sin 7π ( g) sin π ) ( π ) h) cos + π Bestäm x i intervallet 0 x π så att a) sin x = b) tan x = c) cos x = d) sin x = Lös följande ekvationer (x i radianer): a) cos x = b) cos x = c) sin x =, d) sin x = 0, Lös följande ekvationer (x i radianer): a) sin x cos x sin x = 0 b) sin x cos x cos x = 0 c) sin x sin x + = 0 d) sin x + sin x = 0

17 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Logaritmer För logaritmer i basen 0 gäller att x = 0 y är samma sak som y = lg x Speciellt är lg = 0 och lg 0 = Räkneregler: () lg xy = lg x + lg y () lg x y = lg x lg y () lg xy = y lg x Man arbetar också med logaritmer i andra baser Låt a > 0 Då säger vi att y är a-logaritmen för x om x = a y I formelform: x = a y är samma sak som y = log a x Speciellt är log a = 0, log a a =, log a a = För dessa logaritmer gäller också ( ) log a xy = log a x + log a y ( x ) log a y = log a x log a y ( ) log a x y = y log a x Räknereglerna för logaritmer är inget annan än vanliga potenslagar som blivit översatta till ett annat skrivsätt Vi kan tex bevisa regeln () så här: Sätt u = lg x och v = lg y Det betyder att x = 0 u, y = 0 v I så fall är xy = x y = 0 u 0 v = 0 u+v Men xy = 0 u+v är ju samma sak som u + v = lg(xy), och sätter vi in vad u och v var för något, så står här formeln ()! Observera att reglerna () () är de enda räkneregler som finns för 0-logaritmer! Det finns tex ingen regel alls för lg(a + b) Endast i mycket speciella fall kan man bestämma värdet av logaritmer utan hjälpmedel som räknare eller tabeller (och då får man mestadels bara närmevärden) Men det viktiga med logaritmer är att de är funktioner som lyder de tre lagarna Det är logaritmlagarna som motiverar att man överhuvud taget arbetar med logaritmer! Några exempel: Eftersom = 8, så gäller log 8 = log 8 =, eftersom = 8 log =, eftersom = = I mer avancerade sammanhang används oftast talet e (,78888) som bas Man talar då om naturliga logaritmer och skriver ln x = log e x (Det naturliga är att derivatan av denna funktion är enklare än derivatan av alla andra logarimtfunktioner)

18 8 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! Vi påminner: alla de övningar som följer här ska lösas utan räknare eller tabeller! Bestäm följande logaritmvärden: a) lg 00 b) lg c) lg 0,0 d) lg 0,0000 e) lg 0 Bestäm talet a då a) lg a = b) lg a = c) lg a = d) lg a = 0 I vilket intervall ligger talet t om a) < lg t < b) 0 < lg t < c) < lg t < 0 d) 8 < lg t < 0 Beräkna med hjälp av logaritmlagarna a) lg + lg b) lg 0 lg c) lg + lg d) lg 0, + lg 0,0 Lös följande ekvationer: a) lg x = lg + lg b) lg x = lg lg c) lg x = lg + lg d) lg x lg(x + ) = Antag att lg t = a Skriv, uttryckt i a: a) lg t b) lg t c) lg 00t d) lg 0,t 7 Beräkna a) 0 lg b) 0 lg c) 0 lg +lg lg lg 8 d) 0 8 Beräkna a) lg 0 lg 000 b) lg 00 lg 000 c) lg 00 + lg 000 d) lg 00 lg e) lg 7 lg 70 f) lg 00 lg 9 Skriv som en enda logaritm a) lg lg b) lg + lg c) lg 8 lg d) lg 0 lg e) lg + lg f) lg lg 0 Beräkna a) 0 lg b) 0 lg c) 0 lg 0 lg d) 0 lg 0 0 lg 0 e) 0 lg 0 0 lg 0 f) 00 lg 7 Lös följande ekvationer: a) lg x = lg lg b) lg(x + ) = lg + lg c) lg x = lg + lg d) lg(x ) = lg lg Skriv som en enda logaritm: a) lg x + lg x b) lg x lg x c) lg(x )+lg(x +) d) lg(x ) lg(x +) e) lg + lg x f) lg x lg x x Förenkla a) lg lg b) lg lg Beräkna a) log 9 b) log c) log d) log e) log f) log Beräkna log / (Den här är lite extra knepig!)

19 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 9 7 Funktioner Låt A och B vara två mängder En funktion f från A till B är en regel som på ett entydigt sätt till varje element x i A ordnar ett element f (x) i B Mängden A kallas funktionens definitionsmängd Mängden av alla värden som f (x) kan anta kallas funktionens värdemängd De flesta funktioner du har träffat på i dina matematikstudier har varit av typen y = f (x), där definitions- och värdemängderna har bestått av tal Många sådana funktioner kan beskrivas med en formel som tex f (x) = x +x, men det finns också andra sätt att beskriva en funktion Exempel Låt A och B bestå av alla reella tal och definiera regeln f genom att säga att f (x) är det största heltalet som är mindre än eller lika med x Exempelvis är f (,7) =, f () =, f ( ) =, f (,) = Eftersom regeln på ett entydigt sätt beskriver vad f (x) ska vara för ett godtyckligt reellt tal x, är detta verkligen en funktion Definitionsmängden består av alla reella tal, och värdemängden består av alla heltal Exempel Låt A vara mängden av alla svenska medborgare, och B mängden av alla 0-siffriga heltal Om x är en svensk medborgare, låter vi p(x) betyda hans eller hennes personnummer Då är p en funktion från A till B Värdemängden är här en äkta delmängd av B 7 Funktionen f är definierad av formeln f (x) = Beräkna a) f () x + b) f ( ) c) f ( 9 ) d) För vilket eller vilka x gäller att f (x) =? e) För vilket eller vilka x saknar funktionen värde? 7 Bestäm definitionsmängderna för följande funktioner: a) f (x) = b) g(x) = x x c) h(x) = x 7 Bestäm värdemängden till den funktion f som är definierad genom a) f (x) = x + b) f (x) = x c) f (x) = x + 7 Bestäm värdemängden till den funktion f som är definierad genom a) f (x) = + sin x b) f (x) = + cos x c) f (x) = + sin x d) f (x) = sin x + cos x 7 Beräkna f () f ( 0 ), då f (x) = x +

20 0 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Låt f (x) = x x Beräkna a) f (), b) f ( ) c) För vilket eller vilka x gäller att f (x) = 0? d) Förenkla uttrycket f (x) f (x) 77 Låt f (x) = x x Beräkna a) f ( ), b) f ( ), c) f ( f ()) d) För vilket eller vilka x gäller att f (x) =? f (a) f (b) e) Förenkla (I vilket sammanhang förekommer detta?) a b f (a) f (a) f) Förenkla 8a 78 Funktionen h är definierad genom h(x) = x x + x Beräkna a) h() h(), b) h() h( ) c) h() h( ) 79 Funktionen g är definierad genom g(x) = (x + ) x + x Beräkna a) g() g(), b) g(0) g( ) 70 f (x) = x + Beräkna a) f () f (), b) f ( ) f ( ) x f (x + h) f (x) 7 Förenkla uttrycket, då a) f (x) = h Vilket matematiskt begrepp hör detta ihop med? x +, b) f (x) = x c) 7 En kula rör sig så att sambandet mellan tiden t (sekunder) och tillryggalagd sträcka s(t) (meter) beskrivs av s(t) = t + t a) Hur långt flyttar sig kulan under tidsintervallet från t = till t = 0? b) Vilken medelhastighet har kulan under tidsintervallet från t = till t =? c) Teckna ett uttryck för medelhastigheten under tidsintervallet från t = t till t = t 7 Vid produktion av en vara är kostnaden att tillverka q enheter T(q) tusen kronor, där T(q) = q + q a) Hur stor är kostnadsökningen när man ökar produktionen från 0 till 0 enheter? b) Hur stor är den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet när man ökar produktionen från 0 till 0 enheter? c) Teckna ett uttryck för den genomsnittliga kostnadsökningen per enhet när man ökar produktionen från q till q enheter?

21 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 7 Graferna till funktionerna f och g är givna i figuren Bestäm a) f (g()) b) g( f ()) c) f (g()) d) g( f ()) y y f (x) = x x g(x) = x x x 8 Derivata För derivering gäller följande regler: () ( f + g ) = f + g () ( c f ) = c f om c är en konstant () Om f (x) = x p så är f (x) = px p Tangenten till grafen y = f (x) i punkten (a, f (a)) är den linje som bäst approximerar grafen alldeles i närheten av punkten Tangentens riktningskoefficient är f (a) y y Tangent Inte tangent f (a) y= f (x) f (a) y= f (x) a x a x Exempel: Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x x i den punkt som har x-koordinaten Lösning: Tangeringspunktens y-koordinat bestäms: x = ger y = ( ) ( ) = = Derivatan är y = x Tangentens riktningskoefficient fås för x = : y = ( ) = + = 7 Tangentens ekvation enligt enpunktsformen: y ( ) = 7(x ( )), dvs y + = 7x + 7 eller y = 7x +

22 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 8 Bestäm f ( ) då a) f (x) = x x b) f (x) = x x x x 8 En kurva har ekvationen y = Bestäm riktningskoefficienten till tangenten i den punkt som har x-koordinaten 8 Bestäm f () då a) f (x) = x x b) f (x) = 8 x + x 8 Lös ekvationen f (x) = 0 då a) f (x) = x x b) f (x) = x x + 8 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = x x x-koordinaten i den punkt som har 8 I vilken eller vilka punkter är tangenten till kurvan y = x x + 8x parallell med linjen y = x? 87 Lös ekvationen f (x) = då f (x) = x + x 88 Sambandet mellan sträckan s(t) meter och tiden t sekunder för ett föremål som rör sig beskrivs av s(t) = t + 0,0 t a) Bestäm hastigheten efter 0 sekunder b) När är hastigheten 0 m/s? 89 I vilken eller vilka punkter har kurvan y = x + x en tangent som är parallell med x-axeln? 80 För vilka x är f (x) > 0 då f (x) = x 0x +? 8 Figuren visar kurvan y = f (x) och två tangenter till denna Bestäm a) f (0) b) f () y x 7

23 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 9 Integral Här har ni några övningar på primitiva funktioner och integraler Dessa saker kommer att behandlas ingående i de ordinarie kurserna i utbildningen Några stolpar: F är en primitiv funktion till f, om F (x) = f (x) för alla x Om a = och f (x) = x a, så har f de primitiva funktionerna F(x) = xa+ + C, där C a + är en godtycklig konstant Om F är primitiv funktion till f och G är primitiv funktion till g, så är F + G primitiv funktion till f + g Om c är en konstant, så är dessutom cf primitiv funktion till c f En integral b a f (x) dx kan beräknas med hjälp av primitiv funktion: b a f (x) dx = [ ] b F(x) = F(b) F(a) a (Att detta gäller är inte något självklart Det kommer att bevisas i en av kurserna) Om f (x) 0, kan integralen b a f (x) dx tolkas som arean av det område i xy-planet som avgränsas av x-axeln, linjerna x = a och x = b samt kurvan y = f (x) Om f (x) > g(x), beräknas arean av det område som begränsas av linjerna x = a och b ( ) x = b samt kurvorna y = f (x) och y = g(x) med integralen f (x) g(x) dx Exempel: Om f (x) = x + x, så har f den primitiva funktionen F(x) = x + x x + C = x + x x + C, där C kan vara vilket tal som helst a 9 Bestäm alla primitiva funktioner till x x + 9 Funktionen f är definierad genom f (x) = x Bestäm den primitiva funktion F till f för vilken F( ) = 9 Bestäm f (x) då f (x) = x 0x + och f () = 9 Bestäm alla primitiva funktioner till a) x 0x b) x x + d) x + x c) x Beräkna a) 0 (0x 9x ) dx b) (x x) dx 9 Beräkna arean av det område som begränsas av y = x +x, x =, x = samt x-axeln

24 Alla uppgifter ska lösas utan räknare! 97 Beräkna a) (x 0x ) dx b) x dx 98 Beräkna arean av det område i första kvadranten som begränsas av y = x, y = x och x-axeln 99 Kurvan y = x x och linjen y = x begränsar ett område Bestäm dess area 90 Kurvan y = och linjerna y = x och x = begränsar tillsammans med x-axeln ett x område Bestäm dess area y x 7

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

Avsnitt 5, introduktion.

Avsnitt 5, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Ordlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden

Ordlista 5A:1. term. faktor. täljare. nämnare. Dessa ord ska du träna. Öva orden Ordlista 5A:1 Öva orden Dessa ord ska du träna term Talen som du räknar med i en addition eller subtraktion kallas termer. faktor Talen som du räknar med i en multiplikation kallas faktorer. täljare Talet

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad 146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = 38 180 rad v = 0.663 rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = 90 180 rad v = 5.061 rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v =

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET

PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET 2012-04-25 PROTOKOLL LINKÖPINGS UNIVERSITET Fakultetsstyrelsen för tekniska fakulteten FSTdel 12/055 Dekanus Närvarande: Ulf Nilsson dekanus Ingela Wiklund föredragande Maria Boberg sekr 1 Kursplan för

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

inga frågor är dumma, varje student skall känna sig sedd och respekterad, studenterna skall få en god introduktion i ett högskolemässigt arbetssätt.

inga frågor är dumma, varje student skall känna sig sedd och respekterad, studenterna skall få en god introduktion i ett högskolemässigt arbetssätt. Institutionen för matematik Staffan Lundberg augusti 2006 FINPLANERING, FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till Dig som undervisar på proppen. Inledning: Efter genomförd enkät med fjolårets ettor, kommer vi

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D Studieanvisning till Matematik 3000 kurs D ISBN 91-27-51028-X Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs D/Komvux av Lars-Eric Björk, Hans

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer