ALGEBRA OCH FUNKTIONER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ALGEBRA OCH FUNKTIONER"

Transkript

1 ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion. Polnom-, potens- och eponentialfunktioner.

2 VILKA UTTRYCK ÄR LIKA? Arbeta i par. Dela ett A-papper så att du får 6 papperslappar. På lapparna skriver du följande matematiska uttrck (ett uttrck per lapp). Gruppera lapparna så att de uttrck som är lika hamnar i samma grupp ( + ) ( ) 7 + ( ) ( ) + ( ) ( + ) Inledande aktivitet

3 . Algebra och polnom Polnom och räkneregler Eempel polnom I många situationer kan vi använda enkla polnom som matematiska modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av sambandet (),5 +, 0, Högerledet är ett polnom som består av tre termer, en konstantterm och två variabeltermer. Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren! Ett polnom är en summa av termer av tpen a n, där är en variabel, eponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas koefficient. Varje polnom kan skrivas a 0 + a + a + a a n n gradtal Den största eponenten i ett polnom i en variabel anger polnomets gradtal. (),5 +, 0, är ett eempel på ett andragradspolnom är ett polnom i två variabler och. Polnomets gradtal är. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda eponenten. Polnom av första graden skrivs ofta p() a + b. Polnom av andra graden skrivs ofta p() a + b + c. Summan, differensen och produkten av två polnom är också ett polnom. 8. ALGEBRA OCH POLYNOM

4 Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med polnom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b, c och d representera ett tal, en variabel eller ett polnom med flera termer. Eempel Parentes med + före kan tas bort. Parentes med före kan tas bort om alla tecken ändras. (8 + ) + ( ) (8 + ) ( ) Eempel ( 5 + ) Lika tecken ger plus, olika ger minus. (8 ) ( ) Eempel ( + )( ) Med hjälp av konjugatregeln kan vi direkt skriva ( + )( ) 9 Eempel ( + ) ( + )( + ) Med hjälp av kvadreringsregeln kan vi direkt skriva ( + ) Parentesreglerna (a + b) + (c d ) a + b + c d (a + b) (c + d ) a + b c d (a + b) (c d ) a + b c + d Räknelagar Distributiva lagen a (b + c) ab + ac (a + b) (c + d ) ac + ad + bc + bd Konjugatregeln (a + b) (a b) a b Kvadreringsreglerna (a + b) a + ab + b (a b) a ab + b. ALGEBRA OCH POLYNOM 9

5 0 Ge eempel på ett fjärdegradspolnom med tre termer. Den största eponenten ska vara. T e p () + 5 eller p () Förenkla a) ( ) ( 5) b) ( ) + ( + )( ) a) ( ) ( 5) b) ( ) + ( + )( ) + + Multiplicera in i parenteserna. Utveckla med kvadreringsoch konjugatregeln. 0 Förenkla a) 7 ( ) b) ( + 5)( 5) a) 7 ( ) 7 ( 6 + 9) b) ( + 5)( 5) () Obs! Parentes. Ändra tecken när du tar bort parentesen. 0 En bakteriekultur tillväer enligt formeln N () där N () är antalet bakterier minuter efter försökets början. Beräkna och tolka N (5) N (). N () N (5) Efter minuter finns det 00 bakterier. Efter 5 minuter finns det 875 bakterier. N (5) N () Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten. 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

6 05 Förenkla a) b) c) d) t t + t 7t 9 06 Multiplicera in a) ( ) c) ( ) b) (5 + ) d) 5( + ) 07 Förenkla a) ( + 5) c) + ( ) b) ( ) + d) 5 ( ) Ge ett eempel på ett andragradspolnom med a) tre termer b) två termer. Förenkla a) ( + ) (6 + ) b) ( + 6)( 6) 6 c) ( 6) d) 5 (5 )(5 + ) A a B 08 Utveckla och förenkla (b a) a) ( + )( + ) c) ( + )( ) b) ( 5)( + ) d) (a + b)(a + b) a b 6(a b + ) b a 09 Utveckla med konjugatregeln a) ( + )( ) b) ( 5)( + 5) 0 Utveckla med kvadreringsreglerna a) (a + 5) c) ( + ) b) ( ) d) ( ) Om biljettpriset till en tennismatch är p kr uppskattar man att antalet åskådare N(p) kan beräknas med N (p) 000 0p Beräkna N (0) och tolka resultatet i ord. a) Förenkla summan av uttrcken i kolumnen i mitten. b) Diagonalerna i figuren har samma summa som kolumnen i mitten. Vad ska stå i A och B? 5 Beräkna värdet för uttrcket (a ) a (a ) om a a) före förenkling b) efter förenkling.. ALGEBRA OCH POLYNOM

7 6 Utveckla och förenkla 0 Utveckla och förenkla a) 5 ( )( 5) a) ( ) b) (a b) (a b) b) ( ) + ( ) ( + ) 7 p( ) är ett tredjegradspolnom. Vilken grad får det polnom som bildas då p() a) adderas med b) multipliceras med. Motivera dina svar. 8 Bollens höjd m över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln (),5 +, 0, där m är avståndet från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka (,5) (,0). 9 Konstreproduktioner AB producerar högst 0 målningar per vecka. Om firman en vecka producerar målningar, räknar man med följande kostnader och intäkter: Kostnaden K kr att producera tröjor är K () , Vinsten vid försäljning av tröjor är V () kr. Ställ upp och förenkla ett uttrck för vinsten då tröjorna säljs för 90 kr/st. I en stugb finns 60 stugor att hra. Ägaren har upptäckt att hon får alla stugor uthrda om hon tar 000 kr för en vecka. För varje hundralapp som hon ökar hran med förlorar hon en hresgäst. a) Beräkna den totala intäkten om hran för en stuga höjs med 5 hundralappar. b) Ställ upp ett uttrck för hur den totala intäkten beror av en höjning med hundralappar. c) Undersök vad den maimala intäkten är. Kostnad i kr: K () Intäkt i kr: I () ( 00 0) Om intäkterna är större än kostnaden gör företaget en vinst. Vinsten V () I () K () a) Beräkna och tolka I (0). b) Beräkna och tolka V (0). c) Ställ upp och förenkla ett uttrck för vinsten V ().. ALGEBRA OCH POLYNOM

8 Faktorisera Vi kan skriva ett tal eller ett polnom som en produkt av faktorer. När vi skriver faktoriserar vi talet ( + 7) faktoriserar vi polnomet + 7. Faktorisering av algebraiska uttrck kan användas vid förenkling och ekvationslösning. Vi visar två metoder att faktorisera polnom. två metoder Utbrtning av största möjliga faktor. + 6 ( + ) Omvänd användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna. a b (a + b) (a b) a + ab + b (a + b) a ab + b (a b) Brt ut största möjliga faktor. a) 5 b) a + a c) 6 a a a) 5 5 ( 5) b) a + a a a + a a(a + ) c) 6 a a a a a a( a ) Faktorisera + 7 Vi brter ut. + 7 ( + 7) 5 Faktorisera a) 6 b) 9 5 a) 6 ( + ) ( ) Konjugatregeln omvänt. b) 9 5 ( ) 5 ( + 5)( 5). ALGEBRA OCH POLYNOM

9 6 Faktorisera a) b) c) a) ( + ) Kvadreringsregeln omvänt. b) ( ) c) ( + + ) 5( + + ) 5( + ) 7 Brt ut faktorn. a) + c) b) 9 d) Brt ut faktorn. a) + 5 b) c) 9 Brt ut så mcket som möjligt. a) 6 c) 8a 0 b) 0 d) Faktorisera med konjugatregeln. a) 9 c) 6a 5 b) d) a b Vad står och för? a) ( + )( ) b) ( + ) Faktorisera med kvadreringsreglerna. a) c) b) + 6 d) Går + + att faktorisera omvänt med kvadreringsregeln? Motivera. Vilket uttrck ska kvadreras för att ge + +? 5 Faktorisera om det är möjligt. a) 7 d) 9 b) e) c) + 9 f) + 6 Faktorisera så mcket som möjligt. a) 8 c) + 9 b) a b d) 50a + 0a Alice och Julia försöker att faktorisera polnomen p() 8 och h() Alice påstår att båda polnomen kan faktoriseras och Julia påstår att endast ett av polnomen kan faktoriseras. Vem har rätt? Motivera ditt svar. 8 Faktorisera a) 9 9 Faktorisera a) (a + ) (5b) b) (a + ) 9b c) (a + ) (b ) b) 0,5 0,0 0 Polnomet kan i faktorform skrivas a(b c) Bestäm talen a, b och c.. ALGEBRA OCH POLYNOM

10 Potenser Upprepad addition kan skrivas som en multiplikation: och Upprepad multiplikation kan skrivas som en potens: och potens kallas en potens och läses upphöjt till. bas, eponent kallas bas och eponent. Vi repeterar räknelagarna för potenser. Potenslag Eempel a a a ( a ) a ( ) 8 a a a m 7 m m7 m ( a b) a b ( 5 ) 5 5 ( a b) a b ( ) 8 Vad menas med 5 0? 5 Vi vet att (täljaren och nämnaren är lika). 5 Enligt den andra potenslagen är Om lagen ska gälla måste 5 0 Vad menas med 5? Vi beräknar Enligt den andra potenslagen är 5 5 Om lagen ska gälla måste Definitioner a 0 a a a 0 i båda fallen. Potenslagarna gäller för alla reella eponenter. Eponenterna kan te vara negativa tal, bråk eller tal i decimalform.. ALGEBRA OCH POLYNOM 5

11 Skriv utan potens. Arbeta utan räknare. a) c) 0,0 0 b) d) 5 7 a) 9 b) , + 0,0 0, 0 c) 0, d) Vi skriver om till samma bas. 5 ( ) Det finns ingen potenslag för addition. Förenkla med potenslagarna. a) d) () b) 0,5,5 e) ( ) c) (b ) f) a b a) + b) 0,5,5 0,5 (,5) 0,5 +,5 c) (b ) b ( ) b 6 d) () 9 e) ( ) ( ) ( ) 9 8 f) a (a) b a 9a b b b Brt ut ur + h, dvs skriv i faktorform. + h h ( h ) 6. ALGEBRA OCH POLYNOM

12 Skriv utan potens. Arbeta utan räknare. a) c) b) d) Skriv som en enda potens a) 6 d) b) a6 a 9,5,5 e) (5) c) (a ) f) b 6 För vilken eponent är a) 9 c) / 6 5 b) ( ) d) 5 / Vilka av förenklingarna är felaktiga? Förklara vad som är fel. a) förenklas till 7 5 b) (6a) förenklas till a c) förenklas till d) 5 förenklas till 5 e) () förenklas till 6. 8 Beräkna utan räknare. a) 7 c) (9/ ) 8 5 b) d) ( ) 9 Förenkla a) ( + ) c) (b + ) b) a (a + a) d) ( + )( ) 50 Förenkla a) () + ( ) + ( ) b) ( ) ( 9 ) c) ( ) + ( ) d) ( a b ) b 5 Låt 0 och bestäm a) hälften av b) en fjärdedel av. 5 Förenkla a) 5 Förenkla m b) a) 0 a 0 a b) 0 a + 0 a c) ( + ) m 5 Uttrcket kan användas för att motivera att a 0 och uttrcket 7 för att motivera a n a n Förklara hur. 55 Förenkla a) (5 + 5 ) b) a (a + a ) 56 Lös ekvationen a) 5 b) 5 c) 7 d) 5 57 Brt ut och skriv i faktorform a) a a b) a + h a c) a n + a n 58 Bestäm eponenten om Förenkla ALGEBRA OCH POLYNOM 7

13 Kvadratrötter Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter. Definition Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a. ( a ) a a a a 0 Lägg märke till följande: Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal. 5 står alltså bara för det positiva talet 5. Ekvationen 5 har däremot två lösningar. De är 5 5 och 5 5. Vi skriver detta ±5 5 är inte detsamma som 5 5 5, medan beräkningen 5 inte kan göras med reella tal. Sambandet a a ger tillsammans med potenslagarna a b (ab) och a b a b följande lagar. Lagar för kvadratrötter a b ab a 0 b 0 a b a b a 0 b > 0 60 Beräkna utan räknare a) b) 9 + 0,5 a) b) 9 + 0, ,5 +,5 6 Visa att 8. ALGEBRA OCH POLYNOM

14 Arbeta utan räknare. 6 Beräkna a) + 9 c) 8 b) 9 d) ( ) Skriv ett uttrck för triangelns tredje sida. a) b 6 Skriv som en potens med basen 0 a) 0 c) 0 0 b) 0 6 Beräkna d ) 0 0 a) 00 0,5 c) 00 0,5 b) 0 0 d ) 5 0 b) a a 65 Beräkna a) ( ) c) 0 8 b) + d) Bestäm den eakta lösningen till ekvationen a) 0 c) + b) 0 d ) 5 67 Beräkna den eakta lösningen till ekvationen a) ( 5 + ) ( 5 ) b) ( 8 ) ( + 8 ) c) ( 50 + ) d) ( 9 ) 68 Om du vet att 7,66 vad är då a) 700 b) ? 69 Visa att a) b) c) 7 Förenkla så långt som möjligt a) Utveckla och förenkla a) ( a + b) ( a b) b) + b) ( + h + ) ( + h ) c) ( a + b) ( a + b) 7 Bestäm eponenten a a) a b a b a b a a b) a b b a a b a b. ALGEBRA OCH POLYNOM 9

15 Ekvationer Eempel Stoppsträckan s m för en bil vid ett visst underlag kan beräknas med formeln s v t + 0, v där v är hastigheten i m/s och t är förarens reaktionstid i s. Vad är reaktionstiden, om stoppsträckan vid 5 m/s (90 km/h) är 00 m? Svaret får vi ur förstagradsekvationen 00 5 t + 0, 5 Vid vilken hastighet är stoppsträckan 60 m, om förarens reaktionstid är,0 s? Svaret får vi ur andragradsekvationen 60 v + 0, v Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer. 7 Lös ekvationen ( ) 9 ( ) 9 Utveckla med kvadreringsregeln Förenkla Addera 6 till båda leden Addera 9 till båda leden kvadratrotsmetoden Lös ekvationen a) 9 b) + 5 a) 9 b) + 5 ± 9 Obs! Två lösningar. ± 6 eller ± 6 Vi får ett negativt tal under rottecknet. Ekvationen saknar reella lösningar. 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

16 Lösningsformeln Ekvationen + p + q 0 har lösningarna p ± ( p ) q Andragradsekvationen saknar reella rötter om ( p ) q < 0, dvs om vi får ett negativt tal under rottecknet. 76 Lös ekvationen + 0 p, dvs halva ko efficienten för med ombtt tecken. + 0 Dividera med för ± +6 q, dvs den konstanta termen med ombtt tecken. Kvadrera. ± +6 ± 5 ± Svar: och 8 nollproduktmetoden Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras. Metoden kallas nollproduktmetoden. 77 Faktorisera först VL genom att brta ut. Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Lös ekvationen a) 5 0 a) 5 0 ( 5) 0 0 eller ( 5) 0 0,5 b) 0 b) 0 Brt ut i VL. ( ) 0 0 eller 0 0 ± + ± Svar: a) 0,5 b) 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

17 Lös ekvationerna. 78 a) + 7 c) + 5 b) d) 6 79 a) 8 c) + 0 b) t 70 d) 8 80 a) ( + 5) 0 c) + 0 b) ( 8) 0 d) 0 8 a) 8 c) ( + )( ) 0 b) 8 d) ( )( + ) 0 8 Ge ett eget eempel på en andragradsekvation som har lösningarna a) och b) 0 och 8 Lös ekvationerna. 8 a) ( + ) ( + 7) b) ( )( ) ( )( ) c) ( + ) 5 8 a) + 0 c) + 0 b) d) (z ) 6 85 a) b) c) 8z 8z + 0 d) (Tal ) (Tal ) Tal är större än Tal. Vilka är talen? 87 Lös ekvationerna. Börja med att brta ut. a) 9 0 b) 0 c) d) Den totala kostnaden K kronor för att producera detaljer i en mekanisk verkstad kan beskrivas med K() , a) Beräkna kostnaden för att producera 50 detaljer. b) Hur många detaljer kan produceras för kr? 89 Lös ekvationen a) ( + )( )( +) 0 b) ( + 7) 6 c) (t + 5) t d) ( )(8 ) 0 90 I ekvationen ( k) 0 är k en konstant. Lös ekvationen. Svara på så enkel form som möjligt.. ALGEBRA OCH POLYNOM

18 substitution Na tper av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttrck med ett annat, enklare uttrck. Vi gör en substitution. Det är då viktigt att kontrollera om lösningarna stämmer med ursprungsekvationen. 9 Lös ekvationen Vi ersätter med t. Då kan ersättas med t och vi får andragradsekvationen t 8t 9 0 t ± t ± 5 t 9 och t Vi får 9 och Ekvationen 9 har lösningen ± Ekvationen saknar reell lösning (men de komplea rötterna är ±i ) Svar: Ekvationen har den reella lösningen ± 9 Lös ekvationerna genom att sätta t. a) b) 8 0 c) 0 9 Ekvationen ( + 5a) 0 har en lösning. Vilket värde har a? 9 En bakteriekultur tillväer enligt formeln N () där N () är antalet bakterier minuter efter försökets början. Hur lång tid tar det innan antalet bakterier har fördubblats? 95 Du har ekvationen + a) Kvadrera båda leden och skriv resultatet som en andragradsekvation i normalform. b) Vilka rötter har ekvationen i a)? c) Pröva rötterna i den ursprungliga ekvationen. Duger båda rötterna? d) Vilken lösning har ekvationen +? 96 Lös ekvationen a) ( + ) 6( + ) 0 b) + 0. ALGEBRA OCH POLYNOM

19 . Rationella uttrck Vad menas med ett rationellt uttrck? rationellt tal rationellt uttrck a där b 0 kallar vi ett rationellt tal. b 5 och Eempel på rationella tal är 7 9 En kvot av två heltal Ett rationellt uttrck definieras som en kvot av två polnom p() q() och Eempel på rationella uttrck är Ett rationellt uttrck är inte definierat då nämnaren är lika med noll. 0 Kostnaden K () i tusental kr för ett företag att avlägsna % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas vara K () a) Beräkna och tolka K (90). b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på Det kostar kr att ta bort 90 % av föroreningarna. a) K (90) b) 0 < 00, K () är inte definierad för 00.. RATIONELLA UTTRYCK

20 0 För vilka -värden är uttrcket inte definierat? a) 5 a) När 0. b) 5 + c) b) När + 0 dvs då. + d) c) + kan inte bli noll. Uttrcket är definierat för alla värden på. d) ± 6 5 Uttrcket är inte definierat då 5 och 7. 0 Du har uttrcket G() a) Beräkna G(5). b) För vilket -värde är nämnaren lika med noll? 0 Du har uttrcket G() a) Beräkna G(). b) För vilket värde på är uttrcket ej definierat? c) Är det sant att G( ) < G()? Motivera ditt svar. 05 Då Lena försöker beräkna värdet av uttrcket för 6 och + med sin räknare visas ERROR i räknarens fönster. Förklara varför. 06 För vilka variabelvärden är uttrcken inte definierade? 6 6 a) c) b) + 0 d) Skriv ett rationellt uttrck som a) inte är definierat för 7 b) antar värdet 0 för 7 c) inte är definierat för ± d) är definierat för alla. 08 Emil uppskattar att kostnaderna för hans bil varje år uppgår till kr + 0 kr/mil. Anta att han kör mil under ett år. Ställ upp ett uttrck som ger Emils genomsnittliga bilkostnad per mil. 09 Om man vet medicindosen för en vuen, kan dosen för ett barn beräknas med + d där d är vuendosen, är barndosen och är barnets ålder. a) Hur många tabletter bör en fraåring få, om en vuen kan ta 6 tabletter? b) Vilken är vuendosen om en treåring får 0,5 cl?. RATIONELLA UTTRYCK 5

21 Förlängning och förkortning förlängning Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttrck multipliceras med samma tal eller uttrck ( + ) + Förlängning med 5. Förlängning med. förkortning Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett rationellt uttrck divideras med en gemensam delare / 8 / Förkortning med. För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera ( ) Förkortning med 5. enklaste form Ett bråk eller ett rationellt uttrck som inte kan förkortas är skrivet i enklaste form. 0 Förläng med. a) b) 6 c) 5 a) b) c) ( ) 6 Förläng så att nämnaren blir. a) b) + 6 a) b) + ( + ) RATIONELLA UTTRYCK

22 Skriv i enklaste form a) b) 5 0 c) a) Vi faktoriserar och förkortar med och med b) Vi faktoriserar och förkortar med och med c) Vi faktoriserar och förkortar med ( 0) ( + ) 0 + Förenkla om möjligt följande uttrck a) + b) 6 c) 6 a) + ( + ) + b) 6 c) 6 ( ) ( ) Täljaren kan inte faktoriseras. Ingen förenkling är möjlig. Förenkla dubbelbråket ( 5 ) 0 ( + 5 ) genom att förlänga med 0.. RATIONELLA UTTRYCK 7

23 Vi kan bara förkorta ett uttrck om täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer. + kan därför inte förkortas. VARNING Du frestas väl inte att förkorta och strka -termerna? 5 Förläng med. a) 7 b) c) + 7 d) 6 Förläng så att nämnaren blir 5. a) b) c) 5 7 Skriv i enklaste form a) 8 d) + c) ab 8 a b b) 0 5 d) + 8 Skriv i enklaste form. Börja med att brta ut. a) b) c) 9 Skriv i enklaste form. a) h + h h b) h h d) + + c) h h + h d) h h h 6 0 Förklara varför + kan förkortas men + + inte + Vad ska stå i parentesen? a) (?) b) (?) 5 c) a a + a (?) Beräkna värdet för uttrcket om 9 a) före förenkling b) efter förenkling. Förläng med och förenkla a) ( + /) ( /) b) a b a + b Polnomet p() beskrivs av formeln p() 6 8. Vilket polnom är q() om det rationella uttrcket p () kan förenklas till q () a) b) c) 8? 8. RATIONELLA UTTRYCK

24 5 Förenkla a) 9 b) 98 + c) a) Vi faktoriserar med konjugatregeln: 9 ( + ) ( ) ( ) + b) Utbrtning och faktorisering med konjugatregeln ger 98 + ( 9) ( + 7) ( 7) ( 7) ( + 7) ( + 7) c) Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt konjugatregeln ger ( 6) ( + 6) ( 6) Förenkla a) b) Förkorta så långt som möjligt. a) a + a b) a + a + c) a + a a d) a b a b 8 Förkorta så långt som möjligt. c) a) c) b) Förenkla a) d) b) 9 7 a 8 b a 6 a b + 9 b 0 Beräkna utan räknare värdet för uttrcket 9 om,999. Felicia förenklar: 7 (9 z ) + 7z + z och är osäker på om det blev rätt. Pröva om HL VL för z 0 respektive z. Förenkla så långt som möjligt a) ( + h) h b) ( + h) h Förenkla genom att förlänga med. a) ( ) / ( + + ) b) Förenkla uttrcket ( + h) genom att h a) först använda kvadreringsregeln b) först använda konjugatregeln omvänt.. RATIONELLA UTTRYCK 9

25 Eempel Hur kan vi förenkla uttrcken + + och? Uttrcken + och + är lika. Däremot är inte lika med. + ( ) Vi brter ut Kom ihåg: Brt ut b a ( ) (a b) 5 Förenkla a) 5 5 a a b) a 6 a a) 5 5 a a 5( a) a 5(a ) a 5 b) a (a + )(a ) (a + )(a ) a + 6 a ( a) (a ) a + 6 Brt ut i täljaren. Förenkla a) 7 a) a) b) 7 ( a ) a b) c) 9 a a d) 0 5 b) 0a 50 5 a 9 a) a a a b) a) + + b) b a a b a) c) 8 b) ( ) + 6 b) ( ) Brt ut ( ) ur parentesen och förenkla a) b) ( ) ( ) c) d) ( ) ( )6 0. RATIONELLA UTTRYCK

26 Addition och subtraktion lika nämnare Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt På samma sätt förenklas rationella uttrck med lika nämnare olika nämnare gemensam nämnare MGN Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt. Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare. En gemensam nämnare är ett heltal eller ett polnom som är delbart med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttrck. Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN Vilken gemensam nämnare ska vi välja? Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och, t e, eller 6. Om vi väljer MGN, som här är, blir beräkningarna enklast: a) Beräkna b) Förenkla a) MGN ger b) MGN 5 60 Ta med faktorer så att produkten blir delbar med, 6 och RATIONELLA UTTRYCK

27 Förenkla 6 + MGN: 6 Vi förlänger till nämnaren 6 : a) Lös ekvationen b) Förenkla uttrcket a) MGN: Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN : ( + ) ( + ) b) MGN: Vi förlänger till nämnaren : ( + ) (7 + ) Sammanfattning I en ekvation med rationella uttrck kan vi multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation. När vi förenklar ett rationellt uttrck förlänger vi (samtliga termer) till MGN. Detta ändrar inte uttrckets värde.. RATIONELLA UTTRYCK

28 6 Beräkna/förenkla a) c) + 7 b) 7 8 d) Vid produktionen av böcker är den genomsnittliga kostnaden G( ) kr per bok, där G() Hur många böcker tillverkas, om den genomsnittliga kostnaden är 96 kr? 7 Förenkla a) + a a c) + b) + d) 5 + a a 8 Lös ekvationen. Börja med att multiplicera alla termer med MGN. a) 6 5 c) b) + 6 d) 9 a) Lös ekvationen 5 Nora och M klipper en stor gräsmatta. Nora har motorgräsklippare och kan ensam klippa gräsmattan på,0 h. M har en vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan de klippa hela gräsmattan på,0 h. a) Hur stor del av hela arbetet utför Nora på,0 h? b) Hur stor del av hela arbetet gör de tillsammans på,0 h? c) Om M ensam klipper gräsmattan på h, hur stor del av arbetet gör hon då på,0 h? d) Ställ upp en ekvation där kan bestämmas b) Förenkla uttrcket e) Hur lång tid tar det för M att ensam klippa gräsmattan? Förenkla a) + + b) + 5 Lös ekvationen a) b) + 5 c) Pi och Bo förenklar uttrcket + Pi: + + Bo: ( + ) ( ) Båda gör fel! Vilka fel gör de?. RATIONELLA UTTRYCK

29 55 Förenkla a) b) + a) MGN ger Obs! Parentes. ( ) + Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till gemensamt bråkstreck och har uttrck med flera termer! b) + + ( )( ) 56 Lös ekvationen Definitionsvillkor: Definitionsvillkoret innebär att inte kan vara rot till ekvationen. Multiplikation med MGN ger ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) + ± 6 + ± är en falsk rot, då den inte uppfller definitionsvillkoret. Svar:. RATIONELLA UTTRYCK

30 57 a) Lös ekvationen 5 b) Förenkla uttrcket 5 Lös ekvationerna 58 a) 6 5 b) 59 a) b) t + t t + 5 c) + 6 d) Om man vet medicindosen för en vuen, kan dosen för ett barn beräknas med d där d är vuendosen, + är barndosen och är barnets ålder. a) Hur många tabletter bör en fraåring få, om en vuen kan ta 6 tabletter? b) Vuendosen är cl och en pojke rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml). Hur gammal bör pojken vara? 6 Lös ekvationen a) b) 0 6 Förenkla uttrcket Lös ekvationen 6 Ekvationen + 6 t har en lösning t. a t Bestäm värdet på a och eventuella tterligare lösningar. 65 Skriv följande uttrck så enkelt som möjligt. a) a b b a b) a 0 a 5 a 5 a c) + d) 6 a + 6 a 9 + a 66 Johannes förenklar a + a + a till a. Är förenklingen rätt? Undersök numeriskt med din räknare eller visa algebraiskt.. RATIONELLA UTTRYCK 5

31 Multiplikation och division Vi repeterar multiplikation och division av tal i bråkform. Multiplikation av bråk Förkorta om det går innan du multiplicerar. Division av bråk Vi får förlänga med vilket tal vi vill. Vi väljer det tal som ger nämnaren inverterat tal 9 5 kallas det inverterade talet till 5 9 Täljare och nämnare bter plats. Produkten av ett tal och dess inverterade tal är. Att dividera med 5 9 ger samma resultat som att multiplicera med 9 5 Vi förenklar rationella uttrck på samma sätt. 67 Förenkla a) 6 b) + 6 / d) a 6 a / a + a c) a) 6 6 Obs! Parentes. b) + ( + ) c) + 6 / skrivs d) a 6 a / a + a a 6 a a a + (a + )(a ) a (a ) 6 a (a + ) a 6. RATIONELLA UTTRYCK

32 68 Beräkna utan räknare 76 Förenkla a) 5 9 c) 7 5 a) / c) a b / a b b) 6 8 d) 9 0 b) / d) a / a b 69 Beräkna utan räknare a) / 7 b) / 6 c) 6 / d) 5 6 / 7 77 Beräkna värdet för uttrcket a b b om a 0 och b 5 b a b a) före förenkling b) efter förenkling. 70 Förenkla a) a 5 a b) 6 7 c) 5 d) Förenkla a) / c) + / b) (a ) a a 7 Skriv på ett gemensamt bråkstreck och förenkla. a) a b a b) 5 + c) a + 5 a 0 a + d) 5 7 Vad är dubblan (dubbelt så mcket) av a) Förenkla a) / 8 b) a 5 / a 5 b) a + b c) a b 7 Vad är tredjedelen av a) Förenkla a) 6 b) a b c c a b c) 9 / 8 d) 5 z / b) a + b c) a b c) 6 / d) a b c / c a b d) + d) +?? 79 Förenkla a) a + b / (a 9) b) ( + )/ 80 Förenkla dubbelbråket genom att 5a a 5 a a) först förlänga de enskilda bråken till MGN b) först förenkla täljaren för sig och nämnaren för sig och sedan dividera. Förenkla. a + b 8 a) a b 8 a) z z a b) 6 a b) a a a a 8 Låt f () och undersök om man + kan bestämma talet a så att f ( f ()).. RATIONELLA UTTRYCK 7

33 . Funktioner Inledning Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet. Funktion Definitionsmängd Värdemängd En regel som till varje tillåtet -värde ger eakt ett -värde kallas en funktion. De tillåtna -värdena kallas funktionens definitionsmängd. De -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd. Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel, en värdetabell eller en graf. f () kontinuerlig funktion Skrivsättet f() innebär att är en funktion av och f är funktionens namn. Med f() menas det -värde som funktionsregeln ger då. Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan ritas utan att lfta pennan kallas för kontinuerliga. Alla polnomfunktioner är kontinuerliga. f ( ) g ( ) a b a b f är kontinuerlig för a b g är diskontinuerlig för a b diskret funktion En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen (eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betder ordet diskret ungefär detsamma som åtskild eller särad. Diskret matematik beskrivs ofta som motsatsen till kontinuerlig matematik. Datorernas sätt att arbeta är diskret eftersom en dator i grunden endast arbetar med siffrorna 0 och. 8. FUNKTIONER

34 Eempel En handlare säljer äpplen för 0 kr/kg. Funktionen 0 beskriver priset kronor för äpplen som väger kg. Detta är en kontinuerlig funktion, definitionsmängden är de reella talen större än eller lika med 0. En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st. Funktionen 5 beskriver priset kronor för st äpplen. Detta är en diskret funktion, definitionsmängden är de naturliga talen. kr 60 kr kg antal Priset som funktion av vikten. En kontinuerlig funktion. Priset som funktion av antalet. En diskret funktion. 0 Låt f ( ) och bestäm a) f (5) b) f ( 5) c) f (a + h) a) Vi ersätter i f () med 5 f (5) b) Vi ersätter med 5 f ( 5) ( 5) ( 5) c) Vi ersätter med (a + h) Obs! 5 5 ( 5) 5 f (a + h) (a + h) (a + h) a + h (a +ah +h ) a + h a ah h 0 Låt f ( ) + och g ( ) 5. Bestäm så att f ( ) g ( ). f ( ) g ( ) + 5 5,5. FUNKTIONER 9

35 0 Låt f ( ) och bestäm a) f() b) f( ) c) f (a) 0 Låt f( ) 6 5 och g() +. Bestäm a) f () c) f () g () b) g ( ) d) g (b) f (b) 05 Figuren visar grafen till funktionen f ( ). Bestäm med hjälp av grafen 0 Låt f ( ) och visa att a) f ( + ) inte är lika med f () + f () b) f (a) inte är lika med f (a). Bestäm definitions- och värdemängd för a) c) f( ) + b) d) f( ) Vilket värde har talet k om a) f ( ) k + och f () 5 b) g ( ) + k och g ( ) 8? Finn en formel som uppfller hur beror av enligt tabellen a) b) 0 a) f ( 6) b) f (0) c) så att f ( ) 0 d) så att f ( ) 06 Priset kr för att hra ett par skidor i dagar beskrivs av funktionen Är funktionen diskret eller kontinuerlig? Motivera ditt svar. 07 Låt f( ) och bestäm a) f (a + ) b) f (a + h) 08 Låt f () och bestäm a) f (a) b) f ( + h) 09 Bestäm så att f ( ) 5 om a) f ( ) 0 7 b) f ( ) + c) f ( ) 5 7 Funktionen f definieras av formeln f( ) a) Rita funktionens graf. b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Förklara varför funktionens värdemängd är alla reella tal 0. 5 Låt f( ) + och förenkla a) f ( + h) f () h b) f ( + h) f ( ) h 6 En och samma funktion kan beskrivas med olika formler i olika delar av sin definitionsmängd. Funktionen f är definierad på följande sätt: f ( ) för + a för > a) Bestäm f ( ) + f () b) För vilket värde på a är funktionen kontinuerlig? 0. FUNKTIONER

36 Räta linjens ekvation Vi repeterar från kurs b. Räta linjens ekvation kan skrivas k + m där k och m är konstanter. k anger lutningen och m anger var linjen skär -aeln. Grafen till k + m är en rät linje. riktningskoefficient formeln för k m -värdet Lutningen, k-värdet eller riktningskoefficienten för en linje genom punkterna (, ) och (, ) beräknas med formeln k förändringen i -led förändringen i -led där. m-värdet anger -värdet för linjens skärningspunkt med -aeln. Skärningspunktens koordinater är (0, m). Bestämning av k ur en graf m m 6 k 5, k m m 6 Linjens ekvation är Linjens ekvation är, En linje stiger om k > 0 och en linje faller om k < 0. En horisontell linje har k 0 och en ekvation av tpen. En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av tpen.. FUNKTIONER

37 Eempel Linjerna a, b och c är parallella. Linjerna har lutningen k Linjen d har lutningen k 0,5 och är vinkelrät mot de övriga linjerna. d Allmänt gäller Två icke-vertikala linjer med riktnings koefficienterna k och k är parallella om och endast om k k (har samma k-värde) vinkelräta om och endast om k k Räta linjens ekvation kan skrivas på olika sätt: a b c Räta linjens ekvation k-form k + m enpunktsform k( ) allmän form a + b + c 0 7 En linje går genom punkterna (, ) och (, 9). Bestäm linjens ekvation. k 9 ( ) 6 Vi beräknar k. Metod (k-form) k + m k ger + m och 9 ger 9 + m 9 + m m Vi sätter in k-värdet. Vi väljer en av punkterna och sätter in koordinaterna. Metod (enpunktsform) Formeln för k ger 9 6 k ( ) k( ) k ger ( ) och 9 ger 9 ( ) Vi beräknar k. Vi sätter in k-värdet. Vi väljer en av punkterna och sätter in koordinaterna.. FUNKTIONER

38 8 a) Bestäm k och m till linjen b) Rita linjen. a) Linjen är skriven i allmän form. Vi löser ut ur ekvationen Vi adderar 0 till båda leden Vi subtraherar 6 från båda leden. 0 6 Vi dividerar med i båda leden. 5 Vi ser nu att k och m 5. b) Eftersom m 5 och k kan vi rita linjen genom att utgå från punkten (0, 5) och därefter gå steg åt höger i -led och steg nedåt i -led. (0, 5) 9 Bestäm ekvationen för den linje L som går genom punkten (, ) och är parallell med linjen + 6. Linjen + 6 har lutningen k Parallella linjer har samma k-värde. Linjen L har k och går genom punkten (, ) Vi använder k + m, och k ger ( ) + m + m m 5 Linjens ekvation är + 5. FUNKTIONER

39 0 Bestäm lutningen k för en linje genom a) (, ) och (5, ) b) (, ) och (, ) c) (, 5) och (7, 5) d) (, ) och (, 6) Bestäm en ekvation för en linje genom (, ) och med a) k b) k. Bestäm linjernas lutning ur grafen. a) b) Rita grafen till a) b) I en glesbgdskommun minskade invånarantalet linjärt under 990-talet enligt där är antalet invånare år efter 990. a) Ange och tolka funktionens m-värde. b) Ange och tolka funktionens k-värde. 5 Bestäm en ekvation för linjen genom a) (, ) och (, 5) b) (, ) och (, 9) 6 Produktionskostnaden P ( ) kr för att tillverka enheter kan skrivas P () a + b. I formeln är b kr en fast kostnad och a kr/enhet en rörlig kostnad. Bestäm den fasta och den rörliga kostnaden om P (50) 600 och P (0) c) d) 7 Ett clinderformat stearinljus har diametern mm och längden 00 mm. Brinntiden är 8 timmar. a) Hur långt är ljuset då det har brunnit i 5 timmar? b) Hur lång tid har ljuset brunnit om det är 0 mm långt? c) Ställ upp ett linjärt samband mellan ljusets längd f (t ) mm och den tid t timmar som ljuset har brunnit. 8 Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (, 5) och är parallell med a) 5 + b) Ange en ekvation för den linje som går genom punkten (, ) och är vinkelrät mot a) + b) + 0 Vilka koordinater har punkten B, om lut ningen för linjen genom A och B är 5? För en linjär funktion gäller att f(a + ) a +. Bestäm funktionen på formen k + m. A (, ) B. FUNKTIONER

40 Aktivitet UPPTÄCK Funktioner och nollställen Arbeta tillsammans två och två. Materiel: Grafritande räknare/dator. a) Rita av och komplettera tabellen. Använd grafritaren. b) Vilket samband finns mellan funktionens gradtal och det maimala antalet nollställen? c) Vilket är det största antalet nollställen en fjärdegradsfunktion kan ha? d) Kan en förstagradsfunktion sakna nollställen? Motivera med en skiss. e) Kan en tredjegradsfunktion sakna nollställen? Motivera med en skiss. Funktion f ( ) En skiss av funktionens graf med nollställena markerade. Antalet nollställen för funktionen f ( ). f () + f () f () 5 f () f () + 8 f () + 0 f () 6 + a) Rita av och komplettera tabellen. b) Vilket samband finns mellan lösningen till f () 0 och nollställena till funktionen f ()? c) Bestäm nollställena till funktionen f () 8 genom att lösa ekvationen f () 0. Funktion f () f () f () ( + )( ) f () + 6 En skiss av funktionens graf med nollställena markerade. och Lösningen till ekvationen f ( ) 0 0 ± f (). FUNKTIONER 5

41 Andragradsfunktioner En andragradsfunktion definieras av en ekvation av tpen + 0 och f () 8 Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas allmän andragradsfunktion minimipunkt maimipunkt f ( ) a + b + c där a, b och c är konstanter och a 0. Om a > 0 (t e ) har kurvan en minimipunkt. Om a < 0 (t e,5 ) har kurvan en maimipunkt. parabel smmetrilinje Grafen till en andragradsfunktion kallas en parabel. Den har en smmetrilinje som delar kurvan i två delar, som är varandras spegelbilder. smmetrilinje Smmetrilinjen går genom parabelns vändpunkt som är en maimi- eller minimipunkt på grafen. nollställen nollställen Där grafen skär -aeln är 0. -koordinaten i dessa skärningspunkter kallas funktionens nollställen. minimipunkt Eempel Hur hittar vi nollställen, smmetrilinje och minimipunkt till + 0? Nollställen får vi genom att lösa ± Obs! Smmetrilinje, mitt emellan nollställen. 8 (, 8) ger nollställen och 5. Minimipunkten ligger på smmetrilinjen. Minimipunktens koordinater får vi genom att sätta in i funktionen. ger Punkten är (, 8). 6. FUNKTIONER

42 Undersök andragradsfunktionerna 6 och 6 6. a) Har kurvan en maimi- eller minimipunkt? b) Var skär grafen - aeln? c) Har funktionen några nollställen? d) Bestäm grafens smmetrilinje. e) Ange koordinaterna för vändpunkten. f) Ange funktionens största/minsta värde. g) Kontrollera dina resultat grafiskt. 6 a) Funktionen 6 har en positiv -term. Kurvan har en minimipunkt. b) 0 ger 0. Grafen skär -aeln i origo. c) ( 6) 0 Nollställena är 0 6 d) Smmetrilinjen är (mitt emellan 0 och 6) e) ger 6 9 Minimpunkten är (, 9) f) Funktionen har ett minsta värde 9 ( -värdet i vändpunkten) 6 6 a) Funktionen 6 6 har en negativ -term. Kurvan har en maimipunkt. b) 0 ger 6. Grafen skär -aeln i punkten (0, 6). c) ± Nollställen saknas d) Smmetrilinjen är ( p/ om + p + q 0) e) ger ( ) 6 ( ) 6 Maimipunlkten är (, ) f) Funktionen har ett största värde. g) 5 g) 0 (, ) 0 0 (, 9) 0. FUNKTIONER 7

43 Funktionen 6 a) Har kurvan en maimi eller minimipunkt? b) Bestäm kurvans nollställen genom att lösa ekvationen 6 0 c) Ange kurvans smmetrilinje. d) Bestäm koordinaterna för kurvans vändpunkt. e) I vilken punkt skär kurvan -aeln? f) Skissa först grafen för hand och kontrollera sedan med grafräknare. Om man har ekvationen för en andragradsfunktion så finns det en enkel metod att avgöra om grafen har en maimi- eller minimipunkt. Inga beräkningar behövs och grafen behöver ej ritas. Förklara denna metod. 5 Funktionen a) Har kurvan en maimi- eller minimipunkt? b) Bestäm kurvans nollställen genom att lösa ekvationen c) Ange kurvans smmetrilinje. d) Bestäm koordinaterna för kurvans vändpunkt. e) I vilken punkt skär kurvan -aeln? f) Skissa först grafen för hand och kontrollera sedan med grafräknare. 6 En andragradsfunktion har ett nollställe och smmetrilinjen. Bestäm det andra nollstället. 8 Beräkna var kurvan skär -aeln och -aeln. Kontrollera grafiskt. a) f ( ) + 6 b) f ( ) + c) 0 d) ( )( + ) 9 Banan för en kulstöt kan beskrivas med, + 0,0 där är höjden i m då kulan hunnit m i -led. a) Bestäm kulans höjd då den hunnit,5 m i -led. b) Från vilken höjd börjar stöten? c) Du vill beräkna stötens längd genom att lösa ekvationen, + 0, 0. Visa att ekvationen kan skrivas 0 0. d) Bestäm stötens längd och kontrollera resultatet med en grafräknare. 0 En rät linje skär där och. Ange den räta linjens ekvation. En fotboll sparkas rakt upp i luften. En modell för bollens höjd över marken s ( t ) meter efter t sekunder är s ( t ) 0, t,9 t a) Beräkna och tolka s(,5). b) Vilken är bollens högsta höjd? 7 Bestäm kurvans eventuella nollställen samt maimi- eller minimipunkt. Kontrollera grafiskt. a) + + b) 0 c) d) FUNKTIONER

44 Andragradsfunktioner och nollställen Eempel Nollställena till en andragrads funktion kan vi få genom att lösa en andragradsekvation. I figuren ser du tre funktioner och deras nollställen. + 0 har två lösningar ( och ) + har två nollställen ( och ) har en lösning ( ) + har ett nollställe ( ) saknar lösning + 5 saknar nollställen (skär inte - aeln) Eempel Om vi har en andragradsfunktion i faktorform från faktorform t e f ( ) ( + )( 5) till nollställen kan vi bestämma funktionens nollställen genom att lösa ekvationen ( + )( 5) 0 Nollproduktmetoden ger och Finns det fler andragradsfunktioner med samma nollställen? Svaret är ja. Alla funktioner som kan skrivas f ( ) k( +)( 5), där k är en konstant, har nollställena och ,5( + )( 5) ( + )( 5) ( + )( 5) Eempel från nollställen till faktorform Grafen i figuren beskriver en funktion. Vilken? Vi kan avläsa funktionens nollställen och Vi vet då att funktionen kan skrivas f ( ) k( + )( ) 6 För att bestämma konstanten k behöver vi känna till tterligare en punkt på grafen. Vi avläser skärningspunkten (0, 6) med -aeln. 0 och 6 ger ekvationen k(0 + )(0 ) 6 k ( ) 6 k 6 Funktionen är k ger koefficienten framför -termen. f ( ) ( + )( ) som också kan skrivas f ( ) 6. FUNKTIONER 9

45 Faktorisera funktionen f ( ) + 5 Vi börjar med att bestämma funktionens nollställen ± + 5 ± och 5 Funktionen kan skrivas f ( ) k ( ) ( + 5) Koefficienten framför -termen i f ( ) + 5 är + vilket ger k. f ( ) ( ) ( + 5) Obs! Om en funktion saknar nollställen kan den inte faktoriseras. Figuren visar grafen till en andragradsfunktion. Skriv funktionen i a) faktorform b) utvecklad form. och är nollställen. a) I figuren kan vi avläsa nollställena och. Funktionen kan skrivas f ( ) k( + )( ) Vi avläser tterligare en punkt på grafen. (0, ) är skärningspunkten med -aeln. 0 och insatt i funktionen ger k (0 + )(0 ) k Funktionen i faktorform: f ( ) ( + )( ) b) f ( ) ( + )( ) f ( ) ( + ) Funktionen i utvecklad form: f ( ) FUNKTIONER

46 Ange funktionens nollställen a) f ( ) ( + ) ( 0) b) f ( ) 5 ( ) 5 Ge eempel på en andragradsfunktion som har nollställena a) och b) 0 och 0 6 Skriv i faktorform a) f ( ) b) g ( ) a) Rita grafen till f ( ),6 +, på räknaren. Gör en skiss av grafen. b) Aron säger att ekvationen,6 +, 0 saknar reella lösningar. Stämmer det? Motivera. 8 I vilka punkter skär grafen till funktionen koordinatalarna? a) f ( ) ( + )( + 5) b) f ( ) 6( )( 9) 5 Tobbe och Carro ska skriva funktionen f ( ) + i faktorform. Tobbe får f ( ) ( + )( + 7) Carro får f ( ) ( )( 7) Båda har gjort fel. Förklara vilka fel de gjort. 5 Funktionen 8 + a är given. Hur ska vi välja a så att a) grafen går genom punkten (, 6) b) funktionens minsta värde blir 6 c) kurvans minimipunkt ligger på -aeln d) kurvan inte skär -aeln? 5 Skriv andragradsfunktionerna dels i faktorform och dels i utvecklad form. a) b) 9 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion. Skriv funktionen i faktorform och utvecklad form. 6 a) b) Ett andragradspolnom p() har nollställena och och p(0). Är det sant att p(0) p(6)? Motivera ditt svar Skriv två olika funktioner som båda har nollställena 0 och En andragradsfunktion a + b + c har endast ett nollställe. Ange ett samband mellan a, b och c.. FUNKTIONER 5

47 Grafiska lösningsmetoder Eempel Ekvationssstemet kan vi lösa algebraiskt. 8 Vi sätter funktionerna lika och löser ekvationen 8 9 Vi sätter in i en av funktionerna och får 5. Lösningen är 5 Om vi ritar graferna till de två funktionerna, så motsvaras lösningen av skärningspunktens koordinater. (, 5) Eempel Ekvationen 8, kan vi inte lösa algebraiskt. Grafiskt kan vi lösa den genom att avläsa -värdet i skärningspunkten mellan graferna till 8, (,;,) Lösningen till ekvationen är, Med en grafritande räknare kan vi undersöka funktioner, lösa ekvationer och ekvationssstem även när vi saknar algebraiska metoder. 5. FUNKTIONER

48 56 Lös ekvationen grafiskt. a) b) c) a) Vi börjar med att välja fönsterinställning, t e min 0 ma 0 min 0 ma 0 Vi ritar graferna till och + I en skärningspunkt har funktionerna samma -värde. -koordinaten i en skärningspunkt är en lösning till ekvationen. Räknarens verktg för skärning (intersection) ger: Svar: 0,8 6,9 b) Vi ritar graferna till och Svar: 0,76 5, c) Vi ritar graferna till och 5 Svar:. FUNKTIONER 5

49 57 Nazrims månadshra är kr. Prognos : Månadshran kommer att öka med 00 kr varje år. Prognos : Månadshran kommer att öka med 6 % kr varje år. a) Ställ upp två funktioner som visar hran, kr, efter år för de olika prognoserna. b) Undersök grafiskt vilken prognos som ger den högsta hran. a) Prognos kan vi beskriva med den linjära funktionen Prognos kan vi beskriva med eponentialfunktionen 5 000,06 b) Vi kan börja med att låta räknaren göra en värdetabell för de två funktionerna. Sedan väljer vi fönsterinställning och ritar graferna INTERSECTION X Y I en skärningspunkt har funktionerna samma värden. -koordinaten är därför en grafisk lösning till ekvationen ,06 Verktget för skärning (intersection) ger: (0, 5 000) och (0,; 9 ). Mellan skärningspunkterna ger den linjära prognosen den högsta hran, men sedan ger den eponentiella prognosen en högre hra som ökar snabbare. Svar: En ökning med 00 kr/år ger de 0 första åren en högre hra, medan en ökning med 6,0 procent/år från och med år ger den högsta hran. 5. FUNKTIONER

50 58 Lös ekvationen grafiskt a) 5 b) 5 c) Lös ekvationen grafiskt. Svara med två decimaler. a) 0,9, +,8,5 b) 0,9, +,8 0 c) 0,9, +,8, 5 60 Rita graferna till funktionen f () och g () 5 och lös grafiskt ekvationen 5. 6 En modell för Sandras längd, m, år efter hennes -årsdag är funktionen,5,0 Sandras mamma är,66 m lång. Bestäm grafiskt när Sandra är lika lång som sin mamma. 6 En termos flls med 90-gradigt kaffe. Temperaturen kan beräknas sjunka enligt två olika modeller: I: Temperaturen sjunker 8 C/timme. II: Temperaturen sjunker 8 procent/timme. a) Ställ upp två olika funktioner som visar hur temperaturen C beror av hur många timmar som gått. b) Undersök och jämför de olika modellerna grafiskt. 65 För ökningen av koldioidhalten i atmosfären finns många olika matematiska modeller. En linjär modell är,9 + 8 och en kvadratisk modell är 0,0 + 0,8 + 8 I båda modellerna är koldioidhalten i ppm och är tiden i år räknat från 0. När ger de båda modellerna samma värde på koldioidhalten och vilket är då värdet? 6 Lös grafiskt ekvationen a) b) En dator köps för 000 kr. Datorn be räknas minska i värde med 5 % per år de kommande åren. a) Ställ upp en funktion som beskriver datorns värde kr efter år. b) Bestäm grafiskt hur många år det tar innan datorns värde har halverats.. FUNKTIONER 55

51 Eponentialfunktioner och potensfunktioner Vi repeterar från kurs b. Funktioner av tpen och f( ) 500 0,5 är eempel på potensfunktioner. Potensfunktion f ( ) C a, där C och a är konstanter, kallas en potensfunktion. potensekvation Ekvationen är ett eempel på en potensekvation. Ekvationen kan skrivas 6 6 Den positiva roten är, Funktioner av tpen 5,5 och f( ) ,85 är eempel på eponentialfunktioner. Eponentialfunktion f ( ) C a, där C och a är konstanter ( a > 0, a ), kallas en eponentialfunktion. I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring som är konstant. Detta betder att förändringsfaktorn är konstant och en eponentialfunktion kan användas som modell. eponentialekvation Ekvationen 5 är ett eempel på en eponentialekvation. Logaritmering av båda leden ger lg lg 5 Med hjälp av en potenslag kan vi skriva lg lg 5 Lösningen är lg 5 lg, FUNKTIONER

52 66 Värdet på en villa ökade från, miljoner kr till, miljoner kr under en femårsperiod. Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen. Antag att den årliga förändringsfaktorn är. Vi får ekvationen, 5, 5,,, 5,,059 Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år. 67 Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium. Mängden av det radioaktiva ämne som han arbetar med avtar eponentiellt enligt funktionen f( t ) 7 0,87 t där t är antal år efter 00 och f ( t ) är mängden i mg. a) Tolka talen 7 och 0,87 t i formeln. b) Beräkna och tolka f (0). c) När återstår 5,0 mg av det radioaktiva ämnet? a) 7 betder att mängden var 7 mg år 00. Förändringsfaktorn 0,87 betder att mängden minskar med % per år. b) f (0) 7 0, År 00 återstår 8 mg av ämnet. c) Vi löser ekvationen 7 0,87 t 5 0,87 t 5 7 t lg 0,87 lg 5 7 lg 5 7 t lg 0,87 9 Ca 9 år efter 00 återstår 5,0 mg.. FUNKTIONER 57

53 68 Beräkna f (5). Svara med ett heltal. a) f( ),5,5 b) f( ),5,5 69 Lös ekvationen. Svara med två decimaler. a) 9 c) 8 b) 5 d) 5 70 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr. Ställ upp en funktion som anger vinsten kr efter år om vinsten förväntas a) öka med 5 % varje år b) minska med 5 % varje år. 75 A C + B D Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en a) andragradsfunktion b) potensfunktion c) eponentialfunktion? 76 Figuren visar grafen till en eponentialfunktion. Bestäm funktionen. 7 En dag analserade Mikael bakteriehalten i ett vattenprov. Antalet bakterier f( ) ,0, där är antalet timmar efter kl a) Beräkna antalet bakterier kl.0. b) När är antalet bakterier ? 7 Under en 0-årsperiod har Emmas årslön trefaldigats. Beräkna den årliga procentuella ökningen om vi förutsätter att den varit lika stor varje år. 7 Karl köpte aktier. När han tre år senare skulle sälja aktierna hade värdet halverats. Vilken årlig procentuell minskning motsvarade detta? 7 Värdet på bostadsrätter ökar varje år med i genomsnitt,5 % i en mindre stad och med 5 % i en stor stad. Hur många år tar det innan värdet har fördubblats a) i den mindre staden b) i den större staden? 77 Halten av en luftförorening gram per m i ett rum avtar med tiden t timmar enligt funktionen 60 0,9 t Med hur många procent minskar halten per dgn? 78 För en funktion gäller att f (0) och f () 5. Bestäm f () om funktionen är en a) linjär funktion b) eponentialfunktion. 79 I ett område i Afrika minskade antalet giraffer från 000 till under åren 000 till 00. Hur många giraffer kan vi förvänta oss år 05 om minskningen i procent är densamma varje år? 58. FUNKTIONER

54 80 En dator kan sortera N namn på T µs, där T,8 N,8. Hur många namn sorteras på min? 8 I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t ) för löpning 500 m med potensfunktionen P( t ) 0,07 68 (80 t ),85 där t är tiden i sekunder. a) Vilken poäng ger tiden.0,0? 8 Flora och fauna på isolerade öar har stort intresse inom ekologin. För både väter och djur har forskarna funnit att antalet arter på öar med olika area km kan beskrivas med potensfunktionen c a där c och a är konstanter som beror av den aktuella organismen och ögruppen. För fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har undersökningar visat att c 8,9 och a 0,8. Hur stor måste en ö vara för att man rimligen ska finna fler än 00 fågelarter? b) Vilken poäng ger tiden.0,0? c) Vilken tid ger 000 poäng? 8 85 Då kärnkraftverket i Tjernobl havererade i april 986 spreds stora mängder radioaktivt material, bl a jod- med en halveringstid på 8,0 dgn och cesium-7 med en halveringstid på 0, år. Eponentialfunktion Hur länge dröjer det innan aktiviteten reducerats till % av det ursprungliga värdet för 00 a) jod- b) cesium-7? Figuren visar grafen till f ( ). Beräkna f ( ). 8 En patient får en injektion på 5,0 mg av ett läkemedel. Man vet att denna mängd avtar eponentiellt med tiden och att halva mängden återstår efter h. När återstår,5 mg? 86 Potensfunktion C a 0 Bestäm C och a.. FUNKTIONER 59

55 Aktivitet LABORERA Pendeln Materiel: En pendel (t e vikt upphängd i m långt snöre), stativ eller annan fästanordning, tid tagarur och tumstock eller måttband ( m). Svängningstiden (fram och tillbaka) för en pendel beror av pendelns längd. Du ska variera och mäta längden på pendeln, mäta svängningstiden och redovisa resultatet i en tabell. Tips: Använd räknare/dator med ett kurvanpassningsprogram och anpassa en potensfunktion av tpen C a till dina mätvärden. Låt vara svängningstiden i sekunder och pendelns längd i meter. Välj en pendellängd och beräkna svängningstiden med hjälp av din funktion. Kontrollera sedan eperimentellt. Stämmer det? 60. FUNKTIONER

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Lathund algebra och funktioner åk 9

Lathund algebra och funktioner åk 9 Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

LÄXA 3. 7 a) 3 120 b) 231 och 3 120 c) 235 och 3 120

LÄXA 3. 7 a) 3 120 b) 231 och 3 120 c) 235 och 3 120 acit till läorna LÄXA LÄXA a),75 0 b), 0 a) 7, b) 0, a) 0 b) 7 c) 00 00 km/s a), b) a) 900 b) 5, cm a) 50 cm b) 0 cm c) 0,5 cm a),5 b) 0,0 5,05,7,9,5, a) 00 b) 0 c) 79 7 a) b) 55 9,5 TIAN centi = hundradel,

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

Matematik M1c. M 1c SJUNNESSON HOLMSTRÖM SMEDHAMRE

Matematik M1c. M 1c SJUNNESSON HOLMSTRÖM SMEDHAMRE M 1c SJUNNESSON HOLMSTRÖM SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON MARTiN HOLMSTRÖM EvA SMEDHAMRE Best.nr 47-08556-9 Trck.nr 47-08556-9 Matematik M1c 1 15 6 Repetitionsuppgifter Repetition 1 6001 Beräkna: 1+ 0 ( ) +

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

7 Använd siffrorna 0, 2, 4, 6, 7 och 9, och bilda ett sexsiffrigt tal som ligger så nära 700 000 som möjligt.

7 Använd siffrorna 0, 2, 4, 6, 7 och 9, och bilda ett sexsiffrigt tal som ligger så nära 700 000 som möjligt. Steg 9 10 Numerisk räkning Godkänd 1 Beräkna. 15 + 5 3 Beräkna. ( 7) ( 13) 3 En januarimorgon var temperaturen. Under dagen steg temperaturen med fyra grader och till kvällen sjönk temperaturen med sex

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

4. Gör lämpliga avläsningar i diagrammet och bestäm linjens ekvation.

4. Gör lämpliga avläsningar i diagrammet och bestäm linjens ekvation. Repetitionsuppgifter inför prov 2 Ma2 NASA15 vt16 E-uppgifter 1. Beräkna sträckan i triangeln nedan. 3,8 m 37 o 2. En seglare ser en fyr på ett berg. Hon mäter höjdvinkeln till fyrljuset till 7,3 o. På

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Matematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)

Matematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d) 1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera

Läs mer

8-4 Ekvationer. Namn:..

8-4 Ekvationer. Namn:.. 8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Blandade uppgifter om tal

Blandade uppgifter om tal Blandade uppgifter om tal Uppgift nr A/ Beräkna värdet av (-3) 2 B/ Beräkna värdet av - 3 2 Uppgift nr 2 Skriv (3x) 2 utan parentes Uppgift nr 3 Multiplicera de de två talen 2 0 4 och 4 0 med varandra.

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22 Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Matematik B (MA1202)

Matematik B (MA1202) Matematik B (MA10) 50 p Betygskriterier med exempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Komvux/gymnasieprogram:

Komvux/gymnasieprogram: Namn: Skola: Komvux/gymnasieprogram: Anvisningar: Tidsbunden del består av två delar, Del I och Del II. Den sammanlagda provtiden är 120 minuter varav högst 30 minuter för Del I. Till uppgifterna i Del

Läs mer

28 Lägesmått och spridningsmått... 10

28 Lägesmått och spridningsmått... 10 Marjan Repetitionsuppgifter Ma2 1(14) Innehåll 1 Lös ekvationer exakt................................... 2 2 Andragradsfunktion och symmetrilinje........................ 2 3 Förenkla uttryck.....................................

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm.

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm. Läa a) b) c) a) 6,8 b) 8, c) 66 a),99,09,,8,8 b) 0,0 Hon får 9 kr tillbaka. a) 00 b) 00 c) 00 6 a) 0 längder b) 7 m c) kr 7 Decimaltecknet skiljer heltalen från decimaltalen. Placeringen avgör om siffran

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Mattestegens matematik

Mattestegens matematik höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 1 digitala övningar med TI-82 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 009 40 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning

Läs mer

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss. 8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man

Läs mer

Matematik 3000 kurs B

Matematik 3000 kurs B Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs B Innehåll Kursöversikt...4 Så här jobbar du med boken...5 Studieenhet Sannolikhetslära...6 Studieenhet Linjära modeller...8 Studieenhet Icke-linjära

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

TAL OCH RÄKNING HELTAL

TAL OCH RÄKNING HELTAL 1 TAL OCH RÄKNING HELTAL Avsnitt Heltal... 6 Beräkningar med heltal...16 Test Kan du?... 1, 27 Kapiteltest... 28 Begrepp addition avrundning bas differens division exponent faktor kvadratroten ur kvot

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

L ÄR ARHANDLEDNING. Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg

L ÄR ARHANDLEDNING. Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg L ÄR ARHANDLEDNING Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg Negativa tal Utför beräkningarna. Addera svaren i varje grupp till en kontrollsumma. Alla kontrollsummor ska bli lika. 2 5 13 + ( 2) 11

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term

Läs mer

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Uppfriskande Sommarmatematik

Uppfriskande Sommarmatematik Uppfriskande Sommarmatematik Matematiklärarna på Bäckängsgymnasiet genom Johan Espenberg juni 206 Välkommen till Naturvetenskapsprogrammet GRATTIS till din plats på Naturvetenskapsprogrammet på Bäckängsgymnasiet!

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

4Funktioner och algebra

4Funktioner och algebra Funktioner och algebra Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: känna till begreppet funktion kunna tolka och räkna med enkla funktioner kunna multiplicera in i parentesuttrck kunna förenkla

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

Komvux/gymnasieprogram:

Komvux/gymnasieprogram: Namn: Skola: Komvux/gymnasieprogram: Anvisningar: Tidsbunden del består av två delar, Del I och Del II. Den sammanlagda provtiden är 120 minuter varav högst 30 minuter för Del I. Till uppgifterna i Del

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller = n se ta l l ta al u at sen nt al rat l r l d d n iotu se hun tiot a ent a hu t tu + + 7 tiotusental tusental 7 tiotal 7 7 7 7 Ju längre till höger, desto större är talet. 7 > 7 Siffran betyder tiotusental

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7 Potensform Uppgift nr Vad menas i matematiken med skrivsättet 3 6? (Skall inte räknas ut.) Uppgift nr 2 värdet av potensen 3 2 Uppgift nr 3 Skriv 8 8 8 i potensform Uppgift nr 4 Skriv 4 3 som upprepad

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar Uppgift nr 1 10 z Uppgift nr 2 10 z = 0,0001 Uppgift nr 3 10 5y 000 Uppgift nr 4 10-4z Uppgift nr 5 Skriv talet 6,29 i potensform med 10 som bas.

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal

Vardagsord. Förstår ord som fler än, färre än osv. Har kunskap om hälften/dubbelt. Ex. Uppfattning om antal TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer

Läs mer

Innehåll. 1 Allmän information 5. 4 Formativ bedömning 74. 5 Diagnoser och tester 90. 6 Prov och repetition 107. 2 Kommentarer till kapitlen 18

Innehåll. 1 Allmän information 5. 4 Formativ bedömning 74. 5 Diagnoser och tester 90. 6 Prov och repetition 107. 2 Kommentarer till kapitlen 18 Innehåll 1 Allmän information Seriens uppbyggnad Lärobokens struktur 6 Kapitelinledning 7 Avsnitten 7 Pratbubbleuppgifter Aktivitet Taluppfattning och huvudräkning 9 Resonera och utveckla 9 Räkna och häpna

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

Förberedande kurs i matematik 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Förberedande kurs i matematik 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Förberedande kurs i matematik Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/sommarmatte Studiematerialet hör

Läs mer

1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000

1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000 Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer