Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Transkript

1 Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x = 3x (2x + 4) = 3 2x = 6x + 12 Det enda som händer är att allt i parentesen blir a ggr större, i exemplen ovan alltså 3 ggr större. Försök inte att få 3(2x + 4) att bli x Har man 2x och gör det 3 ggr större blir det ju 6x. Regel för parentesmultiplikation (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Om man tittar närmare ser man att det faktiskt bara rör sig om distributiva lagen två gånger: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd (x+2)(2x 3) = x 2x+x ( 3)+2 2x+2 ( 3) = 2x 2 3x+4x 6 = 2x 2 +x 6 Samla ihop alla termer som innehåller samma potens av x (eller vad det nu kan vara) så att uttrycket blir så enkelt som möjligt. Första kvadreringsregeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Som vi ser är detta bara ett specialfall av regeln för parentesmultiplikation, (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (3x + 5) 2 = (3x) x = 9x x + 25 Andra kvadreringsregeln (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Detta är bara ännu ett specialfall av regeln för parentesmultiplikation. (3x 5) 2 = (3x) 2 2 3x 5 + ( 5) 2 = 9x 2 30x + 25

2 Konjugatregeln (a + b)(a b) = a 2 b 2 Ännu ett specialfall av regeln för parentesmultiplikation, (a + b)(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b 2 (3x + 5)(3x 5) = (3x) = 9x 2 25 Att lära sig känna igen högerleden här är ganska användbart, så att man inser att t.ex. x 2 + 6x + 9 är samma sak som x x + 3 2, dvs (x + 3) 2. Har man fler parenteser, multiplicerar man två till att börja med, sedan multiplicerar man in nästa, och sedan nästa osv. (a+b)(c+d)(e+f) = (ac+ad+bc+bd)(e+f) = ace+ade+bce+bde+acf +adf +ecf +edf Uttrycken man får är inte sällan på formen eller ax 2 + bx + c ax 3 + bx 2 + cx + d. Dessa är exempel på polynom i x. Man inför beteckningen p(x) = 2x 2 + 3x 5, p av x är lika med..., för att förenkla instoppandet av olika värden på den oberoende variabeln x: p(3) = = = som vi får ut är inget annat än ett gammalt hederligt y-värde, men nu i förklädnad. Vi skriver p(3) = 19 istället för x = 3, y = 19. Om vi t.ex. har ett annat polynom, q(x) = x 2 4x + 3, kan vi enkelt bilda olika sammansättningar av dessa utan att skapa förvirring eller onödigt skrivande. p(x) q(x) = (2x 2 +3x 5) (x 2 4x+3) = 2x 2 +3x 5 x 2 +4x 3 = x 2 +7x 8. Notera att alla termer i q(x) byter tecken när vi tar bort parentesen, eftersom vi har ett minustecken framför.

3 Det sista kan vi illustrera med ett litet sifferexempel, i första raden räknar vi ut parentesen först, i andra raden tar vi bort parentesen och byter tecken: ( ) = (5 7) = ( 2) = 2 ( ) = = = 2 Andragradspolynom och andragradsekvationer Man benämner polynomen efter den högsta potensen av x (eller vad den oberoende variabeln nu heter, oavsett vilka andra termer som finns). Således är t.ex. 3x 5 + 2x 4 ett femtegradspolynom, x 2 2x + 7 ett andragradspolynom, 3 ett nolltegradspolynom, (3 = 3 1 = 3 x 0 ) osv. Vi kommer [åtminstone tills vidare] att ägna oss åt andragradspolynom, och andragradsekvationer. Vad är det för skillnad? Andragradspolynom: p(x) = x 2 + 2x + 1 Andragradsekvation: 0 = x 2 + 2x + 1 Ett polynom är ett uttryck, vilket kan formuleras som en funktion p(x) vilket jag gjorde alldeles här ovan i första raden. Man kan stoppa in värden på x helt efter eget behag, och man får ut lite olika värden på p. I ekvationen däremot, har vi bestämt att p(x) = 0, och vill så ta reda på vilket värde på x som uppfyller detta. Lösning av ekvationen ovan När ekvationen är så pass snygg och tillrättalagd som denna kan man se att högerledet går att skriva om med hjälp av kvadreringsregeln, x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2, vilket gör att vi kan skriva om ekvationen som 0 = (x + 1) 2. Nu har vi en enda term på vardera sidan om likhetstecknet, och då får vi tillåtelse att dra roten ur båda sidorna: 0 = (x + 1)2, dvs x = 1. 0 = x + 1,

4 Det är nu sällan som ekvationerna ser så snygga ut som här, men man kan i alla fall försöka skriva om dem så att man kan utnyttja kvadreringsreglerna. Det är inte alltid så lätt att se hur man ska göra, men det går alltid lättare med lite övning. Vi testar på en lite annorlunda formulerad [och mer invecklad] ekvation: x 2 6x + 5 = 0. Om vi tittar på vänstra ledet, ser vi att vi har termerna x 2 och 6x, vilket man kan tycka liknar första två termerna i andra kvadreringsregeln. Vi kan ju kolla vad som händer om vi utvecklar (x 3) 2 : (x 3) 2 = x 2 6x + 9. Om vi nu jämför detta med vår ekvation, ser vi att vi saknar 4 för att vi ska kunna skriva om vänsterledet som (x 3) 2. Eftersom det är en ekvation, kan vi ju lägga till 4, så länge vi gör det på båda sidor. Vi får då vilket vi nu kan skriva ihop till x 2 6x = 0 + 4, x 2 6x + 9 = 4, (x 3) 2 = 4. Glada över att ha en enda term på vardera sidan om ekvationen, drar vi roten ur respektive led: (x 3)2 = ± 4 (x 3) = ±2. Vi har nu två olika ekvationer, beroende på om högerledet är två eller minus två. Vi löser dem var och en för sig, och erhåller således två olika x-värden. x 1 3 = 2 x 1 = 5 x 2 3 = 2 x 2 = 1 Det bästa man sen kan göra är att kontrollera att ekvationen verkligen uppfylls av de nu erhållna x-värdena. x 2 1 6x = = = 0, Jomenvisst. x 2 2 6x = = = 0.

5 Faktorisering av polynom Vi har tidigare sett att vi kan skriva parentesprodukten (x + 2)(x 5) som x 2 3x 10, genom att utföra multiplikationen [utvecka uttrycket]. Vi har alltså två alternativa sätt att skriva samma polynom: p(x) = x 2 3x 10 p(x) = (x + 2)(x 5). Men hur kan vi ta reda på vilka två parenteser som ger ett givet polynom? Hur kan vi skriva p(x) = x 2 2x 8 som p(x) = (x a)(x b)? Vad vi söker är alltså två tal a och b. Det lättaste sättet är att, som vi gjorde en sida tillbaka, titta på [specialfallet] när p(x) = 0. Vi har alltså att 0 = x 2 2x 8 0 = (x a)(x b). Vi känner till hur vi kan lösa den första av ekvationerna, och vi får då två olika tal vilka vi brukar benämna x 1 och x 2. Då har vi automatiskt lösningen till den andra ekvationen, eftersom högerleden i båda ekvationerna är samma sak om än i olika utseende. I detta fall är x 1 = 2 och x 2 = 4 [testa själv]. Då vet vi att om vi sätter in 2 istället för x i vårt polynom x 2 + 2x 8, så får vi resultatet 0. 1 Detsamma gäller om vi sätter in 4 istället för x. 2 Men då måste ju detta även gälla för vårt parentesuttryck, eftersom det bara är ett annat sätt att skriva p(x)! Alltså: p( 2) = ( 2 a)( 2 b) = 0 p(4) = (4 a)(4 b) = 0. Men en produkt av två faktorer är noll om och endast om [minst] en av dem är noll. Således är antingen ( 2 a) = 0, eller så är ( 2 b) = 0. Märk väl att samtidigt ska också antingen (4 a) = 0, eller (4 b) = 0, det är ju fortfarande p(x) vi pratar om här (Både p( 2) = 0 och p(4) = 0). Låt säga att ( 2 a) = 0. Då är a = 2, eftersom ( 2 ( 2)) = ( 2+2) = 0). Då måste ju (4 b) = 0, vilket er oss att b = 4. Vi ser att a = x 1 och b = x 2. p(x) = (x + 2)(x 4) är alltså vår lösning 3. Allmänt gäller att om x 1 och x 2 är lösningar till ekvationen x 2 + px + q = 0 så är x 2 + px + q = (x x 1 )(x x 2 ). 4 1 p( 2) = ( 2) 2 2 ( 2) 8 = = 0 2 p(4) = (4) 2 2 (4) 8 = = 0 3 Om vi valt att ( 2 b) = 0, hade vi ju fått b = 2 och a = 4 vilket ger samma svar 4 vilket ger oss Viètes formler, p = (x 1 + x 2 ), q = x 1 x 2