Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1"

Transkript

1 Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen är alltså hur värdet av f(x) uppför sig för x-värden nära punkten x. Exempel 6. Vi undersöker funktionen f(x) för x-värden nära, då f(x) = sin x x Direkt insättning skulle ge, vilket är odefinierat. 3 3 Figur 6.: Funktionen sin x x. Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 3

2 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 3 Ur grafen ser vi ändå att ju närmare x ligger värdet, desto närmare ligger funktionsvärdet f(x). Detta betecknas med eller f(x), då x sin x x x =. Definition 6. En funktion sägs ha gränsvärdet a, då x går mot x, om funktionsvärdena f(x) hålls hur nära talet a som helst, så snart x väljs tillräckligt nära talet x. Detta betecknas f(x) = a eller f(x) a, då x x. x x 6. Räkneregler för gränsvärden Vi har följande räkneregler för gränsvärden, som vi inte bevisar, eftersom vår definition av gränsvärde är så vag och svår att arbeta med. Räkneregler 6.3 Antag i det följande att gränsvärdena x x f(x) och x x g(x) existerar. Då gäller:.. 3. x x (f(x) + g(x)) = x x f(x) + x x g(x) x x (f(x) g(x)) = x x f(x) x x g(x) (f(x)g(x)) = f(x) g(x) x x x x x x 4. f(x) x x g(x) = x x f(x) x x g(x), g(x) x x När man beräknar gränsvärden går det i många fall med direkt insättning. För alla polynomfunktioner, där x inte är en ändpunkt i intervallet som bestämmer definitionsmängden kan man beräkna gränsvärdet med direkt insättning. Samma gäller de trigonometriska funktionerna, exponentialfunktionen, logaritmfunktionen och potensfunktioner. Oinas-Kukkonen Kurs 6 kapitel

3 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 33 Exempel 6.4 Gränsvärdet för funktionen f(x) = x 3 4 då x beräknas enligt: x x3 4 = 3 4 = 4. Ofta uppstår dock svårigheter när en funktion inte är definierad i den punkt x där vi undersöker gränsvärdet. Vi skall i det följande se på några möjliga sätt att undersöka gränsvärdet trots att metoden med direkt insättning inte är möjlig. Det gemensamma för metoderna är att man försöker skriva om uttrycket i en sådan form att man kan tillämpa direkt insättning. Antag att vi har ett rationellt uttryck med polynomfunktioner i nämnare och täljare. Om vidå med direkt insättning av x = x erhåller det obestämda uttrycket vet vienligt satsens om polynoms faktorisering att x x är en faktor i nämnare och täljare. Detta kan vi utnyttja genom att dividera nämnare och täljare med x x, och därigenom få ett uttryck där den skenbara polen är bortförkortad. Exempel 6.5 Vi ska illustrera standardmetoden för bestämning av rationella gränsvärden genom att beräkna x 3x + 4x +. x + Direkt insättning ger det obestämda uttrycket. Täljaren har nollställena: x = 4 ± = 4 ± 6 x = 3 x =. Därigenom kan vi omskriva uttrycket (x ): 3x + 4x + x x + 3(x + )(x + ) 3 = x x + = 3x + = 3 + = x Anmärkning 6.6 Detta är standardmetoden för att beräkna gränsvärden för rationella funktioner, där direkt insättning ger. Ett annat knep man kan använda sig av är att skriva om problemet. Detta genom att: x x f(x) = h f(x + h).

4 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.: Funktionen f(x) = (3x + 4x + )/(x + ). Dess funktionskurva sammanfaller med y = 3x+, förutom att f(x) inte är definierad för x =. Exempel 6.7 Beräkna: x 3 x x Insättning ger det odefinierade. Vi gör variabelbytet x = h + och beräknar: (h + ) 3 h (h + ) = (h 3 + 3h + 3h + ) h h = h h 3 + 3h + 3h h = h h(h + 3h + 3) h = h h + 3h + 3 = + 3 = Figur 6.3: En skiss av funktionen i exempel 6.7. Märk att funktionskurvan sammanfaller med en parabel överallt utom i x =, där den inte är definierad.

5 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 35 Man kan även använda konjugat- och kvadreringsregeln för att omformulera uttrycken. Vi ska nu illustrera standardmetoden för beräkning av gränsvärden som innehåller kvadratrot. I dessa fall lyckas man oftast beräkna gränsvärdet om man förlänger med kvadratrotens konjugattal. Exempel 6.8 Beräkna: x x x. Insättning ger det odefinierade. Vi använder konjugatregeln för att skriva om uttrycket. x x x = ( x )( x + ) x (x )( x + ) = x x (x )( x + ) = = x x + + = Eftersom det gäller att a n b n = (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ) kan man lösa följande problem.

6 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 36 Exempel 6.9 Beräkna: x 3 8 x x 4 insättning av x = ger det odefinerade. Omskrivning av täljaren enligt: och nämnaren enligt ger dock: x 3 8 = x 3 3 = (x )(x + x + 4) x 4 = (x )(x + ) x 3 8 x x = (x )(x + x + 4) x (x )(x + ) x + x + 4 x x + = = = 4 = 3. Observera att i beräkningarna bör man ha med beteckningen x x ända tills man använder direkt insättning. Det gäller alltså inte att: x x ( x )( x + ) =. x Gränsvärden för trigonometriska funktioner När vi löser gränsvärden för trigonometriska funktioner 3 använder vi ofta följande sats: Sats 6. Speciellt gäller att sin f(x) x f(x) = om x f(x) =. sin x x x =. 3 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 7

7 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 37 Exempel 6. Bestäm x x sin x cos x Insättning ger det obestämda. Vi skall försöka skriva om uttrycket. Eftersom cos x = sin x förlänger vi uttrycket, så att vi får (x, så att + cos x ): x (x sin x)( + cos x) ( cos x)( + cos x) = x sin x ( + cos x) x cos x x sin x( + cos x) = x sin x x = x x( + cos x) sin x = x sin x ( + cos x) x = ( + cos ) = ( + ) =

8 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Ensidiga gränsvärden Då vi undersöker gränsvärden undersöker vi vilket värde funktionsvärdet f(x) närmar sig då x går mot en punkt x. Det ska alltså sakna betydelse från vilket håll vi närmar oss. x kan ju närma sig x både från höger och vänster. I många fall är det skillnad på om x går mot x från höger eller vänster 4. Exempel 6. Funktionen f(x) = { x +, då x x, då x > har gränsvärdet då x från vänster medan gränsvärdet är då x från höger.för att särskilja dessa fall har man infört följande beteckningar: x x f(x) = och f(x) =. + Vi har att x f(x) inte existerar, eftersom vi får olika gränsvärden från höger och vänster. 3 3 Figur 6.4: Funktionen f(x) har olika gränsvärde i x =, beroende på om man kommer från höger eller vänster. Därför har den inget gränsvärde i x. 4 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 3

9 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 39 Definition 6.3 En funktion sägs ha vänstergränsvärdet a, då x går mot x, om funktionsvärdena f(x) hålls hur nära talet a som helst, så snart x (x < x ) väljs tillräckligt nära talet x.att f:s vänstergränsvärde i x är a betecknas med x x f(x) = a. Högergränsvärdet definieras på motsvarande sätt, dock så att x > x, och detta betecknas f(x) = a. x x + Exempel 6.4 Funktionen f(x) = x x saknar gränsvärde då x eftersom funktionen är definierad endast för x, x. Däremot gäller det att: x x + x = =. Sats 6.5 Vi har att x x f(x) = a x x f(x) = f(x) = a. x x + Detta innebär att ett gränsvärde existerar om och endast om höger- och vänstergränsvärdena existerar och är lika. Exempel 6.6 Existerar x f(x) då f(x) = x x För att gränsvärdet skall existera bör det gälla att: f(x) = f(x) x x + Definitionsmängden för uttrycket är x, x. Detta eftersom det krävs att x. Direkt insättning av x = ger det obestämda. Skriver om uttrycket genom att förlänga med konjugatet:? f(x) = x x = ( x )( + x ) x( + x )

10 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 4 = ( ( x )) x( + x ) = x x( + x ) Vi kan alltså undersöka (x > = x = x): x x x( + x ) = x + För x < gäller det att x = x och x x x( + x) = x + + x = + = x x( + ( x)) = x + + x = + + = Höger- och vänstergränsvärdena är alltså olika och gränsvärde i punkten x = existerar inte Figur 6.5: Funktionen f(x) i exempel 6.6.

11 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Oegentliga gränsvärden Vi ska nu se på två speciella gränsvärden. 5 Exempel 6.7 Se på kurvan för funktionen f(x) = x Funktionen f(x) är odefinierad i punkten x =. När x + närmar sig kurvan asymptotiskt positiva y-axeln, dvs. för små positiva värden på x närmar sig funktionskurvan y-axeln, så f(x) +. Funktionsvärdena går mot +. Då x går funktionsvärdena mot. Vi säger att x + x = och x x =. Definition 6.8 En funktion f sägs ha det oegentliga gränsvärdet ( ), då x x om funktionsvärdena f(x) kan fås att hållas godtyckligt positivt (negativt) stora så snart x väljs tillräckligt nära talet x. Detta betecknas med: f(x) = ( ) eller f(x) ( ) då x x. x x 5 Oinas Kukkonen m.fl Kurs 6 kapitel 4

12 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 4 Anmärkning 6.9 De oegentliga gränsvärdena är inga riktiga gränsvärden (därav namnet), utan bara ett bekvämt sätt att säga att en funktion växer över alla gränser. Om man säger att en funktion har ett gränsvärde, så avses ett riktigt sådant, dvs. inte ±. Vissa avser med f(x) att f(x) ± och gör inte någon större skillnad mellan dessa två. Jag tycker själv också bättre om detta beteckningssätt, men vi kan här följa gymnasieversionen, dvs. den version som finns i definitionen. Exempel 6. Man bör vara försiktig med hur man tolkar räknereglerna för gränsvärden då man har med oegentliga gränsvärden att göra. Några exempel:. ± a = a R. k = {, k > k =, k < k = och k/± = 3. alla följande är odefinierade: { ±, k >, k < Exempel 6. För n Z + gäller det att: x Om n är udda gäller det att = om n är jämnt xn = och x + xn x x n =. Bevis: (Delvist.) Vi bör visa t.ex. att funktionsvärdet kan fås godtyckligt stort då x +. Ta godtyckligt M R +. Då gäller att x ], f växer över alla gränser. n M [ = < x n < M = x n > M

13 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 43 Exempel 6. Bestäm a R så att x ax + x x existerar (och är ändligt). Vilket är gränsvärdet? För att gränsvärdet skall existera bör x vara en faktor i täljaren. (Varför?) Då måste det gälla att x = löser ekvationen: Insättning av x = ger: x ax + = a + = a = 3. Vi skriver om uttrycket: x 3x +. x x Eftersom ekvationen x 3x + = har lösningarna x = 3 ± kan vi skriva x ax + x x Alternativ lösning: = 3 ± 4 (x )(x ) = x x x = x =. = x x = = För att gränsvärdet skall existera bör x vara en faktor i täljaren. Eftersom det för rötterna x, x i ekvationen c x + c x + c 3 = gäller att x + x = c och x x = c 3 c c bör det för x gälla att (givet att x = ) gälla att: x = a och x = =. Vi kan nu lösa ut a genom att sätta de båda uttrycken lika: a = Därefter fortsätter vi som ovan. a = 3.

14 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 44 Exempel 6.3 Se på grafen av funktionen f(x) = tan x. 3 π π π π π 3 π Figur 6.6: Funktionen f(x) = tan x. Det gäller n Z att tan x = och tan x =. x π/+nπ x π/+nπ + Exempel 6.4 Se på grafen av funktionen f(x) = ln x. För logaritmfunktionen log a x, a > gäller det att x + log a x =. Om a ], [ så är /a > och ln(/a) = ln a, så Då fås alltså log a x = ln x ln a = ln x ln(/a) = log /a x. x + log a x = och x log a x =.

15 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.7: Funktionen f(x) = ln x. 6.5 Gränsvärden då x går mot ±. Nedanstående hittas i Oinas-Kukkonen Kurs 6 kapitel 9. Exempel 6.5 Se på funktionens f(x) = x graf nedan. I denna sektion undersöks vad som händer med funktionsvärdena då x blir stort, dvs. x ±. Funktionsvärdena för f(x) närmar sig talet då x-värdena går mot +. Motsvarande resulat fås då x går mot. Detta skriver vi som: x x = och x x =. Anmärkning 6.6 Dessa gränsvärden är egentliga, så länge de är ±. Då vi beräknar gränsvärden då x ± för rationella uttryck, förkortar man uttrycket med en faktor av samma gradtal som nämnaren. Minns att där c är en konstant och n >. x ± c x n =,

16 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.8: Funktionen f(x) = x origo. antar mindre värden ju längre x är från Exempel 6.7 Beräkna x x x + Vi bryter ut ett x ur både nämnare och täljare. x( ) x x x( + ) = x x + x x I ett uttryck av formen x x x x + x x f(x) g(x) x = ( ) x ( x) x + x = + = kan man beräkna gränsvärdet om g(x) a och f(x). Gränsvärdet för f g är då ±. Antag att n Z + är jämnt. Då gäller det att: Om n är udda gäller det att: x ± xn = x xn = och x xn =.

17 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.9: f(x) = (x )/(x + ) Exempel 6.8 Beräkna Bryter ut x upphöjt i gradtalet. x ( x4 5x 3 + x + 3). x ( x4 5x 3 + x + 3) x x4 ( 5 x + x x ) = 4 Exempel 6.9 Beräkna x 3 x x + x x. Bryter ut x eftersom gradtalet för nämnaren är två. x (x ) x x x ( + ) x x x x = x + x x = x x x x x x + x x x =

18 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Vi kan sammanfatta resultaten i en sats: Sats 6.3 En rationell funktion f(x) = p(x) q(x), där p(x) och q(x) är polynom av graden p resp. q. har då x eller x. Gränsvärdet om p < q.. Gränsvärdet a (där a och b är koefficienterna framför termerna med b gradtalet p i täljaren resp. nämnaren) om p = q. 3. Det oegentliga gränsvärdet eller om p > q. För log a x och a x gäller det att x f(x) = om a >. Om däremot < a < gäller det att x log a x = och x a x =. Funktionerna sin x, cos x, tan x och cot x saknar gränsvärde då x. (Därför saknar till exempel sin(/x) gränsvärde då x.) Exempel 6.3 Beräkna: 3 x + 4 x x 4 x +. x Vi bryter ut den term som dominerar för stora x i nämnaren. 3 x + 4 x 4 x + = 4x ( 3x + ) 4 x x 4 x ( + x ) = ( 3 4 )x + ( ( och )x + 4 x )x x + ( = + )x + =.

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l. Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera

Läs mer

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.1 0.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte

Läs mer

Modul 6: Integraler och tillämpningar

Modul 6: Integraler och tillämpningar Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

Lathund, procent med bråk, åk 8

Lathund, procent med bråk, åk 8 Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner

Läs mer

Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3.

Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3. PASS 5. FAKTORISERING AV POLYNOM 5. Nyttan av faktorisering och faktorisering av heltal Har vi nytta av att kunna faktorisera polynom? Ja det har vi. Bra kunskaper i faktorisering av polynom möjliggör

Läs mer

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05 Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är

Läs mer

Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.

Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer. 1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3 Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket

Läs mer

Volymer av n dimensionella klot

Volymer av n dimensionella klot 252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)

Läs mer

Sammanfattning på lättläst svenska

Sammanfattning på lättläst svenska Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5

Läs mer

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet

Läs mer

Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.

Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

4-6 Trianglar Namn:..

4-6 Trianglar Namn:.. 4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter

Läs mer

Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt

Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt RPG-spel med JavaScript Författare Robin Bertram Datum 2013 06 10 1 Abstrakt Den här rapporten är en post mortem -rapport som handlar om utvecklandet av ett RPG-spel

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan. Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade

Läs mer

Vi skall skriva uppsats

Vi skall skriva uppsats Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att

Läs mer

7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5

7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7.2. Elevhäfte 2 7.2.1. Livsfrågor Eva och Micke går båda i 5:an. De träffas ofta efter skolan och lyssnar på musik eller gör hemläxan tillsammans. Ibland funderar de på frågor

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1

L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

Något om permutationer

Något om permutationer 105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar

Läs mer

Presentationsövningar

Presentationsövningar Varje möte då temadialog används bör inledas med en presentationsövning. har flera syften. Både föräldrar och ledare har nytta av att gå igenom samtliga deltagares namn och dessutom få en tydlig bild av

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Så har vi då nått fram till sista avsnittet före tentamen. Uppgifterna i detta avsnitt är ganska trevliga, därför att de ofta har en, åtminstone påhittad,

Läs mer

Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola.

Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. 111a Geometri med snöre Pesach Laksman är lärarutbildare i matematik och matematikdidaktik vid Malmö högskola. Areabegreppet När elever får frågan vad area betyder ges mestadels svar som antyder hur man

Läs mer

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning

Läs mer

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?

4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel? 4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO 6 MVE6 - /6 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära system av differentialekvationer Vi har i studioövning sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor u (t) =

Läs mer

Funktionsbegreppet. Kapitel 7. 7.1 Introduktion till funktioner. Definition av funktion

Funktionsbegreppet. Kapitel 7. 7.1 Introduktion till funktioner. Definition av funktion Kapitel 7 Old mathematicians never die, the just lose some of their functions. Okänd Funktionsbegreppet Funktionsbegreppet kan med rätta sägas vara ett av de mest centrala i matematiken och dess tillämpningar.

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:

Läs mer

729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik

729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001. Beräkna medelvärdet, standardavvikelsen, medianen och tredje kvartilen?

Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001. Beräkna medelvärdet, standardavvikelsen, medianen och tredje kvartilen? Lösningar till Tentamen i Matematisk Statistik, 5p 22 mars, 2001 1. Månadslönerna för 10 lärare vid en viss skola är 1 17 700 19 800 19 900 20 200 20 800 16 100 17 000 23 500 19 700 21 100 Beräkna medelvärdet,

Läs mer

Tränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se

Tränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se Tränarguide del 1 Mattelek www.mv-nordic.se 1 ATT TRÄNA MED MATTELEK Mattelek är ett adaptivt träningsprogram för att träna centrala matematiska färdigheter såsom antalsuppfattning, den inre mentala tallinjen

Läs mer

Partnerskapsförord. giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2. Parter 3. Partnerskapsförordets innehåll: 4

Partnerskapsförord. giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2. Parter 3. Partnerskapsförordets innehåll: 4 Partnerskapsförord giftorättsgods görs till enskild egendom 1, 2 Parter 3 Namn Telefon Adress Namn Telefon Adress Partnerskapsförordets innehåll: 4 Vi skall ingå registrerat partnerskap har ingått registrerat

Läs mer

HT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem

HT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem HT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem Problem 1 (6p) En undersökning utfördes med målet att besvara frågan Hur stor andel av den vuxna befolkningen i Sverige äger ett skjutvapen?.

Läs mer

10.03.2010. Översikt. Rapport från skolverket. Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007. Grundtankar bakom Pixel

10.03.2010. Översikt. Rapport från skolverket. Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007. Grundtankar bakom Pixel Översikt Hur är situationen i Sverige och Norge när det gäller matematik-kompetensen? Är det nödvändigt att undervisa på andra sätt än vi gjort tidigare? Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik LMA521 för EPI och MI den 14 dec 2011

Tentamen i Tillämpad matematisk statistik LMA521 för EPI och MI den 14 dec 2011 Tentamen i Tillämpad matematisk statistik LMA5 för EPI och MI den dec Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 5 poäng. Det krävs minst poäng för betyg 3, minst 3 poäng för och minst poäng för 5. Eaminator:

Läs mer

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Idag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?

Idag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik

Läs mer

Föreläsning 5: Rekursion

Föreläsning 5: Rekursion Föreläsning 5: Rekursion Vi har tidigare sett att man kan dela upp problem i mindre bitar med hjälp av underprogram, vilket är ett utmärkt sätt att lösa problem. Detta är ganska lätt att rita upp för sig

Läs mer

Ha det kul med att förmedla och utveckla ett knepigt område!

Ha det kul med att förmedla och utveckla ett knepigt område! Kul med pizzabitar Första gången eleverna får materialet i handen bör dem få sin egen tid till att undersöka det på det viset blir dem bekanta med dess olika delar. Det kan också vara en god idé att låta

Läs mer

Idag: Dataabstraktion

Idag: Dataabstraktion Idag: Dataabstraktion Hur använder vi det vi hittills kan om Scheme för att realisera (implementera) sammansatta data? Hur separerar man datastrukturen från resten av ett program så att ändringar i datastrukturen

Läs mer

Föreläsning 9: Hypotesprövning

Föreläsning 9: Hypotesprövning Föreläsning 9: Hypotesprövning Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 5, 2014 Statistik Stickprov Ett stickprov av storlek n är n oberoende observationer av en slumpvariabel

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

Nedfrysning av spermier. Information om hur det går till att lämna och frysa ned spermier.

Nedfrysning av spermier. Information om hur det går till att lämna och frysa ned spermier. Nedfrysning av spermier Information om hur det går till att lämna och frysa ned spermier. Innehållsförteckning Varför ska man frysa ner spermier? Hur går det till? Den här informationen riktar sig främst

Läs mer

När jag har arbetat klart med det här området ska jag:

När jag har arbetat klart med det här området ska jag: Kraft och rörelse När jag har arbetat klart med det här området ska jag: kunna ge exempel på olika krafter och kunna använda mina kunskaper om dessa när jag förklarar olika fysikaliska fenomen, veta vad

Läs mer

Energi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt

Energi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt Energi & Miljötema Inrikting So - Kravmärkt 21/5 2010 Sofie Roxå 9b Handledare Torgny Roxå Mentor Fredrik Alven 1 Innehållsförteckning Inledning s. 3 Bakgrund s. 3 Syfte s. 3 Hypotes s. 3 Metod s. 4 Resultat

Läs mer

De två första korten Tidig position

De två första korten Tidig position De två första korten Tidig position Hold em är ett positionsspel, och förmodligen mer än någon annan form av poker. Det beror på att knappen anger spelarnas turordning under satsningsrundorna. (Enda undantaget

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Arbetsområde 2. Algebra Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera över matematikens

Läs mer

Utdrag ur protokoll vid sammanträde 2013-10-15. Ändrad deklarationstidpunkt för mervärdesskatt. Förslaget föranleder följande yttrande av Lagrådet:

Utdrag ur protokoll vid sammanträde 2013-10-15. Ändrad deklarationstidpunkt för mervärdesskatt. Förslaget föranleder följande yttrande av Lagrådet: 1 LAGRÅDET Utdrag ur protokoll vid sammanträde 2013-10-15 Närvarande: F.d. justitierådet Leif Thorsson samt justitieråden Gudmund Toijer och Olle Stenman. Ändrad deklarationstidpunkt för mervärdesskatt

Läs mer

Webb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01

Webb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01 Sök bidrag på webben www.solvesborg.se Gäller från 2015-01-01 Innehåll Kontaktperson Fritids- och turismkontoret Sölvesborg kommun Inledning Följande bidrag går att söka på webben Logga in Dokumenthantering

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: Provkod: TEN1 Hjälpmedel: Inga. Examinator:

Läs mer

TIMREDOVISNINGSSYSTEM

TIMREDOVISNINGSSYSTEM TIMREDOVISNINGSSYSTEM Företagsekonomiska Institutionen Inledning med begreppsförklaring Huvudmeny Budgethantering Planering Rapportering Signering Utskrifter/Rapporter Byt lösenord Logga ut 1 Inledning

Läs mer

När du som vårdpersonal vill ta del av information som finns hos en annan vårdgivare krävs det att:

När du som vårdpersonal vill ta del av information som finns hos en annan vårdgivare krävs det att: 1 (6) Sammanhållen journalföring information till dig som möter patienter Detta är ett kunskapsunderlag om sammanhållen journalföring för dig som arbetar i vården. Underlaget innehåller en kort beskrivning

Läs mer

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2007

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2007 SKOLORNS MTMTIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet inaltävling i Uppsala den 4 november 007 örslag till lösningar Problem 1 Lös ekvationssystemet { xyzu x 3 = 9 x + yz = 3 u i positiva heltal x, y, z

Läs mer

Axiell Arena. Samarbeta om bilder Regionbiblioteket i Kalmar län

Axiell Arena. Samarbeta om bilder Regionbiblioteket i Kalmar län Axiell Arena Samarbeta om bilder Regionbiblioteket i Kalmar län Introduktion Det finns möjlighet att samarbeta om bilder i Axiell Arena. Samarbetet kan läggas upp på olika sätt, men i denna lathund beskrivs

Läs mer

Upplägg och genomförande - kurs D

Upplägg och genomförande - kurs D Upplägg och genomförande - kurs D Provet består av fyra delprov: Läsa A och B Höra Skriva Tala Läsförståelse Hörförståelse Skriftlig produktion Muntlig produktion och interaktion Tid på respektive provdel

Läs mer

Bedömningsanvisningar Del I vt 2010 Skolverket har den 2010-12-07 beslutat att provet i matematik A för vt 2010 inte ska återanvändas.

Bedömningsanvisningar Del I vt 2010 Skolverket har den 2010-12-07 beslutat att provet i matematik A för vt 2010 inte ska återanvändas. Bedömningsanvisningar Del I vt 2010 Skolverket har den 2010-12-07 beslutat att provet i matematik A för vt 2010 inte ska återanvändas. Innehåll Inledning... 4 Bedömningsanvisningar... 4 Allmänna bedömningsanvisningar...

Läs mer

2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock

2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock 2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.

Läs mer

SANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.

SANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse

Läs mer

DEMOKRATI 3 DEMOKRATINS VILLKOR

DEMOKRATI 3 DEMOKRATINS VILLKOR SIDA 1/8 WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: DEMOKRATI LÄRARMANUAL I det här dokumentet finns allt du behöver veta för att hålla workshopen. Här ser du också tydligt i vilka moment du använder det arbets- och

Läs mer

Rekursion: varför? Problem delas upp i mindre bitar algoritm för att lösa problemet erhålls från problemformuleringen

Rekursion: varför? Problem delas upp i mindre bitar algoritm för att lösa problemet erhålls från problemformuleringen Rekursion: varför Problem delas upp i mindre bitar algoritm för att lösa problemet erhålls från problemformuleringen Exempel på problem som kan lösas med rekursion: Beräkningar, t.ex. upphöjt, Fibonacci-tal,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Om erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning.

Om erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning. Om erbjudandet för din pensionsförsäkring med traditionell förvaltning. Reflex Pensionsförsäkring Pensionsförsäkring Fakta om erbjudandet att ändra villkor till vår nya traditionella förvaltning Nya Trad

Läs mer

INSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI. Mekanik baskurs, Laboration 1. Bestäm tyngdaccelerationen på tre olika sätt

INSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI. Mekanik baskurs, Laboration 1. Bestäm tyngdaccelerationen på tre olika sätt INSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI Mekanik baskurs, Laboration 1 Läge, hastighet och acceleration Bestäm tyngdaccelerationen på tre olika sätt Uppsala 2015-09-29 Instruktioner Om laborationen: Innan

Läs mer

FINLAND I EUROPA 2008

FINLAND I EUROPA 2008 Intervju- och undersökningstjänster A FINLAND I EUROPA 2008 BLANKETT ATT FYLLA I SJÄLV Intervju- och undersökningstjänster B FINLAND I EUROPA 2008 BLANKETT ATT FYLLA I SJÄLV GS1. Här beskrivs kortfattat

Läs mer

För övrigt fullständig överensstämmelse kvalitativt sett för båda proverna. Alla lab som analyserat P-CCP ak på prov 18/D rapporterar ett starkt

För övrigt fullständig överensstämmelse kvalitativt sett för båda proverna. Alla lab som analyserat P-CCP ak på prov 18/D rapporterar ett starkt 2011-18 Förväntat svar/utfall för P-RF (ej isotypspec) var bestämt utifrån nefelometrisk metod. På prov 18/C med förväntat negativt utslag fick ett annat lab som också använder nefelometri dock ett svagt

Läs mer

UPPGIFT: SKRIV EN DEBATTARTIKEL

UPPGIFT: SKRIV EN DEBATTARTIKEL Åk 9 Historia & Svenska Namn: UPPGIFT: SKRIV EN DEBATTARTIKEL Du ska skriva en debattartikel på 1-2 sidor (Times new roman 12). Den ska ta upp exempel på hur mänskliga rättigheter försvagas i dagsläget.

Läs mer