Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1

Transkript

1 Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen är alltså hur värdet av f(x) uppför sig för x-värden nära punkten x. Exempel 6. Vi undersöker funktionen f(x) för x-värden nära, då f(x) = sin x x Direkt insättning skulle ge, vilket är odefinierat. 3 3 Figur 6.: Funktionen sin x x. Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 3

2 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 3 Ur grafen ser vi ändå att ju närmare x ligger värdet, desto närmare ligger funktionsvärdet f(x). Detta betecknas med eller f(x), då x sin x x x =. Definition 6. En funktion sägs ha gränsvärdet a, då x går mot x, om funktionsvärdena f(x) hålls hur nära talet a som helst, så snart x väljs tillräckligt nära talet x. Detta betecknas f(x) = a eller f(x) a, då x x. x x 6. Räkneregler för gränsvärden Vi har följande räkneregler för gränsvärden, som vi inte bevisar, eftersom vår definition av gränsvärde är så vag och svår att arbeta med. Räkneregler 6.3 Antag i det följande att gränsvärdena x x f(x) och x x g(x) existerar. Då gäller:.. 3. x x (f(x) + g(x)) = x x f(x) + x x g(x) x x (f(x) g(x)) = x x f(x) x x g(x) (f(x)g(x)) = f(x) g(x) x x x x x x 4. f(x) x x g(x) = x x f(x) x x g(x), g(x) x x När man beräknar gränsvärden går det i många fall med direkt insättning. För alla polynomfunktioner, där x inte är en ändpunkt i intervallet som bestämmer definitionsmängden kan man beräkna gränsvärdet med direkt insättning. Samma gäller de trigonometriska funktionerna, exponentialfunktionen, logaritmfunktionen och potensfunktioner. Oinas-Kukkonen Kurs 6 kapitel

3 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 33 Exempel 6.4 Gränsvärdet för funktionen f(x) = x 3 4 då x beräknas enligt: x x3 4 = 3 4 = 4. Ofta uppstår dock svårigheter när en funktion inte är definierad i den punkt x där vi undersöker gränsvärdet. Vi skall i det följande se på några möjliga sätt att undersöka gränsvärdet trots att metoden med direkt insättning inte är möjlig. Det gemensamma för metoderna är att man försöker skriva om uttrycket i en sådan form att man kan tillämpa direkt insättning. Antag att vi har ett rationellt uttryck med polynomfunktioner i nämnare och täljare. Om vidå med direkt insättning av x = x erhåller det obestämda uttrycket vet vienligt satsens om polynoms faktorisering att x x är en faktor i nämnare och täljare. Detta kan vi utnyttja genom att dividera nämnare och täljare med x x, och därigenom få ett uttryck där den skenbara polen är bortförkortad. Exempel 6.5 Vi ska illustrera standardmetoden för bestämning av rationella gränsvärden genom att beräkna x 3x + 4x +. x + Direkt insättning ger det obestämda uttrycket. Täljaren har nollställena: x = 4 ± = 4 ± 6 x = 3 x =. Därigenom kan vi omskriva uttrycket (x ): 3x + 4x + x x + 3(x + )(x + ) 3 = x x + = 3x + = 3 + = x Anmärkning 6.6 Detta är standardmetoden för att beräkna gränsvärden för rationella funktioner, där direkt insättning ger. Ett annat knep man kan använda sig av är att skriva om problemet. Detta genom att: x x f(x) = h f(x + h).

4 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.: Funktionen f(x) = (3x + 4x + )/(x + ). Dess funktionskurva sammanfaller med y = 3x+, förutom att f(x) inte är definierad för x =. Exempel 6.7 Beräkna: x 3 x x Insättning ger det odefinierade. Vi gör variabelbytet x = h + och beräknar: (h + ) 3 h (h + ) = (h 3 + 3h + 3h + ) h h = h h 3 + 3h + 3h h = h h(h + 3h + 3) h = h h + 3h + 3 = + 3 = Figur 6.3: En skiss av funktionen i exempel 6.7. Märk att funktionskurvan sammanfaller med en parabel överallt utom i x =, där den inte är definierad.

5 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 35 Man kan även använda konjugat- och kvadreringsregeln för att omformulera uttrycken. Vi ska nu illustrera standardmetoden för beräkning av gränsvärden som innehåller kvadratrot. I dessa fall lyckas man oftast beräkna gränsvärdet om man förlänger med kvadratrotens konjugattal. Exempel 6.8 Beräkna: x x x. Insättning ger det odefinierade. Vi använder konjugatregeln för att skriva om uttrycket. x x x = ( x )( x + ) x (x )( x + ) = x x (x )( x + ) = = x x + + = Eftersom det gäller att a n b n = (a b)(a n + a n b + + ab n + b n ) kan man lösa följande problem.

6 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 36 Exempel 6.9 Beräkna: x 3 8 x x 4 insättning av x = ger det odefinerade. Omskrivning av täljaren enligt: och nämnaren enligt ger dock: x 3 8 = x 3 3 = (x )(x + x + 4) x 4 = (x )(x + ) x 3 8 x x = (x )(x + x + 4) x (x )(x + ) x + x + 4 x x + = = = 4 = 3. Observera att i beräkningarna bör man ha med beteckningen x x ända tills man använder direkt insättning. Det gäller alltså inte att: x x ( x )( x + ) =. x Gränsvärden för trigonometriska funktioner När vi löser gränsvärden för trigonometriska funktioner 3 använder vi ofta följande sats: Sats 6. Speciellt gäller att sin f(x) x f(x) = om x f(x) =. sin x x x =. 3 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 7

7 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 37 Exempel 6. Bestäm x x sin x cos x Insättning ger det obestämda. Vi skall försöka skriva om uttrycket. Eftersom cos x = sin x förlänger vi uttrycket, så att vi får (x, så att + cos x ): x (x sin x)( + cos x) ( cos x)( + cos x) = x sin x ( + cos x) x cos x x sin x( + cos x) = x sin x x = x x( + cos x) sin x = x sin x ( + cos x) x = ( + cos ) = ( + ) =

8 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Ensidiga gränsvärden Då vi undersöker gränsvärden undersöker vi vilket värde funktionsvärdet f(x) närmar sig då x går mot en punkt x. Det ska alltså sakna betydelse från vilket håll vi närmar oss. x kan ju närma sig x både från höger och vänster. I många fall är det skillnad på om x går mot x från höger eller vänster 4. Exempel 6. Funktionen f(x) = { x +, då x x, då x > har gränsvärdet då x från vänster medan gränsvärdet är då x från höger.för att särskilja dessa fall har man infört följande beteckningar: x x f(x) = och f(x) =. + Vi har att x f(x) inte existerar, eftersom vi får olika gränsvärden från höger och vänster. 3 3 Figur 6.4: Funktionen f(x) har olika gränsvärde i x =, beroende på om man kommer från höger eller vänster. Därför har den inget gränsvärde i x. 4 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 3

9 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 39 Definition 6.3 En funktion sägs ha vänstergränsvärdet a, då x går mot x, om funktionsvärdena f(x) hålls hur nära talet a som helst, så snart x (x < x ) väljs tillräckligt nära talet x.att f:s vänstergränsvärde i x är a betecknas med x x f(x) = a. Högergränsvärdet definieras på motsvarande sätt, dock så att x > x, och detta betecknas f(x) = a. x x + Exempel 6.4 Funktionen f(x) = x x saknar gränsvärde då x eftersom funktionen är definierad endast för x, x. Däremot gäller det att: x x + x = =. Sats 6.5 Vi har att x x f(x) = a x x f(x) = f(x) = a. x x + Detta innebär att ett gränsvärde existerar om och endast om höger- och vänstergränsvärdena existerar och är lika. Exempel 6.6 Existerar x f(x) då f(x) = x x För att gränsvärdet skall existera bör det gälla att: f(x) = f(x) x x + Definitionsmängden för uttrycket är x, x. Detta eftersom det krävs att x. Direkt insättning av x = ger det obestämda. Skriver om uttrycket genom att förlänga med konjugatet:? f(x) = x x = ( x )( + x ) x( + x )

10 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 4 = ( ( x )) x( + x ) = x x( + x ) Vi kan alltså undersöka (x > = x = x): x x x( + x ) = x + För x < gäller det att x = x och x x x( + x) = x + + x = + = x x( + ( x)) = x + + x = + + = Höger- och vänstergränsvärdena är alltså olika och gränsvärde i punkten x = existerar inte Figur 6.5: Funktionen f(x) i exempel 6.6.

11 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Oegentliga gränsvärden Vi ska nu se på två speciella gränsvärden. 5 Exempel 6.7 Se på kurvan för funktionen f(x) = x Funktionen f(x) är odefinierad i punkten x =. När x + närmar sig kurvan asymptotiskt positiva y-axeln, dvs. för små positiva värden på x närmar sig funktionskurvan y-axeln, så f(x) +. Funktionsvärdena går mot +. Då x går funktionsvärdena mot. Vi säger att x + x = och x x =. Definition 6.8 En funktion f sägs ha det oegentliga gränsvärdet ( ), då x x om funktionsvärdena f(x) kan fås att hållas godtyckligt positivt (negativt) stora så snart x väljs tillräckligt nära talet x. Detta betecknas med: f(x) = ( ) eller f(x) ( ) då x x. x x 5 Oinas Kukkonen m.fl Kurs 6 kapitel 4

12 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 4 Anmärkning 6.9 De oegentliga gränsvärdena är inga riktiga gränsvärden (därav namnet), utan bara ett bekvämt sätt att säga att en funktion växer över alla gränser. Om man säger att en funktion har ett gränsvärde, så avses ett riktigt sådant, dvs. inte ±. Vissa avser med f(x) att f(x) ± och gör inte någon större skillnad mellan dessa två. Jag tycker själv också bättre om detta beteckningssätt, men vi kan här följa gymnasieversionen, dvs. den version som finns i definitionen. Exempel 6. Man bör vara försiktig med hur man tolkar räknereglerna för gränsvärden då man har med oegentliga gränsvärden att göra. Några exempel:. ± a = a R. k = {, k > k =, k < k = och k/± = 3. alla följande är odefinierade: { ±, k >, k < Exempel 6. För n Z + gäller det att: x Om n är udda gäller det att = om n är jämnt xn = och x + xn x x n =. Bevis: (Delvist.) Vi bör visa t.ex. att funktionsvärdet kan fås godtyckligt stort då x +. Ta godtyckligt M R +. Då gäller att x ], f växer över alla gränser. n M [ = < x n < M = x n > M

13 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 43 Exempel 6. Bestäm a R så att x ax + x x existerar (och är ändligt). Vilket är gränsvärdet? För att gränsvärdet skall existera bör x vara en faktor i täljaren. (Varför?) Då måste det gälla att x = löser ekvationen: Insättning av x = ger: x ax + = a + = a = 3. Vi skriver om uttrycket: x 3x +. x x Eftersom ekvationen x 3x + = har lösningarna x = 3 ± kan vi skriva x ax + x x Alternativ lösning: = 3 ± 4 (x )(x ) = x x x = x =. = x x = = För att gränsvärdet skall existera bör x vara en faktor i täljaren. Eftersom det för rötterna x, x i ekvationen c x + c x + c 3 = gäller att x + x = c och x x = c 3 c c bör det för x gälla att (givet att x = ) gälla att: x = a och x = =. Vi kan nu lösa ut a genom att sätta de båda uttrycken lika: a = Därefter fortsätter vi som ovan. a = 3.

14 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE 44 Exempel 6.3 Se på grafen av funktionen f(x) = tan x. 3 π π π π π 3 π Figur 6.6: Funktionen f(x) = tan x. Det gäller n Z att tan x = och tan x =. x π/+nπ x π/+nπ + Exempel 6.4 Se på grafen av funktionen f(x) = ln x. För logaritmfunktionen log a x, a > gäller det att x + log a x =. Om a ], [ så är /a > och ln(/a) = ln a, så Då fås alltså log a x = ln x ln a = ln x ln(/a) = log /a x. x + log a x = och x log a x =.

15 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.7: Funktionen f(x) = ln x. 6.5 Gränsvärden då x går mot ±. Nedanstående hittas i Oinas-Kukkonen Kurs 6 kapitel 9. Exempel 6.5 Se på funktionens f(x) = x graf nedan. I denna sektion undersöks vad som händer med funktionsvärdena då x blir stort, dvs. x ±. Funktionsvärdena för f(x) närmar sig talet då x-värdena går mot +. Motsvarande resulat fås då x går mot. Detta skriver vi som: x x = och x x =. Anmärkning 6.6 Dessa gränsvärden är egentliga, så länge de är ±. Då vi beräknar gränsvärden då x ± för rationella uttryck, förkortar man uttrycket med en faktor av samma gradtal som nämnaren. Minns att där c är en konstant och n >. x ± c x n =,

16 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.8: Funktionen f(x) = x origo. antar mindre värden ju längre x är från Exempel 6.7 Beräkna x x x + Vi bryter ut ett x ur både nämnare och täljare. x( ) x x x( + ) = x x + x x I ett uttryck av formen x x x x + x x f(x) g(x) x = ( ) x ( x) x + x = + = kan man beräkna gränsvärdet om g(x) a och f(x). Gränsvärdet för f g är då ±. Antag att n Z + är jämnt. Då gäller det att: Om n är udda gäller det att: x ± xn = x xn = och x xn =.

17 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Figur 6.9: f(x) = (x )/(x + ) Exempel 6.8 Beräkna Bryter ut x upphöjt i gradtalet. x ( x4 5x 3 + x + 3). x ( x4 5x 3 + x + 3) x x4 ( 5 x + x x ) = 4 Exempel 6.9 Beräkna x 3 x x + x x. Bryter ut x eftersom gradtalet för nämnaren är två. x (x ) x x x ( + ) x x x x = x + x x = x x x x x x + x x x =

18 KAPITEL 6. GRÄNSVÄRDE Vi kan sammanfatta resultaten i en sats: Sats 6.3 En rationell funktion f(x) = p(x) q(x), där p(x) och q(x) är polynom av graden p resp. q. har då x eller x. Gränsvärdet om p < q.. Gränsvärdet a (där a och b är koefficienterna framför termerna med b gradtalet p i täljaren resp. nämnaren) om p = q. 3. Det oegentliga gränsvärdet eller om p > q. För log a x och a x gäller det att x f(x) = om a >. Om däremot < a < gäller det att x log a x = och x a x =. Funktionerna sin x, cos x, tan x och cot x saknar gränsvärde då x. (Därför saknar till exempel sin(/x) gränsvärde då x.) Exempel 6.3 Beräkna: 3 x + 4 x x 4 x +. x Vi bryter ut den term som dominerar för stora x i nämnaren. 3 x + 4 x 4 x + = 4x ( 3x + ) 4 x x 4 x ( + x ) = ( 3 4 )x + ( ( och )x + 4 x )x x + ( = + )x + =.