Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
|
|
- Anders Ekström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner Exponentialfunktioner Logaritmfunktioner Trigonometriska funktioner sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) Grader och radianer Grundläggande trigonometriska ekvationer Triangler Rätvinkliga trianglar Grader och radianer Trigonometriska identiteter Trigonometriska ekvationer 1 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
2 Funktioner Låt X och Y vara två icke-tomma mängder. En funktion från X till Y, f : X Y, ä r e n r e g e l s o m t i l l xv a r Xj e tillordnar ett unikt värde y Y som kallas bilden av x under f och betecknas f(x), dvs. y = f(x). Mängden X kallas funktionens definitionsmängd ochbetecknas vanligen med D f. Mängden Y kallas funktionens bildmängd eller målmängd. Mängden av de element i Y som antas av funktionen f kallas funktionens värdemängd och betecknas vanligen med V f. V f = {f(x) Y : x X} 2 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
3 Funktioner Betrakta funktionen f : R R, f(x) =x 2 Funktionens definitionsmängd är R. Funktionens bildmängd är R. Funktionsregeln är y = x 2 (eller f(x) =x 2 ) Kom ihåg att om X och Y är delmängder avr, ärgrafen för en funktion f : X Y de punkter (x, y) ireellatalplanetsom bestäms av y = f(x). Funktionen f : R R, därf(x) =x 2 har grafen Funktionen antar endast icke-negativa y-värden, så värdemängden V f =[0, [. 3 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
4 Styckvis definierade funktioner En styckvis definierad funktion är en funktion som är definierad på olika sätt i olika intervall. Beloppfunktionen : R x = R definieras genom x om x 0; x om x<0. Funktionens definitionsmängd är hela R, men den definieras på olika sätt i intervallen ], 0[ och [0, [. Beloppfunktionens värdemängd är alla icke-negativa reella tal, dvs. intervallet [0, [, och grafen för funktionen är 4 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
5 Styckvis definierade funktioner Rita grafen till funktionen f : R R, där f(x) = x/2 om x<1; 1 2x om 1 x 2; x om x>2. 5 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
6 Definitionsmängder och värdemängder Bestäm största möjliga definitionsmängden till reella funktionerna med funktionsregeln f(x) = x 3 g(x) = 1 x 2 h(x) = x 1+x 2 Ange värdemängden till reella funktionerna F (x) = x 3, x 5,x R G(x) =3x 1, 2 x 0,x R 6 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
7 Några elementära funktioner Ett polynom av grad n ä r e n f u n k t i f o n : R R av typen f(x) =a n x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 där n är ett icke -negativt heltal cienterna, koe a i ä r r e e l l a t a l o c h a n =0. f(x) =2(ettkonstantpolynom) f(x) =3x +2(ettlinjärtpolynom) f(x) =x 2 f(x) =x 3 +6x x +6(ettandragradspolynom) 7(etttredjegradspolynom) 7 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
8 Konstanta polynomfunktioner Grafen för en konstant polynomfunktion är en vågrät linje. f(x) =2hargrafen 4 2 y = Prepkursen - Föreläsningar Block 4
9 Linjära polynomfunktioner Grafen för ett linjärt polynom f(x) =ax + b ä r e n l i n j e m e d l u t an som i n g skär y-axeln i punkten (0,b). f(x) =3x +2hargrafen 4 y =3x Prepkursen - Föreläsningar Block 4
10 Andragradspolynom Grafen för ett andragradspolynom f(x) =ax 2 + bx + c är enparabel. Parabeln skär y-axeln i punkten (0,c). Om parabeln skär/rör x-axeln, då är det i punkterna (r 1, 0) och (r 2, 0) där r 1 och r 2 ä r r ö t t e r i e k v a t i o n e n ax 2 + bx + c =0. Om ekvationen inte har några rötter, då skär parabeln inte x-axeln. Parabeln har vertex där f (x) =0,dvsdär2ax + b =0. Om a>0ärparabelnsvertexenminimumpunkteftersom parabeln är av typ Om a<0ärparabelnsvertexenmaximumpunkteftersom parabeln är av typ 10 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
11 Andragradspolynom f(x) =x 2 1=(x 1)(x +1)hargrafen Medan f(x) =1 x 2 = (x 1)(x +1)hargrafen 11 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
12 Potensfunktioner En potensfunktion har en funktionsregel av typen f(x) =x r där r R. DefinitionsmängdenärminstR + men kan vara större för vissa värden på exponenten r. Föricke-negativaheltalsvärden på r definieras x r rekursivt genom att x 0 =1ochx r = x x r 1 för r 1. Låt n vara ett positivt heltal, negativa heltalspotenser definieras då som x n = 1 x n. Begreppetutvidgastilallarationellaexponenter m.h.a n:te rötterna x 1 n = n x, där n x ä r r o t f u n k t i o n e n m e d i n, n d e somdefinieras x för x 0somdettal 0somupphöjttilln ä r l i k a m e x; d för x<0, n udda som det tal < 0somupphöjttilln ä r l i k a m e x; d för x<0, n jämnt är det odefinierad. Det går att utvidga begreppet potensfunktion till alla reella exponenter så att de vanliga räkneregler för potenser gäller: 12 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
13 Potenslagar a 0 =1förallaa R, även0 0 =1. a p = 1 a p a p a q = a p+q a p a = q ap q (a p ) q = a pq a p b p =(ab) p a p b p = a b p 13 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
14 Potenslagar Beräkna 4 1/ ( 8) / Prepkursen - Föreläsningar Block 4
15
16 Potenslagar Förenkla så långt som möjligt / Avgör vilket av talen är störst, 4 13 eller Prepkursen - Föreläsningar Block 4
17 Potenslagar Beräkna x 2 x 1 2 x (2 2 ) Prepkursen - Föreläsningar Block 4
18 Potensfunktioner Kvadratrotsfunktionen Kom ihåg att (kvadrat)roten ur a endast definieras för reella tal a 0. a ä r d e t i c k e - n e g a t i v a t a l v a r s k v a d r a t ä r a. l i k a m e d 4=2 0=0 4ärintedefinierat! Kvadratrotsfunktionen är alltså potensfunktionen f(x) =x 1/2 = med alla icke-negativa reella tal som definitionsmängd och grafen x 18 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
19 Exponentialfunktioner En exponentialfunktion med bas a ä r e n f u n k t i o n a v t y p e n f(x) =a x där a>0ärettkonstantreellttal. Notera att a inte nödvändigtvist behöver vara ett heltal eller ett rationellt tal. Definitionsmängden för en exponentialfunktion är hela R och värdemängden är R +. Här är grafen för f(x) =2 x : 19 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
20 Exponentialfunktioner Här är grafen för f(x) =2 x igen: Eftersom ( 1 2 )x = 1 2 x blir grafen för exponentialfunktionen f(x) =( 1 2 )x 20 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
21 Den naturliga exponentialfunktionen Den naturlig exponentialfunktionen exp : R sin egen derivata, exp(x) =e x R + ä r d e n s o m ä r d dx exp(x) =ex. Talet e är det irrationella talet e = lim n 1+ 1 n n = , och exp-funktionen har grafen 21 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
22 Logaritmfunktioner För alla positiva realla tal a där a =1finnsförvarjepositivtreellt tal y ett reelt tal x sådant att y = a x. Talet x kallas då a-logaritmen till y och vi skriver x =log a y. En logaritmfunktion är en funktion av typen där a>0ocha =1. f(x) =log a x Definitionsmängden är alla positiva reella tal R +, och värdemängden är alla reella tal R. 22 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
23 Logaritmfunktioner Funktionen f(x) =log 2 (x) hargrafen Funktionen f(x) =log1 2 (x) hargrafen 23 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
24 Naturliga logaritmfunktionen Den naturliga logaritmfunktion betecknas ln och är logaritmfunktionen med bas e sådan att y = e x omm x =ln(y). ln(x) =log e (x). Naturliga logaritmfunktionen ln har grafen 24 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
25 Logaritmfunktioner Beräkna log 2 2 log 3 9 ln e log Prepkursen - Föreläsningar Block 4
26 Logaritmlagar Logaritmer definieras m.h.a.potensfunktioner, så räknereglerna för logaritmer följer ur potenslagarna: log a 1=0 log a xy =log a x +log a y x log a y =log a x log a y log a x y = y log a x log 1 a x = log a x log a (x) = log b x log b a log a (x) = ln x ln a Den sista formeln är bra att komma ihåg om man t.ex. ska använda miniräknaren till att beräkna log 3 (10). 26 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
27 Logaritmlagar Bestäm 3 log 4 5 +log ln 1 e +2ln e 1 1 2lg 100 lg 10 (lg är svensk notation för log 10.) log 2 4 n log n ln(1 + 1) + ln(1 + 1/2) + ln(1 + 1/3) + ln(1 + 1/4) + ln(1 + 1/5) Om lg x =5/8 ochlog a x =2/3, beräkna lg a. 27 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
28 Logaritmlagar Skriv som en logaritm 1 2 ln(x2 +1)+ 2 3 ln(x2 1) 3 4 2ln(x 2 1) 4ln(x +1) 28 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
29 Logaritmlagar Lös ekvationen 2 x +2 x+1 =3/2 lg (x +1)+lg(x 1) = lg (x +2) lg (2x) lg (4x 15) =2. 29 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
30
31 Trigonometriska funktioner Cosinus och sinus funktionerna definieras genom att (cos( ), sin( )) är koordinaterna till punkten P på enhetscirkeln där linjestycket OP har vinkeln med x-axeln och längden 1. En vinkel räknas positiv moturs och negativ medurs. 31 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
32 Radianer Enhetscirkelns omkrets är 2 eftersom den har radien 1. Längden av cirkelbågen som motsvarar vinkeln är då x = Vi säger att vinkeln ä r x radianer. Eftersom längder är reella tal, är vinklar som mäts i radianer reella tal. Vinkelmåttet på denna kurs och de flesta av dina mattekurser är radianer så att alla trigonometriska funktioner blir reella funk - tioner. 32 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
33 Sinus och cosinus Grafen för sin : R [ 1, 1] är Grafen för cos : R [ 1, 1] är 33 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
34 Sinus och cosinus Några värden för sin och cos: radianer grader sin cos Prepkursen - Föreläsningar Block 4
35 Sinus och cosinus Ange cos( 2 ) sin( 2 ) cos(2 ) sin(2 ) sin(5 ) sin( 5 2 ) sin( 15 4 ) cos( 15 4 ) sin( 15 4 ) 35 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
36
37 Några trigonometriska ekvationer Lös ekvationerna cos(x) =cos( 6 ) cos(x) =0 cos(x) = 1 2 sin(x) =sin( 6 ) sin(x) =0 sin(x) = 1 2 sin(6x) = 1 2 cos(2x + 6 )= Prepkursen - Föreläsningar Block 4
38 Tangens Tangensfunktionen definieras som tan(x) = sin(x) cos(x) tan är då inte definierad där cos(x) =0, dvs. där x = k 2 och k ä r ett udda heltal. Definitionsmängden för tan är då och grafen för tan är {x R : x =(2n +1) 2,n Z}, 38 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
39 Cotangens Cotangensfunktionen definieras som cot(x) = cos(x) sin(x) cot är då inte definierad där sin(x) =0, dvs. där x = n ett heltal. och n ä r Definitionsmängden för cot är då och grafen för cot är {x R : x = n,n Z} 39 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
40
41
42
43 Några trigonometriska identiteter Additionsformler cos(x y) =cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) cos(x + y) =cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) sin(x y) =sin(x)cos(y) cos(x)sin(y) sin(x + y) =sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) (Bevis: Rita bra trianglar!) Formler för dubbla vinkeln sin(2x) =2sin(x)cos(x) cos(2x) =cos 2 (x) sin 2 (x) =2cos 2 (x) 1=1 2sin 2 (x) och från formlerna för cos(2x) fåsockså cos 2 (x) = 1 (1 + cos(2x)) 2 sin 2 (x) = 1 2 (1 cos(2x)) 43 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
44 Trigonometriska identiteter och ekvationer Visa att för alla x gäller cos(3x) =4cos 3 (x) 3cos(x) Beräkna cos( 8 ) sin( 8 ) Lös ekvationerna sin 2 (x)+cos(x) = sin(x) =2cos 2 (x) cos(x)sin(x) =0 44 Prepkursen - Föreläsningar Block 4
Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd
Block 4 - Funktioner Funktionsbegreppet Definitionsmängd Värdemängd Grafen för en funktion Polynom Konstanta polynom Linjära polynom Andragradspolynom Potenser, exponential- och logaritmfunktioner Potensfunktioner
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merInstitutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)
Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs merGeometri och Trigonometri
Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merAlgebraiska räkningar
Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.1 0.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merMATMAT01b (Matematik 1b)
Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA (Utkast aug, 0) Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merAlgebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln
Bastermin HT, Matematik Högskolan i Halmstad Version 00-08-0/0-08-5 Bertil Nilsson/Mats Gunnarsson Häfte A Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln. Förenkla
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merAllmän teori, linjära system
KTH, Avdelningen för matematik F2, Stockholm, 2 april 2014 Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Lösningsbegreppet Betrakta ekvationen Definition En lösning på ett intervall I är en funktion x 1 (t)
Läs merSAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR
SAMMAFATTNINGAR AV VISSA FÖRELÄSNINGAR 1. Föreläsning 1 Se litet blad om mängdlära på kurshemsidan. Talsystemen N, Z, Q, R. Mängder och symboler. Lite logik. Slutligen gick vi igenom potenslagarna. Eftersom
Läs merSommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper
Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merGYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER
2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merUppgiftshäfte Matteproppen
Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merOM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är
OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,
Läs merformler Centralt innehåll
Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs mera (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.
TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x) a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) saknar lösningar Uppgift
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merFunktionsbegreppet. Kapitel 7. 7.1 Introduktion till funktioner. Definition av funktion
Kapitel 7 Old mathematicians never die, the just lose some of their functions. Okänd Funktionsbegreppet Funktionsbegreppet kan med rätta sägas vara ett av de mest centrala i matematiken och dess tillämpningar.
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.
Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merMatematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6..019 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merockså en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merG VG MVG Programspecifika mål och kriterier
Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merLokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 2009-09-22. -Positionssystemet. -Multiplikation och division. (utan miniräknare).
Lokal kursplan för Ängkärrskolan år 9 Rev. 009-09- Matematik år 9 MOMENT MÅL KRITERIER/EXEMPELl Taluppfattning, aritmetik Repetition av: Skriv med siffror tolv -Positionssystemet. hundradelar. 0,, 0,7
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mer729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik
79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.
Läs mer2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90
2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merMATEMATISK FORMELSAMLING
Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 4 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs mersin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x
33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merExempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1
Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Diskret matematik 1. Givet är de 7 bokstäverna i ordet APPARAT. Hur många olika ord (= bokstavspermutationer) kan man bilda av dem med (a) 7 bokstäver (b)
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merRedo för terminstart?
I ij = ρ(r)(r 2 δ ij x i x j )dv V Δx Δp x ħ 2 Redo för terminstart? Hej! Vi från Teknisk fysik hälsar dig välkommen till vårt program. Som nybliven student är du säkert nyfiken på hur det är att studera
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merUndervisningsplanering i Matematik Kurs D (100 poäng)
Undervisningsplanering i Matematik Kurs D (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter
Läs mer