a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

Transkript

1 TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x) a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) saknar lösningar Uppgift Lös följande ekvationer a) sin( x ) b) sin( x ) 5 a) Ingen lösning eftersom sin( x ) b) Ingen lösning eftersom sin( x ) Uppgift Lös följande ekvationer a) sin( x ) b) sin( x ) c) sin( x ) 0 Tips Rita den trigonometriska cirkeln a) x k b) x k c) x k (där k 0,,, ) Om v är en lösning till ekvationen sin( x) a, där a, så är v v också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av x v k eller x v k, där k är ett heltal (dvs k 0,,, ) Vi använder oftast värdena av sinusfunktionen för vinklar, och : Sida av

2 vinkeln v sin(v) 0 0 Notera att ) sin( x) sin( x) (dvs sin(x ) är en udda funktion) ) sin( x k ) sin( x), där k 0,,,, (dvs sinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden ) ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs k 0,,, ) Uppgift Lös följande ekvationer a) sin( x ) b) sin( x ) c) sin( x ), d) sin( x ) e) sin( x ) f) sin( x ) a) Ekvationen har fäljande lösningar: x k eller 5 x ( ) k k Vi kan också ange svaret i grader: x 0 k 0 eller x 50 k 0 b) x k eller 7 x ( ( )) k k c) x k eller x k Sida av

3 d) x k eller 5 x k e) x k eller x k f) x k eller x k Uppgift Lös ekvationen sin( x ) Tips Beteckna x v och lös först ekvationen sin v Lösning: Låt v x Först löser vi ekvationen sin v Vi får v k och 5 v k, och därmed x k 5 eller x k Härav i) x k x k x k (dela med ) x k På liknande sätt 5 5 x k x k x k (dela med ) x k x k eller x k Sida av

4 Uppgift 5 Lös ekvationen sin(x ) sin( x ) Tips: Från ekvationen sin( ) sin( ) följer att k eller ( ) k Lösning: Från sin(x ) sin( x ) får vi två nya ekvationer (utan sinusfunktionen) : i) x x k och ii) x ( x) k Från i) följer Från ii) har vi x k x k och därmed k x x k eller k x Uppgift Lös ekvationen sin ( x ) sin( x) 0 Tips: Beteckna sin( x) z Lösning: Låt z sin(x) Först löser vi andragradsekvationen z z 0 Vi får två lösningar z och z Alltså har vi två elementära ekvationer sin( x) och sin( x ) i) Från sin( x ) får vi x k och 5 x k Sida av

5 ii) Från sin( x) har vi x k x k, 5 x k eller x k =============================================== B) Ekvationen cos( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen cos( x) a har lösningar endast om a (eftersom cos( x ) ) Exempelvis, ekvationen cos( x) 5 saknar lösningar Uppgift 7 Lös följande ekvationer a) cos( x ) b) cos( x ) 5 a) Ingen lösning eftersom cos( x ) b) Ingen lösning eftersom cos( x ) Uppgift 8 Lös följande ekvationer a) cos( x ) b) cos( x ) c) cos( x ) 0 Tips Rita den trigonometriska cirkeln a) x 0 k k b) x k c) x k (där k 0,,, ) Om v är en lösning till ekvationen cos( x) a, där a, så är v v också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av x v k och x v k, där k är ett heltal (dvs k 0,,, ) Sida 5 av

6 För att lösa exakt några ekvationer som innehåller cosinusfunktionen kan vi använda värdena i nedanstående tabell vinkeln v 0 cos(v) 0 5 Notera att ) cos( x) cos( x) (dvs cos(x ) är en jämn funktion) ) cos( x k ) cos( x), där k 0,,,, (dvs cosinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden ) ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs k 0,,, ) Uppgift 9 Lös följande ekvationer a) cos( x ) b) cos( x ) c) cos( x ), d) cos( x ) e) cos( x ) f) cos( x ) a) x k Vi kan också ange svaret i grader: x 0 k 0 b) x k (kolla ovanstående tabell) Sida av

7 c) x k d) x k e) x k 5 f) x k Uppgift 0 Lös ekvationen cos( 0x ) Tips Beteckna 0x v Lösning: och lös först ekvationen sin v Låt v 0x Först löser vi ekvationen cosv Vi får följande lösningar v k eller v k, och därmed 0 x k eller 0 x k Härav 7 7 k i) 0x k 0x k x 0 5 På liknande sätt k 0x k 0x k x k x eller 0 5 x k 0 5 Sida 7 av

8 Uppgift Lös följande ekvationer a) cos ( x ) cos( x) 0 (Tips: Beteckna cos( x) z ) b) 5 sin ( x ) cos( x) (Tips: Använd formeln sin ( x) cos ( x) ) Lösning a) Låt z cos(x) Vi har z z 0 z(z ) 0 Härav får vi två lösningar z 0 och z Därmed cos x 0 x k och cos x x k a) x k och x k b) x k Uppgift Lös följande ekvationer a) cos( 0x ) cos(x) b) sin( 0x ) cos( x) (Tips: Använd formeln sin( t) cos( t) ) Lösning: a) Från cos( 0x ) cos(x) har vi 0x x k k i) 0x x k 8x k x Sida 8 av

9 k ii) 0x x k x k x Svar a) x k eller x k b) Vi använder formeln sin( t) cos( t) och skriver om ekvationen sin( 0x ) cos( x) cos( (0x )) cos( x) cos( 0x) cos( x) Härav 0x x k i) k 0x x k x k x ii) k 0x x k 9x k x 9 Anmärkning: Vi kan även skriva x k i ovanstående lösningar eftersom k genomlöper alla heltal, både positiva och negativa Svar b) k x eller x k 9 =============================================== C) Ekvationer tan( x) a och cot( x) b Följande egenskaper använder vi ofta när vi löser sådana ekvationer: ) tan x och cot x har grundperioden (till skillnad från sinus- och cosinusfunktioner vars grundperiod är Alltså tan( x k ) tan x, cot( x k ) cot x ) tan x och cot x är udda funktioner dvs Sida 9 av

10 tan( x) tan x cot( x) cot x ) Både tan x och cot x har värdemängden (, ) tan x a lösbart för varje a och därmed är ekvationen Samma gäller för cot( x) b, dvs den är lösbart för varje b Båda har oändligt många lösningar: Om x v är en lösning till tan x a så får vi alla lösningar genom x v k Om x v är en lösning till cot x b så får vi alla lösningar genom x v k ) sin x tan x är definierad om cos x 0 dvs om x k cos x cos x cot( x) är definierad om sin x 0 dvs om x k sin x I nedanstående tabeller har vi funktionernas värden för viktiga vinklar vinkeln v tan(v) ej def 0 0 ej def vinkeln v 0 cot(v) ej def 0 5 ej def ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs k 0,,, ) Sida 0 av

11 Uppgift Lös följande ekvationer a) tan( x ) 0 b) tan( x ) c) tan( x ), d) tan( x ) e) cot( x ) 0 f) cot( x ) g) cot( x ) h) cot( x ) a) x k b) x k c) x k d) x k e) x k f) x k g) x k 5 h) x k (alternativt svar (alternativt svar x k ) x k ) Uppgift Lös ekvationen tan ( x ) tan( x) 0 Tips: Beteckna z tan( x) z Från z z 0 eller z( z ) 0 får vi två lösningar z 0 och Alltså, tan( x ) 0 eller tan( x ) Ekvationen har följande lösningar: x k eller x k Sida av