Svar och anvisningar till arbetsbladen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Svar och anvisningar till arbetsbladen"

Transkript

1 Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0, d) 7, e) 0 Övning,, c), d) 0 Övning /7 = / = / = / Övning,, c), d) Övning 77,, c) 7, d) 00, e), f ) 0 Övning,, c) 7 Övning 7,, c) 9, d) 7 Övning,, c) Övning 9, 7, c), d), e), f ) Övning 0,, c) Övning, a b +, c) ab ac bc Övning, +, c) ac + ad bc + bd Övning + + 9, 9, c) z z + z Övning +, 7 Övning ac b, Övning, ac b, (a+) c), d) (a ) a, c) a, d) (a+) Övning 7 +,, c) + ( 9) ( )( ) Övning +, ( 9 + )( ) eller 7 ( + 7 )), c) Övning 9, +, c) Övning 0, (+) + Övning, a +b (a+ (a Övning ( )( ) Övning Övning +,, +, c) + 7, d), c) + Övning 7 kvot: +, rest: + + kvot: , rest: 0 c) kvot: +, rest: + 0 Kvadratkomplettering Övning Låt a vara hela kvadratens bredd och b den lilla kvadratens bredd Den gröna triangeln har då arean (a och fås ur den stora genom att man tar bort två rektanglar med sidorna a och b Den lilla kvadraten tas då bort två gånger, varför den måste läggas till igen Övning ( + ), ( + ), c) ( ) Övning är ett dubbelt nollställe, ±, c), Övning p() = ( + ) + med likhet precis då = / Minsta värdet är därför och det antas i = / Polnomet saknar nollställen Övning Tecknet på a avgör om kurvan har ett maimum (a < 0) eller minimum (a > 0) Etrempunkten antas i = b/a och värdet i den punkten är c b /a Villkoret för att andragradsekvationen ska ha en lösning är att a och c b /a har olika tecken (eller c = b /), vilket också kan uttrckas som att Övning Figurer nedan: 0 a(c b / = ac b / 0 b ac c) Polnomet i har nollställena, medan det i c) har nollställena ± / Övning 7 ( + ) + ( ), ( ) ( + ) + (z ) 0 Övning Kvadratkompletteringen blir ( + ) + ( ) Vi ser även nu att minsta värdet är och att det antas då = och = Övning 9 ( ) +, ( + ) +, c) ( + ) + 7, d) ( + ) +, e) ( ) + Övning 0 I har vi nollställena ±, i ± och i d) ± De övriga två saknar nollställen Övning + = ( + ) så minsta värdet är 0 + = ( ) + så minsta värdet är c) + + = ( + ) +, så minsta värdet är Övning + = ( ) + så största värdet är 7 0 = ( + ) + så största värdet är c) 7 0 = ( + ) +, så största värdet är Övning ( + ) + = ( + ) +, ( + ) = ( + ), c) ( + ) Övning Till eempel = ( + ) (z ) + och ( + z) + ( + z) z Övning f (,, z) = 7 ( ) ( ) (z ), så det största värdet är 7 och antas då = = z =

2 Faktorisering av polnom Potenser och potenslagar Övning 0 9, Övning, 0 Övning Övning a b Övning,, c), d), e) 9 Övning 0, Övning = 9, Övning ( )( ), ( + )( ), c) går ej Övning Med α = får vi q() = + + och C = och med α = får vi q() = + och C = 0 I det senare fallet går divisionen jämnt upp Övning 7 ( )( + ) = +, ( )( + ) = ( ) = Övning a, a, c) a, a 9 7 Övning 7, 0, c) 9, d) Övning 9,, c) Övning 9 a 9/, a /9, c) a /, d) a /, e) a 7/ Övning 0 9, Övning, e ( + e ) = e (e + ) Övning + Övning 9 ( + )( )( 7), ( + )( )( + ) Övning 0 ( + )( ), ( + )( ) Övning ( )( + ), klar, c) ( )( + + ), d) ( + )( + ), e) ( + )( + 9) Övning ( )( + + ), ( + )( + + ), c) ( ) ( + )( ) Övning p() = 0 + a = 0 a = 0 Övning ( ) 0 + ( ) ( ) 0 + = + + = 0, så svaret är ja Övning p() = ( ) ( + + ), så multipliciteten är Övning ( + )( + ), ( + ), c) ( )( + + ) Övning 7 ( + z )( + z + ) = (( ) z )(( + ) z ) = ( z)( + z)( + z)( + + z), ( + )( + + ) = ( ) ( + ) Övning Konjugatregeln ger att uttrcket är lika med (bc (b + c a )(bc + b + c a ) = (a (b c) )((b + c) a ) som är lika med uttrcket Vidare är (p = a + b + c a = b + c a osv vilket visar den andra formeln Övning 9 ( )( + )( ) Relationen mellan potens- och logaritmlagar Övning,, c) /, d), e) / Övning den första svarar mot att a 0 =, de övriga är direkt ur definitionen Övning lg(abc), 0, c), d) ln(ab ) Övning /, e /9 Övning lg( 7) = lg + lg 7 = lg = lg lg(09) = lg(09) Eftersom lg = lg = följer resultatet Övning, /, c), c) 000, d) Övning 7 lg, ln, c) lg Övning ln,, c)t, d) 0 Övning 9,, c), e, d), e, e) 0, ln 9 att ln( ) inte är definierad!) ln, f ) (notera Övning 0 a log( ) =a log( ) =a log + a log =a log a log Övning lg = lg = 990 = + lg(9) så 9 0 Övning + Övning ln(( + e e )) = ln(e / ( + e )), så det andra uttrcket är ln(e / e ) = ln / Svaren är alltså lika Övning Ekvationen blir a + b = ab (a )(b ) = Lösningarna ges därför av a = + s, b = + /s där s > 0

3 Ekvationslösning Olikheter Övning Den första är, resten ekvivalenser Övning + = ± =, 7, =, Övning = = är inte en lösning eftersom uttrcket inte ens är definierat då Övning = ±, = ± Övning Sätt = De reella lösningarna är = ± + Samma ekvation som i eempel efter variabelbtet = ln Lösingarna är = e, e Övning = är lösning på ekvationen + = ( ) Övning 7,, c) Övning, Övning 9 Fra fall: () = = 0 () = 0, =, () =, = 0, () + =, + = Den sista saknar lösning Svaret är (0, 0), (±, 0), (0, ±) Två fall = 0, = 0, = 0, = 0 Svaret är (0, ±), (, 0) Övning, 0/9 Övning, < <, c) = Övning <, eller < 0 eller Övning <, 0, c) eller, d) < eller < <, e) alla Övning 0 <, < eller, c) < eller 0 < Övning < <, < eller >, c) alla, d) > eller 0 < < Övning 7 < eller Övning 0,, c) saknas Övning,, c) saknas Övning 0, Absolutbelopp Övning, 7/, c) 0, d) lg Övning /,, c) ( ± 7)/, d) saknas Övning lösning saknas Övning,, c) ( ln )/ ln Övning 7 första ekvationen ger fallen = 0, = ±, = 0 Andra ekvationen ger fallen = 0, = Alla punkter på formen (0, ) löser därför båda ekvationerna, men om = 0 måste = ± Sammanfattningsvis har vi lösningarna (0, ), (±, ± ) Den första ekvationen ger de tre fallen = 0, = 0, = Ger lösningarna (0, ), (, 0), (, ) Övning Den andra ekvationen har lösningarna =, vilket ger lösningarna (, /), (, /) Den tredje ekvationen ger att = 0 eller λ = Fallet = 0 ger lösningarna (, 0, ), (, 0, ) Fallet λ = innebär att första ekvationen blir =, alltså = ± och då måste = 0 Ger alltså lösningarna (0, ±, 0) Övning,, c), d) Övning,, c) Övning,, ±,,, d), Övning < <, < eller > +, c) < <, d) < < eller < < Övning a = 7 + = och b = ( 7 ) = Övning Figurer nedan: c) d) Övning 7,,, c),, d) /, 7/ Övning Figurer nedan:

4 0 0 Övning 9 Ellips med centrum i (, 0) och halvalar, 0 0 c) 0 d) 0 0 Övning 0 Ellips med centrum i (, ) och halvalar, Ingen ellips (en hperbel), c) Ingen ellips (en parabel) Övning Skillnaden är att kurvan i första kvadranten nu kan skrivas = + och vi ser då att Graf som nedan Övning 9 < eller > Övning 0 <, = Övning, + Övning > + 7 eller 0 < < eller < < 0 eller < + 7 Man kan också tänka på det som att man bter ut - och -alar Övning Asmptoterna blir = ± ( ) och kurvan skär - aeln i = och =, varför grafen (med asmptoter) blir Analtisk geometri (basali Övning + = 0, + 7 = 0, c) =, d) + = 0, e) = Övning (, ), (, ), c) (, ) Övning + 9 = 0, + = 0 Övning = ( + ) Övning C = F = 0 0 Övning Nej, Ja 0 Övning Figurer nedan: Övning ( ) + ( ) =, ( + ) + ( + ) = Övning ) ( ) + ( + ) = 9, dvs cirkel med medelpunkt i (, ) och radien 7/ ( + ) + =, dvs cirkel med medelpunkt i (, 0) och radie c) ( + ) + ( ) =, dvs cirkel med medelpunkt i (, ) och radie / Övning 7 = / + / + / Övning Ellips med halvalar, 0 0 Smmetrilinjen i är = och den i är = Övning a =, b = Övning 7 (, ), (, ) Övning En cirkel med medelpunkt i (, ) och radien Skärningen med linjen ges av ( +, + ), (, ) Övning 9 a =, Övning 0 Medelpunkt (, ) och radie Övning Medelpunkt (0, ) och halvalar /, Medelpunkt (, ) och halvalar,

5 Övning Cirkelskivan med medelpunkt i (, ) och radien 7 (alltså området innanför motsvarande cirkel), Allt utanför cirkeln med medelpunkt i (, 0) och radien, c) Cirkelskivan med medelpunkt i (, ) och radien / Övning Medelpunkt (0, ) Asmptoter: = ± Skär - aeln i 0, C O B A Q P Övning Figurer nedan: 0 Likformighetsargument: OAB OPQ c) Ptagoras sats på OPQ d) Identifiera katetrarna i triangeln OBC e) Följer ur figuren nedan: 0 c) 0 0 Övning (, 0) och (, ) Övning (, ) och (, ) Övning 7 Vi får de två ekvationssstemen d) Endast punkten (, ) Övning 7 = + k eller + k, = ± + k, c) = + k, där k är ett godtckligt heltal Övning Se figuren nedan: { + + = 0 + = och { = 0 + = Båda innebär skärningen mellan enhetscirkeln och en rät linje, som i båda fallen skär cirkeln i två punkter (kontrollera genom att rita upp situationen) Det finns alltså fra lösningar B Q O A P Hpotenusan i triangeln OPQ har längden Det betder att triangeln OAB har sidor som är så stora som OPQ Därför måste cos = medan sin = Trigonometriska funktioner Övning Övning = 0, 7 =, 0 = 7 = Övning sin då + k < < + k, k heltal Övning,, c) tan = tan( ) = tan = Vinklarna är utritade i figuren nedan: Övning 9 Skriv om som sin( ) = sin som har lösningarna { = + k = + k { = 0 k = 0 k Här är k ett godtckligt heltal, så vilket tecken man har på k spelar ingen roll i svaret Det är viktigt att man räknar med perioden från början här! Övning 0 k, + k eller + k Övning sin = cos att = sin = och eftersom sin > 0 följer På motsvarande sätt fås att cos = + Övning Följer av att (cos, sin ) ligger på enhetscirkeln Övning Med hjälp av formeln för dubbla vinkeln kan ekvationen skrivas om som ( sin + ) sin = 0 Denna har lösningarna = k och = + k, = + k

6 Övning ±0 Övning + k, + k, + k, + k, c) ± + k, d) + k, e) + k, f ) ± 9 + k k (notera att tan(± ) inte är defini- Övning k, + k, erat) Övning + k, 0 + k, + k Övning 7 + k + k, k heltal Övning + k, + k, ± + k, c) + k 7, + k, d) + k, + k, 7 + k Övning 9 ± + k, + k

Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson

Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson a) 9t u 9v b) a + c + 7 a) p + r b) c + b c) a c a) b) c) 8 d) e) f) 00 h) a) 0 z 8 b) 7a b c c) p q 9 r s a) 7 b) 8a 8 b 7 c c) a p b 7p a)

Läs mer

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x. TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Övningar till kapitel 1

Övningar till kapitel 1 Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g)

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5) Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4

Läs mer

Förberedande kurs i matematik

Förberedande kurs i matematik Förberedande kurs i matematik vid Chalmers tekniska högskola Rolf Petterson Göteborg 04 ii Innehåll Algebraiska räkningar. Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal.............. Division

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2. Kap P. P0. (A) Rita följande kurvor a. = + = c. = [ + ], där [a] betecknar heltalsdelen av talet a d. sgn( ), där sgn(a) betecknar tecknet av talet a. P0. (B) För vilka reella gäller + + + 4? P0. (A) Visa,

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.

Läs mer

6. Samband mellan derivata och monotonitet

6. Samband mellan derivata och monotonitet 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för

Läs mer

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. OPTIMERING PÅ ICKE-KOMPAKTA OMRÅDEN. Låt f,..., ) vara en reell funktion med en icke-kompakt definitionsmängd D. ( n Eistensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet. För att bestämma

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32 6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel

Läs mer

Kompendium om. Mats Neymark

Kompendium om. Mats Neymark 960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 000 kommer för Bi 00, L 00 och V 00 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner. Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV KORT LÄROKURS..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte

Läs mer

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal. OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L - 00 S 600 = 3 3 5 3850 = 5 7 847 = 7 största gemensamma delare till 600 och 3850: 5 minsta gemensamma multipel till 3850 och 847: 5 7 S a) +6+9 b)

Läs mer

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm.

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm. Läa a) b) c) a) 6,8 b) 8, c) 66 a),99,09,,8,8 b) 0,0 Hon får 9 kr tillbaka. a) 00 b) 00 c) 00 6 a) 0 längder b) 7 m c) kr 7 Decimaltecknet skiljer heltalen från decimaltalen. Placeringen avgör om siffran

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik

Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Detta är ett urval övningar på baskunskaper i matematik för repetition av några delar av gymnasiekurserna. En del övningar kan tyckas annorlunda

Läs mer

Rättelseblad till M 2b

Rättelseblad till M 2b Rättelseblad till M 2b 47-08592-7 Trckfel (första eller andra trckningen) Sida Var Står Skall stå 5 Rad nerifrån Ekvationen 209 Ekvationen 2 = 3 209 65 Uppg 269...tillsamman tillsammans 44 Eempel 2 2 2

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

NBAM00: Naturvetenskapligt basår Matematik, del 1

NBAM00: Naturvetenskapligt basår Matematik, del 1 Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Göteborgs universitet 07-0-7, 8:30 :30 NBAM00: Naturvetenskapligt basår Matematik, del Uppgift (mha vektorer Man bildar vektorer AB (3, 3, AC (7, och

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik

Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Övningsuppgifter till introduktionsföreläsningar i matematik Detta är ett urval övningar på baskunskaper i matematik för repetition av några delar av gymnasiekurserna. En del övningar kan tyckas annorlunda

Läs mer

Lösningsförslag TATM

Lösningsförslag TATM Lösningsförslag TATM79 08-0-04 a Binomialsatsen medför att b Eftersom 5 = 3 + 4i 3 i 5 5 k 5 k k = 3 5 80 4 + 80 3 40 + 0 4i 3 = 3 + 4i3 + i 0 gäller att realdelen blir 9 4 + 3 = + i3 5 = 9 + i3, c Summan

Läs mer

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Examinator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTAMEN HF0021 Matematik för basår I TEN2 Tekniskt basår Marina Arakelyan, Jonass Stenholm

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna

Läs mer

Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.

Avsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0. Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

1. (a) Formulera vad som skall bevisas i basfallet och i induktionssteget i ett induktionsbevis av påståendet att. 4 5 n för alla n = 0, 1, 2, 3,...

1. (a) Formulera vad som skall bevisas i basfallet och i induktionssteget i ett induktionsbevis av påståendet att. 4 5 n för alla n = 0, 1, 2, 3,... UPPSALA UNIVERSITET PROV I MATEMATIK Matematiska institutionen Baskurs i matematik Vera Koponen 2008-02-2 Skrivtid: 8-. Tillåtna hjälpmedel: Inga, annat än pennor, radergum och papper det sista tillhandahålles).

Läs mer

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen

Läs mer

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Avdelning 1. Trepoängsproblem

Avdelning 1. Trepoängsproblem vdelning 1. Trepoängsproblem Kängurutävlingen Matematikens hopp 1. Hur många tärningsögon finns det sammanlagt på de sidor som du inte kan se på bilden? ) 15 B) 1 C) 7 D) 7 E) Inget av dessa svar (Bulgarien).

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av

också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av delar av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar. TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x) a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x) a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) saknar lösningar Uppgift

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS.0.08 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 = Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0. TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0 7. Max 0/1/0 14 Korrekt svar (t.ex. 16514 = 44 a ) +1 C M 8. Max 0/2/1 a) Godtagbart angivet intervall, t.ex. då x är mellan 3 och 4 +1 C B med korrekt använda olikhetstecken ( 3 < x < 4 ) +1 C K b) Korrekt

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 26..208 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer