vilket är intervallet (0, ).

Transkript

1 Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. Multiplicera båda led med. Då bter också olikhetstecknet riktning, ( ) ( ( ) < ) 4 <. D.v.s. lösningen är det öppna intervallet (, ). Vi utvecklar båda led, 6 3 < 6 +. Samla i ena ledet genom att addera med 3, < < Vi får ensamt i ena ledet genom att addera med 6, 6 6 < < 5. P..5 Lös olikheten , och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. Precis som när vi löser en ekvation samlar vi först alla i ena ledet. Addera båda led med 3, För att få ensamt i ena ledet adderar vi 3, Division med 5 ger svaret vilket är intervallet (0, ). 0 <, 0 Slutligen får vi ut genom att dividera båda led med 8 (som är positiv och därför inte vänder på olikhetstecknet), Lösningsintervallet är alltså (, 5 4 ]. 0 8 = P..9 Lös olikheten < 3, och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. För att kunna lösa ut vill vi multiplicera båda led med nämnaren, men vi vet inte om detta uttrck är positivt eller negativt, och därför inte hur olikhetstecknet påverkas av multiplikationen. Om vi delar upp i två fall har vi

2 . > 0: I detta fall påverkas inte olikhetstecknet vid multiplikationen och vi får att Sammantaget har vi alltså att olikheten är uppflld om < 5 3 svarar mot intervallen (, 5 3 ) och (, ). eller >, vilket Addera med 6, < 3 ( ) < < 3. Dividera med 3 (som är negativ och vänder på olikhetstecknet) 5 3 >. Alltså, om > 0, d.v.s. <, då är olikheten i uppgiftsteten uppflld om < 5 3. Med andra ord är < 3 och > 0 < och < 5 3 < 5 3. P.. Lös olikheten 0 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. Detta ger intervallet (, 5 3 ).. < 0: I detta fall multiplicerar vi olikheten med ett negativt tal och då vänds olikhetstecknet. Vi får Addera med 6, Dividera med 3 (negativ), Vi har alltså visat att > 3 ( ) > > <. < 3 och < 0 > och > 5 3 >. Vänsterledet kan vi faktorisera, och skriva olikheten som Med hjälp av teckenreglerna ( ) = +, + =, + = och = + ser vi att vänsterledet är negativt om en faktor är negativ och den andra är positiv. Detta ger oss två fall.. 0, 0. Detta ger att 0 och, som saknar lösning.. 0, 0. Detta ger att 0 och, d.v.s. 0. Sammantaget är alltså olikheten uppflld om 0, vilket är intervallet [0, ]. 0 Detta ger intervallet (, ).

3 P..3 Lös olikheten 3 > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. Vi samlar i ena ledet, 3 4 > 0. Vi ser direkt att vi kan brta loss en faktor, ( 4) > 0. Den andra faktorn kan vi faktorisera med konjugatregeln så att vi får en fullständig faktorisering av vänsterledet i förstagradsfaktorer, ( )( + ) > 0. Med teckenreglerna ser vi att vänsterledet är positivt om vi har en av följande konfigurationer: ) + + +, ) +, 3) +, eller 4) +. Vi undersöker dessa fall.. Då ska vi ha att > 0, > 0, + > 0, d.v.s. > 0, >, > vilket är detsamma som >.. Vi ska ha att > 0, < 0, + < 0, d.v.s. > 0, <, < som saknar lösning. 3. Vi ska ha att < 0, > 0, + < 0, d.v.s. < 0, >, < som saknar lösning. 4. Vi ska ha att < 0, < 0, + > 0, d.v.s. < 0, <, >. Detta kan vi skriva som < < 0. Olikheten är alltså uppflld om < < 0 eller <, vilket svarar mot intervallen (, 0) och (, ). 0 P..5 Lös olikheten + 4, och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. Fltta över alla termer i ena ledet 4 0. Skriv vänsterledet med minsta gemensamma nämnare, Täljarpolnomet har nollställena 8 0. ± = ± 8 + = ± 3 = { 4 och kan faktoriseras som ( + )( 4). Olikheten blir därför ( + )( 4) 0. Vänsterledet är positivt när ett av följande fall inträffar Vi undersöker dessa fall ) + + +, ) +, 3) +, eller 4) +.. Vi har + 0, 4 0, > 0, d.v.s., 4, > 0 som är ekvivalent med 4.. Vi har + 0, 4 0, < 0, d.v.s., 4, > 0 som är ekvivalent med < Vi har + 0, 4 0, < 0, d.v.s., 4, < 0 som saknar lösning. 4. Vi har + 0, 4 0, > 0, d.v.s., 4, > 0 som saknar lösning.

4 Sammantaget är olikheten uppflld om 4 eller < 0, vilket ger intervallen [, 0) och [4, ). 0 4 Anm. Nämnaren får inte vara noll, vilket ger villkoret > 0 istället för 0.. Vi har + 5 > 0, < 0, + > 0, d.v.s. > 5, <, > vilket ger < <. 3. Vi har + 5 > 0, > 0, + < 0, d.v.s. > 5, >, < som saknar lösning. 4. Vi har + 5 < 0, < 0, + < 0, d.v.s. < 5, <, < vilket ger < 5. Alltså är olikheten uppflld om < < eller < 5, d.v.s. om tillhör intervallen (, ) eller (, 5). 5 P..6 Lös olikheten 3 < +, och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös ekvationen = 3. Vi flttar över alla termer i ena ledet 3 + < 0, och skriver vänsterledet med minsta gemensamma nämnare, Ekvationen är ekvivalent med = 3 eller = 3, vilka också är lösningarna. 3( + ) ( ) ( )( + ) < ( )( + ) < 0. P..9 Lös ekvationen t + 5 = 4. Vänsterledet är negativt om vi har ett av följande fall ) Vi undersöker dessa fall. + +, ) + +, 3) + +, eller 4).. Vi har + 5 < 0, > 0, + > 0, d.v.s. < 5, >, > som saknar lösning. Ekvationen är ekvivalent med t + 5 = 4 eller t + 5 = 4. Eftersom dessa är förstagradsuttrck är ekvationerna enkla att lösa, t = eller t = 9.

5 P..3 Lös ekvationen 8 3s = 9. P..37 Bestäm intervallet som definieras av olikheten 3 7 <. Vi skriver om ekvationen som två alternativa ekvationer utan beloppstecken, 8 3s = 9 eller 8 3s = 9. Dessa två förstagradare har lösningarna s = 3 eller s = 7 3. P..33 Bestäm intervallet som definieras av olikheten <. Vi kan skriva olikheten som Addera 7 till alla led, Dela med 3, Intervallet är alltså ( 5 3, 3). < 3 7 <. 5 < 3 < < < 3. Beloppsolikheten är ekvivalent med < <, d.v.s. intervallet (, ). P..39 Bestäm intervallet som definieras av olikheten. P..35 Bestäm intervallet som definieras av olikheten s. Vi skriver upp olikheten utan beloppstecken,. Vi kan skriva upp en ekvivalent olikhet utan beloppstecken s. Addera till båda led, s 3. Intervallet är alltså [, 3]. Addera till alla led, Multiplicera med, Intervallet är [0, 4]

6 P..4 Lös olikheten + > 3 genom att tolka olikheten som en utsaga om avstånd på reella tallinjen. Vänsterledet ( ) är avståndet mellan och, och högerledet 3 är avståndet mellan och 3. Vi söker alltså alla punkter med ett större avstånd till än dess avstånd till Geometriskt ser vi att måste ligga till höger om mittpunkten mellan och 3, d.v.s. >. P..44 Lös ekvationen =. Om 0 då kan ekvationen skrivas som = =. Om 0 då kan ekvationen skrivas som ( ) = 0 = 0. som är uppflld för alla vi betraktar (d.v.s. för alla som uppfller 0). Ekvationen i uppgiftsteten är alltså uppflld för alla 0, d.v.s..

7 Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..5 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, ) och har riktningskoefficient k =. P..7 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (0, b) och har riktningskoefficient k =. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen Linjens ekvation kan vi skriva som = + m, = k + m, där k är linjens riktningskoefficient (eller lutning), och som är lika med enligt uppgiftsteten. För att bestämma konstanten m använder vi att linjen går genom punkten P = (, ), vilket betder att linjens ekvation ska vara uppflld i punkten P, = + och m bestäms med villkoret att punkten (0, b) uppfller linjens ekvation, d.v.s. b = 0 + m m = b. Linjens ekvation är = + b. b = ( ) + m m =. (, ) Linjens ekvation är alltså = +. P..8 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (a, 0) och har riktningskoefficient k =. P..6 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, ) och har riktningskoefficient k =. Linjens ekvation är = + m. En linje med riktningskoefficient har ekvationen = + m. Konstanten m bestämmer vi med villkoret att linjen går genom punkten P = (, ), = + 3 (, ) Eftersom punkten (a, 0) ligger på linjen ska den uppflla linjens ekvation, d.v.s. 0 = a + m m = a. Alltså är linjens ekvation = + a. a = ( ) + m m = 3. Linjens ekvation är = + 3.

8 P..9 Ligger punkten P = (, ) på, ovanför eller under linjen + 3 = 6. Punkten P = (, ) ligger på linjen om den uppfller linjens ekvation, + 3 = = 7 6. Alltså ligger P inte på linjen. Punkten P ligger ovanför linjen om P har större -koordinat än linjen då =. Eftersom linjen har -koordinat = 6 = { = } = 6 = < ligger punkten P ovanför linjen. P Eftersom punkterna (0, 0) och (, 3) ska ligga på linjen måste de uppflla linjens ekvation, 0 = k 0 + m = m () 3 = k + m () Från () får vi att m = 0. Detta insatt i () ger att k = 3. Alltså är linjens ekvation = 3. (, 3) P..0 Ligger punkten P = (3, ) på, ovanför eller under linjen 4 = 7. (0, 0) Punkten P = (3, ) ligger på linjen om den uppfller linjens ekvation, 3 4 ( ) = = 7. Alltså ligger P på linjen. P 4 = 7 P.. Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (, ) och (, ). P.. Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (0, 0) och (, 3). Eftersom punkterna (0, 0) och (, 3) inte ligger ovanför varandra (punkterna har inte samma -koordinat) är linjen inte lodrät, och kan skrivas i formen = k + m. Punkterna ligger inte ovanför varandra så linjen är inte lodrät och vi kan skriva linjens ekvation som = k + m, där k och m är konstanter som vi ska bestämma.

9 Eftersom punkterna ska ligga på linjen måste de uppflla linjens ekvation, = k ( ) + m, () = k + m. () Om vi adderar () och () så får vi = m m =. Subtraherar vi () med () får vi (, ) 3 = 4k k = 3 4. Linjens ekvation är därmed = 3 4. (, ) P..4 Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (, 0) och (0, ). Punkterna ligger inte rakt ovanför varandra så linjen är inte lodrät, och kan därför skrivas i formen = k + m. Punkterna ska ligga på linjen och därmed uppflla linjens ekvation 0 = k ( ) + m, () = k 0 + m. () (0, ) = + = 3 4 Från () får vi att m =. Detta insatt i () ger (, 0) 0 = k + k =. P..3 Bestäm en ekvation för den linje som passerar genom punkterna (4, ) och (, 3). Linjens ekvation är = +. Eftersom punkterna inte ligger ovanför varandra så är linjen inte lodrät och vi kan skriva linjens ekvation i formen = k + m. Punkterna (4, ) och (, 3) ska ligga på linjen och måste därför uppflla linjens ekvation P..5 Bestäm en ekvation för den linje med lutning och som skär -aeln i. Om vi från () löser ut m = 4k och stoppar in det i (), så får vi = k 4 + m, () 3 = k ( ) + m. () Eftersom linjens lutning är given vet vi att linjens ekvation kan skrivas som = + m, 3 = k + 4k = 6k k = 3. Detta insatt i () ger = ( 3) 4 + m m = 7 3. (, 3) = (4, ) där m är en konstant som vi ska bestämma. Det andra villkoret är att = då = 0, d.v.s. = 0 + m m =. = + Alltså är linjens ekvation = Alltså är linjens ekvation = +.

10 P..6 Bestäm en ekvation för den linje med lutning och som skär -aeln i 3. Eftersom linjens lutning är kan linjens ekvation skrivas som kan vi direkt avläsa att lutningen är 3 4. Eftersom vi vet två punkter på linjen, (4, 0) och (0, 3), så är den sökta linjen den linje som förbinder de två punkterna. = + m. När linjen skär -aeln gör den det i punkten (0, 3), och den punkten måste då uppflla linjens ekvation, 3 = 0 + m m = 3. 3 (0, 3) (4, 0) Linjens ekvation är = 3. = 3 P..7 Bestäm var linjen = skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. P..8 Bestäm var linjen + = 4 skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. En punkt ligger på -aeln om dess -koordinat är noll. Den punkt på linjen som skär -aeln måste alltså uppflla = = 4. Punkten (4, 0) är alltså skärningspunkten mellan linjen och -aeln. På motsvarande sätt ligger en punkt på -aeln om dess -koordinat är noll. Skärningspunkten mellan linjen och -aeln måste alltså uppflla = = 3. Alltså är (0, 3) den sökta skärningspunkten. Genom att skriva om linjens ekvation i standardform, = = , Skärningspunkten med -aeln ( = 0) ges av + 0 = 4 = 4, d.v.s. skärningspunkten är ( 4, 0). Skärningspunkten med -aeln ( = 0) ges av 0 + = 4 =, d.v.s. skärningspunkten är (0, ). Vi skriver linjens ekvation i standardform = och kan avläsa att linjens lutning är.

11 En skiss av linjen får vi genom att förbinda punkterna ( 4, 0) och (0, ) med en rät linje. Eftersom linjen förbinder punkterna (, 0) med ( 0, 3 ) har linjen följande utseende. ( 4, 0) (0, ) ( ) 0, 3 (, 0) P..9 Bestäm var linjen 3 = skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då 3 0 = =. Skärningspunkten med -aeln är alltså (, 0). Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då 0 3 = = 3. Skärningspunkten med -aeln är alltså ( 0, 3 ). Skriver vi linjens ekvation i standardform ser vi att linjens lutning är 3. = 3 3 P..30 Bestäm var linjen,5 = 3 skär - respektive -aeln, och bestäm linjens lutning samt skissera linjen. Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då,5 0 = 3 =. Skärningen med -aeln sker alltså i punkten (, 0). Linjen skär -aeln då = 0, d.v.s. då,5 0 = 3 = 3. Skärningen med -aeln sker alltså i punkten ( 0, 3 ). Skriver vi linjens ekvation i standardform så ser vi att linjens lutning är 0,75. = 0,75 + 3

12 Eftersom linjen förbinder punkterna (, 0) och ( 0, 3 ) får vi följande skiss. Vi ritar upp linjerna. = + (, 0) ( ) 0, 3 P = = + 3 P..3 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, ) och är a) parallell med linjen = +, b) vinkelrät mot linjen = +. a) Eftersom linjen ska vara parallell med linjen = + ska den ha samma lutning. Vår linje har alltså ekvationen = + m. Eftersom vår linje går genom punkten (, ) ska denna punkt uppflla linjens ekvation, = + m m =. Vår linje har alltså ekvationen =. b) Eftersom linjen ska vara vinkelrät mot linjen = + ska den ha en lutning som är = (se sidan 5 i kursboken). Vår linje har alltså ekvationen = + m. Eftersom linjen ska gå genom punkten (, ) ska denna punkt uppflla linjens ekvation, Vår linje har alltså ekvationen = + m m = 3. = + 3. P..3 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = (, ) och är a) parallell med linjen + = 4, b) vinkelrät mot linjen + = 4. a) En linje som är parallell med + = = + 4 ska ha samma lutning, d.v.s. ha en ekvation i formen = + m. Eftersom punkten (, ) ska ligga på den sökta linjen måste (, ) uppflla linjens ekvation Vår linje är =. = ( ) + m m =. b) Vår linje ska vara vinkelrät mot = + 4 och måste därför har lutningen = (se sidan 5 i kursboken). Den sökta linjen har alltså ekvationen = + m.

13 Eftersom punkten (, ) ska ligga på vår linje måste (, ) uppflla linjens ekvation Linjens ekvation är = + 3. = ( ) + m m = 3. P..34 Bestäm skärningspunkten mellan linjerna + = 8 och 5 7 =. Skärningspunkten ligger på båda linjerna och uppfller därför båda linjernas ekvationer + = 8, () 5 7 =. () = + 3 P Från () löser vi ut, = 8, (3) = + 4 och stoppar in i (), = (3) ger nu att 5 7(8 ) = = 3. = 8 3 =. P..33 Bestäm skärningspunkten mellan linjerna = 6 och 3 = 3. Skärningspunkten är alltså (3, ). Skärningspunkten ligger på båda linjerna och uppfller därför båda linjernas ekvationer Från () löser vi ut, och stoppar in i (), (3) ger nu att Alltså är skärningspunkten (, 3) = 6, () 3 = 3. () = 4 3, (3) ( 4 3 ) 3 = 3 = 3. = = 4 3 ( 3) =. P..37 Bestäm skärningen med -aeln för den linje som går genom punkterna (, ) och (3, ). Vi bestämmer först linjens ekvation. Om vi skriver linjens ekvation som = k + m, då ska (, ) och (3, ) uppflla ovanstående samband () () ger att k =. Detta insatt i () ger att = k + m, () = k 3 + m. () = + m m = 5.

14 Alltså är linjens ekvation = + 5. Linjen skär -aeln då = 0 med -värdet P..43 Visa att punkterna A = (, ), B = (, 3) och C = ( 3, ) bildar tre hörnpunkter i en kvadrat, och bestäm den fjärde hörnpunkten. = = 5, d.v.s. (0, 5) är den sökta skärningspunkten. Vi ritar upp de tre punkterna. B P..4 Visa att triangeln med hörn i A = (0, 0), B = (, 3 ) och C = (, 0) är liksidig. C Vi ritar först upp hörnpunkterna. A B För att de tre punkterna ska vara hörnpunkter i en kvadrat krävs att. avståndet mellan A och B är lika med avståndet mellan B och C, och att A Vi ska visa att avståndet mellan C. kantlinjen mellan A och B är vinkelrät mot kantlinjen mellan B och C. Vi visar att dessa villkor är uppfllda.. Avståndet mellan A och B är ( ) + ( 3) = + 6 = 7.. A och B,. A och C, samt Avståndet mellan B och C är ( ( 3) ) + (3 ) = 6 + = B och C är lika. Avståndsformeln ger att. avstånd = (0 ) + (0 3 ) = + 3 =,. avstånd = 3. avstånd = (0 ) + (0 0) = 4 =, ( ) + ( 3 0) = + 3 = vilket visar att sidorna i triangeln är lika långa.. För att visa att kantlinjerna är vinkelräta bestämmer vi ekvationer för kantlinjerna i formen Linjerna är vinkelräta om = k + m och = k + m. k k =. Linjen genom punkterna A och B har lutningen k = = 3 = 4. ( )

15 Linjen genom punkterna B och C har lutningen k = = 3 ( 3) = 4. Alltså är k k = 4 4 =, vilket visar att kantlinjerna är vinkelräta. Den fjärde hörnpunkten får vi som skärningspunkt mellan. kantlinjen som är parallell med AB och går genom punkten C, och. kantlinjen som är parallell med BC och går genom punkten A. Den fjärde hörnpunkten uppfller båda dessa kantlinjers ekvationer = 4 0, () = 4 3. () () () ger 0 = =. Detta insatt i () ger C B A = 4 ( ) 0 =. Den fjärde hörnpunkten är alltså (, ). B C Vi bestämmer först ekvationerna för dessa kantlinjer. Eftersom linjen genom A och B har lutningen 4 har den parallella kantlinjen genom C ekvationen = 4 + m. Punkten C ligger på kantlinjen och uppfller därför linjens ekvation = 4 ( 3) + m m = 0. Kantlinjens ekvation är alltså = 4 0. (, ) A. Eftersom linjen genom B och C har lutning 4 genom A ekvationen har den parallella kantlinjen = 4 + m. Punkten A ligger på kantlinjen och uppfller därför linjens ekvation = 4 + m m = 3. Kantlinjens ekvation är alltså = 4 3.

16 P..49 För vilka värden på k är linjen + k = 3 a) vinkelrät mot linjen 4 + =? b) parallell med linjen 4 + =? a) Vi skriver de två linjerna i standardform = k + 3 k, () = 4 +, () förutsatt att k 0. De två linjerna är vinkelräta om produkten av deras lutningar är, d.v.s. k ( 4) = k = 8. Om k = 0 är den första linjen lodrät och inte vinkelrät mot 4 + =. b) De två linjerna är parallella om de har samma lutning, d.v.s. (om k 0) Om k = 0 är linjerna inte parallella. k = 4 k =.

17 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i ( c, c ) och radie r har ekvationen ( c ) + ( c ) = r. kan vi samla alla i en kvadratterm, = ( + ) ( ) = ( ). I vårt fall är c = c = 0 och r = 4, vilket ger ekvationen + = 6. 4 Cirkelns ekvation kan alltså skrivas ( ) + = 3 ( ) + =. Nu kan vi avläsa cirkelns mittpunkt (, 0) och radie. P.3.3 Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (, 0) och radie 3. Standardekvationen för cirkeln är ( ( ) ) + ( 0 ) = 3 P.3.7 Bestäm mittpunkt och radie till cirkeln = 4. ( + ) + = 9. Vi skriver om cirkelns ekvation i standardform genom att kvadratkomplettera - och - termerna, = ( ), P.3.5 Bestäm mittpunkt och radie till cirkeln + = = ( + ) 4. Alltså är cirkelns ekvation Vi vill skriva om cirkelns ekvation i standardform och därefter direkt kunna avläsa mittpunkt och radie. Med standardform menar vi ( ) + ( + ) 4 = 4 ( c ) + ( c ) = r, ( ) + ( + ) = 9 = 3. där ( c, c ) är cirkelns mittpunkt och r är dess radie. Vi kan nu avläsa att cirkelns mittpunkt är (, ) och att dess radie är 3.

18 P.3.9 Beskriv området som bestäms av olikheten + >. En punkt (, ) tillhör området om den uppfller olikheten och då ser vi direkt att området består av alla punkter innanför (och på) cirkeln med mittpunkt i (, 0) och radie. + >. ( ) Om vi betraktar de punkter (, ) som inte uppfller olikheten så uppfller de istället den omvända olikheten +. ( ) Vi vet att mängden som svarar mot ( ) är en disk med mittpunkt i origo och radie. De punkter som uppfller ( ) är därför alla punkter utanför denna disk. Att cirkeln är heldragen betder att punkter på cirkeln också tillhör det gråa området. P.3.3 Beskriv området som bestäms av olikheterna + > och + < 4. Vi har ritat cirkeln streckad eftersom den inte tillhör det gråa området. Området består av alla punkter (, ) som uppfller båda olikheterna. De punkter som uppfller den första olikheten + > ligger alla utanför enhetscirkeln. P.3. Beskriv området som bestäms av olikheten ( + ) + 4. Olikheten kan skrivas som ( ( ) ) + ( 0),

19 De punkter som uppfller den andra olikheten + < 4 ligger alla innanför cirkeln med mittpunkt i origo och radie. vilket ger ( ) + <, () + ( ) <. () Olikhet () ger alla punkter som ligger innanför cirkeln med mittpunkt i (, 0) och radie, medan olikhet () ger alla punkter som ligger innanför cirkeln med mittpunkt i (0, ) och ra- die. För att en punkt ska uppflla båda olikheterna måste den ligga innanför båda cirklarna. För att en punkt ska uppflla båda olikheterna måste den alltså ligga mellan enhetscirkeln och cirkeln med radie. P.3. Bestäm ekvationen för den parabel som har brännpunkt i (0, 4) och strlinjen = 4. En punkt (, ) ligger på parabeln om dess avstånd till brännpunkten är lika med dess avstånd till strlinjen. (0, 4) L (, ) L P.3.5 Beskriv området som bestäms av olikheterna + < och + <. Vi skriver först om de två olikheterna i standardform med hjälp av kvadratkomplettering, = ( ) = ( ) För att (, ) ska tillhöra parabeln måste alltså ( 0) + ( 4) = ( ) + ( ( 4) ) (, 4) = = 6.

20 P.3.5 Bestäm brännpunkt och strlinje till parabeln = /, och skissera parabeln, brännpunkten och strlinjen. En allmän tumregel för en parabel med ekvationen = /4p är att den har brännpunkt i (0, p) och strlinje = p. I vårt fall är p =, och därmed är brännpunkten ( 0, ) och strlinjen är =. För att skissera parabeln kan man välja några punkter som ligger på lika avstånd från brännpunkten och stlinjen, p. Detta följer direkt genom att ge och ombtta roller i ekvationen = /4p. I vårt fall är p =, och brännpunkten är (, 0) och strlinjen är =. Vi ritar ut några punkter som har samma avstånd till brännpunkten som till strlinjen, och förbinder punkterna med en kurva. = /4 (0, ) L L (, 0) (, 0) = = = och sedan förbinda dessa punkter med en kurva. (0, ) = = (c) P.3.7 Bestäm brännpunkt och strlinje till parabeln = /4, och skissera parabeln, brännpunkten och strlinjen. P.3.9 Figuren till höger visar grafen till = i fra translaterade versioner. Bestäm ekvationerna för dessa fra parabler. (a) (0, 3) (3, 3) (b) (4, 0) (d) (4, ) En parabel med ekvationen = /4p har brännpunkt i (p, 0) och strlinje =

21 a) Vi använder två koordinatsstem. Dels det ursprungliga, -sstemet, dels ett, -sstem som följt med parabeln i translationen. Eftersom, -sstemet translaterats tillsammans med parabeln ges parabeln av ekvationen = i, -sstemet. För att uttrcka parabelns ekvation i, - sstemet behöver vi ett samband mellan de två sstemen. En punkt som har koordinater (, ) i det ursprungliga sstemet har i, -sstemet koordinater (, + 3). (, ), (0, 3) (, + 3) c) För c-parabeln inför vi ett koordinatsstem som translaterats 3 enheter åt höger och 3 enheter uppåt. Vi har sambandet = 3, = 3, mellan de två sstemen. Parabelns ekvation blir = 3 = ( 3) = ( 3) + 3. d) Vi inför ett ntt koordinatsstem som translaterats dels 4 enheter åt höger, dels enheter neråt. Sambandet mellan de två koordinatsstemen är = 4, = +, Alltså är vilket ger att d-parabeln har ekvationen =, = + 3. Den translaterade parabelns ekvation är = + = ( 4) = ( 4). + 3 = = 3. b) På samma sätt som i a-uppgiften inför vi ett, -sstem som följt med translationen. Sambandet mellan, - och, -sstemet är = 4 = och den translaterade parabelns ekvation är, = = ( 4).

22 P.3.3 Bestäm ekvationen för grafen till = + efter att horisontella avstånd multiplicerats med 3. P.3.35 Bestäm ekvationen för den graf som fås då = translateras en enhet neråt och en enhet åt vänster. För den omskalade kvadratrotskurvan inför vi ett ntt, -koordinatsstem där den horisontella skalan epanderats med en faktor 3 så att den na kvadratrotskurvan har ekvationen = +. (, ) (/3, ) Vi inför ett koordinatsstem som följer med den translaterade kurvan. Sambandet mellan, - och, -koordinater är att en punkt som har, - koordinaten (, ) har i, -sstemet koordinaten (/3, ), d.v.s. = /3, =. Den epanderande kurvan har alltså följande ekvation i, -sstemet = + = /3 +. I, -koordinater har kurvan fortfarande ekvationen =. Sambandet mellan de två koordinatsstemen är = +, = +. I, -koordinater har alltså kurvan ekvationen = + = ( + ) = ( + ).

23 P.3.37 Bestäm ekvationen för den graf som fås då = ( ) translateras en enhet neråt och en enhet åt höger. () insatt i () ger 3 + = = 0 Om vi inför ett koordinatsstem som i figuren till höger, så har den translaterade kurvan ekvationen = ( ). Sambandet mellan de två sstemen, ( 3 ( ) 3 ) + = 0 ( ) 3 = 4 { ± = 3 ± =. Från () får vi de -värden som svarar mot de två -värdena (, 4) (, 7) =, = +, ger att kurvans ekvation i, -koordinater blir + = = 7 och = 3 + = 4. Skärningspunkterna är alltså (, 4) och (, 7). = ( ) + = ( ) = ( ). P.3.4 Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna + = 5 och = 0. Skärningspunkterna ska uppflla båda kurvornas ekvationer, + = 5, () = 0. () Från () löser vi ut, = 3 4 och stoppar in i (), P.3.39 Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna = + 3 och = 3 +. En punkt är en skärningspunkt om den ligger på båda kurvorna, d.v.s. uppfller båda kurvornas ekvationer = + 3, () = 3 +. () + ( 3 4 ) = = 5 ± = ±4. Från = 3 4 får vi motsvarande - värden, + = 3 och = +3. ( 4, 3) Skärningspunkterna är därmed (4, 3) och ( 4, 3). (4, 3)

24 P.3.43 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen Vi ser att kurvan är i formen 4 + =. a + b =, där a = och b =, vilket betder att kurvan är en ellips med mittpunkt i origo och halvalar och. skulle vi haft en ellips med mittpunkt i origo och halvalar 3 och. I vårt fall är denna ellips translaterad med tre enheter åt höger och två enheter neråt. 3 P.3.47 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen 4 =. P.3.45 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen ( 3) + 9 ( + ) 4 =. En ekvation i formen a b = är en hperbel med asmptoter = ± b a (linjer som hperbeln närmar sig då ± ) och skärningspunkter (±a, 0) med -aeln. I vårt fall ser vi att a = och b =. Kurvan är alltså en hperbel med utseendet Uttrcket påminner om en ellips; en summa av två kvadrater är lika med. Hade ekvationen istället varit =.

25 P.3.49 Identifiera och skissera kurvan som ges av ekvationen = 4. P.3.53 Skissera grafen till + =. Den kurva som ges av ekvationen = är en hperbel som är roterad 45 moturs kring origo, går genom punkterna (, ), (, ) och har koordinatalarna som asmptoter. Vi skriver om vår ekvation till ( ( ) =. ) Då ser vi att i koordinatsstemet =, = är vår kurva en roterad hperbel med koordinatalarna som asmptoter och går genom punkterna (, ) och (, ). För att kunna skriva kurvans ekvation utan beloppstecken måste vi undersöka fra fall.. 0, 0: I första kvadranten är = och =, så ekvationen blir + =, vilket är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ).. 0, 0: I den andra kvadranten är 0 och då är = medan =. Ekvationen blir därför + =, vilket är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ). 3. 0, 0: I den tredje kvadranten är både och negativa varför = och =. Ekvationen är =, vilket är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ). 4. 0, 0: Slutligen, i den fjärde kvadranten är = och =. Ekvationen blir =. Detta är en rät linje som skär -aeln i (, 0) och -aeln i (0, ). Sammantaget har ekvationen + = grafen

26 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4 P.4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen f() = +. så ser vi att den har värdemängden [0, ). Eftersom funktionen G har utseendet någonting där någonting antar alla icke-negativa värden, är G:s värdemängd också [0, ). Uttrcket + är definierat för alla, vilket betder att f:s definitionsmängd är (, ). Om vi ritar upp grafen till funktionen, P.4.4 Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen F () = /( ). så ser vi att har värdemängden [0, ). Funktionen f har en graf som ovanstående förskjuten en enhet uppåt. f:s värdemängd är alltså [, ). Funktionen F är definierad överallt utom där nämnaren är noll, d.v.s. överallt utom där = 0 =. Definitionsmängden är därmed de två intervallen (, ) och (, ). Funktionen / har grafen P.4.3 Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen G() = 8. För att 8 ska vara definierad måste uttrcket under kvadratroten vara icke-negativ, d.v.s Funktionen G:s definitionsmängd är alltså (, 4]. Ritar vi upp funktionen, och värdemängden (, 0) (0, ). F har också utseendet F () = någonting där någonting antar alla värden utom noll. F :s värdemängd är därför de två intervallen (, 0) (0, ).

27 P.4.3 Vilka smmetrier har grafen till Speciellt, är f jämn eller udda? f() =? Vi undersöker först om f är jämn eller udda.. Om vi har att f( ) = f() för alla, då är f en jämn funktion.. Om vi har att f( ) = f() för alla, då är f en udda funktion. Vi har att Alltså är f udda. f( ) = ( ) = = f(). Funktionen f har en smmetri kring värdet = L om f antar samma värde (eller samma värde med motsatt tecken) i smmetriska punkter kring = L. Om = L+t är en punkt till höger om = L, då är = L t den smmetriska punkten till vänster om = L. L t Vi ska alltså undersöka om det finns något L så att L L + t f(l + t) = f(l t) för alla t, Vi samlar allt i ena ledet t 3 (L )t = 0, för alla t. Detta polnom är inte lika med noll för alla t, oavsett hur vi väljer L. Alltså finns ingen smmetri av tpen f(l + t) = f(l t).. Vi undersöker om L + t f(l + t) = (L + t) = f(l t) = L t (L t) (L + t) ( (L t) ) = (L t) ( (L + t) ) Vi samlar allt i ena ledet L 3 + Lt L t L + L t + t 3 Lt t = L 3 Lt L t + L + L t + t 3 + Lt t. L t + L(L ) = 0, för alla t. Ett polnom är identiskt noll omm (om och endast om) dess koefficienter alla är noll, d.v.s. L = 0 L(L ) = 0 L = 0. Funktionen har alltså endast en udda smmetri kring L = 0 (vilket vi redan visste). eller f(l + t) = f(l t) för alla t. Vi kontrollerar om något sådant L finns.. Vi undersöker om L + t f(l + t) = (L + t) = f(l t) = L t (L t) (L + t) ( (L t) ) = (L t) ( (L + t) ) L 3 + Lt L t L + L t + t 3 Lt t = L 3 + Lt + L t L L t t 3 Lt + t. P.4.4 Vilka smmetrier har grafen till Speciellt, är f jämn eller udda? f() =? Funktionen f är smmetrisk kring = L om

28 . f(l + t) = f(l t), för alla t, eller. f(l + t) = f(l t), för alla t. Vi undersöker om och för vilka L dessa smmetrier inträffar.. Vi undersöker om f(l + t) = (L + t) = f(l t) = (L t) (L + t) = (L t) L + Lt + t = L Lt + t 4L t = 0, för alla t. Detta polnom är identiskt noll om dess koefficienter är noll, d.v.s. L = 0. Funktionen är alltså jämn kring = 0.. Vi undersöker om f(l + t) = (L + t) = f(l t) = (L t) (L + t) = (L t) + L + Lt + t = L + Lt t + t + (L ) = 0, för alla t. Detta polnom är inte identiskt noll oavsett hur L väljs. Alltså finns inga udda smmetrier för f.. f(l + t) = f(l t), för alla t, eller. f(l + t) = f(l t), för alla t. Om punkt är uppflld är f en jämn funktion kring = L. Om punkt är uppflld är f en udda funktion kring = L. Vi undersöker om sådant L finns.. Vi har f(l + t) = (L + t) 3 = f(l t) = (L t) 3. Vi ser direkt att om t = L då är (L + t) 3 = 0 medan (L t) 3 = 8L 3. För att båda uttrck ska vara lika måste L = 0. Även med detta val av L återstår att undersöka om f(l + t) = f(l t) för övriga värden på t. Vi har f(0 t) = ( t) 3 = t 3 = t 3 = f(0 + t). Med andra ord är f(l t) = f(l + t) omm L = 0.. Vi har att f(l + t) = (L + t) 3 = f(l t) = (L t) 3. Uttrcket (L+t) 3 är alltid icke-negativt medan uttrcket (L t) 3 alltid är icke-positivt. Den enda möjligheten att de två uttrcken skulle vara lika vore om de båda är 0 för alla t, men det är de inte. Funktionen saknar alltså udda smmetrier. Från punkt ser vi att f är en jämn funktion. Från punkt har vi att f är en jämn funktion. P.4.0 Vilka smmetrier har grafen till f() = +? Speciellt, är f jämn eller udda? P.4.9 Vilka smmetrier har grafen till f() = 3? Speciellt, är f jämn eller udda? Vi har att undersöka om det finns något = L så att Vi ska undersöka om det finns något = L så att. f(l + t) = f(l t), för alla t, eller

29 . f(l + t) = f(l t), för alla t. Vi undersöker dessa två fall.. Vi har att (se sidan 8 i kursboken) och då blir uppgiften nästan identisk med P.4.0. Samma tp av undersökningar ger att f har en jämn smmetri kring L = och är varken jämn eller udda. f(l + t) = L + t + = f(l t) = L t +. Om t = L då är L + t + = 0 och L t + = (L + ). För att vi överhuvudtaget ska ha någon smmetri måste alltså L + = 0 eller L =. Om L = då är f( + t) = + t + = t f( t) = t + = t = t. Alltså är f smmetrisk kring L =.. Vi har att f(l + t) = L + t + = f(l t) = L t + L + t + + L t + = 0, för alla t. Eftersom vänsterledet är en summa av två icke-negativa tal måste L + t + = L t + = 0, för alla t, vilket inte inträffar, oavsett L:s värde. Funktionen saknar alltså udda smmetrier. Från punkterna ovan ser vi att f är varken jämn eller udda (inga smmetrier kring L = 0). P.4.6 Skissera grafen till f() = ( ) +. Om vi börjar med funktionen så har den grafen, Förskjuter vi grafen en enhet åt höger får vi grafen till ( ). Slutligen ger en förskjutning med en enhet uppåt grafen till ( ) +. P.4. Vilka smmetrier har grafen till f() = ( )? Speciellt, är f jämn eller udda? Vi kan skriva f som f() =,

30 P.4.9 Skissera grafen till f() = +. Grafen till har utseendet i figuren till vänster. Genom att förskjuta grafen en enhet uppåt får vi grafen till f() = +. P.4.3 Skissera grafen till f() =. Vi får grafen till f genom att förskjuta grafen till en enhet neråt. P.4.33 Skissera grafen till f() =. P.4.30 Skissera grafen till f() = +. Vi får grafen till f genom att förskjuta grafen till en enhet åt vänster. Om vi förskjuter grafen till två enheter åt höger får vi grafen till. P.4.3 Skissera grafen till f() =. Funktionen har grafen i figuren till vänster. Speglar vi grafen i -aeln får vi grafen till f() =. P.4.34 Skissera grafen till f() = +. Grafen till får vi genom att förskjuta grafen till två enheter åt höger. Genom att addera, +, förskjuts grafen tterligare en enhet uppåt.

31 P.4.35 Skissera grafen till f() = +. P.4.37 Skissera grafen till f() = +. Funktionen / har utseendet Vi skriver om funktionen något f() = + = + = + +. (, ) (, ) Om vi inför ett ntt koordinatsstem (, ) där = och =. Då ges f:s graf av ekvationen = /. Förskjuter vi grafen två enheter till vänster får vi grafen till +. ( 3, ) (, ) I det ursprungliga koordinatsstemet blir detta Multiplikation med ger att alla -koordinater multipliceras med faktorn. Grafen får då utseendet (, ) ( 3, )

32 P.4.39 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f() + och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Eftersom f() är definierad då 0 så är f(+) definierad då 0 +, d.v.s. då 0. Definitionsmängden är alltså [, 0]. Eftersom funktionen är f(någonting) där någonting antar värden i [0, ] har f( + ) samma värdemängd som f(), d.v.s. [0, ]. När vi adderar till högerledet i = f() så förskjuter vi f:s graf med två enheter uppåt. 3 = f() + Definitionsmängden till f() + är fortfarande [0, ] medan värdemängden förskjuts två enheter uppåt till [, 3]. P.4.43 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ] samt grafen till höger. Skissera funktionen f() och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Med ett minustecken framför f() speglas grafen i -aeln. Funktionen f() har alltså grafen. (, ) P.4.4 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f( + ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Där f() är definierad är också f() definierad. Alltså har f() definitionsmängden [0, ]. Värdemängden till samma funktion är [, 0] eftersom när f() antar värdet b så antar f() värdet b. Om vi ersätter med + i = f() så förskjuts grafen två enheter åt vänster. Funktionen f( + ) har alltså grafen. (, )

33 P.4.45 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f(4 ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Denna spegling har vi både i - och -led. f( ) har alltså grafen. Övergången från till 4 blir tdligare om vi skriver = ( ) och 4 = + ( ). Vi ser då att och 4 är varandras spegelbilder kring =. 4 Grafen till f(4 ) blir alltså spegelbilden av grafen till f kring =. (3, ) 4 Funktionen f(4 ) är definierad för 0 4 eller 4. Definitionsmängden är alltså [, 4]. Eftersom f(4 ) är f(någonting) där 0 någonting, har f(4 ) samma värdemängd som f(), d.v.s. [0, ]. f() f( ) f( ) Funktionen f( ) är definierad för 0 eller. Definitionsmängden är alltså [, ]. När är Detta ger att 0 och 0 f( ). f( ) 0 0 f( ). Alltså har f( ) värdemängden [0, ]. P.4.46 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f( ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() Uttrcket ersätter med dess spegelbild kring skriva = ( ) och = + ( ) ). (det ser vi genom att

34 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.5 P.5.7 Om f() = + 5 och g() = 3, bestäm följande uttrck a) f g(), b) g ( f(0) ), c) f ( g() ), d) g f(), e) f f( 5), f) g ( g() ), g) f ( f() ), h) g g(). a) f g(0) = f ( g(0) ) = { g(0) = 0 3 = 3 } = f( 3) = = b) g ( f(0) ) = { f(0) = = 5 } = g(5) = 5 3 = Definitionsmängd till f Funktionen f() = /( ) är definierad överallt utom där nämnaren är noll, d.v.s. överallt utom i =. Definitionsmängd till g Funktionen g() = är definierad överallt där 0, d.v.s.. Värdemängd till f Grafen till f är grafen till / speglad i = ( är en spegling i = ), d.v.s. c) f ( g() ) = f( 3) = ( 3) + 5 = + d) g f() = g ( f() ) = g( + 5) = ( + 5) 3 = e) f f( 5) = f ( f( 5) ) = { f( 5) = = 0 } = f(0) = = 5 f) g ( g() ) = { g() = 3 = } = g() = 3 = g) f ( f() ) = f( + 5) = ( + 5) + 5 = + 0 h) g g() = g ( g() ) = g( 3) = ( 3) 3 = Funktionen f har därför samma värdemängd som /, d.v.s. alla värden utom 0. Värdemängd till g Funktionen g har utseendet där uttrcket under rottecknet varierar över de icke-negativa talen. Alltså har g samma värdemängd som, d.v.s. [0, ). a) Vi börjar med att rita upp hur punkterna avbildas med f en gång. P.5.9 Om f() = /( ) och g() =, bestäm följande funktioner och deras definitionsmängder, a) f f(), b) f g(), c) g f(), d) g g(). D f f 0 V f Vi ska först ta reda på definitionsmängd och värdemängd till f och g. Om vi nu ska applicera f tterligare en gång måste vi undanta punkten från V f (f ej definierad i ), vilket betder att vi måste ta bort alla punkter

35 i D f som avbildas på värdet. De som ger värdet uppfller Alltså Alltså = f() = f = 0. f g 0 f 0 0 D f g V f g Vi kan alltså definiera f g på intervallen [, ) (, ). D f f V f f Definitionsmängden till f f är alltså alla punkter utom 0 och, eller skrivet med intervall (, 0) (0, ) (, ). Det analtiska uttrcket för f f blir f f() = f ( f() ) ( ) = f = b) I sammansättningen f g utförs först funktionen g. g =. Det analtiska uttrcket för f g blir c) Först utförs funktionen f. f g() = f ( g() ) = f ( ) = f 0. D g 0 V g D f För att sedan kunna sammansätta med g får vi inte ha några värden i V f mindre än (i de punkterna är g inte definierad). Vi måste alltså ta bort de punkter i D f som avbildas till värden mindre än, d.v.s. alla sådana att V f För att vi sedan ska kunna sammansätta med f får inte värdet ingå i V g, d.v.s. vi måste sortera bort de punkter i D g som avbildas på värdet. Sådana punkter uppfller = g() = =. f() = <. Vi löser denna olikhet på samma sätt som i uppgift P..9 och får intervallen (, 0) och (, ).

36 Alltså måste vi undanta alla punkter utom de mellan 0 och. 0 f g Definitionsmängden till g g är alltså [, ). Det analtiska uttrcket för g g blir g g() = g ( g() ) = g ( ) =. D g f V g f Definitionsmängden till g f är alltså [0, ). Det analtiska uttrcket för g f blir g f() = g ( f() ) ( ) = g = d) Funktionen g avbildar punkter enligt g 0 =. P.5.3 Bestäm vad som ska stå i den gråa luckan f() g() f g() Vi ritar upp hur de olika funktionerna avbildar en punkt. g f D g För att vi ska kunna använda g igen krävs att inga värden i V g är mindre än, d.v.s. vi måste plocka bort de punkter i D g som avbildas på värden mindre än. Vi ska alltså ta bort de som uppfller Vi har därmed V g g() = < <. g g z f g Eftersom vi vet att f g() = så är z =, och vi har förljande figur. g f f g D g g V g g Vilket värde måste har för att f() =? f() = = =.

37 Alltså har vi figuren Vad ska nu vara för att f() =? g f f() = + = + = =. ska alltså vara lika med /( ). Vi får figuren g f Nu ser vi att g() =. f g + f g Nu ser vi att g() = /( ). P.5.5 Bestäm vad som ska stå i den gråa luckan. f() g() f g() ( + )/ P.5.6 Bestäm vad som ska stå i den gråa luckan. Vi ritar upp hur f och f g avbildar en punkt. g f f() g() f g() / Vi vet att f g Eftersom f g() = har vi att z =. z f g() = / och f g() = f ( g() ) = f( ). Om vi kallar = så är = + och f() = ( + ). g f f g

38 P.5.9 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f() och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() och dels f(), f Genom att multiplicera f() med epanderar vi grafen med en faktor i -led. (, ) = f() Funktionen f() är definierad överallt där f är definierad, d.v.s. definitionsmängden till f() är [0, ]. Eftersom vi har att så är 0 f() för 0, 0 f() för 0. Funktionen f() har alltså värdemängden [0, ]. 0 0 men för att vi ska kunna använda f i det sista steget får vi inte ha värden utanför intervallet [0, ] efter funktionen. Vi måste alltså ta bort alla punkter som avbildas med utanför [0, ]. Vi ska alltså bara behålla de som uppfller f f() Funktionen f() har alltså definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ]. Den första funktionen innebär att vi epanderar intervallet [0, ] till [0, ] och sedan använder f. Grafen till f() blir alltså ihoptrckt till intervallet [0, ] på -aeln. 0 P.5. Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f() och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() (, ) Funktionen f() kan ses som sammansatt av två funktioner, dels Anm. Denna lösning är kanske lite väl omständig, men lösningen illustrerar iallafall hur man kan dela upp en funktion i enklare delar och analsera dessa.

39 P.5.3 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen + f( /) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() P.5.4 Funktionen f har definitionsmängden [0, ] och värdemängden [0, ], samt grafen till höger. Skissera funktionen f ( ( )/ ) och ange dess definitionsmängd och värdemängd. (, ) = f() När vi ersätter med / i = f() så förlängs grafen i -led med en faktor och minustecknet speglar grafen i -aeln. 4 f( /) När vi ersätter med ( )/ epanderas grafen med en faktor i -led och sedan en förskjutning med en enhet åt höger. När vi sedan adderar till f( /) så förskjuts grafen en enhet uppåt. 5 f ( ( )/ ) Multiplikationen med gör att grafen förlängs i -led med en faktor. 4 + f( /) Funktionen är definierad för 0 / 4 0, d.v.s. definitionsmängden är [ 4, 0]. Eftersom vi vet att 0 f( ) är + f( /). Värdemängden är alltså [, ]. 5 f ( ( )/ ) Funktionen f ( ( )/ ) är definierad då 0 5. Definitionsmängden är alltså [, 5]. Eftersom vi vet att 0 f( ) så är 0 f ( ( )/ ). Värdemängden är [0, ].

40 P.5.5 Skissera grafen till f() = { om 0, om <. Funktionen f är lika med i intervallet [0, ]. I intervallet (, ] är f lika med. Över hela definitionsmängden [0, ] har alltså f grafen. Notera att f visserligen ges av två olika uttrck på olika delar av definitionsmängden men f är en funktion. P.5.7 Bestäm alla reella konstanter A och B för vilka funktionen F () = A + B uppfller a) F F () = F () för alla, b) F F () = för alla. a) Vi har att vl = F F () = F ( F () ) = F (A + B) = A(A + B) + B = A + AB + B, hl = A + B. Eftersom vl ska vara lika med hl för alla måste koefficienten framför i båda led vara lika. Samma sak gäller konstanttermerna, A { = A A = eller A = 0. AB + B = B B = 0 Vi har alltså två tper av lösningar {A =, B = 0} och {A = 0, B godtcklig}. b) Vi har att vl = { se a-uppgiften } = A + AB + B, hl =. vl = hl för alla ger att A = AB + B = 0 { A = B = 0 och A =. Det finns alltså två tper av lösningar {A =, B = 0} och {A =, B godtcklig}. P.5.33 Antag att f är en jämn funktion, g är en udda funktion, och att både f och g är definierade på hela reella tallinjen R.

41 Undersök om följande funktioner är jämna, udda eller ingetdera. f/g : Vi har att f + g, f g, f/g, g/f, f = f f, g = g g, f g, g f, f f, g g. f( )/g( ) = ( 7) /( 7) = 7, ± f()/g() = ±7 /7 = ±7. f/g skulle kunna vara udda, men inte jämn. Att f är jämn betder att Att g är udda betder att f( ) = f() för alla. ( ) g( ) = g() för alla. ( ) Vi ska nu undersöka om funktionerna i uppgiften är jämna, udda eller ingetdera. Som en första grov såll kan vi ta två konkreta eempel på f och g, t.e. f() = och g() =, och något -värde, t.e. = 7. Om någon av kombinationerna i uppgiftsteten inte uppfller ( ) eller ( ) för dessa speciella f, g och, då kan kombinationen inte vara jämn respektive udda (eftersom då krävs ju att ( ) respektive ( ) är uppflld för alla f, g och ). f + g : f g : Vi har att f( ) + g( ) = ( 7) + ( 7) = 4, ± ( f() + g() ) = ± ( ) = ±56. Alltså kan f + g varken vara jämn eller udda. Vi har att f( ) g( ) = ( 7) ( 7) = 343, ± f() g() = ±7 7 = ±343. f g skulle kunna vara udda, men det kan ju också vara en slump. Däremot kan f g inte vara jämn. g/f : f f : g g : f g : g f : Vi har att g( )/f( ) = ( 7)/( 7) = 7, ± g()/f() = ±7/7 = ± 7. g/f skulle kunna vara udda, men inte jämn. Vi har att f( ) f( ) = ( 7) ( 7) = 40, ± f() f() = ±7 7 = ±40. f f skulle kunna vara jämn, men inte udda. Vi har att g( ) g( ) = ( 7) ( 7) = 49, ± g() g() = ±7 7 = ±49. g g skulle kunna vara jämn, men inte udda. Vi har att f g( ) = f ( g( 7) ) = f( 7) = ( 7) = 49, ± f g() = ±f ( g(7) ) = ±f(7) = ±7 = ±49. f g skulle kunna vara jämn, men inte udda. Vi har att g f( ) = g ( f( 7) ) = g(49) = 49, ± g f() = ±g ( f(7) ) = ±g(49) = ±49. g f skulle kunna vara jämn, men inte udda.

42 f f : Vi har att f f( ) = f ( f( 7) ) = f(49) = 49 = 40, ± f f() = ±f ( f( 7) ) = ±f(49) = ±49 = ±40. g g : Vill visa: ( ) g( ) g( ) = g() g() vl av ( ) = g( ) g( ) = ( g() ) ( g() ) = g() g() = hl av ( ). g g : f f skulle kunna vara jämn, men inte udda. Vi har att g g( ) = g ( g( 7) ) = g( 7) = 7, ± g g() = ±g ( g(7) ) = ±g(7) = ±7. g g skulle kunna vara udda, men inte jämn. Vi har nu sållat bort några omöjliga fall. Nästa steg är att vi försöker bevisa de fall som inte kunde uteslutas ovan (de är troligtvis sanna). f g : Vi vet: () f( ) = f() för alla, () g( ) = g() för alla. Vill visa: ( ) f g udda, d.v.s. f( ) g( ) = f() g(). Vi har vl av ( ) = f( ) g( ) = { (), () } = f() ( g() ) Alltså är f g udda. = f() g() = hl av ( ). I de följande fallen kan vi vara lite mer kortfattade. f/g : Vill visa: ( ) f( )/g( ) = f()/g() vl av ( ) = f( )/g( ) = f()/g() = hl av ( ). Alltså är g g jämn. f g : Vill visa: ( ) f g( ) = f g() vl av ( ) = f ( g( ) ) = f ( g() ) = f ( g() ) = hl av ( ). Alltså är f g jämn. g f : Vill visa: ( ) g f( ) = g f() vl av ( ) = g ( f( ) ) = g ( f() ) = hl av ( ). Alltså är g f jämn. f f : Vill visa: ( ) f f( ) = f f() vl av ( ) = f ( f( ) ) = f ( f() ) = hl av ( ). Alltså är f f jämn. g g : Vill visa: ( ) g g( ) = g g() vl av ( ) = g ( g( ) ) = g ( g() ) = g ( g() ) = hl av ( ). Alltså är g g udda. Alltså är f/g udda. g/f : Vill visa: ( ) g( )/f( ) = g()/f() vl av ( ) = g( )/f( ) = g()/f() = hl av ( ). Alltså är g/f udda. f f : Vill visa: ( ) f( ) f( ) = f() f() vl av ( ) = f( ) f( ) = f() f() = hl av ( ). Alltså är f f jämn.

43 P.5.35a Låt f vara en funktion med ett origosmmetriskt definitionsområde. Visa att f är en summa av en jämn och en udda funktion f() = E() + O(), där E är en jämn funktion (even) och O är en udda funktion (odd). Tips: Låt E() = ( f() + f( ) ) /. Visa att E( ) = E(), varför E är jämn. Visa sedan att O() = f() E() är udda. Vi låter E() = ( f() + f( ) ) /, O() = f() E() = f() ( f() + f( ) ) / = ( f() f( ) ) /. Då är f() = E() + O() och vi visar att E jämn : Vi ska visa att E( ) = E(). ( ) Vi har att vl av ( ) = E( ) = ( f( ) + f ( ( ) )) / = ( f() + f( ) ) / = hl av ( ) Alltså är E jämn. O udda : Vi ska visa att O( ) = O(). ( ) Vi har att Alltså är O udda. vl av ( ) = O( ) = ( f( ) f ( ( ) )) / = ( f() f( ) ) / = hl av ( )

44 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6 P.6.3 Beräkna sin π 3. P.6. Beräkna cos 3π 4. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln π 3. Vi ska använda enhetscirkeln och smmetrier i denna för att bestämma cos 3π 4. Den punkt på enhetscirkeln med vinkeln 3π 4 har koordinater (cos 3π 4, sin 3π 4 ). ) (, sin π 3 π 3 ( cos 3π 4, sin ) 3π 4 3π 4 Vi kan använda spegling i -aeln för att uttrcka sin π 3 första kvadranten. Om α är spegelvinkeln då är med spegelvinkeln i Genom att spegla punkten i -aeln får vi en punkt i första kvadranten med - koordinaten cos 3π 4 (men oförändrad -koordinat). Denna punkt har vinkeln π 4 (som är spegelvinkeln till 3π 4 i -aeln), och därmed -koordinaten cos π 4. α (, sin α ) sin π 3 = sin α. Alltså är π/4 cos 3π 4 = cos π 4 =. ( cos 3π 4, ) = ( cos π 4, ) Vi ser vad π 3 :s spegelvinkel är genom att skriva för då är Alltså är π 3 = 4π 6 = 3π + π = π 6 + π 6, α = π π 6 = 3π π 6 sin π 3 = sin π 3 = 3. = π 3.

45 P.6.5 Beräkna cos 5π. Vi ritar upp vinkeln 5π i enhetscirkeln. ( ) cos 5π 5π, sin 5π halva vinkeln har vi att Alltså är sin θ = cos θ cos θ sin θ =. sin π cos π = 6 3/ =. Genom att spegla punkten i diagonallinjen (vinkeln π 4 ) får vi en spegelpunkt med - och -koordinater ombtta jämfört punkten (se trianglarna i figuren), d.v.s. spegelpunkten har koordinaterna ( sin 5π, cos ) 5π 6. Eftersom vinkeln π/ är i första kvadranten är sin π > 0, och vi har att cos 5π = sin π = sin π 3/ =. 3 Anm. I facit ges svaret som är lika med vårt svar. (Etrauppgift: Visa detta.) θ = π/4 ( ) sin 5π 5π, cos P.6.7 Uttrck cos(π + ) i termer av cos och sin. Vinkeln π + är vinkeln roterad ett halvt varv, varför de två trianglarna nedan är kongruenta. Spegelvinkeln α får vi genom att skriva för då är 5π 3π + π = = π 4 + π 6, (cos, sin ) π α = π 4 π 6 = 3π π = π, ( cos( + π), sin( + π) ) och vi har att cos 5π = sin π. För att bestämma sin π noterar vi att π är hälften av vinkeln π 6 som vi kan cosinus- och sinusvärdena till. Med formeln för Sidlängderna lika ger att cos(π + ) = cos.