Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit."

Transkript

1 Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla den längre kateten för b oc ypotenusan, dvs. den sökta sidan, för c. 8 tanv b Givet: tanv, 8 b, b 9, Pytagoras: 8 + 9, c c,8 cm 6 7 Dela upp pentagonen i likbenta trianglar med basen 7, cm oc öjden. Arean av en sådan triangel är 7 Söker : Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

2 Toppvinkeln i de likbenta trianglarna är 6 / 7. Det ger att sidorna cm vardera, cm,8 cm tan6 Vi får:,,8 A cm 8 cm Se viktigruta s.. cm c + + ( ) c cm b A cm, cm sin, cos, + sin6 tan6, cos sin Se viktigruta s. Diagonalen > 7 Se viktigruta s. 7 cm alva sidan Kort katet Hypotenusan c 7 cm cm cm 8 Båda är rätt ty 9 Utgå från enetscirkeln > v oc u 8 v 8 Se viktigruta s. 9. Två vinklar: oc 8 ( ) Se viktigruta s. 9. Två vinklar: oc. a är -koordinat, b är y-koordinat. Enetscirkeln ar radien l.e. b c) b a a b a d) a a Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

3 - 6 sinv sin(8 v) sin(8 ) sin( ), cosv cos( v) cos( ) cos sin / c) tan cos / 7 sin, cos sin cos sin6 cos6, >, + + +, oc c) Se facit 8 Höjden över marken kan tecknas m + sin6 m 6 m På samma öjd då v. Förflyttning: 6 πr m m (,) 6 9 cosv a sin( v) b b tanv a b a b a b b b a a 6 Använd areasatsen. Mellanliggande vinkel,8. Sidorna är m oc 8 m (skissa!). Den motstående sidan till den minsta vinkeln måste vara den kortaste. 8 sin,8 A m 8m 7 Dela parallellogrammen i två delar. Använd areasatsen: A, 7, sin cm,cm A cm 8-9 Likformiget: Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

4 Förållandet mellan AD oc AB är lika med förållandet mellan AE oc AC>, 7,, AC AC, cm Vinkeln BAC 8 8 Areasatsen:, sin A cm, cm Areasatsen: aa sinv a sinv A I en liksidig triangel är alla vinklar lika stora, dvs. 6. Vet att sin 6. Skissa figur. Sinussatsen 6 sin sin B B 8,8 eller 8 8,8 C 8 8,8 96, eller 8 (8 8,8 ),8 Areasatsen: 6 sin96, A cm 7cm eller 6 sin,8 cm cm A Sinussatsen: Areasatsen: s / s A sin B sin > B 7, eller B 8 7, Skissa triangeln. Den minsta vinkeln 7 ligger mellan sidorna som är respektive 9 cm. Sinussatsen: sinv sin7 Ekvationen ovan ar två lösningar v, eller v 8, Eftersom den sökta vinkeln är trubbig får vi v 8 > c 7 eller Skissa figur. Vinkeln C 8 6 Sinussatsen: AC 6 sin sin AC, 7 cm Höjden vinkelrät mot sidan AB. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

5 sin6 AC, cm 6 Sinussatsen: sin A sinc BC AB ABsin A sinc BC Vid rätvinklig triangel: BC sin A BC c sin A c Studera motsvarande figur på s.. Två fall då c sin A < BC < c Ett fall då BC c sin A eller BC c 7 9 cos moc 8m 9 sin7 sin B B, eller 8, C 8 7 B C, eller 9,7 9sinC AB sin7 AB 8 cm eller cm AC, + m m Cossinussatsen ger: cos > v 6 6 d ( cos) mm d mm d ( cos8) mm d 8mm 6 ty v 8 cosinussatsen: d d d d cos Skissa figur. Givet: Resultanten R F+ F N v v + v + cosv + cosv v, 8 v 8, v 6 v Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

6 8 Förläng sidan m med 8 m på varje sida så att två rätvinkliga trianglar erålls. 8 sinv v, Sidorna som är m oc 7 m ar alltså en mellanliggande vinkel som är 9, 7,8. Cosinussatsen ger: d cos7,8 d m (,8) 9 Skissa figur. Utnyttja cosinussatsen för att beräkna den minsta vinkeln: + cos v Ledning. Utnyttja följdsats till randvinkelsats: Motstående vinklar i en fyrörning ar alltid summan 8 då fyrörningen är inskriven i en cirkel (se uppgift 6 i M c). A+ C 8 C 8 A + cos(8 ) cos A ( cos(8 A) cos A) cosa cos A cos A cos A 9cos A cos A 9 Kalla vinkeln vid väggfästet u. Ur figur: sinv sinu,, u 6,9 eller 8 6,9 v,6 Söker övriga vinklar: Sinussatsen ger sin, 6 sinu Den tredje vinkeln i triangeln (vid stag oc flaggstång): w 8 6,9, eller w 8 (8 6,9 ) 6,9 u 67,, 67 oc 9 från a-uppgiften: + cosc cos A Sök eakt värde på cos C. sin, s m, 8 m (, 8) sin sin6,9 s m, m (,) sin Övre triangel rätvinklig >, 6,8 A m,96 m Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 6

7 Pytagoras ger längden på den streckade linjen: d, + 6,8 m8,m Räkna fram vinkeln mellan sidorna som är 6, m oc, m: 8, 6, +, 6,, cos v 98, Areasatsen: 6,, sin98, A m,m A A+ A 9, m 6 Kalla sidorna, y oc z. Areasatsen: y sin 6 > y Vi ar nu ett ekvationssystem med två ekvationer oc två okända: + y 6 y Sätt in 6 y i ekvation oc lös ut y. Andragradsekvationen ar lösningen y 8 cm eller 8 cm. Vi får 8 cm eller 8 cm. Använd cossinussatsen oc beräkna den tredje sidan: z y y + cos z, cm Använd sinussatsen oc beräkna v: v 8 sin sinv, v,7 eller v 8,7 9, v 9 7 Se eempel. Cirkeln skär y-aeln då. y y y + y y 6,9 y,9 Cirkeln skär -aeln då y. Lös ut med samma metod som i a-uppgiften. 6 Sätt oc lös ut y genom att lösa ekvationen y + 6y y,76 l.e y,76 l.e y y, l.e 7 8 Sätt in givna värden i cirkelns ekvation oc räkna ut r : Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 7

8 r ( ) + ( ) 9 9 ( ) + ( y ) 9 Se eempel. Kvadratkomplettering: y 8y+ 9 ( + ) + ( y ) r 9 7 oc medelpunkt (, ) Sätt in linjens ekvation i ekvationen för cirkeln: ( ) Lös ut oc oc sedan y oc y. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 8

9 Kapitel c)... ( ) d)... 6 ( ) a a b a b a b ab b 9 ab b b Nej, ty ,, % (7 ) ( ) ( 8 ) 6 () ( ) + a a + 6a + a a 6a a + a (9 ) (6 6 6 ) Konjugatregeln:... 7 Förenkla VL oc HL: Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

10 : 9 6 ( 9) VL : ( ) HL ( ) ( + )( ) Konjugatregeln:... ( y + z )( y z ) c)... ( a ab + b ) d)... (9 6+ ) ( ) t (t 6t+ t ) ( t ) ( 6t+ t ) ( ) t+ + t + t 6 Se facit 7... a+ a b+ b a+ a b b ab... ( ) ( ) Ersätt med z : z ± 9 z 9, z, ± ±, 6... a + aa a( +... ( ) c)... bb n n + b n b n ( b n + ) 7... ( ) ( y )( + y ) ( y)(+ y)( + y )... t(6t ) t(t )(t ) t(t )(t )(t ) c)... ( )( ) + ( + )( + )( ) ( + )( + )( + )( ) ( )( )( )( )( ) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

11 a a+ c) ( ) ( ) a+ a+ + ( a + a+ ) a + a + a+ a + a + a+ d) ( a + + a a Den största eponenten bestämmer graden på polynomet. Den största eponenten erålls vid multiplikationen, dvs. polynomet får graden. -e) -c) Jämför lösning till 9. 6 a a d) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) a+ a+ a + a a + a+ a a + a a + a+ T.e. p ( ) + ty Avläs i bilden: f () f () Sätt in i givet uttryck: (+ 6) 6+ 8 p () + 6 n är största eponenten. För att resultatet ska bli ett polynom av graden måste n -termen multipliceras med -n, ty n n n+ n 6 Bryt ut. Andragradsekvationen + ar dubbelroten. Vi får ( )( ), dvs. ekvationen ar rötterna oc (dubbelrot). Bryt ut 6 oc lös ekvationen,, oc, c) Bryt ut > är enda reella roten, ty +, ±, saknar reella rötter Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

12 d) Bryt ut. Andragradsekvationen ar lösningarna 7 oc. >, 7 oc. 7 Se lösning 6. Lösningarna nedan framgår av eempel oc viktigruta s 6. 6( )( +,) c) ( + ) d) ( 7)( + ) 8 Grafen skär -aeln då oc, dvs. polynomet ar nollställen då oc. Sätt in eller oc lös ekvationen + a > a 9 Ett sådant polynom saknar nollställen oc skär alltså inte -aeln. Skissa t.e. p ( ) + ( + )( ) + T.e. Lösningen framgår av eempel oc viktigruta s 6. ( )( + ) Bryt ut. Andragradsekvationen 6 7 ar rötterna 7 oc. Detta ger ( 7)( + ). ( )( ) ( 6+ 9) T.e Lösningarna nedan framgår av eempel oc viktigruta s 6. Andragradsekvationen 6+ saknar reella rötter > ( 6+ ) Bryt ut oc lös ut andragradsekvationen 8+ 7 Detta ger ( 7)( ) c) Bryt ut > + ( ) d) Bryt ut oc lös andragradsekvationen > ( )( + 8) ( )( + 8) 6 s s s s ss ( ) s (förkastas) s l.e Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

13 s 6s ss ( 6) s > s (förkastas) s (förkastas) s 6 l.e 7 Andragradsekvationen ar en dubbelrot, a, dvs. endast ett nollställe. Den tangerar då -aeln i en punkt. Se figur i facit för. 8 ab b b ab b + ab a b + a ( a aa ( a c) Förkorta parenteserna oc dela täljare oc ( ) nämnare med : ( + ) Förkorta parenteserna oc dela täljare oc ( + ) nämnare med : c) 9( + ) 6 ( + ) ( )(+ ) (+ ) (+ )( ) ( + ) ( ) - ( ) Nämnaren t.e. Givet uttrycket ar värdet 6 då : a 6 a 7 då. Polynomet 8 uppfyller detta villkor > 8 T.e. 7 Volymen som ar strömmat ut efter t minuter är V() Vt ( ),t + t t,t Den genomsnittliga utströmningsastigeten kan tecknas t,t Gt ( ),t t Notera att facit ar Gt ( ),t. Om man definierar flödet som positivt då tanken fylls får man ett negativt flöde då tanken läcker oc vattenmängden minskar. G (6), 6 l/min l/min. Se kommentar facit. 8 ( 7) ( + 7)( 7) (facit ar + i täljaren i första tryckningen). ( a 6a+ 9) ( a ) a a 6 ( a ) 6 Givet: nämnaren då > ( ) ( )( ) ( ) a a a+ a+ 6( a a+ ) 6( a ) ( a ) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

14 c) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( ) d) (9 b ) ( b )( b+ ) ( ) b ( ) b ( ( b+ ) ( b+ ) ( ) b ( ) b ( b+ ) ( b ) 6 ( + 9)( 9) ( + 9) ( 9) c) d) ( ) ( ) ( )(+ ) (+ ) ( ( ( (+ (+ ( a )( a+ ) ( a+ ) aa ( ) a 7 8 Polynomets nollställe fås genom att lösa andragradsekvationen i täljaren:, > ( )( ) Bryt ut oc lös på samma sätt som i a- uppgiften: 9 Lös ekvationen i nämnaren > + ( )( + ) ( )( + ) ( + ) ( )( ) ( ) Observera dubbelroten! ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) aa ( )( a+ ) aa ( + ) ( a )( a+ ) ( a+ ) Faktorisera täljare oc nämnare: Sätt uttrycket i nämnaren lika med noll oc lös andragradsekvationen. Detta ger rötterna oc ( )( + ) Gör på samma sätt med täljaren. Rötterna kan a a skrivas: ± 8 Om : a a + 8 a a 8 a a a + 8 a 8 a 6 7 a ( )( + ) ( + ) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 6

15 7 ( )... ( + )( ) ( + ) c) ( + + ) d) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( + )( ) ( ) c) ( y) ( + y)( y)... + y y ( y) 9 ( 6)... ( 6) (6 ) yy ( )... ( y )( y+ ) yy ( )( y+ ) y ( y )( y+ ) c) ( ( b )... b ( b ) d)... ( + ) ( + + ) + ( + )... + ( + ) d) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 7

16 ( + ) ( + )( + + ) b + ( ) k + b förläng + b + b + 6b (+ b k ( ) förläng b b b b( b b b 7 ( + )... + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) aa ( ) ( a+ )... + aa ( + ) aa ( + ) a a+ a+ a + aa ( + ) aa ( + ) 8 p+ p... ( p+ )( p ) ( p+ )( p ) ( p+ )( p ) +... ( + ) ( + ) ( + ) ( + )... ( + ) ( + )... ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (... ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 8

17 ( a ) a+ a ( a )( a+ ) ( a )( a+ ) a ( a )( a+ ) ( ) ( )( + ) + 6 ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) 6 6+ ( )( + ) ( )( + ) ( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( + ) ( )( + ) ( )( + ) 6 ( a )... + ( a+ )( a ) ( a+ )( a ) aa ( + ) a + aa ( )( a+ ) aa ( + )( a ) aa ( ) aa ( + ) + aa ( + )( a ) aa ( )( a+ ) a a + a+ a + a + + a( a+ )( a ) ( a+ )( a ) 7 ( a+ )( a ) ( z )... + ( z )(z+ ) ( z )( z+ ) ( z+ ) + z z ( z )( z+ ) ( z )( z+ ) + z z z ( z )( z+ ) ( z )( z+ ) ( z + ) ( z )( z+ ) ( z ) 7 ( + )(+ )... ( )( ) ( )( ) ( )( + )(+ ) ( )( + )( + ) ( )( + )( + ) ( ) + ( )( + )(+ ) ( )( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) Faktorisera täljare oc nämnare ( )( ) ( + )( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( ) + ( + )( ) ( )( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + 7 Se eempel s Avläs i grafen. I uppgift c), d) oc e) ritas linjer Av a-uppgiften oc grafen framgår att Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 9

18 y < då < <. c) > timmar. f() p g() > m Sätt in en punkt på linjen i uttrycket för g() oc räkna ut k. g() k k Avläs skärningspunkterna i figuren. Alternativt algebraisk lösning: + + p k + m + ( k ) + ( p m) ( k) ( k) ± ( p m) c) Från grafen ser vi att < eller > d) g() f () Från grafen ser vi att g ( ) > då < f( ) f() c) Alla räta linjer kan skrivas på formen y k + m Från grafen ser vi att y då, dvs. m. Välj en punkt på linjen oc räkna ut k: g() k + k g() + 8 d) f () g( f()) f( ) 6 Från grafen ser vi att detta gäller då eller Från grafen ser vi att detta gäller då eller (facit ar > ) c) Rita grafen, dvs. en rät linje som skär y- aeln i -, oc ar lutningen k,. Från grafen ser vi att skärningspunkterna är,, d) Från grafen ser vi att detta är uppfyllt då < eller < < e) g() f ( ), ( ),, 7 Från grafen ser vi att detta är sant, ty Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

19 < eller > 8 + < (7 ) < Bestäm uttryckets tecken för några lämpliga värden. + + < 6 eller > 6 Samma metod som i a-uppgiften ger,, Teckenstudium ger Uttryckets nollställen är Teckenstudium ger < < Bryt ut oc bestäm nollställen:,, Teckenstudium ger > Uttryckets nollställen är,, Teckenstudium ger < eller < < Uttryckets nollställen är,, Teckenstudium ger < eller < < ( ),,,, Teckenstudium ger < < eller > 6 Söker som ger R >. + 8 ± 8 år Teckenstudium av ursprungligt uttryck: < < år,,, Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

20 Företaget kommer att gå med vinst mellan oc. 7 Sök som ger y < , Teckenstudium av ursprungligt uttryck ger minusgrader mellan. oc ( ),, Teckenstudium ger < < eller > ( 6), 8, 7 Teckenstudium ger 7 < < eller > 8 9 Studera täljaren: a + a, a± a a a a ( a då a a dvs. > a. Faktorisera täljaren. Se a-uppgiften. a a ( ) ( ( + + a Om större än a är både täljare oc nämnare positiva. Oliketen gäller inte. Studera nämnaren: Om är mindre än a blir både täljare oc nämnare negativa. Oliketen gäller inte. Då a< < a får täljare oc nämnare olika tecken oc oliketen gäller. Alla tal multipliceras med mgn. Nämnaren förkortas sedan bort. Andragradsekvationen är korrekt löst > Ja. 6( aa+ ) 6aa 6( a a 6 a ( a+ ) a ( a+ 6 a 6 a a a a ( a är inte definierat) yy ( + ) y yy ( ) y y ( y+ ) y ( y ) y+ y y 6 y 6 ( ) (6 ), ( ) (6 ) 6, + 6, 7,8 9 Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

21 ( + )( ) + ( + )( ) ( + )( ) ( ) ( + )( ) ( + ) ± +, 7 aa ( + ) a aa ( + )( + a+ a a ( a + a+ ) a ( )( )( ) ( ) ( ) a+ a a+ a a+ + ( a )( a+ ) ( a ) ( a+ ) ( a+ )( a+ ) + ( a ) ( a + a a ) a + a+ a+ + a a+ a + a a 7 a 7 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + aaa ( + ) aa ( + ) a + a a + aa ( + ) a a a + a a(a+ ) a Ekvationen är inte definierad för a. 9 6 ± + 6 ( är en falsk rot) ( ) ( ) ( ) ( + )( ) ( )( + )( ) ( + )( ) + ( + )( ) ( )( ) ( + )( ) + ( )( ) ( + )( ) + +, Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

22 6 ( ) 8 ( ) 6 ( ) ( ) Faktorisera nämnaren i första termen. + mgn ( ) ( )( ) ( + ) ( )( ) (+ )( + ) ( )( ) ( + ) ( )( + ) 8( + ) ( )( ) ( )( ) (+ )( + )( ) 8( + ) ( ) ( ) (+ )( + ) 8( + ) ,, Men + Testa lösningarna. Varken eller löser ekvationen, eftersom VL alltid är positivt > eller 6 (I första tryckningen saknas åttonde raden, dvs a oc b ) Men 9 9 är också en lösning. Men är också en lösning. (Ekvationen saknar lösning). Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

23 Kapitel Steg : y 9 k k k k y + m där m är godtyckligt. Två punkter givna > 6 k 7 Sätt in en av punkterna i uttrycket f( ) + m 6 + m m f( ) V (7 8) kr (9 + ) kr ( ) kr Sätt V 8 oc lös ut > eneter. Skriv om ekvationerna: p y + oc y ( p ) Vinkelräta om p ( p ) p ± + p p (Skall stå k i uppgiften. Fel i första tryckningen) Skissa ett koordinatsystem oc markera punkten (, ). Dra två linjer med lutningen respektive. k m k m f f min ma () () N + Antalet blommor efter, dygn. (, ), blommor blommor () + blommor N N(, ) +, blommor 6 blommor/dygn, 8 blommor/dygn (,),9, m m s Fallsträckan vid fritt fall under de första, sekunderna.,9,,9,8 m/s 9, m/s, Medelastigeten mellan,8 oc, sekunder vid fritt fall. t, s,8 s, s. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

24 () +, kr K K() +, kr K() K() kr/glas, kr/glas Det kostar, kr/glas att tillverka de sista glasen. V() (6 +, ) kr V() (6 +, ) kr 89 kr/kg 6 kr/kg På de sista kilogrammen blir vinsten 6 kr/kg. 6 y() 9 y() 7 Sekantens lutning: 9 7 k Bestäm m genom att sätta in en punkt på sekanten oc k i ekvationen för den räta linjen: y() 7 + m m y 7 st ( ) st ( ) m/s m/s m/s t t Som i a-uppgiften > 8, m/s c) jfr a-uppgiften > 8, m/s d) Prova t.e. med t oc t, också. > ca 8 m/s. 8 Beräkna kurvans medellutning mellan 6 oc 8 sekunder: 8 m/s8, m/s 8 6 Beräkna konstanten a: s at (sätt in ett givet tabellvärde) a m/s,6 m/s 6,6 7,,6 6,9 > m/s8, m/s, Abdus astiget vid tiden t 7 s. 9 Sekantens lutning f( a Sekanten får negativ lutning då f( <, dvs. då > a a. a a+ a ± a ( givet) a > Lutningen noll vågrät linje, dvs. k. ( ) a a k a > a a > a c) a a k a a+ a a a 6a+ a Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

25 7 Tangenten är parallell med -aeln då, dvs. sant. Funktionsvärdet ökar då, dvs. derivatan är positiv. Sant. c) Funktionen är avtagande då >, sant. 8 Tangenten är parallell med -aeln då, dvs. '( ). Positiv eftersom kurvan är väande. c) Två nollställen:,. d) Avläs i grafen >. 9 Skissa ett koordinatsystem. Markera f(). Ma erålls då f() är en rät linje med k > m. Min erålls då f() är en rät linje med k > m 7. fma () + fmin() + 7 f () Då minskar med, oc lutningen är bör y ändras med ungefär, ( ),6. > g(6,8) (,6), 9,87 då Vi får lim( + 6,87 ) Rummets temperatur i C lim lim ( + ) lim lim (6 + ) 6 dy k d,, k 6,,6 c) k,,6,, d) k,,,, e) k,,, f) ( )(+ ) lim lim,,,, (,)(+ ) lim,, lim ( + ), Se uppgift f) ovan. Sätt in stora värden på t > e,7. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

26 Sätt in större oc större värden på. >, lim +... lim, + 6 f( + ) f() ( + ) lim (8 + ) 8 oc f( + ) f() ( + ) + C ( + C) lim(8 + ) f( a+ ) f( lim 6( a+ ) 6a lim 6( a + a + ) 6a lim a + 6 lim a f( a+ ) f( lim ( a+ ) + 7 (a+ 7) lim lim c) f( a+ ) f( lim 6( a+ ) + ( a+ ) + 7 (6a + a+ 7) lim 6a + a a a a 7 lim a lim lim a+ 6+ a+ d) 8 oc c) ( + ) lim ( + + )( + ) lim lim lim ( 6 ) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

27 y y y + y y y y + + y y 7 y y y y y 8 8 y + 8 y st () t t s t t t s () () st ( ) 9t + t+ 9 s () f ( ) Söker de -värden då f ( ) f ( ) 6 Lös andragradsekvationen: + ± + 6 Se till eempel faktorisering av andragradspolynom s. 6. Ansätt f( ) k ( )( ) som ges av de givna rötterna. k är koefficienten framför - termen. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

28 f( ) k ( 6+ 8) p f() p 8k > k 8 p f ( ) k 6k k 8 p p p p p f () N () st t + 8t+ t + 6t 7 t, 8 ± t 7, timmar (negativ rot förkastas) c) N ( t) 6t+ 8 N () bakterier/ 7 bakterier/ d) 6t + 8 > t min oc c) s ( t),6t t 67 s d) s (67) 67, 67 m m e) Tåget bromsar i intervallet t Avståndet mellan löparna: st () f() t gt () 8, t,t 7, t,t t,t Vid t är avståndet. Maimalt avstånd då derivatan är lika med : s ( t), t t, s Insättning i uttrycket för s ger: st t t ( ), (,,, )m,m 8 f ( ) + 6 Skissa en graf. oc ger f ( ). ger det största värde som derivatan kan anta: f ( ) min/ dm 8 Väande om y + y () r ( t),6t,6t t (,6,6 t) > dubbelrot i t oc en rot i t 6. Dvs. resultatet ökar från år till år 6. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 6

29 y 6 Etrempunkter då oc Teckenstudera derivatan : Maimipunkt : Minimipunkt y + Etrempunkter då oc då Teckenstudera derivatan > : Terrasspunkt : Minimipunkt y Etrempunkter då,, Etrempunkter då,, Teckenstudera derivatan > : Minimipunkt : Maimipunkt : Minimipunkt y + c Etrempunkter då c. y Teckenstudera derivatan > minimipunkt i. > (; -) y, Teckenstudera derivatan > : Minimipunkt : Maimipunkt : Minimipunkt y 6 6 Etrempunkter då, Teckenstudera derivatan > : Maimipunkt : Minimipunkt y Avläs i grafen. Ekvationen ar tre rötter. + + Använd räknare eller dator: >,7 Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 7

30 c) f ( ) ( ) > > y, + Väande om derivatan. f ( ) 8+ Sätt derivatan lika med noll för att få fram etrempunkter. 8 ± ,8,9 Teckenstudium ger att funktionen är väande då,9, y a + b y då. a + b b 6a Sätt in i f () a 6a + 9a 6 a b f ( ) 9 Etrempunkter i oc. Endast ligger i intervallet. Teckenstudium ger maimipunkt i ( ; 6,) Kontroll av ytterlägena: f ( ) f (), > minsta värdet, oc största 6,. Samma metod som i a. 6 f ( t),8t,t Etrempunkter då t oc t 7,. Kontrollera f() oc f() (ytterläge). f () f () 67, Dvs. min oc ma 67,. Kontrollera även f(7,) oc ytterläget f(). f(7,) 9, dvs. ma. f() 7 f ( ) a + f () a Teckenstudium ger maimipunkt. 8 Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 8

31 Avläs i grafen. Badkaret fylls under minuter. Efter minuter är flödet negativt, dvs. vattenmängden i badkaret minskar. Se c) Ja, flödet är negativt oc badkaret töms. d) Vid t minuter Derivera de olika alternativen: y (ingen andragradsfunktion) Derivatan av en tredjegradsfunktion är en andragradsfunktion. Minimipunkt i ger att derivatan ska vara negativ då < oc positiv då >. Maimipunkt då ger att derivatan ska vara positiv < oc negativ då > > Alternativ d). Se eempel s.. Derivatan negativ fram till (minimipunkt) > funktionen avtagande Derivatan sedan positiv till (maimipunkt) > funktionen väande Derivatan sedan negativ till (minimipunkt) > funktionen avtagande Derivatan positiv då > > funktionen väande y Stämmer med kurvan. Se graf i facit. Kontroll av c) oc d): c) d) y (skär y-aeln i origo) y ( då ) 9 Sant, derivatan är positiv. Sant, därefter är derivatan negativ oc folkmängden minskar. c) Falskt, derivatan är negativ. d) Sant, folkmängden minskar mellan B oc D. f ( ), dvs. derivatans graf är en andragradsfunktion som skär y-aeln i oc är symmetrisk runt origo > Alternativ c). Linjen kan skrivas y 8, dvs. k. Kurvans tangent är parallell med linjen då den ar lutningen, dvs. då dess derivata är lika med. Derivatan är en andragradskurva, dvs. den kan skrivas på formen y' + a + b. y' då > b y' då > a y + 9 f() oc f() är etrempunkter eftersom f () f (). Andraderivatan är < då > maimipunkt. Andraderivatan är lika Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 9

32 med då, vilket betyder att andraderivatan kan byta tecken just i punkten (; ), något som den gör i en terrasspunkt. + + y ( ) y 6 + y () < maimipunkt y ( ) > minimipunkt y () > minimipunkt Samma metod som i. vt ( ) t,8t t, s > s(,) ca, m at ( ),6t a() m/s Se uppg. Derivatan är en andragradskurva. Med givna värden i figuren erålls y +. y, dvs en rät linje. Ta fram funktionen genom att derivera " baklänges" y + 9 Kalla sidan mot vägen för. A y Kma 6 kr (y + + ) kr > y (6,6 ) Sätt in y i uttrycket för arean: A (6,6 ) m Söker mavärdet för arean. A 6, Kontroll : A, (maimipunkt) Sätt derivatan : 6, m y (6,6 ) m 8 m A m ma 6 + q Sätt T ( q) 6q,q Kontroll: T ( q) 6 +,q T (), dvs minvärde. T () ( +, )kr 9kr 6 Av figuren framgår att < <. Sätt V ( ) Kontroll: V () > dvs. mavärde. Se graf i facit. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

33 6 Sätt + V ( ) 8 > 6 7 (ej i definitionsmängd) 7 > V + tkr (7) ( ) tkr 6 Se eempel s. 6 oc facit. 6 A y Givet: + y y A Sätt A ( ) oc y A cm cm ma 6 Se eempel s. 6. Skissa grafen. Kurvan symmetrisk kring y- aeln. b ( ) A Bestäm derivatans nollställen. A ( ) A () ± A ( ) 6 mavärde > Ama, a.e 66 Triangeln symmetrisk kring y-aeln. Pytagoras ger öjden i triangeln: cm Linjen i första kvadranten kan tecknas y, Räkna på alva triangeln: Aalva (, ), A alva,8 A alva, cm A, 8 (maimivärde) A alva,,, a.e cm A cm cm ma 67 π r V r π+ (ekv.) A r π + πr + πr (ekv. ) Två ekvationer oc två obekanta, r oc. Ekv. 7 r π πr 7 πr πr πr In i ekvation : Ekv. 7 πr πr V r π ( ) + π r 7r π r π r + V ( r),π r Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

34 Kontroll: V r r ( ), π (dvs. mavärde) Sätt derivatan lika med noll:, π r r,π Golvarean r π m m, b b... ( ( ( +... ( )( + ) ( )( + ) ( )( + )... ( + )( ) ( y)( y)... ( + y)( y) ( y)( y) y y + + y y,, y, +, y,7 +,,,8 y 6 f( ) 8 8 f ( ) 6 7 y ( ) I punkten ar tangenten lutningen y () Tangenten (rät linje) kan skrivas: y + m m I punkten är m lika med kurvans värde: m + + > y 8 f () t t f () t c) f () t v + at 9 Funktionen kontinuerlig om funktionsvärdena lika då. Funktionen ar värdet då. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

35 Då måste gälla att + C då > C Jfr a-uppgiften. C C (C ) C + C C C C C CC ( ) > C (C löser inte den ursprungliga ekvationen ty C kan inte vara negativt.) Skissa y' oc yʺ. Av skissen framgår att yʺ i punkten C. yʺ > i punkterna D oc E. c) yʺ < i punkterna A oc B. f ( ) f ( ) Då oc då byter kurvans tangent riktning är fʺ() byter fʺ() tecken. Se graferna nedan. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

36 c) e e e e + a a a Kapitel d) e e e e + a a + a,,,,9 ( e e )..., kpa/km, Lufttryckets genomsnittliga förändringsastiget mellan, km oc, km över avet. P ( ), e, e P,,, (), e, kpa/km Tolkning: n f ( ) ne då grafen skär y-aeln. n f () ne n /, ( +,),78 e) e a e f) e ( e ) e a a a a, g ( ) 7, e, e 7, ln 7,, 8, lne Sätt y e ( y e > minimipunkt) y e +,78 c) Se facit För att få f ( ) e ska man derivera f( ) 6e m +. Då ska f() vara lika med > m. 6 a e e e ( e ) e a a a a 6 Sätt ( ) 8 e f e ln, lne, e > y 8,+, (Kontroll: f ( ) > minimipunkt) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

37 7 8-9 f ( ) g ( ) e Sätt derivatan : e ln ln lne > f(ln) g(ln) ln e ln ln k, Ce C oc ln, k lne k ln, (ln,) y e,8 T e C 8 C c) d) y ln, e (ln,) (ln,) () ln, e C / min y 7 C / min Tolkning. 8 y + 8 C 7,9 C y 7 ln,9,9 c) y 7 ln,9,9 C/min, 6 C/min d) 6 + 7,9 ln, ln, 9 min e) y 7 ln,9,9,,,9 7 ln,9, ln 7 ln,9 8 min ln,9 9 Sätt y ln ln ln,8 ln,8 y, Utgå från given punkt:, C C C > g () dvs. g() skär y-aeln i punkten (; /). Härled derivatan g ( ) : ln, ln,,ln e e e ( ) g ( ) ln e ln,ln, Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

38 Tangenten kan skrivas på formen: y k + m där m Då ar tangenten lutningen k: ln g () ln, Tangenten ar samma lutning då y : ln + ln ln 7 Utnyttja de givna punkterna: (, ): Då är y > C. (, ): a a a, y ln,, y 8 Ansätt 6 (6) ln,, 7, y Ce p. y() C p 66 e ln, 66 p p,8 k y,8 e y() 7, 6 C/min d),8 8 e ln,8,8 min e),8 9, V() (8,+ e ) kr 9, kr, ( ), Sätt V e ln,, 7 + (Kontroll ger att V ( ) > minimivärde ). c), V() (8,+ e ) kr kr N ( t),e,t, e ln, t, t år,t, N() (, + e ) st 7 st y e,8 C8 C c) Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

39 Se metod i t.e. 8 oc facit. () b 7, cm () 7, a 6, cm / 6, a,9967 7, t ( t) 7, ln,9967,9967 cm/s, cm/s () 7, ln,9967,9967 cm/s Se kommentar facit. 7 Se facit 9 7, e 6e e F ( ) + 7,,,, F ( ) + +,,, F ( ) + Se facit f( ) F ( ) A, lnd, d > B, lnd, d > B,(ln) +, lnd, f( ) A, lnd, d > F ( ) B, lnd, d > B A (, ln +, lnd,, lnd+,)m, ln m 9, m f( ) Se facit 6 F ( ) y() 8 e C C När ökar närmar sig temperaturen C. c) d) Lös ekvationen, 8 e 6 min F ( ) + C + C C Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

40 ( ) 6 +,t Pt e C, 7 6 e + C > C, 7 Pt ( ) (6 e + ) kr 7 kr Vt ( ),t + C V(), C + C 9 V() + 9kr 9kr V () (, () + 9) kr 9 kr f ( ) f( ) + C f() + C 6 F ( ) + 6+ C F() C C 6 F ( ) + C + C C, ,6, e ( + ), e + e 6,,, t 6...,,, 6 6 6,, 8,,,... 6t 6 8 6, Sätt y + > ± + (negativ rot förkastas) + A a.e + d e e + e e d e e... ( ) e e e ( e + e ) d e + e e + 8,8 9,,, 9...,,, 9 9 8,,, Ledningar oc lösningar till M c Liber AB

41 ( + ),... ( ) d ( + 9) 9 Skissa graferna.,...,6 a.e,, a, a a, 6,,, 6, aa a, F ( ) F() F() f ( ) d + d ( ( )) d a.e 7 a.e a.e 7 y oc ( ( + )) d 8 ( ) a.e a.e a.e 8 9 ( ( )) d, 7 7 a.e 6 a.e 9 Skissa kurvorna. Sätt +,±,+ (negativ rot förkastas) > ( ) d + d a.e a.e 6 Sätt 9 Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 6

42 ± (negativ rot förkastas) Sätt, 9 +, 9 ± > (8, ) d, 7, 7 a.e (9, ) d 9, 8 8 (9,)a.e,9 a.e A (,7+,9)a.e,67 a.e a... a + a 9 a 9 a 8 k( k ) k k... k k Ma då k k k Subtraera > b a d b a 9 Arean av A är positiv men integralen är negativ eftersom A ligger under -aeln > 6/. Arean av B 6 / / a.e Areanav B / + 6 / a.e 89 / a.e k k... + m + m k m - W ( + ) d kw9 kw 7,e, d,, e e ( ), Arean under grafen från t oc t, s är stenens fallsträcka i luften. Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 7

43 ,, s v( t) dt m, m c) t t + 8 6,,, 6, 6 m,8 m s e dt t e e + + t t dt t t+ t 8 ( + ) m 7m e 6 s A t e dt t + e + s B e m t 9 9e dt t 9+ 9e + 9e 9 6m A leder med m. Vattenflödet ar ett ma då v () t t t c) + t t dt t t+ t 8 ( 9 ( ) m 8 (6 + ) m > m + +, 6 d,, Nm7 Nm Ledningar oc lösningar till M c Liber AB 8

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x. TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

6. Samband mellan derivata och monotonitet

6. Samband mellan derivata och monotonitet 34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori 9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005 KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a. . Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig

Läs mer

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

TEN22 Tekniskt basår. Miniräknare, Slutbetyget på. avklarats med Poäng Lycka till!

TEN22 Tekniskt basår. Miniräknare, Slutbetyget på. avklarats med Poäng Lycka till! Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: TENTAMEN HF Matematik för basår I TEN Tekniskt basår Jonass Stenolm Niclas Hjelm 5--6 :5-7:5

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:

KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid: KONTROLLSKRIVNING Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning oc betygsgränser: HF00 Matematik C KS4 Tekniskt basår Bengt Andersson oc Staffan Linnæus Niclas

Läs mer

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32 6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

NpMa3c vt Kravgränser

NpMa3c vt Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna

Läs mer

4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %?

4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? Axel Weüdelskolan/Komvux Matematik/Sibe 1. Förenkla x 1 1 1 1 1 x 2. Förenkla 5 3. Beräkna värdet av a 2 b om a = -3 och b = 2 4. Vad kan man multiplicera x med om man vill öka värdet med 15 %? 5. Vilket

Läs mer

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 = Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

20 Gamla tentamensuppgifter

20 Gamla tentamensuppgifter 20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition

Läs mer

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. Lösning till tentamen i 5B116 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, 5-1-19, kl. 8 1. Tentamensskrivningen består av 4 moment, svarande mot kursens olika

Läs mer

MA0021, MA0022, MA0023

MA0021, MA0022, MA0023 Bastermin MA00, MA00, MA00 vt del, 0-08- Hjälmedel: Penna, suddgummi, linjal och gradskiva! oäng/delugift. Skriv tydligt och skriv tydliga svar! Motivera väl! Endast svar acceteras ej! Förenkla alltid

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Rättelseblad till M 2b

Rättelseblad till M 2b Rättelseblad till M 2b 47-08592-7 Trckfel (första eller andra trckningen) Sida Var Står Skall stå 5 Rad nerifrån Ekvationen 209 Ekvationen 2 = 3 209 65 Uppg 269...tillsamman tillsammans 44 Eempel 2 2 2

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningar NpMab ht 01 Eempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Föreläsning 1 5 = 10. alternativt

Föreläsning 1 5 = 10. alternativt Föreläsning 1 101 a) Beräkna 5 + ( 8) = ( ) Kommentar: Vi använder parenteser för att förtydliga negativa tal, här ( 8) och ( ). 101 b) Beräkna 9 16 = 5 Kommentar: Egentligen borde man skriva 9 som ( 9),

Läs mer

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f. Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum)

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. NpMa3c ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Formelhantering Formeln v = s t

Formelhantering Formeln v = s t Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid: Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.

Läs mer

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1: Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd

Läs mer

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till 3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891 KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2

17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2 17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,

Läs mer

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition 3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

Repetition inför tentamen

Repetition inför tentamen Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8

Läs mer

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 9-3-7 kl 8.3-1.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer