Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Transkript

1 Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV KORT LÄROKURS..0 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studenteamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar om de kriterier som används i den slutgiltiga bedömningen. Av en god prestation framgår det hur eaminanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det finnas nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start mellansteg och slutresultat. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betdande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng avsevärt. I provet är räknaren ett hjälpmedel och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om smbolräknare använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver anals räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av räknaren utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som eaminanden fått med räknaren i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Eempel på sådana är omskrivning av uttrck ekvationslösning och derivering och integrering av funktioner.. b) c) 0 () a b ( a b)( a b) a b. a b a b.. Vid -aeln är 0. Vi får. Skärningspunkten är b) c) dvs Matematikprov kort lärokurs..0

2 . Hpotenusans längd är centimeter. För den ena spetsiga vinkeln gäller tan vilket ger. Den andra spetsiga vinkeln är 0 8. b) Genom att i ekvationen vilket ger 7. Vi får 8 multiplicera korsvis får vi 7.. Anta att kantens längd i början är a varvid kubens volm är och dess area A 6( a. Den halverade kantens längd är a.. Den na volmen är V a Förhållandet mellan volmerna är u V ( 8a Vu a 0 V 8a 8 vilket ger Vu 0V dvs. volmen har minskat med 87 %. b) Den na arean är A 6 a. Förhållandet mellan areorna är Au A u 6a 0 a dvs. arean har minskat med 7 %.. Vi gör en tabell över de olika delarnas volmer då vi tillsätter liter mousserande vin. jordgubbssaft (l) mousserande vin (l) totalt (l) blandning 8 0 tillskott 0 blandning Det ska finnas 0 (0 ) liter jordgubbssaft i den andra blandningen. Vi löser ekvationen 0 (0 ) Vi ska tillsätta 0 liter mousserande vin. 6. Om det finns k kaniner och f fasaner i buren gäller k f k k f f. Det finns kaniner och fasaner i buren. Matematikprov kort lärokurs..0

3 7. En stock har diametern r = 0 cm dvs. stockens radie är r = 0 cm. Längden av varje rak del av vajern är r. De böjda delarna är cirkelbågar och mot varje cirkelbåge svarar en 60 medelpunktsvinkel. Deras sammanlagda längd är hela omkretsen av en cirkel. Den totala längden av vajern är då 6rr centimeter. k 8. Efter skede k finns det geometrisk summa euro på kontot. Detta är en k n vars värde är n k ( ) k k Värdet överskrider Finlands budget när k 08 0 som uppflls för värdena Budgeten överskrids efter det :e skedet Vi får villkoret lg 08 0 k 8. lg. Det finns se olika möjliga sedelköer. Av dessa är endast köerna ( 0 0) och ( 0 0) gnnsamma. Den efterfrågade sannolikheten är Funktionen f( ) har ett minsta värde endast om a 0. Det minsta värdet får vi i nollstället till derivatan f ( ). Eftersom f ( ) a 0 i punkten a är det minsta värdet f 8. Det minsta värdet är noll a a när a. b) Villkoret kan uppfllas endast när b 0 och nollställena till funktionen g ( ) är och. Eftersom g() b får vi villkoret b. Med detta värde är även g( ) 0 vilket betder att b är den efterfrågade koefficienten. Matematikprov kort lärokurs..0

4 . Iterering: Svaret är n 7. T. Eftersom T lg p är p 0. När 8 p och alko p olcka p är sannolikheten för död på grund av olcka större. 6 b) Eftersom 0 är antalet skadade p skada alko ( ). Tangentens riktningskoefficient är och i dess maimiställe är ( ) 6 0. Ett teckenschema stöder det 7 faktum att det är frågan om ett maimiställe. Eftersom den efterfrågade punkten 7. b) Tangentens riktningskoefficient är 0 0 dvs är och tangentens ekvation. Enligt prognosen är a( 0) b. Utgående från de givna uppgifterna får vi ekvationsparet (0) b6077 a 6 ur vilket (08) a b 68 b b) Ökningen av invånarantalet är (00) (0) 6a b b 6a c) Ritad graf. Matematikprov kort lärokurs..0

5 . tan n80 n Z. I intervallet 0 60 finns två lösningar och. b) Utgående från figuren är tan och tan dvs. tan( ). Då är. Matematikprov kort lärokurs..0

6 Preliminär poängbedömning. b) 0 () ELLER: 0 och insättning i rotformeln: 0 0 från vilket Ledvis division med och bara fått roten Direkt insättning: Förenklat: a b ab ELLER: a b ( a b)( a b) Täljaren indelad i faktorer: a b a b Förkortat insatt och fått: a b c) Som svar godkänns även 6 Vi avlägsnar nämnarna: ( ) från vilket Matematikprov kort lärokurs..0

7 . På -aeln är 0. Då är 0 8 som ger dvs. skärningspunkten är b) 8 vilket ger Noggrannhetsfel i närmevärdet c) 6 8 Eftersom 8 får vi. ELLER med logaritmer: lg lg lg6 lg6 lg vilket ger lg. b) Anta att hpotenusan är c och de spetsiga vinklarna och. c ( = mm) 8 tan Den andra spetsiga vinkeln är därmed 0 8 Korsvis multiplikation: ( ) ( ) vilket ger och vidare varvid ELLER genom att beräkna förhållandet direkt: Förenkling: ( 7 7 Matematikprov kort lärokurs..0

8 . Anta att kantens längd i början är a varvid kubens volm är V ( 8a och arean A 6( a. Den halverade kantens längd är a. Vu a Den na volmen Vu a. Jämförelse: 0 V 8a dvs. volmen har minskat med 87 %. b) Au 6a + Den na arean Au 6a. Jämförelse: 0 A a 07 dvs. arean har minskat med 7 %. Beräknat helt numeriskt eempelvis: Kantens längd är i början och i slutet ma. 6. jordgubbssaft (l) mouss.vin (l) totalt (l) blandning 8 0 blandning 0 n blandning 8 0 eller utgångsdata presenterat på annat sätt Villkor: 0 (0 ) vilket ger Man ska alltså tillsätta 0 l mousserande vin. k f I buren finns k kaniner och f fasaner. Villkor: k f k. f Svar: Kaninerna är och fasanerna till antalet. 7. Diametern av en stock r = 0 cm dvs. stockens radie är r = 0 cm. Varje rak del av vajern = r. De böjda delarna är delar av cirkelbågar vilkas medelpunktsvinkel 60. [Bågarnas sammanlagda längd = omkretsen av en hel cirkel.] Vajerns totala längd är därmed 6r r (cm) Noggrannhetsfel i närmevärdet Matematikprov kort lärokurs..0

9 8. Alla penningbelopp nedan är uttrckta i euro. k Efter skede k finns det på kontot Uttrcket i parentesen är en geometrisk summa an a q n k. k ( ) Hela summan är då 00 0 k som överskrider Finlands budget när 0 0 Därmed gäller där k. k 08 0 lg(08 0 ) vilket ger k lg Budgeten överskrids alltså efter det :e skedet. Det finns 6 olika möjliga sedelköer: (00) (00) (00) (00) (00) och (00). Av dessa sedelköer är endast de två första gnnsamma. Den efterfrågade sannolikheten är därmed Funktionen f ( ) har ett minsta värde endast då a 0 dvs. då funktionens graf är en uppåtvänd parabel. Vi får det minsta värdet i nollstället till f ( ). Då är f ( ) a 0 som uppflls då. Det minsta värdet: f 8 a a a f. Det minsta värdet är 0 då a. b) Villkoret kan endast uppfllas då b 0 dvs. då grafen av funktionen g ( ) är en nedåtvänd parabel. Dessutom måste nollställena till g ( ) vara och. Genom att sätta in dessa värden för får vi: b6 b 0 ur vilket följer att b. Matematikprov kort lärokurs..0

10 . Vi sätter in och a i formeln. Vi får Genom att fortsätta enligt samma princip får vi Svaret är därmed n 7.. Från formeln b) Eftersom. T lg p löser vi ut sannolikheten p 0 T. 8 p alko polcka 0 = > palko p skada 0 6 Är antalet skadade Fel noggrannhet i svaret Riktningskoefficienten för tangenten är störst i derivatan :s maimipunkt dvs. i den punkt där Ett teckenschema visar att det är fråga om ett maimiställe. Vi får. Den efterfrågade punkten är alltså b) Tangentens riktningskoefficient är 0 och ekvation 0 dvs eller Matematikprov kort lärokurs..0

11 . Modell: a( 0) b (0) b6077 Villkor: (08) a b 68 a 6 vilket ger. b b) Invånarantalets ökning är (00) (0) 6a b b 6a (invånare) c) Grafen är den del av linjen 6( 0) som ligger i intervallet 0 00 Linjen fortsätter utanför definitionsintervallet. tan n80 nz. Vinklarna i intervallet 0 60 är och. + b) Ur figuren: tan tan. Med formeln: tan( ) 6 vilket ger att. 6 Matematikprov kort lärokurs..0