Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Transkript

1 Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden PROVET I MATEMATIK, KORT LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar om de kriterier som används i den slutgiltiga bedömningen. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det finnas behövliga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen: starten, mellanstegen och slutresultatet. Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng betydligt. I provet är räknaren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om symbolräknare använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av räknaren utan övriga motiveringar. Däremot räcker ett svar som examinanden fått med räknaren i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning och derivering och integrering av funktioner. Uppgift 1 a) x 4x+ 4= 4 x 4x= 0 xx ( 4) = 0 x= 0 x = 4. b) x+ 3 = ( x+ 3) x+ 3= x 3 3x = 6 x =. c) ( ) + ( + ) + (1 ) = = 6. Uppgift a) Vi får skärningspunkten med y-axeln genom att sätta in x = 0 i ekvationen y= 3x + 1, vilket ger skärningspunkten (0,1). Vi får skärningspunkten med x-axeln genom att sätta in y = 0 i ekvationen y= 3x + 1, vilket ger att skärningspunkten är (4,0). Provet i matematik, kort lärokurs.9.013

2 b) Vi löser i den övre ekvationen ut y= 4 x, vilket vi substituerar i den nedre ekvationen. Vi får då x+ 8 4x= 1 x= 7 x = 7. Då är y= 4 x= 4 14 = 6 x = Lösningen är y = 7 6. c) Den nya basen är 0,8 11= 8,8 och den nya höjden 1, 7= 8,4. Den ursprungliga rektangelns area är 11 7 = 77 och den nya rektangelns area 8,8 8,4 = 73,9. Förhållandet mellan areorna är 73,9 = 0,96, dvs. arean minskar med 4 %. 77. Uppgift 3 a) Anta att halva toppvinkeln är α. Halva basen är 0 m och 0 sinα = 0, α 1,84, varvid toppvinkeln är α b) Anta att triangelns höjd är h. Då är cos 40h = 0 h 17 m. α = h 90 h = 90cosα 87,7. Arean är Uppgift 4 Vi behöver sammanlagt 10y+ 0x+ πx+ πx = 10 y+ (0 + 3 π ) x = (0 + 3 π ) 0 = π, alltså cirka 988 cm ribba. Uppgift a b+ c= 0 Punkterna ( 1, 0), (1, ) och (3,0) ligger på kurvan, dvs. a + b + c =. 9a+ 3b+ c= 0 Genom att ledvis subtrahera de två första ekvationerna får vi b = b = 1. Genom a+ c= 1 att substituera b = 1 får vi. Genom att ledvis subtrahera ekvationerna får vi 9a+ c= 3 1 8a = 4 a =. Alltså är c= b a = 3. Provet i matematik, kort lärokurs.9.013

3 Uppgift 6 Rullens yttre radie är R = 6, inre radie r =, radie är. ρ Den fulla rullens volym är t = 1π ( ) volym Vp = 1 π( ρ r ). Av volymen är hälften kvar då, och anta att den efterfrågade rullens V R r och den efterfrågade rullens 1 R + r 1 π( ρ r ) = π( R r ) ρ =. Den efterfrågade rullens diameter ärρ = R + r = 8,1 cm 9,1 cm. Uppgift 7 a) Bromssträckan uttryckt med hjälp av hastigheten v är s() v = kv, från vilket vi får konstanten k med ekvationen s(40) = k 40 = 11 k = Den efterfrågade bromssträckan är 11 s (80) = 80 m = 44,0 m b) Vi får hastigheten med ekvationen 1,3 = kv 1, v = km/h 6 km/h. 11 Uppgift 8 Vi antar att de vita bollarna är n och de röda bollarna p till antalet, varvid det totala antalet bollar är n+ p. Sannolikheten för att välja en röd boll är p = 0,4 p= p+ n p= n. p+ n 3 Uppgift 9 3 f( x) = x 3x 1x+, vilket ger f ( x) = 6x 6x 1. Vi får derivatans nollställen med ekvationen x x = 0 x= 1 x =, som båda tillhör intervallet [,4]. Eftersom f( ) = 1, f( 1) = 1, f () = 1 och f (4) = 37, är det största värdet 37 och det minsta värdet 1. Uppgift 10 Anta att den årliga tillväxtfaktorn är q och att omsättningen är L. Med ekvationen 0 0 q L= 10L får vi q = 10 q = ,1, dvs. den årliga ökningen har varit cirka 1, %. Provet i matematik, kort lärokurs.9.013

4 Uppgift 11 Utifrån tabellen vitsord antal summa 10 n 10n 9 n 18n 8 3n 4n summa 6n n är medelvärdet n 6n 8,7. Uppgift 1 19 a) Då a =19 är T = klg cm. Då a = 3 är T = 00 + klg cm. Då a = 40 är T = 17 + klg cm. a b) Ekvationen 17 + k lg = 33 ger 3 a a b lg = 0,88 =b = 10 a = 3 10 b 67,93. 3 k 3 Resultatet 17 cm ska man hoppa som 68-åring. Uppgift 13 Utifrån informationen i uppgiften får vi följande tabell antal/st. totalt värde/ total massa/g guldslantar k k 0k silverslantar h 0h 10h totalt k + h k + 0h 0k + 10h k + h 60 Begränsningsvillkoren är 0k + 10h 1000 k 0, h 0. Begränsningslinjerna h= 60 k och h= 100 k skär varandra då 60 k = 100 k k = 40, vilket ger h = 0. Hörnpunkterna är (0,0), (0,60), (40,0) och (0,0). Värdet av påsens innehåll är Akh (, ) = k + 0 h. Eftersom A (0,60) = 0 60 = 100, A (40,0) = = 1400 och A (0,0) = 0 = 10, lönar det sig att samla ihop 40 guld- och 0 silverslantar. Provet i matematik, kort lärokurs.9.013

5 Uppgift 14 a) Placeringens värde i euro är y= 1,03x+ 1,0(1000 x) = 0,0x , då 0 x b) Grafen utgör en del av en fallande linje i intervallet 0 x Uppgift 1 a) Eftersom a = = 9 och a + b = = 8. b) Eftersom a + b = i + 3 j är a b = i + j +4k är a + b + a b =8. b = 1+ 4= är a + b = 1+ 9 = 10. Eftersom a b = = 18. Alltså är Provet i matematik, kort lärokurs.9.013