MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Transkript

1 MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens inneåll oc poängsättningar som ges är är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning Censorerna beslutar om de kriterier som används i den slutgiltiga bedömningen Av en god prestation framgår det ur examinanden ar kommit fram till svaret I lösningen måste det ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar oc ett slutresultat I bedömningen fästs uppmärksamet vid eleten oc vid de tre stegen start, mellansteg oc slutresultat Räknefel som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng Räknefel oc fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng avsevärt I provet är räknaren ett jälpmedel, oc dess roll bedöms separat för varje uppgift Om symbolräknare använts i en uppgift ska det framgå av prestationen I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker det inte enbart med ett svar som erållits med jälp av räknaren utan övriga motiveringar Däremot räcker ett svar som examinanden fått med räknaren i allmänet i rutinberäkningar Detsamma gäller rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering oc integrering av funktioner Matematikprov, lång lärokurs 6

2 Preliminär poängsättning ( poäng/fall) Del A Verbal form A Värdet av uttrycket, är,,, B Volymen,5 m är lika med 5 l 5 l 5 l C Av talen 6, 7 oc 6 är det största D Det motsatta talet till a b är b a a b a b E Summan av rötterna till ekvationen 5 x x är F Priset på en produkt stiger först med % oc sjunker sedan med %, så det slutgiltiga priset är av det ursprungliga priset 99 % % % b) Del A B C D E F Alternativ nummer x x x x x x x x 6x x 6 Talens produkt är, dvs de är varandras inverterade tal c) Då båda leden är positiva kan oliketen kvadreras ledvis, oc vi får abab ab, vilket är sant eftersom ab > b) a ( ) b ( ) ( 7) 5 5 ab() ()(7) x dx / x x x Matematikprov, lång lärokurs 6

3 Nollställena är x oc x + b) Funktionen är strängt växande då x 5 c) x är ett minimiställe, eftersom derivatans tecken byts 5 P(vinst) pv Del B, vilket ger P(förlust) 6 6 Väntevärdet i euro är därmed 5 ( ) b) p oc p v Väntevärdet i euro är därmed ( ) p oc p 9 c) 8 v Väntevärdet i euro är därmed p ( ) Jordens radie R = 6 km Eftersom polcirkelns breddgrad är ca 66,5, är vinkeln mellan polcirkeln oc nordpolsriktningen 9 66,5,5 (Figur nedan) Polcirkelns radie är r Rsin ( 5, km) Längden av tunneln AB är r R sin = 59,7 km 59 km b) Längden av den kortare bågen AB längs polcirkeln är r Rsin 99,km 99 km Matematikprov, lång lärokurs 6

4 7 I figuren nedan är triangelns öjd 5 Den lilla cirkelns radie är r oc avståndet från medelpunkten till triangelns bas är a ( r) r Pytagoras sats ger: ( r) ( r), av vilket r r 5 8 Eftersom det i xy-planet gäller att z ar planets ekvation formen x ykz Eftersom planet går genom punkten (,,6), så satisfierar punktens koordinater planets ekvation, dvs 6k, vilket ger att k 7 6 Ekvationen är därmed x y 7 z dvs 6x y7z 8 6 b) På x-axeln är y z, dvs 6x 8 x På y-axeln är x z, dvs y 8 y På z-axeln är x y, dvs 7z 8 z 8 7 n n x n, där n,,, Iterering: x x,5 x 6, x,7 x5,78 Med räknaren,7596 Jämförelse: x,, vilket ger det relativa felet, % 9 Iterationsformeln för att beräkna talet är x x Matematikprov, lång lärokurs 6

5 9 Eftersom f () är f( ) f() differenskvoten g ( ) g( ) Eftersom g ( ) för varje, är lim g( ), vilket ger att f är deriverbar i punkten x oc f () Del B Eftersom alla potenser av talet 6 slutar på en sexa, så gör alla potenser av talet 6 det också Den sista siffran är därmed 6 6 b) Eftersom x 6, så är lg x 6lg6 666,859, av 666,859 vilket x, ,69, vilket ger att de två första siffrorna är 7 oc c) Eftersom lg x 666,859, ar talet = 6 66 siffror Radien av burkens bottendiameter är r oc öjden är Volymvillkoret ger att r, av vilket Mantelplåtens pris är /m oc bottenplåtens pris /m Plåtens totalpris är Hr () r r r r r r r, där r A( r) 8r 8r r 5 r 5 r r 5 Teckenscemat för derivatan H ( r) visar att det erållna värdet på r är ett minimiställe oc därmed också radien för den billigaste burken 5 5 Det efterfrågade förållandet är r r r r 5 r Matematikprov, lång lärokurs 6

6 Utgående från sinusfunktionens graf observerar vi att sintdt sintdt Därmed gäller Då är f ( ) f ( ) sintdt sin tdt b) Då t, är sint sint sintdt sintdt sintdt f( ) x x Här är sin sin / x tdt tdt ( cos t) cos xcos cos x x, då Då t, är sint sint Här är / / x x x sin tdt sin tdt ( sin tdt ) ( cos t) cost cos cos cos x cos cosx, då x cos x, x Svar: f( x) cos x, x Sidorna i tetraederns bottentriangel är a b, b c oc a c x b c Med beteckningar i figur : a b x a c Genom att subtraera ekvationerna ledvis: b x a b x a b x b a, av vilket x a b Då gäller b c x b b c a b ( a b )( b c ) b a b b c a c a b a b D a b a b b c a c Matematikprov, lång lärokurs 6

7 Eftersom areorna av trianglarna i axelplanen är A bc, B ac oc C ab A B C b c a c a b D ELLER: Om tetraederns topp är i origo, så är ekvationen för bottenplanet x y z T :, a b c, så är av vilket vi genom att multiplicera ledvis med uttrycket abc får ekvationen bcx acy abz abc Avståndet från origo till planet T = tetraederns öjd är abcabc abc bc ac ab bc ac ab Eftersom volymen av tetraedern är ab c 6abc, får vi abc ekvationen D 6abc bc ac ab, av vilket D bc ac ab Eftersom areorna av trianglarna i axelplanen är A bc, B ac oc C ab A B C b c a c a b D ELLER: Vi bildar de vektorer som förenar tetraederns örn XY u ai b j oc XZ vaick (Figur ), är i j k Då är uv a b bciacjabk a c Arean av triangeln XYZ är D u v b c a c a b Eftersom areorna av trianglarna i axelplanen är A bc, B ac oc C ab A B C b c a c a b D, är figur figur Matematikprov, lång lärokurs 6