TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "TATM79: Föreläsning 4 Funktioner"

Elin Marie Sundqvist
för 5 år sedan
Visningar:

1 TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett enligt sambandet = f(). Denna definition kan göras lite mer ordentlig med så kallade relationer på mängder, men vi överlämnar detta till senare kurser. Observera här att vi inte sagt något om att definitionen bara gäller reella tal. Eller ens tal överhuvudtaget! Det kunde lika gärna handla om apelsiner eller solar ute i rmden. För vår del (i denna kurs) kommer vi i princip bara att betrakta reellvärda funktioner (där R alltså), och oftast är även R (eller någon delmängd). Ett undantag är faktiskt polnomen p(z) som vi diskuterade ovan, där z C generellt sätt. Funktion och funktionsvärde Observera att det är f som är funktionen. Uttrcket f() är det värde funktionen antar i punkten D f. Det är alltså ganska slarvigt att skriva uttrck i stil med funktionen f(), men vi tillåter oss göra det ibland. Värdemängd Definition. En funktions värdemängd V f definieras som alla möjliga -värden vi kan få ur sambandet = f(), V f = = f() : D f }. Generellt sett kan värdemängden vara svår att bestämma för en generell funktion. Vissa verktg kommer att introduceras i envariabelanalsen, men för oss just nu är vi begränsade till ganska enkla funktioner. Till eempel vissa enkla polnom kan vi enkelt rita upp och se vad värdemängden blir. Låt f() = 4 + för 0. Bestäm V f och rita upp funktionen. Skissa upp funktionen kan vi till eempel göra med en klassisk värdetabell för att få en johan.thim@liu.se

2 uppfattning. Sen är det ett polnom så det beter sig ganska snällt f() = Det som är bra med en bild här är att vi direkt kan se att varje -värde större än eller lika med 4 kan träffas av (precis ett) -värde. Till eempel så blir = 5 precis då 5 = 4 +, dvs då =. Eftersom D f ges av villkoret 0 så är det bara = som passar. Svar. V f = [4, [. Figuren ovan brukar kallas grafen för funktionen f. Formellt så är grafen en mängd av punkter (, ) där = f() som beskriver hur definitionsmängd och värdemängd hänger ihop, men för vår del räcker det med att betrakta grafen som en ritad figur där vi ser hur och -värden hänger ihop. Låt f() = 3. Bestäm D f och V f. Borde inte D f vara angiven? Inte nödvändigtvis. Om inget står brukar vi anta att D f är största möjliga mängd där f är naturligt definierad. I detta fall är detta när kvadratroten är definierad. Hur reder vi ut när detta sker? Vi börjar med att analsera det som står i rottecknet. Det är ett polnom av grad två, så en vettig start är att kvadratkomplettera: 3 = 3 ( + ) = 3 (( + ) ) = 4 ( + ). Eftersom kvadratorten bara är definierad för icke-negativa argument så måste 4 (+) 0. Faktoriseringen och en teckentabell visar att 3 är nödvändigt. Så vilka -värden kan vi få ut? Vi försöker lösa ekvationen = f(): = 4 ( + ) = 4 ( + ) 0 ( + ) + = 4 0 Detta är inget annat än ekvationen för övre delen av en cirkel med radie och centrum i (, 0). Största möjliga värde är alltså (när = ) och minsta möjliga värde är 0 (när = 3 eller = ). En figur där det mesta vi precis räknat ut kan utläsas direkt (men man måste så klart få upp figuren på något sätt också).

3 = 4 ( + ) Svar. D f = [ 3, ] och V f = [0, ]. Vad händer om vi sätter ihop två funktioner? Sammansättning Definition. Sammansättning f g av två funktioner f och g definieras av sambandet (f g)() = f(g()) där detta uttrck har mening. f g g f g() f(g()) D g V g D f V f Observera här att för f g blir definitionsmängden D f g = D g : g() D f }. Det följer alltså att D f g D g, men i allmänhet gäller att V g D f. Var således försiktiga vid hanterandet av sammansättningar. Låt g() = och f() =. Jämför f g och g f. Ser vi på f och g separat så är D f = [0, [ och D g = R. Om vi betraktar f g så måste 0, eller ekvivalent,. Så, och (f g)() = f(g()) =, för, (g f)() = g(f()) = ( ) = för 0. Observera att vi får både olika sammansatta uttrck och olika definitionsmängder för f g och g f. Ordningen är alltså mcket viktig både för värdet och definitionsmängd för den sammansatta funktionen! 3

4 Monotonicitet Definition. En funktion kallas Monotonicitet (i) väande om medför att f( ) f( ); (ii) strängt väande om < medför att f( ) < f( ); (iii) avtagande om medför att f( ) f( ); (iv) strängt avtagande om < medför att f( ) > f( ); (v) monoton om f är väande eller avtagande; (vi) strängt monoton om f är strängt väande eller strängt avtagande. Avtagande eller icke-väande? I litteraturen är uttrcket avtagande/väande inte entdigt bestämt. I vissa fall (som vi definierat det) innebär till eempel avtagande att vi endast har, så en konstant funktion uppfller detta villkor. Verkar det vettigt att kalla en konstant funktion för både väande och avtagande? Det är en definitionsfråga. Ett vettigare uttrck är egentligen icke-väande. Var försiktig om ni läser andra böcker! Så hur visar man att något är, till eempel, strängt väande? I envariabelanalskursen kommer ni att lära er andra metoder, men i detta fall är vi tvungna att visa att olikheten i föregående definition är uppflld. Vi betraktar ett eempel. Visa att f() = 3 är strängt väande. Lösning. Vi undersöker f( ) f( ) och visar att detta uttrck är strikt större än noll om <. Vi ser att borde vara en faktor så vi försöker faktorisera: 3 3 = ( )( + + ) = ( )( + + ) = ( )(( /) + 3 /) ) > 0 t ( /) + 3 / > 0 och >. 4

5 3 Inverterbarhet Injektivitet Definition. En funktion f kallas injektiv (eller ett-till-ett) om det till varje D f finns precis ett V f så att = f(). Eller ekvivalent: f( ) f( ). Invers Definition. Om f är injektiv så har f en invers f så att = f() = f (). Hur hittar vi då inversen (om den finns)? Vi löser helt enkelt ut ur ekvationen = f(). Finn inversen, om den finns, till f() = 4 ( + ) för. Lösning. Vi försöker helt enkelt att lösa ut ur ekvationen = f(): = 4 ( + ) = 4 ( + ), 0 ( + ) + = 4, 0 = + 4 Eftersom vi bara får ett svar så finns inversen. Skulle vi erhålla något i stil med = ± så det finns flera möjligheter så finns det ingen invers (om inte någon möjlighet faller bort). Svar. f () = + 4. Grafiskt går det att representera inversen som speglingen av kurvan = f() i linjen =. = f() 4 3 = f ()

6 Låt f() = 4 + där D f = R. Undersök om f är injektiv. Lösning. Nej, f kan inte vara injektiv. Kvadraten är ett vanligt tecken på att en funktion inte är injektiv om D f innehåller viss smmetri kring nollan. Specifikt, till eempel f( ) = 4 + ( ) = 4 + () = f(). Alltså är f inte injektiv. Sats. En strängt monoton funktion är alltid inverterbar. Märk väl att satsen ovan endast är en implikation. En inverterbar funktion behöver inte vara strängt monoton. Ett enkelt eempel är funktionen n() = med D n = R : 0}. Figuren nedan visar utseendet Uppenbarligen gäller inte att om < med, D n så är n( ) > n( ) i fallet då < 0 och > 0. Men lokalt kring varje punkt D n gäller så klart att n är strängt avtagande. Problemet uppstår i punkteringen av definitionsmängden där funktionen tillåts hoppa ordentligt. Fusk? Kan vi hitta eempel på ett sammanhängande intervall? Ett sätt att konstruera ett sådant eempel är att skarva ihop två funktioner en väande och en avtagande så det uppstår ett hopp som separerar graferna. Ta till eempel följande funktion h med definitionsmängd D h = [ 5, 3]. 6

7 Det är tdligt att varje -värde i värdemängden motsvarar precis ett -värde i definitionsmängden, så funktionen är inverterbar. Däremot är den så klart varken strängt väande eller avtagande. Nu kanske man kan tcka att h ändå i princip är monoton eftersom den är det på olika delintervall, så den går att dela upp i två delar där h är endera strängt avtagande eller strängt väande. Skulle den slutsatsen gälla generellt? Går det alltid att dela upp i mindre intervall där funktionen är strängt väande eller avtagande? Svaret är nej. Betrakta till eempel följande roliga funktion:, Q, d() =, R \ Q. Funktionen d definieras alltså enligt d() = om är rationell och d() = om är irrationell. På intervallet ]0, [ är d uppenbarligen inverterbar t d () = d(), men det finns inget delintervall där d är väande eller avtagande. Att ge sig in på att rita upp funktionen blir dock problematiskt (varför?). När begreppet kontinuitet introduceras i envariabelanalsen får ni svaret på frågan om en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall kan vara inverterbar utan att vara strängt väande eller avtagande på definitionsintervallet. 4 Udda och jämna funktioner Udda och jämn funktion Definition. En funktion f är udda om f( ) = f() för alla. En funktion f är jämn om f( ) = f() för alla. (i) Funktionerna, 4 +, cos,..., är jämna. (ii) Funktionerna, 3, sin, /,..., är udda. Observera att en funktion f varken behöver vara udda eller jämn. De flesta funktioner är 7

8 varken eller. Till eempel f() = + +. Rita figur! Däremot går det alltid att dela upp en funktion i en summa av en udda och en jämn funktion: f() = f u () + f j (), där till eempel f u () = (f() f( )) och f j() = (f() + f( )). Ibland kan det vara mcket användbart att brta ned en funktion på detta sätt. Notera även att en jämn funktion inte kan vara injektiv om både och tillhör definitionsmängden för något 0. 8

Relevanta dokument

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck