LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Transkript

1 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGAR I FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

2 Detta material är en utskrift av delar av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet hör till en kurs som ges i samarbete mellan flera av landets högskolor och centret MATH.SE. Anmälan och tillgång till forum, eamination och personlig mentor Anmälan till kursen sker fortlöpande under året genom ett elektroniskt formulär på och man får då direkt ett användarnamn och lösenord som ger tillgång till diskussionsforum, support, uppföljning och prov. Du får också en personlig mentor som hjälper dig att lckas med dina studier. All eamination sker via Internet efter hand som du arbetar med kursens avsnitt. Rapportera trckfel till tek@kth.se. Det utgår en belöning på en trisslott i hittelön för varje trckfel som ingen rapporterat tidigare. Skicka därför gärna med din adress när du rapporterar trckfel.

3 Lösningar till övningar i förberedande kurs i matematik

4 Innehåll. Numerisk räkning. Olika tper av tal Bråkräkning Potenser Algebra. Algebraiska uttrck Linjära uttrck Andragradsuttrck Rötter och logaritmer 74. Rötter Rotekvationer Logaritmer Logaritmekvationer Trigonometri 0 4. Vinklar och cirklar Trigonometriska funktioner Trigonometriska samband Trigonometriska ekvationer Skriva matematik 6 5. Matematiska formler i LATEX Matematisk tet

5 . Olika tper av tal.: a) Eftersom det inte finns några parenteser eller multiplikationer/divisioner så finns det inget deluttrck som vi måste räkna ut först, utan vi kan påbörja beräkningen av hela uttrcket med tumregeln att arbeta från vänster till höger. Vi börjar alltså med de två termerna längst till vänster, Nästa steg är att vi lägger ihop de två termer som nu är längst till vänster, , och vi fortsätter sedan beta av uttrcket från vänster till höger, Till slut har vi ett enkelt uttrck som vi kan beräkna på en gång, 5 7. Det går också att skriva hela uttrcket som en summa av positiva och negativa tal, + ( 7) + ( 4) ( 5), och addera ihop termerna i valfri ordning, + ( 7) + ( 4) ( 5) + ( 7) + ( 4) ( 5) ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( ) 7. b) Närvaron av parenteser betder att vi ska räkna ut deluttrcken inom parenteserna först, (7 4) + (6 5) +. Sedan är det bara att lägga ihop termerna från vänster till höger,

6 c) Parenteserna talar om i vilken ordning uttrcket ska räknas ut och vi börjar med att räkna ut den innersta parentesen, (7 (4 + 6) 5) (7 0 5). Sedan räknar vi ut nästa parentes, (7 0 5) ( 8), och när vi tar bort parentesen i ( 8) får vi + 8, + 8. d) Precis som tidigare börjar vi med att räkna ut det innersta parentesuttrcket först, (7 (4 + 6) ) 5 (7 0 ) 5, och arbetar sedan successivt utåt, (7 0) 5 ( ) 5. Nu återstår bara att lägga ihop termerna från vänster till höger.: a) Uttrcket består av två parenteser, ( ) ( (7 4)) (6 5), som vi kan räkna ut var för sig och sedan multiplicera ihop resultatet. I det första parentesuttrcket räknar vi först ut den inre parentesen, ( (7 4) ) ( ), och får därför att det första parentesuttrcket blir 0. Hela uttrcket är alltså lika med 0 gånger (6 5), och eftersom 0 gånger någonting alltid ger 0 så blir svaret 0.

7 b) Först identifierar vi det innersta parentesuttrcket och beräknar detta, (( (7 4) + 6) 5) (( + 6) 5). I det uttrck som nu uppstår ringar vi in den innersta parentesen och beräknar den, ( ( + 6) 5) ( 9 5). Efter detta har vi bara en parentes kvar att räkna ut, (9 5) 4, vilket till slut ger ett uttrck utan parenteser som vi direkt kan räkna ut c) Hela uttrcket kan vi dela upp i två delar. ( 7) 4 (6 5), som vi kan räkna ut separat och sedan subtrahera från varandra. Det första deluttrcket är lika med medan det andra deluttrcket blir Sammantaget får vi ( 7), 4 (6 5) 4 4. ( 7) 4 (6 5) 4 5. d) Om vi försöker analsera hur uttrcket är uppbggt så består det i sin mest övergripande form av en differens mellan två deluttrck, ( 7) (4 + 6)/( 5), som kan räknas ut oberoende av varandra och sedan subtraheras. Går vi in på deluttrcken så består den första termen av en produkt och den andra av en division, ( 7) (4 + 6) / ( 5).

8 4 Vi kan därför eempelvis börja med att räkna ut täljaren (4 + 6) i det andra deluttrcket, ( 7) (4 + 6) /( 5) ( 7) 0 /( 5). Sedan kan vi hoppa över till det första deluttrcket och räkna ut multiplikationen, ( 7) 0/( 5) 0/( 5), och därefter återgå till divisionen i den andra termen, 0/( 5) ( ). Till slut har vi fått ett uttrck som kan beräknas direkt, ( ) + 9..: a) 8 är ett positivt heltal och därmed ett naturligt tal. Samtidigt är 8 också ett rationellt tal eftersom 8 8/ är en kvot mellan två heltal. b) 4 är ett negativt heltal och därför inte ett naturligt tal, men det är ett rationellt tal eftersom 4 ( 4)/ är en kvot mellan två heltal. c) är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift a). d) är ett heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift b.) e) 8 ( 4) är ett heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift b.) f) ( 8) ( 4) är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift a.).:4 a) 4/( 8) är inte ett heltal men däremot ett rationellt tal eftersom det går att skriva talet med hjälp av heltal på bråkform. b) ( 8)/( 4) är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. (Se motiveringen till deluppgift a i övning.:.)

9 5 c) d) är inte ett rationellt tal, dvs. går inte att skriva som en kvot mellan två heltal, och då går det inte heller att skriva / som en kvot mellan två heltal. Talet / är alltså ett irrationellt tal. ( 4 ) 4 ( ) 6 8 är ett naturligt tal, heltal och rationellt tal. e) π är som kanske bekant ett tal med oändligt många icke-periodiskt upprepande decimaler och går därför inte att skriva med hjälp av heltal på bråkform. Talet π, som har samma decimalutveckling som π, är alltså ett irrationellt tal. f) Addition mellan ett heltal och ett irrationellt tal ger alltid ett irrationellt tal eftersom summan har samma decimalutveckling som det irrationella talet. Talet π + är alltså irrationellt..:5 a) Det är lättare att se den inbördes ordningen mellan talen om vi skriver dem som decimaltal. Eftersom vi vet att 5 0, och 0,... så får vi att och Då ser vi att 5 5 0, 0,6, ,... 5 < 5 < < 7. +, b) Vi skriver talen i decimalform och sedan kan vi jämföra dem. Genom att använda att 0 0,, 5 0, och 0,... så har vi att 0,5, 5 0,, 0 0, och 0,... Håller vi bara i minnet att det är negativa tal så kan vi direkt se att c) Ganska enkelt ser vi att < < 0 < 5. 0,5, 0, och 5 5 0, 0,6. Det betder att < 5 <.

10 6 Eftersom det är svårare att direkt ta fram decimalutvecklingen av 5 8 så jämför vi istället 5 8 och 4 med, 5 och genom att skriva om bråken till gemensam nämnare. Vi börjar med att jämföra 8 5 med, 5 och. Vi har att och 5 8 och och Alltså är < 5 8, 5 < 5 8 och 5 8 <. Detta betder att < 5 < 5 8 <. När vi jämför 4 med, 5, 5 8 och fås och 4 och och Slutsatsen från detta är att < 4, 5 < 4 Svaret blir att < 5 < 4 < 5 8. < 5 < 4 < 5 8 <. och 4 < 5 8, dvs. och 4

11 7.:6 a) För att bestämma decimalutvecklingen av talet 7 6 använder vi den liggande stolen., Det var nödvändigt att ta med en etra decimal så att avrundningen blir korrekt. Svaret är,67. b) Decimalutvecklingen får vi med den liggande stolen., Eftersom decimalutvecklingen slutar efter två decimaler är alla resterande decimaler noll och svaret är,50. c) Återigen använder vi den liggande stolen när vi tar fram decimalutvecklingen. 0, I detta fall blir svaret 0,86.

12 8 d) I tetavsnittet ges med 4 korrekta decimaler,, , och från denna decimalutveckling ser vi att med tre korrekta decimaler är,44 eftersom den fjärde decimalsiffran är och avrundas därför nedåt..:7 a) Multiplicerar vi talet,4 med 00 så flttas decimalkommat två steg åt höger, dvs. 00,4 4, och delar vi båda led med 00 ser vi att, Detta visar att,4 kan skrivas som en kvot mellan två heltal och därmed att det är ett rationellt tal. b) Ett rationellt tal har alltid en decimalutveckling som från och med en viss decimal upprepar sig periodiskt. I vårt fall så upprepas sekvensen 46 i all oändlighet,, Med andra ord är talet rationellt. Nästa problem är att skriva om talet som ett bråktal och då utnttjar vi att multiplikation med 0 flttar decimalkommat ett steg åt höger. Om vi skriver så är därför, , , , , Notera att i 0000 har vi flttat decimalkommat tillräckligt många steg så att decimalutvecklingen av 0000 har kommit i fas med decimalutvecklingen av, dvs. de har samma decimalutveckling. Därför är , , (decimalerna tar ut varandra)

13 9 och eftersom 0000 (0000 ) 9999 så har vi alltså sambandet Löser vi ut ur detta samband får vi som en kvot mellan två heltal, 4 ( 047 ) c) Tittar vi närmare på talet så ser vi att sifferkombinationen 00 upprepas från och med den andra decimalen 0, och det avslöjar att talet är rationellt. Genom att multiplicera talet med 0 ett antal gånger kan vi skifta decimalkommat stegvis åt höger, 0, , , , , I denna lista ser vi att talen 0 och 0000 har samma decimalutveckling, och det betder att Alltså är , , (eakt) d) Visserligen finns ett repetitivt mönster i decimalutveckling, 0, , men för att det ska vara ett rationellt tal måste decimalutvecklingen efter en viss decimal bestå av en sifferkombination som oavbrutet upprepar sig. Någon sådan upprepning finns inte i decimalutvecklingen ovan (siffergruppen 0, 00, 000,... väer hela tiden i storlek). Talet är alltså inte rationellt.

14 0. Bråkräkning.: a) För att bråktalen ska kunna adderas ihop behöver de först skrivas om så att de får samma nämnare, och det gör vi genom att förlänga bråken. Multiplicera bråkens täljare och nämnare med det andra bråktalets nämnare, Nu kan täljarna adderas ihop, b) Subtraktion fungerar på samma sätt som addition. Först förlänger vi bråken så att de får en gemensam nämnare (förläng med det andra bråkets nämnare), Sedan kan täljarna subtraheras, c) Vi förlänger bråken så att de får en gemensam nämnare, och sedan kan täljarna subtraheras, , d) När vi har tre bråktal inblandade i en addition så behöver vi förlänga varje bråk så att alla tre termer får samma nämnare. Det enklaste är att förlänga varje bråk med produkten av de andra bråkens nämnare, När sedan alla tre bråk har gemensam nämnare kan de enkelt adderas ihop,

15 e) Det första steget är att förlänga bråken så att de får en gemensam nämnare, Därefter kan uttrcket räknas ut genom att addera och subtrahera täljarna, : a) Ett vanligt sätt att räkna ut uttrcket i uppgiften är att förlänga respektive bråk med det andra bråkets nämnare för att få en gemensam nämnare, , men detta ger en gemensam nämnare 60 som är större än vad den egentligen behöver vara. Om vi istället delar upp bråkens nämnare i så små heltalsfaktorer som möjligt, + 5, så ser vi att båda nämnarna innehåller faktorn och då är det onödigt att ta med den faktorn när vi förlänger Detta ger den minsta möjliga nämnaren (MGN) 0. b) Att bestämma minsta gemensamma nämnare till uttrcket går ut på att förlänga bråken med så lite som möjligt för att bråken ska få en gemensam nämnare. I detta fall behöver vi bara förlänga det första bråket med, Minsta gemensamma nämnare är alltså 8. c) Vi delar upp de båda nämnarna i så små heltalsfaktorer som möjligt, 6, 4 7. Uttrcket kan alltså skrivas som 7.

16 Här ser vi att nämnarna har faktorn gemensamt som vi därför kan utelämna vid förlängningen, och förlänga det första bråket med 7 och det andra med så att de får den na minsta möjliga nämnaren 7, 4 7 Minsta gemensamma nämnare är d) Delar vi upp nämnaren i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan uttrcket skrivas som , , , och då ser vi att nämnarna har 5 som gemensam faktor. Förlänger vi därför det första bråket med 5 och det andra bråket med så får resultatet minsta tänkbara nämnare, Minsta gemensamma nämnare är 5..: a) Nämnarna i uttrcket har talet 0 som gemensam faktor, , och därför räcker det med att förlänga bråken med de övriga faktorerna i nämnarna för att få en gemensam nämnare, Minsta gemensamma nämnare (MGN) är alltså 00, och uttrcket blir lika med

17 b) Dividerar vi successivt nämnarna med så ser vi att 4, 40 5, 6, dvs. att de har faktorn 8 gemensamt, , och då behöver vi inte ta med 8 som faktor när vi förlänger bråken utan vi får en minsta gemensam nämnare genom att förlänga med de övriga faktorerna, och 5, MGN är 40 och svaret blir :4 a) Vi beräknar dubbelbråket genom att förlänga med nämnaren inverterad, Uttrcket kan nu förenklas tterligare genom att den gemensamma faktorn 5 förkortas bort, b) Förläng dubbelbråket med nämnaren inverterad, I högerledet har inte täljaren och nämnaren någon gemensam faktor så svaret blir Anm. Man kan också lära sig en snabbformel för dubbelbråk som säger att när uttrcket skrivs om med bara ett bråkstreck så bter nämnarna i delbråken plats,

18 4 c) Metod Om vi först räknar ut täljaren i huvudbråket så får vi Dubbelbråket i högerledet blir, efter förlängning med 0, , och sedan förkortar vi bort den gemensamma faktorn 0, Metod Ett annat sätt att beräkna uttrcket är att dela upp det i två separata termer, Båda dubbelbråken i högerledet förenklar vi genom att förlänga med 0, Istället för att multiplicera ihop 4 resp. 5 så behåller vi nämnarna faktoriserade och ser att om vi förlänger det första bråket med 5 och det andra bråket med 4 så får de gemensam nämnare, Eftersom 0 5 och 4 så kan vi förkorta bort de gemensamma faktorerna och 5, och få svaret

19 5.:5 a) Vi börjar med att räkna ut nämnaren i huvudbråket, Notera att vi behåller 7 5 som det är och multiplicerar inte ihop det till 05 eftersom detta underlättar förkortningsarbetet senare. Bråket i högerledet beräknar vi genom att förlänga med (7 5)/8, Delar vi nu upp 8 och 5 i så små heltalsfaktorer som möjligt, 8 och 5 5, så ser vi att svaret på förenklad form blir b) Metod En lösning är att beräkna täljaren och nämnaren i huvudbråket var för sig, , Hela uttrcket reduceras då till ett dubbelbråk som vi räknar ut genom att förlänga, Metod Ett annat sätt att lösa uppgiften är att förlänga huvudbråket med 6 så att nämnarna i delbråken och kan förkortas bort i ett steg, + ( + 6 ) ( 6 )

20 6 c) Metod Vi beräknar täljaren och nämnaren först, Uttrcket blir därför , , och eftersom 6 och 0 5 så är det förkortade svaret Metod så ser vi att näm- Om vi betraktar de enskilda bråktalen 0, 5, 7 8 och 6 narna kan faktoriseras som 0 5, 8 och 6, och därmed är 5 80 bråktalens minsta gemensamma nämnare. Förlänger vi därför huvudbråket med 80 så kommer alla nämnare kunna förkortas bort i ett svep, ( 0 ) 80 5 ( 7 8 ) :6 När man arbetar med stora uttrck är det ofta bra att gå fram stegvis. Ett första steg på vägen kan vara att förenkla deluttrcken +, 4 och 7.

21 7 Det kan vi göra genom att förlänga med, 4 respektive 7 för att få bort delbråken, + ( + ) , 4 7 ( 4 ) 7 ( ) , Hela uttrcket är därför lika med Förlänger vi huvudbråket med den minsta gemensamma nämnaren 7 till bråken 4 7, och, så får vi heltal i täljaren och nämnaren, 4 ( 4 ) ( ) (4 6 7) (6 ) 7 Genom att faktorisera, 5 och 8, så kan svaret förkortas till , 5 5, 8 9,

22 8. Potenser.: a) Vi beräknar först och, Alltså är , 9. b) Innan vi sätter igång och räknar kan det vara bra att se över uttrcket och först undersöka om det kan förenklas med potenslagarna för att reducera räknearbetet något. Eftersom 9 så är 9 ( ) ( ) 4, och därför är c) Här kan vi direkt använda definitionen, ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 ( 5) 5. d) Genom att använda potenslagarna kan vi omforma uttrcket, ( ) och sedan utföra uträkningen, 7 8.,.: a) Varje faktor i uttrcket kan vi skriva som en potens av,, 4, 8 4, vilket ger att b) Eftersom 0,5 4 och 4 så är 0,5 4. c) Svaret är att 0 (se kursmaterialet).

23 9.: a) Direkt ser vi att. b) Om vi delar 4 successivt med :or så ser vi att c) Talet 9 kan skrivas som 9 och därför är 9 ( ) 4. d) Eftersom 7 9 så är 7. e) Talet 9 kan skrivas som 9 och därför är nämnaren i uttrcket lika med 9 ( ) 4. Hela kvoten blir :4 a) Eftersom basen är densamma i båda faktorerna kan eponenterna kombineras enligt potenslagarna, Alternativt kan potensuttrcken utvecklas helt och sedan förkortas, 9 7 b) Talen 9 och 7 kan båda skrivas som potenser av, 9, Därmed kan alla faktorer i uttrcket skrivas med en gemensam bas och hela produkten kan förenklas med potenslagarna, 9 7 ( ) ( ) ( ) ( )

24 0 c) Hela uttrcket består av faktorer med bas 5 så potenslagarna kan användas för att först förenkla uttrcket, (5 ) ( 6) ( 4) d) Deluttrcket ska tolkas som att är upphöjt till, och eftersom 8 så är 8. För att räkna ut nästa deluttrck, ( ) 4, kan det vara bra att ta ett steg i taget, ( ) 4 ( ) 4 (( ) ) 4 ( ) Alltså är ( ) e) Eftersom så har de två termerna innanför parentesen 5 8 som gemensam faktor och som kan brtas ut utanför parentesen, ( ) ( ) ( 58 ( + 5) ) (5 8 6) 5 8 ( ) Vidare är och vi får att 65 ( ) :5 a) Talet 4 kan skrivas som 4 och då får vi med potenslagarna att 4 / ( ) / /. Anm. Ett annat beteckningssätt för 4 / är 4 (roten ur 4); mer om detta i avsnittet om rötter senare i kursen.

25 b) Om vi utnttjar att 4 så ger potenslagarna att 4 / ( ) / ( /). c) Vi kan skriva 9 och därefter ger potenslagarna att 9 / ( ) / / 7. d) Med potenslagarna kan uttrcket först förenklas innan det räknas ut, (47 / ) 47 (/) e) Var för sig är,4 och 0,6 svåra att räkna ut men ihopmultiplicerade ger potenslagarna att,4 0,6,4+0,6 9. f) Hela uttrcket är ganska komplicerat så det kan vara bra att först förenkla deluttrcken (5 / ) och (7 / ), (5 / ) 5 (/) 5 /, (7 / ) 7 (/) ( ) 7 /. Sedan kan baserna 5, 7 och 9 skrivas om som Med hjälp av potenslagarna blir , 7 9, 9. (5 / ) (7 / ) 9 / 5 / 7 / 9 / (5 ) / ( ) / ( ) / 5 / ( /) / :6 a) Ett potensuttrck som har en positiv eponent blir större ju större basen är. Därför är 56 / > 00 / eftersom 56 > 00 och eponenten är positiv.

26 b) När ett potensuttrck har en negativ eponent, då minskar uttrckets värde när basen väer. Alltså är 0,4 > 0,5. Ett annat sätt att se på saken är att skriva om de två potenserna som 0,5 0,5 och 0,4 0,4, och eftersom 0,5 > 0,4 (se a-uppgiften) så följer att dvs. 0,4 > 0,5. 0,4 > 0,5, c) Om basen i ett potensuttrck är mellan 0 och då blir uttrcket mindre när eponenten väer. Detta medför att 0, 5 > 0, 7. d) Ett sätt att jämföra de två talen är att skriva om potensen (5 / ) 4 så att den får samma eponent som 400 /, (5 / ) 4 5 (/) (/) (5 4 ) / ( ) / 65 /. Nu ser vi att (5 / ) 4 > 400 / eftersom 65 > 400 och eponenten är positiv. e) Både 5 och 65 kan skrivas som potenser av 5, och det betder att , , 5 / (5 ) / 5 / 5 /, 65 / (5 4 ) / 5 4 / 5 4/. Från detta ser vi att 5 / > 65 / i och med att eponenten och basen 5 är större än. än 4 är större f) Eponenterna 40 och 56 kan vi faktorisera, , , och då ser vi att de har 8 som gemensam faktor. Denna faktor kan vi brta ut i en ttre eponent, ( 5 ) 8 ( ) 8 4 8, ( 7 ) 8 ( ) Detta visar att är större än

27 . Algebraiska uttrck.: a) Med den distributiva lagen kan vi multiplicera in faktorn in i parentesen ( ). Varje term i ( ) multipliceras då med, ( ). b) När faktorn multipliceras in i parentesuttrcket + ger den distributiva lagen att alla termer, och multipliceras med, ( + ) + +. c) Faktorn kan skrivas som ( ) och båda faktorerna multipliceras in i parentesen, (4 ) ( ) (4 ) ( ) 4 ( ) 4 +. d) Efter att multipliceras in i parentesen kan vi förkorta bort faktorer som förekommer både i täljaren och nämnaren, ( + ) där vi gjort förkortningarna + +, +,. e) Använder vi kvadreringsregeln (a b) a ab + b med a och b 7 så ser vi direkt att ( 7)

28 4 Ett alternativ är att skriva kvadraten som ( 7) ( 7) och sedan multiplicera ihop parenteserna i två steg, ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 7 7 ( 7 7 7) 7 (7 49) (7 + 7) I ledet som markerats med en har vi tagit bort parentesen och bter samtidigt tecken på alla termer inuti parentesen. f) Kvadreringsregeln (a + b) a + ab + b med a 5 och b 4 ger att (5 + 4) (4) g) Uttrcket i uppgiften är i formen (a b) där a och b. Med hjälp av kvadreringsregeln (a b) a ab + b har vi att ( ) ( ) + ( ) h) Vi utvecklar kvadraten med kvadreringsregeln (a + b) a + ab + b där a 5 och b 5, (5 + 5 ) (5 ) ( 5 ) Anm. På sista raden har vi flttat om termerna så att den term med högst gradtal 9 0 kommer först och sedan kommer termerna i fallande grad.

29 5.: a) Multiplicera först ihop parenteserna. I den första produkten multipliceras varje term ur den första parentesen med varje term ur den andra parentesen, ( 4)( 5) ( ) ( 5) ( ) (6 9) Samla sedan ihop -, - och konstanttermerna och förenkla, ( 6 ) + ( ) b) Den första parentesprodukten utvecklar vi genom att multiplicera varje term ur den första parentesen med varje term ur den andra parentesen, ( 5)( + 5) När det gäller det andra parentesuttrcket så kan vi använda konjugatregeln (a b)(a + b) a b, där a och b 5, ( 5)( + 5) ( (5) ) (4 5 ) 75. Sammantaget får vi att ( 5)( + 5) ( 5)( + 5) ( ) ( 75 ) c) Svaret får vi genom att använda kvadreringsregeln (a + b) a + ab + b på kvadraten och utveckla den andra parentesprodukten, ( + 4) ( )( 8) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

30 d) De tre parenteserna kan multipliceras ihop i vilken ordning som helst, men just i detta fall verkar det lämpligt att börja multiplicera ihop de två första parenteserna eftersom vi kan utföra multiplikationen direkt med konjugatregeln, ( + )( )( ) ( ( ) ) ( ) (9 4 4)( ). Nu råkar vi få ett uttrck som också kan multipliceras ihop med konjugatregeln, (9 4 4)( ) (9 4 ) Anm. Hade vi istället multiplicerat ihop det andra och tredje parentesuttrcket först skulle detta också ha givit rätt svar men uträkningarna skulle ha blivit längre. e) Vi utvecklar de två kvadraterna med kvadreringsreglerna och adderar sedan ihop resultatet, (a + b) + (a b) (a + ab + b ) + (a ab + b ) a + ab + b + a ab + b a + a + ab ab + b + b a + b..: a) Tittar vi på uttrcket så ser vi att det kan skrivas som 6 och därför faktoriseras med konjugatregeln, 6 6 ( + 6)( 6). Eftersom faktorerna + 6 och 6 är linjära uttrck kan de inte faktoriseras tterligare (i polnomfaktorer). b) Om vi brter ut faktorn 5 så ser vi sedan att uttrcket kan faktoriseras med konjugatregeln, 5 0 5( 4) 5( ) 5( + )( ). c) Uttrcket kan skrivas om som + + och då ser vi att det kan faktoriseras med kvadreringsregeln + a + a ( + a) till ( + ).

31 7 d) Genom att uttrcket skrivs som så ger sedan kvadreringsregeln a + a ( a) att ( 5). e) Båda termerna innehåller som därför kan brtas ut (och samtidigt brter vi ut faktorn ), 8 9 (9 ). Den resterande andragradsfaktorn, 9, kan sedan faktoriseras med konjugatregeln, (9 ) ( ) ( + )( ), vilket också kan skrivas som ( + )( ). f) Ser vi 4 som ett samlat deluttrck så kan vi skriva (4) och eftersom + + ( + ) så är (4) (4 + )..:4 a) Först multiplicerar vi in från den första parentesen in i den andra parentesen, ( + )( + 5) + 5 +, och sedan multipliceras :an in, ( + )( + 5) Samla nu ihop -, -, - och konstanttermerna, + ( + 6) + (5 ) Koefficienten framför är 5 och koefficienten framför är. b) När uttrcket ( )( ) utvecklas så multipliceras varje term ur den första parentesen ihop med varje term ur den andra parentesen, dvs. ( )( ) + ( ) ( ) ( ) ( )

32 8 Om vi bara vill ha reda på koefficienten framför så behöver vi inte utföra den fullständiga utvecklingen av uttrcket utan det räcker att hitta de kombinationer av en term från den första parentesen och en term från den andra parentesen som ihopmultiplicerade ger en -term. I detta fall har vi två sådana par: multiplicerat med och multiplicerat med, ( )( ), så -termerna är ( ) + och koefficienten framför är +. Koefficienten framför får vi genom att hitta de kombinationer av en term från vardera parentes som ger en -term, och dessa är ( )( ). Därmed är -termerna lika med + ( ) + och koefficienten framför är +. c) Istället för att multiplicera ihop hela uttrcket och därefter läsa av koefficienterna så undersöker vi vilka termer ur de tre parenteserna som tillsammans ger - och -termer. Om vi börjar med -termen så finns det bara en kombination av en term från varje parentesuttrck som ihopmultiplicerade ger ett, ( + 5 )( )( 7 4 ) + +, så koefficienten framför är. När det gäller har vi också bara en möjlig kombination, ( + 5 )( )( 7 4 ) + +. Koefficienten framför är 6..:5 a) Precis som när vi räknar med bråktal kan vi subtrahera termernas täljare om vi först förlänger bråken så att de har samma nämnare. Eftersom nämnarna är ( ) och så är ( ) minsta gemensam-

33 9 ma nämnare, ( ) +. Detta bråk kan förenklas genom att förkorta bort den gemensamma faktorn från täljaren och nämnaren, b) Nämnarna kan vi faktorisera som ( ). ( ), 4 ( )( + ), (enligt konjugatregeln), och då ser vi att termernas minsta gemensamma nämnare är ( )( + ) eftersom det är den produkt med minst antal faktorer som innehåller både ( ) och ( )( + ). Vi förlänger nu bråken så att de får samma nämnare och sätter igång med att förenkla, 4 ( ) + + ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + ) + ( )( + ) ( )( + ). Täljaren kan skrivas om till ( ) och vi kan förkorta bort den gemensamma faktorn, ( )( + ) ( ) ( )( + ) ( + ) ( + ).

34 0 c) Bråkuttrcket kan förenklas tterligare om det går att faktorisera och förkorta bort gemensamma faktorer från täljaren och nämnaren. Nu är både täljaren och nämnaren till viss del redan faktoriserade men vi kan gå vidare med täljaren och brta upp den i linjära faktorer med konjugatregeln, Hela bråket är därför lika med ( 4) ( + )( ), ( + )( ). ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( + ) ( )( ). Anm. Det går givetvis också bra att utveckla uttrcket och svara med d) I bråkuttrcket finns möjligheten att täljaren och nämnaren innehåller gemensamma faktorer som kan förkortas bort och därför försöker vi faktorisera alla uttrck så långt som möjligt. Faktorn kan skrivas som + + och det öppnar för att använda kvadreringsregeln, ( + ). Faktorn 4 är redan ett förstagradsuttrck och kan därför inte delas upp tterligare, så när som på att en faktor kan brtas ut, 4 ( ). Med konjugatregeln kan 4 faktoriseras till 4 ( + )( ). Däremot kan inte + 4 skrivas som en produkt av förstagradsfaktorer. Om det nämligen gick att skriva + 4 ( a)( b), där a och b är några tal, så skulle a och b vara nollställen till + 4 men eftersom + 4 är en summa av en kvadrat, som inte kan ha ett negativt värde, och talet 4 är + 4 alltid större än eller lika med 4 oavsett hur väljs. Därför kan inte + 4 delas upp i förstagradsfaktorer. Alltså är ( )( 4) ( + 4)( 4) ( + ) ( ) ( + 4) ( + ) ( ) ( + ) + 4..:6 a) Innan vi försöker bearbeta hela uttrcket koncentrerar vi oss på att förenkla de två faktorerna var för sig genom att skriva om dem med gemensam

35 nämnare, + ( )( ) ( ) + ( + ) + ( ), ( ). { ( )} + ( ) ( ) + Sedan multiplicerar vi ihop faktorerna och förenklar genom att förkorta, ( )( ) ( ) ( ). b) Minsta gemensamma nämnare för de tre termerna är ( )( + ) och vi förlänger varje term så att alla termer får samma nämnare, Samla nu ihop termerna i täljaren, + + ( )( + ) ( )( + ) ( + ) + ( ) ( )( + ) ( )( + ) + + ( + 6) ( )( + ) ( )( + ) + ( + ) + ( 6 + 4) + ( )( + ) + ( )( + ). Anm. Genom att vi behåller nämnaren faktoriserad genom hela uträkningen kan vi på slutet direkt se att svaret inte kan förkortas. c) Eftersom nämnarna är a ab a(a b) och a b så får båda termerna en gemensam nämnare a(a b) om den andra termen förlängs med a, a + b a ab a b a + b a(a b) a b a a a + b a a(a b) b a(a b).

36 d) Vi förenklar först täljaren och nämnaren i huvudbråket genom att skriva på gemensamt bråkstreck, a b + Hela bråket är därför b a + b a + b (a b) a + b + b a + b (a b)(a + b) + b a + b a b + b a + b a a + b, ( a b ) (a b) a + b (a + b) (a + b) (a b) (a + b) (a + b) (a + b) (a b) (a + b) a + ab + b (a ab + b ) (a + b) 4ab (a + b). b a b + a + b ( a b ) a + b a a + b 4ab (a + b) a a + b (a + b) 4ab a(a + b). 4b.:7 a) Förlänger vi bråken med + 5 respektive + så får de samma nämnare och vi kan beräkna uttrcket genom att subtrahera täljarna, ( + 5) ( + ) ( + )( + 5) ( + )( + 5) 4 ( + )( + 5).

37 b) Nämnarna och saknar gemensamma faktorer så minsta gemensamma nämnare är ( ). Vi förlänger alla tre termer så att de får samma nämnare och påbörjar sedan förenklingsarbetet, + + ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) ( ) ( ) c) Den första termen förlänger vi med a + för att få gemensam nämnare, a a + a + a + a a(a + ) a (a + ) (a + ). Eftersom båda termerna i täljaren innehåller faktorn a brter vi ut den faktorn, a(a + ) (a + ), och ser då att svaret inte kan förkortas tterligare. Anm. Det är bara faktorer i täljaren och nämnaren som kan förkortas bort mot varandra och inte deluttrck. Därför är följande förkortning felaktig, a (a + ) a (a + ) a a a +. (Fel!).:8 a) Uttrck som består av flera bråkstreck får vi ner till ett bråkstreck genom att sstematiskt förlänga bort alla delbråk. I vårt uttrck förlänger vi huvudbråket med + (för att få bort + från täljaren), ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ). b) Huvudbråket består av täljaren, som vi direkt kan förenkla något,, och nämnaren /( ). Om vi ska skriva om bråket som ett uttrck med ett bråkstreck så behöver vi förlänga hela bråket med ( ) och sedan förkorta bort och, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

38 4 c) När vi stöter på stora och komplicerade uttrck behöver vi arbeta stegvis, och som ett första delmål kan vi ha att förlänga bråket + + med + för att reducera detta bråk till ett uttrck med ett gemensamt bråkstreck, ( ) ( + ) Nästa steg är att vi förlänger vårt na uttrck med + för att få det slutliga svaret, ( + + ) ( + ) ( + )

39 5. Linjära uttrck.: a) Om vi adderar till båda led i ekvationen, ( ) + +, så får vi ensamt i vänsterledet eftersom ( ) + + ( + ) och kan direkt avläsa lösningen till +. b) För att få ensamt i vänsterledet subtraherar vi från båda led, ( + ), vilket ger att vänsterledet blir ( + ) + ( ) och ekvationen blir Dividera sedan båda led med, för att få fram att 6.., c) Eftersom finns både i vänster- och högerledet är första steget att vi subtraherar från båda led, ( ), för då blir vänsterledet ( ) ( ) och vi samlar i högerledet, Multiplicera sedan båda led med,. ( ), så kan förkortas bort i högerledet och vi får att.

40 6 d) Fltta till vänsterledet genom att subtrahera båda led med, (5 + 7) ( 6), vilket ger att högerledet blir ( 6) ( ) 6 6 och ekvationen blir Subtrahera nu 7 från båda led, ( + 7) 7 6 7, så att termen blir ensamt kvar i vänsterledet, Dividera sedan bort faktorn, för att få ut att..,.: a) Om vi delar upp nämnarna som förekommer i ekvationen i små heltalsfaktorer, 6, 9 och, så ser vi att minsta gemensamma nämnare är 8. Vi multiplicerar därför båda led i ekvationen med för att slippa ha nämnare i ekvationen, ( + ). Vänsterledet kan vi skriva om till 5 ( + ) 5 4 4, så vi har ekvationen 4 9 och kan lösa denna förstagradsekvation genom att utföra enkla räkneoperationer för att få ensamt i ena ledet. Addera 4 till båda led, ( 4) ,.

41 7 Dela båda led med,. Ekvationen har alltså lösningen. När vi nu fått fram ett svar så är det viktigt att vi går tillbaka till den ursprungliga ekvationen och kontrollerar att verkligen är rätt svar (att vi inte av misstag råkat räkna fel), VL HL. b) Först multiplicerar vi båda led i ekvationen med så att vi får bort nämnarna från ekvationen, (8 + ) 7 (5 7) 56. Vänsterledet kan vi förenkla till 4 (8 + ) 7 (5 7) Alltså är ekvationen Vi löser denna ekvation genom att subtrahera 6 från båda led, och sedan dela med, Svaret är 5. ( + 6) , 5, 5, 5. Som sista del i lösningen kontrollerar vi svaret genom att sätta in 5 i ursprungsekvationen, VL ( ) ( ) HL.

42 8 c) Vänsterledet i ekvationen kan vi förenkla genom att utveckla kvadraterna med kvadreringsreglerna, ( + ) ( 5) ( + + ) ( ) Ekvationen är alltså Fltta nu över alla i vänsterledet (subtrahera 6 från båda led) och konstanterna till högerledet (addera 6 till båda led) , 0 0. Dividera båda led med 0 för att få svaret, 0 0. Vi kontrollerar slutligen att uppfller ekvationen i uppgiftsteten, VL ( + ) ( 5) 5 ( ) 5 9 6, HL d) Vi flttar först över alla termer i vänsterledet, ( ) + 4 ( + + ) 0. Som ekvationen nu står verkar det bästa angreppssättet att lösa ekvationen vara att utveckla kvadraterna, förenkla och se vad det leder till. När kvadraterna utvecklas så multipliceras varje term inuti kvadraten med sig själv och alla andra termer, ( ) ( )( ) , ( + + ) ( + + )( + + )

43 9 Vänsterledet blir, efter att vi samlar ihop termer av samma grad, ( ) + 4 ( + + ) ( ) + 4 ( ) ( ) + (8 8 ) + (8 6 ) + (8 ) + ( 9) 4 8. Efter alla förenklingar blir alltså ekvationen: Vi kontrollerar till sist att är rätt lösning genom att stoppa in i ekvationen, VL ( ( ) + 4 ( ) + ) + ( ) 4 ( ) (4 8 + ) ( ) , HL ( ( ) + ( ) + ) ( ) : a) Vi förlänger termerna i vänsterledet så att de får gemensam nämnare, Nu kan täljarna subtraheras, ( + )( ) ( + 5)( ) ( )( ) 0. Utveckla parenteserna i täljaren, + 6 ( + 5 5) ( )( ) 0, och förenkla, + 9 ( )( ) 0. Vänsterledet blir noll bara när dess täljare blir noll (samtidigt som nämnaren inte är noll) vilket ger oss att ekvationens lösningar ges av lösningarna till + 9 0,

44 40 dvs. 9. En kontroll där vi sätter in 9 i den ursprungliga ekvationen visar att vi har räknat rätt, VL HL. b) Först flttar vi över alla termer till vänsterledet, Sedan förlänger vi de tre termerna så att de får gemensam nämnare, ( )(4 7) 4 7 ( )(4 7) 0, och kan skriva om vänsterledet som 4( ) (4 7) ( )(4 7) ( )(4 7) 0. Täljaren utvecklas, 8 (4 7) (8 4 + ) ( )(4 7) 0, och förenklas, 0 4 ( )(4 7) 0. Denna ekvation är uppflld när täljaren är noll (samtidigt som nämnaren inte är noll) och detta inträffar när vilket ger att , Det är lätt hänt att man råkar räkna fel och därför kontrollerar vi att svaret 7 5 uppfller ekvationen, VL {förläng med 5} ( 5) HL.

45 4 c) Låt oss börja med att skriva den första faktorn i vänsterledet med gemensam nämnare, ( )( + ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( )( + ) ( )( + ). Om vi också skriver ( ) så kan ekvationen omformas till ( )( + )( + ) 6 ( ). Eftersom inte kan vara en lösning till ekvationen så kan faktorn strkas i båda leds nämnare (dvs. egentligen multipliceras båda led med som sedan förkortas bort), + ( + ) 6. Därefter multipliceras båda led med och + så att vi får en ekvation utan nämnare, 6 ( + ) (6 )( + ). Utveckla båda led De två -termerna tar ut varandra och vi får förstagradsekvationen 5, som har lösningen 4 5. Vi kontrollerar att vi har räknat rätt genom att stoppa in 4 5 ursprungliga ekvationen i den ( VL ( 5 5 ) HL ) ( (( 4 ) ) ) ( ) , 5 (4 5) 5 ( 5) 9 9.

46 4 d) Det finns inte någon gemensam faktor i vänsterledet som vi direkt kan brta ut så därför väljer vi att utveckla de tre deluttrcken i vänsterledet, ( )( 4 + ) ( + 4) + 4, ( ) () ( ) , ( + )( ) {konjugatregeln} () 4 9. Sammanställer vi uträkningarna får vi att vänsterledet blir ( + 4 ) ( ) ( 9 4 ) ( 4 ) ( ( ) ) , och eftersom, 9 och 4 så kan hela ekvationen skrivas som 0. Brter vi ut gemensamma faktorer fås ( ) 0

47 4 och då ser vi att ekvationen har lösningen. Till sist stoppar vi in i ursprungsekvationen för att kontrollera att vi har räknat rätt ( VL )( + ) ( ( 4 ) ) ( ) ( )( ) + (4 ) ( + ( ) HL. + )( ).:4 a) Vi flttar helt enkelt över -termen i vänsterledet, +. b) Genom att lösa ut 4 från sambandet får vi och därefter ger division med 4 svaret på den önskade formen, :5 a) Låt oss skriva den räta linjens ekvation som k + m, där k och m är konstanter som vi ska bestämma. Eftersom punkterna (, ) och (, 0) ska ligga på linjen måste de också uppflla linjens ekvation, k + m och 0 k + m. Tar vi differensen mellan ekvationerna försvinner m och vi kan räkna ut riktningskoefficienten k, 0 k + m (k + m), k. Detta insatt i ekvationen 0 k + m ger oss sedan ett värde på m, m k ( ) 9. Linjens ekvation är alltså + 9.

48 44 (, ) (, 0) Den räta linjen + 9 går genom punkterna (, ) och (, 0). Anm. För att vara helt säker på att vi räknat rätt kontrollerar vi att punkterna (, ) och (, 0) uppfller linjens ekvation. (, ) (, ): VL och HL + 9. (, ) (, 0): VL 0 och HL b) Eftersom den räta linjen ska ha riktningskoefficient så kan dess ekvation skrivas som + m, där m är en konstant. Om linjen dessutom ska passera genom punkten (, ) (, ) så måste den punkten uppflla linjens ekvation, + m, och detta ger att m. Svaret är alltså att linjens ekvation är +. (, ) Den räta linjen + har riktningskoefficient och går genom punkten (, ). c) Två räta linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient. Från linjen + kan vi avläsa att den har riktningskoefficienten (koefficienten framför ) och därför har vår sökta linje en ekvation på formen + m,

49 45 där m är någon konstant. Villkoret att linjen också ska innehålla punkten (, ) betder att punkten ska uppflla linjens ekvation, ( ) + m, vilket ger att m 5. Alltså är linjens ekvation + 5. (, ) Den räta linjen + 5 (heldragen) är parallell med den räta linjen + (streckad) och går genom punkten (, ). d) Om två (icke-lodräta) linjer är vinkelräta mot varandra så är det samma sak som att deras riktningskoefficienter k respektive k uppfller sambandet k k, och från detta samband får vi att den sökta linjen måste ha riktningskoefficient som är k k, i och med att linjen + 5 har riktningskoefficient k (koefficienten framför ). Vår sökta linjes ekvation kan alltså skrivas i formen + m, med m som en obekant konstant. Eftersom punkten (, 4) ska ligga på linjen så måste (, 4) uppflla linjens ekvation, 4 + m, dvs. m 5. Linjens ekvation är + 5.

50 46 (, 4) Linjen + 5 (heldragen) är vinkelrät mot linjen + 5 (streckad) och går genom punkten (, 4). e) Linjen ska gå genom punkterna (5, 0) och (0, 8) som därför måste uppflla linjens ekvation k + m, dvs. 0 k 5 + m och 8 k 0 + m. Från den andra ekvationen får vi att m 8 och detta insatt i den första ekvationen ger att 0 5k 8 k 8 5. Linjens riktningskoefficient är 8 5. (5, 0) (0, 8) Den linje som går genom punkterna (0, 8) och (5, 0) har ekvationen och riktningskoefficient 8 5..:6 a) Skärningspunkten mellan två linjer är definitionsmässigt den punkt som ligger på båda linjerna, och måste därför uppflla båda linjernas ekvationer. Om skärningspunkten har koordinaterna (, ) då gäller att { + 5, 0,

51 47 där 0 är -aelns ekvation. Sätter vi in 0 i den första ekvationen så får vi 0 + 5, dvs. 5. Skärningspunkten är ( 5, 0). ( 5, 0) Skärningspunkten mellan linjen + 5 och -aeln är ( 5, 0). b) Eftersom skärningspunkten ligger på båda linjerna så uppfller den också båda linjers ekvationer, + 5 och 0, där 0 är -aelns ekvation. Den andra ekvationen 0 insatt i den första ekvationen ger att Det betder att skärningspunkten är (0, 5). (0, 5) Skärningspunkten mellan linjen + 5 och - aeln är (0, 5). c) Vi får fram skärningspunkten som den punkt som uppfller båda linjers ekvationer, och 0.

52 48 Med 0 insatt i fås att Detta ger att skärningspunkten är ( 0, 6 5). (0, 6 5 ) Skärningspunkten mellan linjen och - aeln är (0, 6 5 ). d) I den punkt där linjerna skär varandra har vi en punkt som ligger på båda linjerna och som därför måste uppflla båda linjers ekvationer, och. Lösningen till detta ekvationssstem får vi genom att sätta in i den första ekvationen, + + 0, vilket ger oss skärningspunkten (, ). (, ) Skärningspunkten mellan linjerna och (lodrät) är (, ).

53 49 e) Linjerna har en skärningspunkt i den punkt som samtidigt uppfller båda linjers ekvationer, + 0 och 0. Om vi löser ut från den andra ekvationen, +, och stoppar in i den första ekvationen får vi en ekvation som bara innehåller, + ( + ) , vilket ger att 4. Sedan får vi från sambandet + att ( 4) +. Skärningspunkten är ( 4, ). ( 4, ) Skärningspunkten mellan linjerna + 0 och 0 är ( 4, ). Vi kontrollerar för säkerhets skull att ( 4, ) verkligen uppfller båda ekvationerna. + 0: VL ( 4) HL. 0: VL ( 4) HL..:7 a) Grafen till den linjära funktionen är en rät linje som har riktningskoefficient lika med (koefficienten framför ) och skär -aeln i. Grafen till funktionen f ().

54 50 b) Funktionen har en graf som är en rät linje. Denna räta linje har riktningskoefficient (koefficienten framför ) och skär -aeln i. Grafen till funktionen f (). c) I detta fall är grafen helt enkelt den horisontella linjen. Grafen till funktionen f ()..:8 a) Om vi ritar upp gränsfallet då likhet gäller så får vi den räta linjen, och mängden består därför av alla punkter ovanför denna linje, där - koordinaten är större än -koordinaten. Det färgade området utgörs av punkter som uppfller.

55 5 b) En punkt vars koordinater uppfller < 4 har en -koordinat som är mindre än vad den punkt har som befinner sig på linjen 4 och har samma -koordinat. Det betder att området som vi ska skissera består av alla punkter under linjen 4. Punkterna som uppfller olikheten < 4 bildar det färgade området. De punkter som ligger på den streckade linjen tillhör inte området. Linjen 4 kan vi rita upp genom att välja två -värden, t.e. 0 och, beräkna med linjens ekvation motsvarande -koordinater, respektive 4, och sedan dra en rät linje genom de två punkter vi fått. c) Genom att fltta över -termen i högerledet och dela med kan olikheten skrivas som, och då ser vi att området som vi ska rita upp består av alla punkter under den räta linjen. Punkterna som uppfller olikheten + 6 bildar det färgade området.

56 5.:9 a) Vi kan börja med att rita upp punkterna (, 4), (, ) och (, 0) i ett koordinatsstem, och dra linjestcken mellan dem, så att vi får en bild av hur triangeln ser ut. (, 4) (, ) (, 0) Om vi nu tänker oss att vi ska använda oss av att arean av en triangel ges av formeln area (basen) (höjden), så är det mest lämpliga att vi väljer kanten från (, 0) till (, 4) som bas för triangeln. Då är nämligen basen parallell med -aeln och vi kan avläsa dess längd som skillnaden i -koordinat mellan hörnpunkterna (, 0) och (, 4), dvs. basen Dessutom blir höjden i triangeln det horisontella avståndet från den tredje hörnpunkten (, ) till basen och det kan vi avläsa som skillnaden i -led mellan (, ) och linjen, dvs. höjden. bas höjd Triangelns area är alltså area (basen) (höjden) 4 4 a.e.

57 5 b) Ett första steg är att vi ritar upp linjerna så att vi får en överblick av hur triangeln ser ut. 4 0 Hörnpunkterna i triangeln är skärningspunkterna mellan linjerna och de får vi fram mer eakt genom att välja linjernas ekvationer parvis och lösa de ekvationssstem som uppstår, {, 4, {, 0, och { 4, 0. Det första ekvationssstemet har lösningen (, ) (8, 4), det andra sstemet har lösningen (, ) (4, ) och det tredje (, ) (, 4). (, 4) (8, 4) (4, ) Återgår vi till arean av triangeln så ges den av formeln area (basen) (höjden), och vi är helt fria att välja vilken kant i triangeln som ska vara bas. Eftersom en av kanterna är parallell med -aeln verkar det bäst att välja den som bas, för då kan vi enkelt läsa av längden av basen och höjden som koordinatskillnader mellan hörnpunkterna. bas höjd

58 54 Basen ges som det horisontella avståndet mellan (, 4) och (8, 4), basen 8 5, och höjden får vi på samma sätt som skillnaden i -led mellan basen 4 och hörnpunkten (4, ), basen 4. Triangelns area är area (basen) (höjden) 5 5 a.e. c) Först ritar vi upp områdena som de enskilda olikheterna definierar. Området + Området Området Triangeln är definierad som de punkter som uppfller alla olikheter, vilket

59 55 är den region som de tre färgade områdena har gemensamt. Innan vi börjar fundera över hur vi ska beräkna arean av triangeln bestämmer vi hörnpunkterna till triangeln. Skriver vi upp kantlinjernas ekvationer två och två, () { +,, () { +, +, () {, +, så får vi ekvationssstem som bestämmer skärningspunkterna mellan respektive par av linjer och dessa skärningspunkter svarar mot triangelns hörn. (): Det första sstemet kan vi lösa genom att summera de två ekvationerna Då får vi att 0 och sedan från ekvationen + att. (): På samma sätt summerar vi ekvationerna i det andra ekvationssstemet, vilket ger att 0 och då är. 0 (): Det sista ekvationssstemet är lite knepigare att lösa men om vi ur den första ekvationen löser ut,, och stoppar in i den andra ekvationen får vi + ( ) 4. Motsvarande värde på är.

60 56 Triangelns hörnpunkter är alltså (0, ), (, 0) och (, ). (, ) (, 0) (0, ) Problemet som vi ställs inför när vi ska räkna ut arean av triangeln med formeln area (basen) (höjden) är att det inte finns någon naturlig bas för triangeln i och med att ingen av kanterna är parallell med någon av koordinatalarna. Vad vi däremot kan göra är att dela upp triangeln längs -aeln och få två deltrianglar där vi kan använda -aeln som bas. A A Denna uppdelning skapar en n hörnpunkt för trianglarna (markerad med A i figuren ovan) och den kan vi bestämma som skärningspunkten mellan linjen och -aeln, {, 0, vilket ger att den na hörnpunkten är (0, ). Vi har nu all information som

61 57 behövs för att räkna ut bas, höjd och area av de två deltrianglarna. höjd bas bas höjd bas ( ) höjd 0 ( ) area bas ( ) höjd 0 area Till sist återstår bara att summera ihop delareorna och få hela triangelns area, area + 6.

62 58. Andragradsuttrck.: a) Om vi betraktar kvadreringsregeln, ( a) a + a, och flttar över a till vänsterledet så får vi formeln ( a) a a. Med hjälp av denna formel kan vi skriva om (kvadratkomplettera) ett blandat uttrck a till ett kvadratiskt uttrck ( a) a. Uttrcket svarar mot a i formeln ovan och därför är ( ). b) I kvadratkompletteringen är bara de två första termerna + inblandade. Den allmänna formeln för kvadratkomplettering säger att + a är lika med ( + a ) ( a ). Notera hur koefficienten a framför dker upp halverad på två platser. Använder vi denna formel så får vi att + ( + ) ( ) ( + ), och subtraherar vi den sista :an så fås att + ( + ) ( + ). För att vara helt säker på att vi har använt rätt formel kan vi utveckla kvadraten i högerledet, ( + ) + + +, och se att sambandet verkligen stämmer. c) Som vid all kvadratkomplettering så koncentrerar vi oss på de kvadratiska och linjära termerna,, som vi också kan skriva som ( ). Bortser vi från minustecknet så kan uttrcket kvadratkompletteras med formeln ( a a ) ( a ), och vi får att ( ) ( ) ( ).

63 59 Detta betder att ( ) 5 ( ( ) ) 5 ( ) + ( ) + 6. En kontroll visar också att vi kvadratkompletterat rätt, ( ) + 6 ( + ) d) Vi applicerar standardformeln för kvadratkomplettering, ( + a + a ) ( a ), på vårt uttrck och det ger att Hela uttrcket blir + 5 ( + 5 ) ( 5 ) ( + 5 ) ( + 5 ) ( + ) ( + ) ( + ) 5 4. En kontroll visar om vi räknat rätt, ( ) ( ) : a) Vi löser andragradsekvationen genom att kombinera ihop - och -termen via en kvadratkomplettering till ett kvadratiskt uttrck och löser sedan den ekvation som uppstår med rotutdragning. Med en kvadratkomplettering blir vänsterledet 4 + ( ) + ( ), där den understrukna delen är själva kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som ( ) 0, som vi löser genom att fltta över :an i högerledet och använder rotutdragning. Detta ger oss lösningarna

64 60, dvs. +,, dvs.. Eftersom det är lätt att räkna fel kontrollerar vi svaret genom att sätta in respektive i den ursprungliga ekvationen, : VL HL, : VL HL. b) Huvudsteget när vi löser andragradsekvationen är att kvadratkomplettera vänsterledet, + 5 ( + ) 5 ( + ) 6. Ekvationen kan nu skrivas som ( + ) 6, och har, efter rotutdragning, lösningarna + 6 4, vilket ger + 4, + 6 4, vilket ger 4 5. En kontroll visar också att 5 och uppfller ekvationen 5: VL ( 5) + ( 5) HL, : VL HL. c) Vi börjar med att kvadratkomplettera vänsterledet, ( + ) ( ) + 4 ( + ) ( + ) Ekvationen är alltså ( + ) Den första termen ( + ) är alltid större än eller lika med 0 eftersom det är en kvadrat, och den andra termen 7 4 är ett positivt tal. Det betder att vänsterledet kan inte, oavsett hur väljs, vara mindre än 7 4 och därmed inte lika med noll. Ekvationen saknar lösning. d) Ekvationen kan skrivas i normalform (dvs. koefficienten framför är ) genom att dela båda led med 4,

65 6 Kvadratkomplettera nu vänsterledet, Ekvationen kan därför skrivas som ( 7 ) ( 7 ) + 4 ( 7 ) ( 7 ) 6 4 ( 7 ) 9. ( 7 ) 9, och rotutdragning ger att lösningarna är 7 9, dvs. 7 +, 7 9, dvs. 7. Som en etra kontroll sätter vi in och i ekvationen. : VL 4 ( ) HL, : VL 4 ( ) HL. e) Skriv ekvationen i normalform genom att dela båda led med 5, Kvadratkomplettera vänsterledet, ( + ) ( 5 ) 5 5 Ekvationen är nu omskriven som ( + 5) ( 5 ) 5 ( + 5) ( + 5) 6 5. ( + 5 ) 6 5, och rotutdragning ger att lösningarna är , eftersom ( 4 5 ) 6 5, vilket ger att ,

66 , vilket ger att Slutligen kontrollerar vi svaret genom att sätta in och 5 i ekvationen. : VL 5 ( ) + ( ) 5 0 HL, 5 : VL 5 ( ) ( ) HL. f) Vi delar båda led med och kvadratkompletterar vänsterledet, ( 5 ) ( 5 ) + 8 ( 5 ) ( 5 ) 9. Ekvationen blir då ( 5 ) 9 och rotutdragning ger att lösningarna är 5 9, dvs , 5 9, dvs Kontroll: 4 : VL ( 4 ) HL, : VL HL..: a) Vänsterledet i ekvationen består av två faktorer och +. Det finns bara en möjlighet att deras produkt är noll och det är om någon av eller + är noll. Ekvationen har alltså lösningarna 0 och. b) Ekvationens vänsterled blir noll endast när någon av faktorerna eller + 5 är noll, dvs. lösningarna till ekvationen är och 5. c) För att ekvationen ska vara uppflld måste någon av faktorerna eller + 8 i vänsterledet vara noll och detta ger oss att lösningarna är och 8. d) Eftersom båda termerna ( + ) och ( 9) innehåller faktorn kan vi brta ut från vänsterledet och samla ihop det resterande uttrcket, ( + ) ( 9) ( ( + ) ( 9) ) ( + + 9) ( + ).

67 6 Alltså är ekvationen ( + ) 0, och vi får direkt att ekvationen är uppflld endast om antingen eller + är noll. Lösningarna till ekvationen är därför 0 och. Här kan det vara värt att kontrollera att är en lösning (fallet 0 är uppenbart), VL ( + ) ( 9) HL. e) I detta fall ser vi att vänsterledet innehåller faktorn + som vi kan brta ut och få ( + )( ) ( + )( 9) ( + ) ( ( ) ( 9) ) ( + )( + 9) ( + )( + 8). Denna omskrivning av ekvationen resulterar i den na ekvationen ( + )( + 8) 0, som har lösningarna och 8. Vi kontrollerar lösningen 8 genom att stoppa in den i ekvationen, VL (8 + ) (8 ) (8 + ) ( 8 9) HL. f) Den första termen ( ) i vänsterledet kan vi dela upp i faktorer genom att brta ut ur parentesen, ( ) ( ), och den andra termen kan vi skriva som ( ) ( ). Från detta ser vi att båda termerna innehåller ( ) som gemensamma faktorer och brter vi ut de faktorerna blir vänsterledet ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Hela ekvationen kan alltså skrivas som ( )( ). ( )( ) 0, och denna ekvation är uppflld endast när en av de tre faktorerna, eller är noll, dvs. lösningarna till ekvationen är 0, och. Eftersom det inte är helt uppenbart att är en lösning till ekvationen kontrollerar vi att uppfller ekvationen (att vi inte råkat räkna fel), VL ( ) + ( ) ( ) + 0 HL.

68 64.:4 a) En första tanke kanske är att skriva upp ekvationen som + a + b 0 och sedan försöka välja konstanterna a och b på något sätt så att och blir lösningar. Men ett bättre sätt är att vi utgår från en faktoriserad form på andragradsekvationen, ( + )( ) 0. Om vi betraktar denna ekvation så ser vi att både och är lösningar till ekvationen i och med att gör att den första faktorn i vänsterledet är noll medan gör att den andra faktorn är noll. Det är också verkligen en andragradsekvation eftersom om vi multiplicerar ut vänsterledet så får vi att 0. Ett svar är alltså ekvationen ( + )( ) 0, eller om man vill, 0. Anm. Det finns egentligen många svar på denna uppgift men vad alla andragradsekvationer som har och som rötter har gemensamt är att de kan skrivas i formen där a är en nollskild konstant. a a a 0, b) En förstagradsekvation som har + som rot är ( + ) 0, som vi också kan skriva som 0. På samma sätt har vi att ( ) 0, dvs. + 0, är en förstagradsekvation som har som rot. Om vi multiplicerar ihop dessa två förstagradsekvationer så får vi en andragradsekvation med just + och som rötter, ( )( + ) 0. Den första faktorn blir noll när + och den andra faktorn blir noll när. Inget hindrar oss egentligen från att svara med ( )( + ) 0 men om vi vill ge ekvationen i standardform så behöver vi utveckla vänsterledet, ( )( + ) ( ) + ( + ) + ( + ),

69 65 och får ekvationen 0. Anm. Precis som i a-uppgiften kan vi multiplicera ekvationen med en nollskild konstant a, a a a 0, och fortfarande ha en andragradsekvation med samma rötter. c) Ekvationen ( )( ) 0 är en andragradsekvation som har och som rötter; när är den första faktorn noll och när är den andra faktorn noll. Om vi utvecklar ekvationens vänsterled, ( )( ) + får vi ekvationen i standardform, ( + ) +, ( + ) + 0. Anm. Det allmänna svaret är a ( + )a + a 0, där a 0 är en konstant..:5 a) I denna uppgift kan vi utnttja tekniken att skriva ekvationer faktoriserade. Betrakta i vårt fall ekvationen ( + 7)( + 7) 0. Denna ekvation har bara 7 som rot eftersom båda faktorerna blir noll endast när 7. Dessutom är det en andragradsekvation, som vi tdligt ser om vänsterledet utvecklas, ( + 7) Ett svar är alltså ekvationen Anm. Alla andragradsekvationer som bara har 7 som rot kan skrivas a + 4a + 49a 0, där a är en nollskild konstant. b) Istället för att lite planlöst prova med några -värden så kan vi undersöka andragradsuttrcket bättre om vi kvadratkompletterar, ( 7 + ) 4 (( 7 ) ( 7 ) ) + 4 (( 7 ) ) 4 4 (( 7 ) ) 4 4 ( 7 ).

70 66 I det kvadratkompletterade uttrcket ser vi att om t.e. 7 uttrcket negativt och lika med. så är hela Anm. Alla -värden mellan och 4 ger ett negativt värde på uttrcket. c) Om ska vara en rot till ekvationen så ska ekvationen vara uppflld om vi stoppar in i den, dvs b 5 + b ska vara lika med noll och detta ger direkt att b 5..:6 a) Polnomet känner vi igen med kvadreringsregeln som + ( ). Detta kvadratuttrck är som minst lika med noll när 0, dvs.. Alla nollskilda värden på ger ett positivt värde på ( ). Anm. Ritar vi upp kurvan ( ) så ser vi att den har ett minimivärde 0 i. Grafen till f () ( ). b) Med kvadratkomplettering kan andragradspolnomet skrivas om som en kvadrat plus en konstant, och då går det relativt enkelt att avläsa uttrckets minsta värde, 4 + ( ) + ( ). Eftersom ( ) är en kvadrat är denna term alltid större än eller lika med 0 och hela uttrcket blir därför som minst lika med när kvadraten är noll då 0, dvs.. c) Om vi kvadratkompletterar uttrcket har vi att ( 5 ) ( 5 ) + 7 ( 5 ) ( 5 ) + 4, och eftersom ( 5 ) är en kvadrat är denna term som minst lika med 0 när 5. Detta visar att polnomets minsta värde är 4.

71 67.:7 a) I polnomet är bara den andra termen beroende av och på grund av minustecknet framför den termen blir hela uttrcket som störst när kvadraten är som minst. Den kvadratiska termen är som minst när 0. Därför är polnomets största värde lika med 0. b) Vi skriver om uttrcket med kvadratkomplettering, + 4 ( + 4) (( ) ( ) ) + 4 (( ) ) 4 (( ) ) ( ) 7 4. Nu ser vi att den första termen ( ) är en kvadrat med ett minustecken framför, så den termen är alltid mindre än eller lika med noll. Detta betder att polnomets största värde är 7 4 och det inträffar när 0, dvs.. c) Om vi kvadratkompletterar, + + ( + ) ( ) + ( + ) + 4, så ser vi i högerledet att vi kan få uttrcket att bli hur stort som helst bara genom att vi väljer + tillräckligt stor. Det finns alltså inget största värde..:8 a) Kurvan är en parabel med minimipunkt i origo enligt figuren nere till vänster, och jämfört med denna kurva är + samma kurva men där talet adderats till varje punkts -koordinat, dvs. parabeln är förskjuten en enhet uppåt i -led. Grafen till f (). Grafen till f () +. b) Som utgångspunkt kan vi ta kurvan + som är en parabel med minimipunkt i (0, ) och finns skisserad nere till vänster. Jämfört med den

72 68 kurvan är ( ) + samma kurva men där vi genomgående måste välja en enhet större för att få samma -värde. Kurvan ( ) + är alltså förskjuten en enhet åt höger jämfört med +. Grafen till f () +. Grafen till f () ( ) +. c) Med en kvadratkomplettering kan vi skriva om funktionen som f () 6 + ( ) + ( ) +, och när funktionen är skriven på detta sätt går det att se att grafen ( ) + är samma kurva som parabeln men förskjuten enheter uppåt och enheter åt höger (se deluppgift a och b). Grafen till f (). Grafen till f () ( ) +..:9 a) En punkt ligger på -aeln om den har -koordinat 0 och därför söker vi alla punkter på kurvan med 0, dvs. alla punkter som uppfller ekvationen 0. Denna ekvation har lösningarna ±, vilket betder att skärningspunkterna är (, 0) och (, 0).

73 69 (, 0) (, 0) Parabeln skär -aeln i punkterna (, 0) och (, 0). b) Skärningspunkterna är de punkter på kurvan som också ligger på -aeln, dvs. de är de punkter som både uppfller kurvans ekvation och -aelns ekvation 0, { 5 + 6, 0. Detta ekvationssstem ger direkt att 0 och att måste uppflla andragradsekvationen Med kvadratkomplettering får vi att vänsterledet är ( 5 ) ( 5 ) + 6 ( 5 ) ( 5 ) 4, och det ger att ekvationen har lösningarna 5 ±, dvs. 5 4 och Skärningspunkterna är därför (, 0) och (, 0). (, 0) (, 0) Parabeln skär -aeln i punkterna (, 0) och (, 0). c) För att bestämma alla punkter på kurvan + 9 som också ligger på -aeln sätter vi in -aelns ekvation 0 i kurvans ekvation

74 70 och får att måste uppflla Efter division med och kvadratkomplettering blir högerledet 4 + ( ) + ( ), och ekvationen har därför lösningarna ±, dvs. och +. Skärningspunkterna är (, 0) och (, 0). (, 0) (, 0) Parabeln + 9 skär -aeln i punkterna (, 0) och (, 0)..:0 a) Var för sig definierar olikheterna och området ovanför parabeln respektive under linjen. Området Området De punkter som uppfller båda olikheterna blir området ovanför parabeln men under linjen. Området och.

75 7 b) Olikheten definierar området under och på kurvan, som är en parabel med maimipunkt i (0, ). Den andra olikheten kan vi skriva om som + och det definierar området under och på den räta linjen +. Området. Området. Av figurerna ovan verkar det som att parabelområdet ligger helt under linjen + och det betder att det är området under parabeln som uppfller båda olikheterna. Området och. Anm. Om man känner sig osäker på om parabeln verkligen ligger under linjen (att det inte bara råkar se ut så) så kan vi undersöka om -värden på linjen linje + alltid är större än motsvarande -värden på parabeln parabel genom att studera differensen mellan dem linje parabel + ( ). Om denna differens är positiv oavsett hur väljs då vet vi att linjens -värde alltid är större än parabelns -värde. Efter lite förenkling och kvadratkomplettering har vi att linje parabel + ( ) + + ( + 4) ( 4 ) + ( + 4) + 7 6,

76 7 och detta uttrck är alltid positivt eftersom 7 6 är ett positivt tal och ( + 4) är en kvadrat som aldrig är negativ. Med andra ord är parabeln helt under linjen. c) Uttrcket betder att vi har ett område som definieras av de två olikheterna och. Den första olikheten ger oss området till vänster om linjen. Hade den andra olikheten istället varit så skulle vi ha ett område ovanför parabeln men i vårt fall är och i ombtta roller så olikheten definierar samma tp av parabelområde men där - och -aeln btt plats. Området. Området. Tillsammans definierar olikheterna området som begränsas till vänster av parabeln och till höger av linjen. Området. d) Vi kan skriva om dubbelolikheten som och. Dessa två olikheter definierar dels området ovanför parabeln, dels

77 7 området under linjen. Området. Området. Området som olikheterna definierar tillsammans blir regionen i första kvadranten som begränsas nerifrån av parabeln och uppifrån av linjen. Området.

78 74. Rötter.: a) är ett annat beteckningssätt för /. b) Uttrcket 7 5 kan skrivas som (7 5 ) / och sedan ger potenslagarna att detta är lika med 7 5 (/) 7 5/. c) betder / och då är ( ) 4 ( / ) 4 (/) 4 4/. d) Eftersom är / så är / ( / ) / (/) (/) /4..: a) Ett sätt att förenkla uttrcket är att skriva det i potensform och sedan arbeta med potenslagarna, ( ) / (/). b) Det som står under rottecknet är lika med ( ) 9 och eftersom 9 så är ( ) 9 9 / ( ) / (/). Anm. Uträkningen ( ) ( ( ) ) / ( ) (/) ( ) är felaktig vid det markerade likhetstecknet. Kom ihåg att potenslagarna gäller när basen är positiv. c) Uttrcket betder ( ) 9 (och inte ( ) ) så vi har alltså att 9. Rotuttrcket 9 är inte definierat eftersom det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig självt ger 9. d) Det mest lämpliga är ofta att göra sig av med rottecknen och skriva allt i potensform och sedan utnttja potenslagarna, / 5 / 5 5 /+/+ 5 /6. e) Om vi först tittar på 8 så kan detta rotuttrck förenklas genom att vi skriver 8 som en produkt av så små heltalsfaktorer som möjligt, 8 9, och sedan kan vi brta ut kvadrater ur rottecknet med regeln a b a b, 8.

79 75 På samma sätt skriver vi 8 4 och får att 8. Tillsammans får vi 8 8 ( ). f) Tredjeroten ur ett tal är samma sak som talet upphöjt till, dvs. a a /. Om vi därför skriver talet som en produkt av så små heltalsfaktorer som möjligt, 8 4, så ser vi att 8 ( ) / (/). Anm. Tredjeroten ur kan alltså ses som att den upphäver operationen att upphöja något till, dvs. 5 5, 6 6 osv. g) Eftersom 5 kan skrivas som 5 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) definieras 5 som 5 5. Anm. Till skillnad från 5 (kvadratroten ur 5) som inte är definierad är 5 definierad. Det finns nämligen inget tal som uppfller 5, men däremot ett tal som uppfller 5. Anm. Det går att skriva uträkningen i lösningen som 5 ( 5) ( 5) 5, men man måste vara försiktig när man räknar med negativa tal och bråktalseponenter. Ibland är uttrcken inte definierade och de vanliga potenslagarna gäller inte alltid. Titta t.e. på uträkningen 5 ( 5) / ( 5) /6 ( ( 5) ) /6 565 /6 5. (Fel!).: a) Först utvecklar vi uttrcket, ( 5 )( 5 + ) Eftersom 5 och är definierade som de tal som multiplicerade med sig själva ger 5 respektive så är Anm. Utvecklingen av ( 5 )( 5 + ) kan också göras direkt med konjugatregeln (a b)(a + b) a b, där a 5 och b.

80 76 b) Vid förenkling av rotuttrck är en vanlig teknik att dela upp talen under rottecknen i så små heltalsfaktorer som möjligt och sedan brta ut kvadrater och se om gemensamma faktorer tar ut varandra eller kan kombineras ihop på ett ntt sätt. Genom att successivt dela med och ser vi att , 8 9. Därför är 96 5, 8, och hela kvoten kan skrivas som Anm. Om det är svårt att arbeta med rottecken går det att istället skriva i potensform, 96 8 (96)/ (8) (5 ) / ( ) / 5 (/) / / (/) 5/ / / / 4 4. (I sista ledet förlänger vi med.) c) Vi börjar med att titta på deluttrcket 6. Denna rot kan förenklas i och med att , vilket ger att och hela uttrcket blir Kan 0 förenklas? För att få svar på detta delar vi upp 0 i heltalsfaktorer, , och ser att talet 0 innehåller kvadraten som faktor och som därför kan brtas ut utanför rottecknet,

81 77 d) Vi kan multiplicera in i parentesen och sedan skriva ihop rotuttrcken under ett gemensamt rottecken med regeln a b ab, ( ) Eftersom ( 6)/ och ( )/ så blir ( 6 )..:4 a) Decimaltalet 0,6 kan också skrivas som 6 0 och då kan vi enklare se att, eftersom och 0 (0 ) 0,, så är 0, , 4 0, 0,4. Ett alternativ är förstås att vi direkt ser att 0,6 0,4 0,4 0,4 och då att 0,6 0,4 0,4. b) Genom att skriva 0,07 som 7 0 där 7 och 0 (0 ) 0, så ser vi att 0, , 0, 0,, där vi använt att a (a ) / a (/) a a. c) Varje term i uttrcket kan förenklas genom att vi faktoriserar talet under rottecknet så långt som möjligt, , , 8 9, ( 4) ( 5) ( ) ( 5) 4 5, och sedan brter ut kvadrater ur rottecknen, , 0 5 5, 8, ( ) Sammantaget får vi att (5 9) + (8 8) 5 4.

82 78 d) Vi börjar med att faktorisera talen under rottecknen, , 6,, Nu kan vi brta ut kvadrater ur rötterna, 48 4 ( ) 4,,, , och sedan förenkla hela uttrcket ( )..:5 a) Om vi förlänger bråket med så kommer den na nämnaren att bli lika med och vi blir av med rottecknet i nämnaren, 6 6. Detta uttrck kan förenklas tterligare om vi skriver 6 och brter ut ur roten. Vi får att 6 6. b) För att eliminera roten 7 7 / från nämnaren kan vi förlänga bråket med 7 /. Då blir nämnaren 7 / 7 / 7 /+/ 7 7, och vi får att 7 7 / / 7/ / / c) Tricket är att utnttja konjugatregeln, (a + b)(a b) a b, och förlänga bråket med 7 (notera minustecknet) för då kommer den na nämnaren bli ( + 7 )( 7 ) ( 7 ) 9 7 (konjugatregeln med a och b 7 ), dvs. rottecknet kvadreras bort. Hela uträkningen blir ( 7 ) ( 7 ) 7 7.

83 79 d) Vi kan bli av med båda kvadratrötterna i nämnaren om vi förlänger bråket med det konjugerade uttrcket 7 + och använder konjugatregeln (a b)(a + b) a b med a 7 och b. Båda rötterna kvadreras då bort och vi får ( 7 ) ( ) Detta uttrck kan inte förenklas tterligare eftersom varken 7 eller innehåller några kvadrater som faktorer..:6 a) Vi använder standardmetoden och förlänger bråket med nämnarens konjugatuttrck, 5 +. Då ger konjugatregeln att ( + )( 5 + ) ( 5 ) b) Rottecknet i nämnaren ligger inbakad i ett kvadratiskt uttrck och därför utvecklar vi först kvadraten ( ) med kvadreringsregeln, ( ) ( ) Alltså är ( ) ,

84 80 och i detta uttrck kan vi få bort rottecknet från nämnaren genom att förlänga med konjugatet 5 + 4, (4 ) ( ) c) Uttrcket är så pass komplicerat att vi först behöver förenkla delar av uttrcket. Vi börjar med de tre delbråken /, / 5 och / som innehåller rottecken i nämnarna och förlänger så att rötterna hamnar i täljarna, Förläng sedan huvudbråket med så att vi slipper bråktal i nämnaren, ( ) ( ) 5. Nu kan vi förlänga med konjugatet + till nämnaren, och få ett uttrck utan rötter i nämnaren, ( ) 5 ( + ) 5 ( ) d) Problemet med detta uttrck är att nämnaren innehåller tre rottecken och då finns inget enkelt sätt att bli av med alla rottecken på en gång, utan vi

85 8 behöver arbeta stegvis. I ett första steg ser vi nämnaren som ( + ) + 6 och förlänger med det konjugatliknande uttrcket ( + ) 6. Då kommer åtminstone 6 att kvadreras bort med konjugatregeln, ( + ) + 6 ( + ) ( + ) 6 ( + ) ( 6 ) + 6 ( + ) 6. Den återstående kvadraten ( + ) utvecklar vi med kvadreringsregeln, ( + ) 6 ( ) + + ( ) Detta uttrck har bara ett rottecken i nämnaren och då kan vi slutföra uträkningen genom att förlänga med konjugatet 6 +, ( + 6 )( 6 + ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) + + ( ) ( + ) + ( + )

86 8.:7 a) Först förlänger vi de två termerna med respektive nämnares konjugerade rotutrck så att inga rottecken finns kvar i nämnarna, ( 6 ) ( 5 ) , ( 7 ) ( 6 ) Nu kan vi subtrahera termerna och förenkla resultatet, ( ) b) Vi förlänger bråket med nämnarens konjugat, 7 + 5, och ser vad det leder till, ( )( 7 + 5) ( 7 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) (5 7) c) Delar vi upp 5 och 68 i så små heltalsfaktorer som möjligt ser vi om det finns kvadrater som kan brtas ut ur rötterna och om uttrcket kan förenklas vidare, ,

87 8 Vi får att Anm. Ett tips när man undersöker om ett heltal är delbart med är att titta på talets siffersumma. Ett tal är delbart med om och endast om dess siffersumma är delbar med. T.e. är talet 9788 delbart med eftersom siffersumman är debar med, och omvänt, talet 56 är inte delbart med i och med att siffersumman inte är delbar med..:8 a) Om vi skriver talen i potensform, 5 5 / och 6 6 /, så ser vi att 6 är störst eftersom basen 6 är större än 5 och båda talen har samma positiva eponent. b) Skriver vi talen i potensform, 7 7 / och 7 7, så framgår att 7 är större än 7 eftersom båda talen har samma bas 7, som är större än, och eponenten är större än. c) Eftersom,5,5,5 6,5 så är,5 6,5 och då ser vi att 7 är större än,5 i och med att 7 / > 6,5 /. d) I potensform blir uttrcken ( 4 ) / ( /4 ) / /4, /. Visserligen ser vi att / > / och > /4 men det hjälper oss inte att säga något om hur produkterna förhåller sig till varandra. Istället observerar vi att eponenterna, 4, och har 4 som minsta gemensamma nämnare (MGN) som vi kan brta ut, / /4 6/ 9/ ( 6 9 ) /, / 4/ / ( 4 ) /. Nu kan vi jämföra baserna 6 9 och 4 med varandra och på så sätt avgöra vilket tal som är störst. Eftersom < så är nämnaren 4 större än täljaren 6 9, vilket betder att är större än ( 4 ).

88 84. Rotekvationer.: För att bli av med rottecknet i ekvationen kvadrerar vi båda led, 4 (6 ). Det är viktigt att komma ihåg att detta steg innebär att vi nu arbetar med en n ekvation som kan ha lösningar som rotekvationen inte har. I slutet blir det därför nödvändigt för oss att pröva om de framräknade lösningarna vi får också uppfller den ursprungliga rotekvationen. Fortsätter vi med den kvadrerade ekvationen och utvecklar högerledet så får vi en andragradsekvation, 4 6 +, ( ) dvs Vi kvadratkompletterar vänsterledet, + 40 ( ) ( ) + 40 ( ) ( ) 9 4, vilket ger ekvationen ( ) 9 4, som har lösningarna , För säkerhets skull kontrollerar vi att vi löste andragradsekvationen ( ) rätt genom att stoppa in 5 och 8 i ekvationen. 5: VL 5 4 och HL (6 5). 8: VL och HL (6 8) 4. Sedan måste vi pröva lösningarna 5 och 8 i rotekvationen. 5: VL 5 4 och HL : VL 8 4 och HL 6 8.

89 85 Detta visar att 5 är en lösning till rotekvationen medan 8 är en falsk rot. Anm. Att vi får en falsk rot 8 beror inte på att vi räknat fel på något sätt, utan är helt och hållet resultatet av att vi kvadrerade ekvationen..: Det första vi gör är att kvadrera båda led i ekvationen, + 7 ( + ), och får en ekvation utan rottecken. Det är möjligt att vi därmed introducerar s.k. falska rötter (lösningar till den na ekvationen som inte är lösningar till den gamla ekvationen) så vi behöver därför pröva lösningarna i den ursprungliga rotekvationen innan vi svarar. Utvecklar vi högerledet i den kvadrerade ekvationen får vi , ( ) som vi också kan skriva som + 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet ger + ( + ) ( + ) 4. Ekvationen blir då som har lösningarna ( + ) 4, + 4 +, 4. En kontroll visar också att och är lösningar till den kvadrerade ekvationen ( ), : VL ( ) och HL ( + ), : VL och HL ( + ) 9. När vi prövar lösningarna i rotekvationen får vi att : VL ( ) , HL +, : VL , HL +,

90 86 och därför är den enda lösningen till rotekvationen ( är en falsk rot). Anm. Kontrollen när vi stoppar in lösningarna i ekvationen ( ) är strikt sett inte nödvändig, utan är mer för att se att vi inte råkat räkna fel. Däremot är prövningen i rotekvationen nödvändig..: Först flttar vi över :an i högerledet, 8, och kvadrerar sedan bort rottecknet, 8 ( ), ( ) eller med högerledet utvecklat, Flttar vi över alla termer i ena ledet får vi Om vi kvadratkompletterar vänsterledet, 7 + ( 7 ( ) 7 ) + ( ) ( 7 ) 4, så kan ekvationen skrivas som ( ) 7 4, och lösningarna är , För säkerhets skull kontrollerar vi att och 4 uppfller den kvadrerade ekvationen ( ), : VL och HL ( ), 4: VL och HL (4 ) 4. Eftersom vi kvadrerade rotekvationen så dker eventuellt falska rötter upp och vi måste därför pröva lösningarna när vi går tillbaka till den ursprungliga rotekvationen, : VL och HL,

91 87 4: VL och HL 4. Lösningarna till rotekvationen är och 4..:4 Kvadrera båda led i ekvationen så att rottecknet försvinner, ( ) 4 4 +, och lös sedan den uppkomna andragradsekvationen med kvadratkomplettering, + 0, ( ) ( ) + 0, ( ) , ( ) Som snes kan denna andragradsekvation inte ha några lösningar (vänsterledet är alltid större än eller lika med 4 oavsett hur väljs) så den ursprungliga rotekvationen saknar lösning..:5 Efter att ha kvadrerat båda led får vi ekvationen ( ), ( ) och om vi utvecklar högerledet och sedan samlar ihop termerna har vi Vänsterledet kvadratkompletteras, ( 7 ) ( 7 ) + 6 ( 7 ) ( 7 ) 5 4, vilket medför att ekvationen kan skrivas ( 7 ) 5 4, och lösningarna är därför ,

92 88 En kontroll där vi stoppar in och 6 i den kvadrerade ekvationen ( ) visar att vi löst den ekvationen rätt. : VL och HL ( ). 6: VL 6 6 och HL ( 6) 6. Till sist behöver vi sortera bort eventuella falska rötter till rotekvationen genom att pröva lösningarna. : VL och HL. 6: VL 6 4 och HL 6 4. Detta visar att rotekvationen har lösningen..:6 Det som skiljer denna ekvation från tidigare eempel är att den innehåller två rottermer och då går det inte att med en kvadrering få bort alla rottecken på en gång, utan vi behöver arbeta i två steg. En första kvadrering ger ( ) 4, och utvecklas vänsterledet med kvadreringsregeln fås ( + ) ( + 5 ) 6, vilket efter förenkling resulterar i ekvationen ( + ) ( + 5) 6. Fltta nu över alla termer utom rottermen till högerledet , och med tterligare en kvadrering, ( ) ( + 0), får vi till slut en ekvation helt utan rottecken, 4( + )( + 5) ( + 0). Utveckla båda led 4( ) , och strk sedan den gemensamma -termen,

93 89 Denna ekvation kan vi skriva som 64 80, vilket ger att Eftersom vi kvadrerade vår ursprungliga ekvation (t.o.m. två gånger) måste vi pröva lösningen 5 4 för att kunna utesluta att vi har en falsk rot, 5 VL HL. Alltså har ekvationen lösningen 5 4.

94 90. Logaritmer.: a) Eftersom så är. b) Om vi skriver 0, som 0 upphöjt till någonting så har vi att 0, 0 och därför är. c) Vänsterledet kan vi skriva som 0 och detta ska vara lika med 00 0 och då ser vi att måste vara lika med. d) Precis som i c-uppgiften skriver vi vänsterledet som 0 och högerledet som 0, , dvs , vilket ger att 4..: a) Logaritmen lg 0, definieras som det tal som ska stå i den gråa rutan för att likheten 0 0, ska gälla. I detta fall ser vi att och därför är lg 0,. 0 0, b) lg 0000 är det tal som ska stå i den gråa rutan i likheten , och eftersom så ser vi att lg c) Eftersom lg 0,00 definieras som den eponent som ska stå i den gråa rutan i likheten 0 0,00 och vi har att 0 0,00 så är lg 0,00. d) Jämför vi likheten som definierar lg, 0 lg, med så ser vi att lg e) Från definitionen av tiologaritmen ser vi direkt att 0 lg.

95 9 f) Istället för att hela tiden gå tillbaka till definitionen av logaritmen är det bättre att lära sig arbeta med logaritmlagarna, lg(ab) lg a + lg b, lg a b b lg a, och förenkla uttrcken först. Med ett sådant arbetssätt behöver man i princip bara lära sig att lg 0. I vårt fall har vi att lg 0 lg 0. g) Vi vet att 0 lg så därför skriver vi om eponenten till lg 0, ( ) lg 0, lg 0, med logaritmlagen b lg a lg a b. Detta ger att 0 lg 0, 0 lg 0, 0, 0, 0. h) Argumentet till logaritmen kan skrivas som /0 0 och sedan ger logaritmlagen lg a b b lg a resten, lg 0 lg 0 ( ) lg 0 ( )..: a) Genom att skriva argumentet 8 som 8 4 så ger sedan logaritmlagen log a b b log a att där vi använt att log. log 8 log log, b) Eftersom vi arbetar med 9-logaritmen så uttrcker vi av 9, 9 9 / 9 /. Då får vi med logaritmlagarna att som en potens log 9 log 9 9 / log 9 9. c) Vi skriver först om talet 0,5 som ett bråktal som vi också förkortar, 0, ( 5). Eftersom 0,5 blev uttrckt som en potens av så kan logaritmen räknas ut helt och hållet, log 0,5 log ( ) log ( ).

96 9 d) Argumentet till log skriver vi som en potens av, 9 / / +/ 7/, och förenklar sedan uttrcket med logaritmlagarna, log (9 / ) log 7/ 7 log 7 7. e) Här kan vi använda definitionen av logaritmen direkt och få att log 4 4. f) Skriver vi 4 och 6 som 4, , så får vi att log 4 + log 6 log + log 4 log + log 4 log + ( 4) log + ( 4). g) Med logaritmlagen log a log b log a b så kan uttrcket beräknas till log log 4 log 4 log. Ett annat sätt är att skriva 4 och använda logaritmlagen log(ab) log a + log b, log log 4 log ( 4) log 4 log + log 4 log log. h) Eftersom a a a a / a +/ a 5/ så ger sedan logaritmlagen log a b b log a att log a (a a ) log a a 5/ 5 log a a 5 5, där vi använt att log a a. Anm. I uppgiften antar vi, underförstått, att a > 0 och a.

97 9.:4 a) Var för sig är termerna svåra att räkna ut men de två logaritmerna kan slås ihop med logaritmlagen log a log b log(a/b), lg 50 lg 5 lg 50 5 lg 0. b) De två termerna kan kombineras till ett logaritmuttrck med logaritmlagen log a + log b log(ab), lg + lg ( lg ) lg 0. c) Alla tre argument till logaritmen kan skrivas som potenser av, 7 / ( ) / (/), 9, och därför är det lämpligt att använda just basen i förenklingsarbetet med logaritmerna även om vi har 0-logaritmen lg, lg 7 / + lg + lg 9 lg + lg + lg lg + lg + ( ) lg ( + ) lg lg. Detta uttrck kan inte förenklas tterligare..:5 a) Beteckningen ln används för logaritmen med den naturliga basen e, och vi har därför att ln e, vilket tillsammans med logaritmlagen ln a b b ln a ger att ln e + ln e ln e + ln e + 5. b) Genom att använda logaritmlagarna, ln a + ln b ln(a b), ln a ln b ln a b, kan vi samla ihop termerna i ett logaritmuttrck, ln 8 ln 4 ln ln 8 (ln 4 + ln ) ln 8 ln(4 ) ln 8 4 ln 0, där ln 0 eftersom e 0. (Likheten a 0 gäller för alla a 0.)

98 94 c) Eftersom ln 0 (följer av att e 0 ) så är (ln ) e 0 e 0. d) I och med att e e så är ln e och vi har att ln e 0. e) Argumentet till ln kan skrivas som e e, och med logaritmlagen ln a b b ln a får vi att ln e ln e ( ) ln e ( ). f) Det gäller att ln e så hela uttrcket blir (e ln e ) (e ) e e..:6 a) Miniräknaren har ingen knapp för log men däremot en knapp för den naturliga logaritmen ln, så vi behöver skriva om log 4 i termer av ln. Går vi tillbaka till definitionen av logaritmen så ser vi att log 4 är det tal som uppfller log 4 4. Logaritmera nu båda led i denna likhet med ln, ln log 4 ln 4. Vänsterledet kan med logaritmlagen ln a b b ln a skrivas som log 4 ln och sambandet blir log 4 ln ln 4. Alltså har vi, efter division med ln, att log 4 ln 4 ln, , , , vilket ger det avrundade svaret,6. Anm. På miniräknaren fås svaret fram genom att trcka på knapparna: 4 LN LN b) Logaritmen lg 46 uppfller sambandet 0 lg och logaritmerar vi båda led med ln får vi ln 0 lg 46 ln 46.

99 95 Använder vi logaritmlagen ln a b b ln a på vänsterledet blir likheten Detta visar att lg 46 och svaret blir,66. lg 46 ln 0 ln 46. ln 46 ln 0, , , Anm. För att räkna ut svaret på miniräknaren knappar man in 4 6 LN 0 LN c) Innan vi börjar tänka på att omvandla log och log till ln så använder vi logaritmlagarna, log a b b log a, log(ab) log a + log b, för att förenkla uttrcket, Med hjälp av sambanden log log 8 log ( 8 log ) log 8 + log log. log och log, och logaritmering med ln kan vi uttrcka log och log med ln, log ln ln och log ln ln. De två termerna log 8 och log log kan därför skrivas som log 8 ln 8 ln och log log log ln ln, där vi kan förenkla det sista uttrcket tterligare genom att använda logaritmlagen log(a/b) log a log b och sedan omvandla log till ln, Sammantaget får vi alltså att ln log ln log ln log ln ln ln ln ln ln ln. log log 8 ln 8 ln + ln ln ln ln ln ln.

100 96 Inmatat i miniräknaren ger detta att log log 8 4,76. Anm. Knappsekvensen på miniräknaren blir 8 LN LN + LN LN LN LN LN LN

101 97.4 Logaritmekvationer.4: a) En ekvation av denna tp löser vi genom att logaritmera båda led med ln, ln e ln. Då kan det obekanta flttas ner med logaritmlagen ln a b b ln a som en faktor i vänsterledet, ln e ln, och sedan är det enkelt att lösa ut, ln ln e ln ln. Anm. En sak som vi inte nämner i denna lösning är att innan vi gör det första steget och logaritmerar båda led i ekvationen är det nödvändigt att försäkra oss om att vänsterledet och högerledet är positiva (det går inte att ta logaritmen av ett negativt tal). Eftersom ekvationen är e så ser vi direkt att högerledet är positivt. Vänsterledet är också positivt eftersom ett positivt tal e,78... upphöjt till ett tal alltid ger ett positivt tal. b) I ekvationen är båda led positiva eftersom faktorerna e och är positiva oavsett värdet på (en positiv bas upphöjd till ett tal ger alltid ett positivt tal). Vi kan därför logaritmera båda led med ln, ln(e ) ln( ). Med logaritmlagen ln(ab) ln a + ln b kan vi dela upp produkterna i flera logaritmtermer, ln + ln e ln + ln, och med lagen ln a b b ln a får vi bort från eponenterna, ln + ln e ln + ( ) ln. Samla ihop i ena ledet och övriga termer i det andra ledet, ln e + ln ln ln. Brt ut i vänsterledet och använd att ln e, ( + ln ) ln ln. Lös sedan ut, ln ln + ln.

102 98 Anm. Eftersom ln < ln kan man skriva svaret som för att indikera att är negativ. ln ln + ln c) Ekvationen har samma form som ekvationen i b-uppgiften och därför kan vi använda samma strategi. Vi logaritmerar först båda led, ln(e ) ln(7 ), och använder logaritmlagarna för att frigöra, Samla sedan ihop i vänsterledet, ln + ln e ln 7 + ln. (ln e ln ) ln 7 ln. Lösningen blir nu ln 7 ln ln e ln ln 7 ln ln..4: a) Vänsterledet är upphöjt till någonting och därför ett positivt tal vilket värde än eponenten har. Vi kan därför logaritmera båda led, ln ln, och använda logaritmlagen ln a b b ln a för att få eponenten som en faktor i vänsterledet, Eftersom e 0 så är ln 0, ( ) ln ln. ( ) ln 0. Detta betder att måste uppflla andragradsekvationen 0. Rotutdragning ger att eller. Anm. Uppgiften är från finska studenteamen mars 007. b) Skriver vi om ekvationen som (e ) + e 4

103 99 så ser vi att förekommer bara i kombinationen e och därför är det lämpligt att först betrakta e som en n obekant i ekvationen och sedan, när vi fått fram värden på e, kan vi beräkna motsvarande värden på via en enkel logaritmering. Sätter vi för tdlighets skull t e så kan ekvationen skrivas t + t 4, och denna andragradsekvation löser vi med kvadratkomplettering, vilket ger att t + t ( t + ) ( ) ( t + ) 4, ( t + ) 4 4 t ± 7. Dessa två rötter ger oss två möjliga värden på e, e 7 eller e + 7. I det första fallet är högerledet negativt och eftersom e upphöjt till någonting aldrig kan vara negativt finns det inget som kan uppflla den likheten. Det andra fallet har däremot ett positivt högerled (eftersom 7 > ) och då kan vi logaritmera båda led och få ln ( 7 ). Anm. Det är lite knepigt att kontrollera svaret i den ursprungliga ekvationen så vi kan nöja oss med att sätta in t 7 i ekvationen t + t 4, VL ( 7 ) + ( 7 ) HL. c) Oavsett vilket värde har så är båda led i ekvationen positiva eftersom de är av tpen positivt tal upphöjt till någonting. Därför går det bra att logaritmera båda led och på så sätt med logaritmlagarna få ner från eponenterna, VL ln ( e ) ln + ln e ln + ln e ln +, HL ln ln. Samlar vi termerna i ena ledet blir ekvationen ln + ln 0,

104 00 vilket är en vanlig andragradsekvation som vi börjar med att kvadratkomplettera, ( ln ) ( ln ) + ln 0, ( ln ) ( ln ) ln. Nu måste vi vara observanta och tänka på att eftersom < e < så är ln < < ln vilket betder att 4 (ln ) < ln och högerledet är därför negativt. I och med att kvadraten i vänsterledet inte kan vara negativ så saknar ekvationen lösning..4: a) Både vänster- och högerled är positiva för alla värden på och det betder att vi kan logaritmera båda led och få en mer hanterbar ekvation, VL ln ln, HL ln(e ) ln + ln e ln + ln e ln +. Ekvationen blir, efter lite ommöblering, + ln + 0. Vi kvadratkompletterar vänsterledet, ( + ) ( ) + 0, ln ln och flttar över konstanttermerna i högerledet, ( + ) ( ). ln ln Det kan vara svårt att direkt se om högerledet är positivt eller inte, men om vi tänker på att e > och därmed att ln < ln e så måste (/ ln ) >, dvs. högerledet är positivt. Ekvationen har därför lösningarna ( ) ln ±, ln vilket också kan skrivas som ± (ln ). ln b) Uttrcken ln( + ) och ln( ) är lika bara när argumenten till ln är lika, dvs. +.

105 0 Men vi måste se upp! Om vi får fram ett värde på som gör att dessa argument är lika men negativa eller noll så motsvarar det inte en riktig lösning eftersom ln inte är definierad för negativa argument. I slutet av uppgiften måste vi därför kontrollera att + och verkligen är positiva för de framräknade lösningarna. Flttar vi över alla termer i ena ledet i argumentekvationen får vi andragradsekvationen 5 0, och vi ser att båda termer innehåller som vi brter ut, ( 5) 0. Från detta faktoriserade uttrck avläser vi direkt att lösningarna är 0 och 5. Den slutliga kontrollen visar att när 0 är + 0, så 0 är inte en lösning. Däremot, när 5 är > 0, så 5 är en lösning. c) Med logaritmlagarna kan vi skriva ihop vänsterledet till ett logaritmuttrck, ln + ln( + 4) ln ( ( + 4) ), men denna omskrivning förutsätter att uttrcken ln och ln( + 4) är definierade, dvs. att > 0 och + 4 > 0. Väljer vi därför att fortsätta med ekvationen ln ( ( + 4) ) ln( + ) så måste vi komma ihåg att bara acceptera lösningar som uppfller > 0 (villkoret + 4 > 0 är då automatiskt uppfllt). Den ihopskrivna ekvationen är i sin tur bara uppflld om argumenten ( + 4) och + är lika och positiva, dvs. ( + 4) +. Vi skriver om denna ekvation till + 0 och kvadratkomplettering ger ( + ) 0, ( + ) 4, vilket betder att ±, dvs. och. Eftersom är negativ sorteras den bort medan uppfller både att > 0 och att ( + 4) + > 0. Svaret är alltså.

106 0 4. Vinklar och cirklar 4.: Det enda vi egentligen behöver hålla reda på är att ett varv motsvarar 60 eller π radianer. Då får vi att a) 4 varv och 4 varv 4 π radianer π/ radianer, b) 8 varv och 8 varv 8 π radianer π/4 radianer, c) varv och 97 d) 97 varv π radianer 4π/ radianer, 97 varv och 97 varv π radianer 97π/6 radianer. 4.: Använder vi minnesregeln att ett varv är 60 eller π radianer kan vi härleda en omvandlingsformel från grader till radianer. Eftersom så ger detta att 60 π radianer π 60 radianer π 80 radianer. Nu kan vi sätta igång att omvandla vinklarna, a) π 45 radianer π/4 radianer, 80 b) 5 5 π 5 radianer π/4 radianer, 80 c) 6 6 π 6 radianer 7π/0 radianer, 80 d) π 70 radianer π/ radianer : a) En rätvinklig triangel är en triangel där en av vinklarna är 90. Den sida som är mittemot 90 -vinkeln kallas för hpotenusan (markerad med i triangeln) och de andra sidorna kallas för kateter. Med hjälp av Pthagoras sats kan vi i den rätvinkliga triangeln skriva upp ett samband mellan triangelns sidor, Denna ekvation ger oss att

107 0 b) Eftersom en av vinklarna i triangeln är 90 har vi en rätvinklig triangel och kan använda Pthagoras sats för att ställa upp ett samband mellan triangelns sidor. Sidan med längd är hpotenusan i triangeln och Pthagoras sats ger oss därför att +, dvs.. Detta betder att c) I denna rätvinkliga triangel är sidan med längd 7 hpotenusan. (Det är den sida som står mittemot den räta vinkeln.) Pthagoras sats ger då att eller 7 8. Vi får att 7 8 +, :4 a) Ritar vi in punkterna i ett koordinatsstem så kan vi se linjestcket mellan punkterna som hpotenusan i en tänkt rätvinklig triangel där kateterna är parallella med - resp. -aeln. (5, 4) (, ) I denna triangel är det lätt att mäta kateternas längd som helt enkelt avståndet i - resp. -led mellan punkterna, 5 4, 4.

108 04 Sedan kan vi med Pthagoras sats räkna ut hpotenusans längd som också är avståndet mellan punkterna, d ( ) + ( ) Anm. Allmänt så har vi att avståndet mellan två punkter (, ) och (a, b) ges av avståndsformeln, d ( a) + ( b). b) Om vi använder avståndsformeln, d ( a) + ( b), för att bestämma avståndet mellan punkterna (, ) (, 5) och (a, b) (, ) så får vi att d ( ) + (5 ( )) ( 5) c) Låt punkten på -aeln ha koordinater (, 0), där är något okänt tal. Då ges avstånden från punkten (, 0) till (, ) och (5, ) med hjälp av avståndsformeln av ( ) + (0 ) resp. ( 5) + (0 ). Eftersom dessa avstånd ska vara lika får vi ekvationen ( ) + 9 ( 5) +, eller om vi kvadrerar båda led, för att bli av med rottecknen, ( ) + 9 ( 5) +. Utveckla nu kvadraterna och samla alla termer i ena ledet Detta ger oss att, dvs. punkten på -aeln är (, 0). (, ) (, 0) (5, )

109 05 Som ett sista steg kontrollerar vi att vi räknat rätt och att avstånden verkligen är lika. Avståndet mellan (, 0) och (, ) är ( ) + ( 0) och avståndet mellan (, 0) och (5, ) är (5 ) + ( 0) Anm. Trots att vi kvadrerade vår rotekvation är det faktiskt inte nödvändigt att pröva lösningen av det skälet att eftersom uttrcken under rottecknen är summor av kvadrater som aldrig är negativa och därför inte kan ge upphov till s.k. falska rötter. 4.:5 a) En cirkel definieras som alla punkter som har ett fit bestämt avstånd till cirkelns medelpunkt. En punkt (, ) ligger alltså på vår cirkel om och endast om dess avstånd till punkten (, ) är eakt lika med. Med avståndsformeln kan vi uttrcka detta villkor som ( ) + ( ). Efter en kvadrering får vi cirkelns ekvation i standardform, ( ) + ( ) 4. (, ) (, ) Cirkeln med medelpunkt i (, ) och radie har ekvationen ( ) + ( ) 4. b) Om cirkeln ska innehålla punkten (, ) så måste den punkten ha ett avstånd till medelpunkten (, ) som är lika med cirkelns radie r. Cirkelns radie kan vi alltså få fram genom att beräkna avståndet mellan (, ) och (, ) med avståndsformeln, r ( ( )) + ( ) + ( ) När vi vet cirkelns medelpunkt och radie kan vi direkt ställa upp cirkelns ekvation, ( ) + ( ( ) ) ( ), vilket är samma sak som ( ) + ( + ).

110 06 (, ) (, ) Cirkeln med medelpunkt i (, ) och som innehåller punkten (, ) har ekvationen ( ) + ( + ). Anm. En cirkel som har medelpunkt (a, b) och radie r har ekvationen 4.:6 a) Skriver vi om ekvationen som ( a) + ( b) r. ( 0) + ( 0) 9 så kan vi tolka vänsterledet som avståndet i kvadrat mellan punkten (, ) och (0, 0). Hela ekvationen säger då att avståndet från en punkt (, ) till origo ska vara konstant lika med 9, vilket beskriver en cirkel med medelpunkt i origo och radie. Cirkeln med ekvationen + 9 har medelpunkt i origo och radie. b) Ett snabbt sätt att tolka ekvationen är att jämföra den med standardformen på ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (a, b) och radie r, ( a) + ( b) r.

111 07 I vårt fall kan vi skriva ekvationen som ( ) + ( ) ( ), och då ser vi att den beskriver en cirkel med medelpunkt i (, ) och radie. Cirkeln med ekvationen ( ) + ( ) har medelpunkt i (, ) och radie. c) Vad vi behöver göra är att skriva om ekvationen till standardformen, ( a) + ( b) r, för då kan vi avläsa cirkelns medelpunkt (a, b) och radie r. I vårt fall behöver vi bara brta ut faktorn från vänsterledets parenteser, ( ) + ( + 7) ( ) + ( ( ( ) ) , och sedan dela båda led med 9 för att få ekvationen i den önskade formen, ( ) + ( + 7 ) 0 9. ) Eftersom högerledet kan skrivas som ( ) 0 ( ) 9 och termen + 7 som ( ( )) 7 ( så beskriver ekvationen en cirkel med medelpunkt i, 7 ) 0 och radie 9 0. Cirkeln med ekvationen ( ) + ( + 7) 0 har medelpunkt i (, 7 ) och radie 0/.

112 08 4.:7 a) Som ekvationen står skriven är det svårt att direkt kunna avläsa något om cirkeln, men om vi använder kvadratkomplettering och kombinerar ihop - och -termerna i varsina kvadratuttrck så har vi ekvationen i standardformen, ( a) + ( b) r, och kan avläsa cirkelns medelpunkt och radie. Tar vi - respektive -termerna i vänsterledet och kvadratkompletterar så får vi att + ( + ), ( ), och då kan hela ekvationen skrivas som ( + ) + ( ), eller med konstanterna flttade till högerledet, ( + ) + ( ). Detta är en cirkel med medelpunkt i (, ) och radie. Cirkeln med ekvationen + + har medelpunkt i (, ) och radie. b) Ekvationen är nästan given i standardformen för en cirkel; det enda tterligare som behövs är att vi samlar ihop - och -termerna i ett kvadratuttrck med kvadratkomplettering, + 4 ( + ). Efter denna omskrivning är ekvationen + ( + ) 4, och vi ser att ekvationen beskriver en cirkel med medelpunkt i (0, ) och radie 4.

113 09 Cirkeln med ekvationen har medelpunkt i (0, ) och radie. c) Med kvadratkomplettering kan vi skriva om - respektive -termerna som kvadratuttrck, ( ), + 6 ( + ), och hela ekvationen blir då i standardform, ( ) + ( + ) 9 ( ) + ( + ) 7. Från detta avläser vi att cirkeln har medelpunkt i (, ) och radie 7. Cirkeln med ekvationen har medelpunkt i (, ) och radie 7. d) Vi skriver om ekvationen i standardform genom att kvadratkomplettera - och -termerna, ( ), + ( + ).

114 0 Nu blir ekvationen ( ) + ( + ) ( ) + ( + ) 0. Den enda punkt som uppfller denna ekvation är (, ) (, ) eftersom för alla andra värden på och är vänsterledet strikt positivt och därmed skilt från 0. 4.:8 Eftersom hjulets omkrets är Cirkeln med ekvationen + + är degenererad och består endast av punkten (, ). π (radien) π 0,5 meter π meter så snurrar hjulet π meter varje varv och på 0 meter hinner därför hjulet snurra 0 meter π meter 0 varv, varv. π 4.:9 Tiden 0 sekunder motsvarar 6 minut så under den tidsperioden hinner sekundvisaren svepa över 6 varv, dvs. en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln α 6 π radianer π/ radianer. α Arean av den cirkelsektorn är Area αr π (8 cm) π cm,5 cm.

115 4.:0 Låt oss först bestämma oss för att mäta alla avstånd i dm (decimeter) istället för m (meter) så får vi avstånden som heltal. Vi kallar tvättlinans längd från träd till galge för respektive z enligt figuren nedan, och inför två hjälptrianglar som har resp. z som hpotenusa. (Som en approimation antar vi att den spända tvättlinan består av två räta delar.) z Eftersom linan är 54 dm lång har vi att Sedan ger Pthagoras sats att vi har sambanden + z 54. () +, () z ( + 6) + 6. () Planen är nu att lösa ekvationssstemet () till () genom att först eliminera z så att vi får två ekvationer som bara innehåller och. Sedan eliminera från en av dessa ekvationer så att vi får en ekvation som bestämmer. Från () har vi att z 54 och detta insatt i () ger oss ekvationen (54 ) ( + 6) + 6. ( ) Ekvationer () och ( ) bildar tillsammans ett mindre ekvationssstem i och, Utveckla kvadraterna i båda led av ( ), och förenkla +, () (54 ) ( + 6) + 6. ( ) , Använd () och ersätt med + i denna ekvation, , vilket gör att -termerna förenklas bort, ,

116 och tterligare förenkling ger ekvationen ( ) Om vi stannar upp ett tag och sammanfattar läget så har vi nu lckats förenkla ekvationssstemet () och ( ) till ett sstem () och ( ) där en av ekvationerna är linjär, I detta sstem kan vi lösa ut från ( ), +, () ( ) , och stoppa in i (), ( 6 9 ) Detta är en ekvation som bara innehåller och löser vi den får vi fram vårt svar. Utveckla kvadraten i vänsterledet, 6 6 ( ) , 9 och samla ihop alla termer i ena ledet, vilket ger ekvationen Multiplicera båda led med , Kvadratkomplettera vänsterledet, 0. så att vi får ekvationen i standardform, ( ) ( 95 ) , och vi får ( ) , dvs. 5 9 ± ± Detta betder att ekvationen har lösningarna och

117 Svaret är alltså att 9 dm. (Den negativa roten måste förkastas.) För att vara säker på att vi har räknat rätt tar vi också reda på värdena på och z, och kontrollerar att de ursprungliga ekvationerna () till () är uppfllda. Ekvation ( ) ger att och ekvation () ger att , z Nu kontrollerar vi att 9, 5 och z 9 uppfller ekvationerna (), () och (), VL av () , HL av () 54, VL av () 5 5, HL av () , VL av () 9 5, HL av () (9 + 6)

118 4 4. Trigonometriska funktioner 4.: a) Definitionen av tangens säger att tan u motstående katet närliggande katet. I vårt fall betder detta att vilket ger att tan 7. tan 7, u närliggande katet motstående katet Anm. Med en miniräknare kan vi räkna ut vad blir, tan 7 6,6. b) Om vi spegelvänder triangeln kan det vara enklare att identifiera de olika sidorna i triangeln. 5 hpotenusa motstående katet närliggande katet Eftersom vi vet hpotenusan och söker den närliggande kateten är det lämpligt att ställa upp kvoten för cosinus av vinkeln, cos ( närliggande katet ). 5 hpotenusa Ur detta samband kan vi lösa ut, 5 cos (,). c) Svårigheten är att känna igen sidorna i den rätvinkliga triangeln. En enkel tumregel är att hpotenusan är den sida som står mittemot den räta vinkeln. (Det är också den längsta sidan i triangeln.) Den närliggande kateten är den sida som ligger intill den vinkel vi betraktar och den motstående kateten är den tredje sidan. motstående katet närliggande katet 40 hpotenusa

119 5 Den motstående kateten är given medan den närliggande kateten söks. Därför ställer vi upp tangens av vinkeln, och då är 4 tan 40 ( 6,7). tan 40 4, d) Sidan markerad med är hpotenusan i den rätvinkliga triangeln och sidan med längd 6 är den närliggande kateten till vinkeln 0. motstående katet hpotenusa närliggande katet Genom att ställa upp kvoten för cos 0 får vi sambandet cos 0 6 och det medför att 6 cos 0 ( 7,0). e) I triangeln söker vi hpotenusan när vi vet vinkeln 5 och den motstående katetens längd,. hpotenusa motstående katet Definitionen av sinus ger att närliggande katet sin 5 och därmed att sin 5 ( 9,). f) Den närliggande kateten till vinkeln 50 är markerad med och den mot-

120 6 satta kateten är den sida som har längd 9. närliggande katet motstående katet hpotenusa Ställer vi upp tangens för vinkeln så ger detta ett samband som bara innehåller som obekant, tan Detta ger att 9 tan 50 ( 5,9). 4.: a) De två kateterna är givna i den rätvinkliga triangeln och det betder att tangensvärdet för vinkeln kan bestämmas som kvoten mellan den motstående och närliggande kateten, tan v 5. närliggande katet motstående katet Detta är samtidigt en trigonometrisk ekvation för vinkeln v. Anm. I kapitlet Trigonometriska ekvationer kommer vi undersöka närmare hur man löser ekvationer av denna tp. b) I denna rätvinkliga triangel är den motstående kateten och hpotenusan givna. Detta betder att vi direkt kan ställa upp ett samband för sinus av vinkeln v, sin v hpotenusa närliggande katet motstående katet

121 7 Högerledet i denna ekvation kan förenklas så att vi får sin v 7. c) Cosinus av vinkeln v är den närliggande kateten dividerat med hpotenusan, närliggande katet cos v 5 7. hpotenusa motstående katet Detta är också en ekvation för vinkeln v. d) Genom att skriva upp uttrcket för sinus av vinkeln v (motstående katet dividerat med hpotenusan) får vi en trigonometrisk ekvation där v är den enda obekanta, sin v 5. motstående katet hpotenusa närliggande katet e) Uppgiften är lite av en kuggfråga eftersom det inte behövs någon trigonometri för att lösa den. Två vinklar är givna i triangeln (60 -vinkeln och den räta vinkeln) och då kan vi använda att summan av alla vinklar i en triangel är 80, vilket ger att v , v f) Eftersom triangeln är likbent (två sidor är lika långa) kan den delas upp i två lika stora rätvinkliga trianglar genom att införa en sida som delar vinkeln v mittuti. v/

122 8 Betraktar vi den ena triangelhalvan kan vi ställa upp det trigonometriska sambandet som är en ekvation för v. sin v, 4.: a) En användbar teknik för att räkna ut värdet på en trigonometrisk funktion (cos α, sin α) för vinklar som inte ligger mellan 0 och π/ är att använda enhetscirkeln. Ritar vi in en linje som utgår från origo och bildar en viss vinkel relativt den positiva delen av -aeln så kan vi läsa av cos-värdet av vinkeln som -koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och enhetscirkeln. På samma sätt är sin-värdet av vinkeln -koordinaten för skärningspunkten. ( I detta fall går det direkt att avläsa att sin π ). α π (0, ) b) Vinkeln π motsvarar ett helt varv och därför ser vi att om vi ritar in linjen med vinkeln π relativt den positiva -aeln så får vi den positiva -aeln. π (, 0)

123 9 Eftersom cos π är -koordinaten för skärningspunkten mellan linjen med vinkeln π och enhetscirkeln så kan vi direkt avläsa att cos π. c) Utan att förändra värdet på sinusfunktionen kan vi lägga till och dra ifrån multipler av π till dess argument. Vinkeln π svarar nämligen mot ett helt varv i enhetscirkeln och sinusfunktionen återkommer till samma värde för varje helt varvs förändring av vinkeln. Eempelvis kan vi dra ifrån tillräckligt många π från 9π så att vi får ett mer hanterbart argument som ligger mellan 0 och π, sin 9π sin(9π π π π π) sin π. Linjen som bildar vinkeln π mot den positiva delen av -aeln är den negativa delen av -aeln och den skär enhetscirkeln i punkten (, 0) varför vi från -koordinaten kan avläsa att sin 9π sin π 0. (, 0) π d) För att få en vinkel mellan 0 och π subtraherar vi π från vinkeln 7π/, vilket också lämnar cosinusvärdet oförändrat, cos 7π cos ( 7π π ) cos π. När vi ritar upp linjen som bildar vinkeln π/ mot den positiva -aeln får vi den negativa -aeln och ser att denna linje skär enhetscirkeln i punkten (0, ). Alltså är skärningspunktens -koordinat lika med 0 och därmed är cos(7π/) cos(π/) 0. π (0, )

124 0 e) Om vi ritar upp linjen som har vinkeln π/4 relativt den positiva -aeln så skär den enhetscirkeln i den andra kvadranten. π 4 Vad figuren vid första påsn ger information om är vilka tecken som cos(π/4) och sin(π/4) har: cosinus, som är -koordinaten för skärningspunkten, är negativ och sinus, som är -koordinaten, är positiv. För att komma vidare och bestämma skärningspunktens koordinater koncentrerar vi oss på den andra kvadranten och inför där en hjälptriangel som har vinkellinjen som hpotenusa och övriga kanter parallella med koordinatalarna. α I denna triangel ser vi att vinkeln α mellan hpotenusan och -aeln är den del av vinkeln π/4 som ligger i den andra kvadranten, dvs. α π/4 π/ π/4. Med hjälp av trigonometri kan vi nu bestämma triangelns kanter, motstående katet π 4 närliggande katet motstående katet närliggande katet sin π 4, cos π 4. Detta visar att skärningspunkten har koordinaterna ( /, / ) (notera minustecknet i -koordinaten) och därmed att sin(π/4) /.

125 f) Den punkt på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln π/6 ligger i den fjärde kvadranten. π/6 Som vanligt ges cos( π/6) som -koordinaten för skärningspunkten mellan vinkellinjen och enhetscirkeln. För att bestämma denna punkt inför vi en hjälptriangel i den fjärde kvadranten. π/6 Kanterna i denna triangel kan vi bestämma med enkel trigonometri och sedan översätta till punktens koordinater. närliggande katet π/6 motstående katet motstående katet närliggande katet sin π 6, cos π 6. Alltså har skärningspunkten koordinaterna ( /, /) och speciellt är cos( π/6) /. 4.:4 a) Det kan vara lite svårt att direkt rita in vinkeln π/6 i enhetscirkeln, men om vi skriver om π/6 som π 6 6π + π + π 6 π + π + π så ser vi att vi har en vinkel som ligger i fjärde kvadranten enligt figuren nere till vänster. Vi lägger också märke till att denna vinkel svarar mot

126 eakt samma punkt på enhetscirkeln som vinkeln π/6, och eftersom vi räknade ut cos( π/6) i uppgift 4.:f har vi att cos π 6 ( cos π ) 6. π π π π/6 b) Vi börjar med att subtrahera π från π/ så vi får en vinkel mellan 0 och π. Detta förändrar inte heller cosinusvärdet, cos π ( π ) cos π cos 5π. Genom att sedan skriva om 5π/ som en summa av π - och π/-termer, 5π π + π + π π + π + π 6, så ser vi att 5π/ är en vinkel i fjärde kvadranten som bildar vinkeln π/6 mot den negativa -aeln. π π 6 π Med hjälp av en triangel och lite trigonometri kan vi bestämma koordina-

127 terna för punkten på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln 5π/. närliggande katet π 6 motstående katet motstående katet närliggande katet sin π 6, cos π 6. Punkten har koordinaterna (/, /) och därmed är cos(π/) cos(5π/). c) I uppgift 4.:e studerade vi vinkeln π/4 och kom fram till att cos π 4 och sin π 4. Eftersom tan är definierat som sin cos tan π 4 sin π 4 cos π 4 så får vi direkt att. d) Använder vi enhetscirkeln och markerar vinkeln π så avläser vi direkt att cos π och sin π 0. (, 0) π Därmed får vi att e) Skriver vi vinkeln 7π/6 som tan π sin π cos π π 6 6π + π 6 π + π 6

128 4 så ser vi att vinkeln 7π/6 på enhetscirkeln hamnar i den tredje kvadranten och bildar vinkeln π/6 med den negativa -aeln. π/6 π Geometriskt definieras tan(7π/6) som riktningskoefficienten för linjen med vinkeln 7π/6 och eftersom denna linje har samma lutning som linjen med vinkeln π/6 har vi att tan 7π 6 tan π 6 sin π 6. cos π 6 7π 6 π/6 f) Adderar vi π till 5π/ så får vi en n vinkel i den första kvadranten som svarar mot eakt samma punkt på enhetscirkeln som den gamla vinkeln 5π/ och har följdaktligen samma tangensvärde, ( tan 5π ) π tan ( 5π ) + π tan π sin cos π. 4.:5 a) Eftersom så är 5 en vinkel i den andra kvadranten

129 5 som bildar vinkeln 45 med den positiva -aeln Punkten på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln 5 kan vi bestämma genom att införa en hjälptriangel och räkna ut dess kanter med trigonometri, motstående katet 45 närliggande katet motstående katet närliggande katet sin 45, cos 45. Koordinaterna för punkten är ( /, / ) och detta ger att cos 5 /. b) Ritar vi in vinkeln i enhetscirkeln så bildar den vinkeln 45 med den negativa -aeln Det innebär att tan 5, som är riktningskoefficienten för linjen som bildar vinkeln 5 med den positiva -aeln, är lika med tan 45 eftersom

130 6 linjen som bildar vinkeln 45 har samma lutning, tan 5 tan 45 sin 45 cos c) Uttrcker vi vinkeln 0 i radianer så får vi att 0 0 och från uppgift 4.:4a vet vi att π π radianer 80 6 radianer, cos 0 cos π 6. d) Genom att subtrahera 60 från vinkeln 495 förändrar vi inte värdet på tangens, tan 495 tan( ) tan 5. Nu vet vi från deluppgift a att cos 5 / och sin 5 / vilket ger att tan 5 sin 5 cos 5.

131 7 4.:6 Den eftersökta sträckan kan vi räkna ut genom att ta differensen a b av kateterna a och b i trianglarna nedan. a b Tar vi tangens av den givna vinkeln i respektive triangel får vi enkelt ut a och b, a a tan 60 sin 60 cos 60 / /, 60 b b tan 45 sin 45 cos 45 / /. 45 Alltså är a b. 4.:7 Om vi förlänger sträckan mellan A och B till en punkt D mittemot punkten C så får vi den rätvinkliga triangeln nedan där kateten mellan C och D är det sökta avståndet. C A 0 B D

132 8 Informationen i uppgiftsteten kan sammanfattas genom att betrakta de två trianglarna ACD och BCD, och ställa upp tangenssambanden som vinklarna 0 och 45 ger upphov till, C C A D B 45 D (0 + ) tan 0 (0 + ), tan 45, där är avståndet mellan B och D. Det andra sambandet ovan ger att och detta insatt i det första sambandet ger att Multiplicera båda led med, (0 + ). 0 +, och fltta över alla -termer i vänsterledet, ( ) 0. Svaret blir att 0 m,7 m. 4.:8 Vi börjar med att rita upp tre hjälptrianglar, och kallar de tre vertikala kateterna för, och z enligt figuren. α a b β l γ z

133 9 Använder vi definitionen av cosinus kan vi räkna ut kateterna och, a cos α, b cos β, och av samma skäl vet vi att z uppfller sambandet z l cos γ. Dessutom vet vi att längderna, och z uppfller likheten z. Stoppar vi in uttrcken för, och z så får vi den trigonometriska ekvationen där endast γ är obekant. l cos γ a cos α b cos β, 4.:9 Om vi inför den streckade triangeln nedan så är fågelavståndet mellan A och B lika med triangelns hpotenusa c. B c b A a Ett sätt att bestämma hpotenusan är om vi känner till triangelns kateter a och b, för då ger Pthagoras sats att c a + b. Kateterna, i sin tur, kan vi bestämma genom att införa tterligare en triangel APR, där R är den punkt på linjen PQ där den streckade triangelns katet skär linjen. A 0 P

134 0 Eftersom vi känner till sträckan AP och vinkeln vid P ger enkel trigonometri att den na triangelns kateter och ges av 4 sin 0 4, 4 cos 0 4. Nu kan vi börja nsta upp lösningen. I och med att och är framräknade så kan vi bestämma a och b genom att betrakta horisontella och vertikala avstånd i figuren, a 5 a , b. b Med a och b givna ger Pthagoras sats att c a + b 7 + ( ) 49 + ( + ( ) ) km,0 km.

135 4. Trigonometriska samband 4.: a) Om vi ritar ut vinkeln π/5 i enhetscirkeln så har den en -koordinat som är lika med cos(π/5). π 5 π 5 + π I figuren ser vi också att den enda andra vinkel i enhetscirkeln som har samma cosinusvärde (dvs. samma -koordinat) är vinkeln v π/5 på motsatt sida om -aeln. För att få denna vinkels riktning uttrckt med en vinkel mellan 0 och π adderar vi π, dvs. vi får vinkeln v π/5 + π 9π/5. b) Eftersom sinusvärdet för en vinkel är lika med vinkelns -koordinat i enhetscirkeln så har två vinklar samma sinusvärde bara när de har samma -koordinat. Ritar vi därför in vinkeln π/7 i enhetscirkeln så ser vi att den enda vinkel mellan π/ och π som har samma sinusvärde finns i den andra kvadranten där linjen sin π/7 skär enhetscirkeln. π 7 π π 7 Av smmetriskäl har vi att denna vinkel är spegelbilden av vinkeln π/7 i -aeln, dvs. bildar vinkeln π/7 med den negativa -aeln och är därför v π π/7 6π/7. c) Tangensvärdet av vinkeln π/7 är riktningskoefficienten av linjen som bildar vinkeln π/7 med -aeln.

136 π 7 π 7 + π Från figuren ser vi att den vinkel mellan π/ och π som ger en linje med samma lutning som vinkeln π/7 är v π 7 + π 9π 7. 4.: a) I enhetscirkeln svarar vinkeln π/ mot punkten (0, ) och den vinkel i intervallet från 0 till π som har samma cosinusvärde som π/, dvs. -koordinat 0, är vinkeln v π/. π π b) Skriver vi vinkeln 7π/5 som 7π 5π + π π + π så ser vi att 7π/5 är en vinkel i tredje kvadranten. π 5 π π 5 π

137 Den vinkel mellan 0 och π som har samma -koordinat som vinkeln 7π/5, och därmed samma cosinusvärde, är spegelbilden av vinkeln 7π/5 i -aeln, dvs. v π π/5 π/5. 4.: a) Vinkeln v är spegelbilden av vinkeln v i -aeln och vid en sådan spegling förändras inte -koordinaten medan -koordinaten bter tecken. Det betder att om sin v a så är sin( v) a. v v b) Vinkeln π v bildar samma vinkel med den negativa -aeln som vinkeln v bildar mot den positiva -aeln och det betder att π v är spegelbilden av v i -aeln. v v π Vid en sådan spegling förändras inte vinkelns -koordinat (medan - koordinaten bter tecken) och därför är sin(π v) sin v a. c) Med hjälp av den trigonometriska ettan kan vi uttrcka cos v i termer av sin v, cos v + sin v cos v ± sin v. Dessutom vet vi att vinkeln v ligger mellan π/ och π/, dvs. antingen i den första eller fjärde kvadranten, och där har vinklar alltid positiv - koordinat (cosinusvärde) så därför kan vi dra slutsatsen att cos v sin v a.

138 4 d) Vinkeluttrcket π/ v skiljer sig från π/ lika mcket som v skiljer sig från 0. Detta innebär att π/ v bildar samma vinkel mot den positiva -aeln som v bildar mot den positiva -aeln. v v Vinkeln π/ v har därför en -koordinat som är lika med -koordinaten för vinkeln v, dvs. ( π ) sin v cos v, och från deluppgift c vet vi att cos v a. Därför är ( π ) sin v a. e) Vinkeln π/ + v bildar samma vinkel mot den positiva -aeln som vinkeln v bildar mot den positiva -aeln och därmed ser vi att -koordinaten för π/ + v är lika med -koordinaten för v med ombtt tecken, dvs. ( π ) cos + v sin v a. v v f) I detta fall är det nog enklast att använda additionsformeln för sinus, ( π ) sin + v sin π cos v + cos π sin v.

139 5 Eftersom sin(π/) /, cos(π/) /, sin v a och cos v a så kan detta skrivas som ( π ) sin + v 4.:4 a) Den trigonometriska ettan ger oss direkt att a + a. sin v cos v b. b) Använder vi återigen den trigonometriska ettan har vi att cos v + sin v sin v ± cos v. Eftersom vinkeln v ligger mellan 0 och π är sin v positiv (en vinkel i den första eller andra kvadranten har positiv -koordinat) och därför är c) Formeln för dubbla vinkeln ger att sin v cos v b. sin v sin v cos v, och från deluppgift b har vi att sin v b. Alltså är sin v b b. d) Med formeln för dubbla vinkeln och den trigonometriska ettan kan vi uttrcka cos v i termer av cos v, cos v cos v sin v cos v ( cos v) cos v b. e) Additionsformeln för sinus ger oss att ( sin v + π ) sin v cos π cos v sin π 4. Eftersom vi från deluppgift b vet vi att sin v b och sedan använder att cos(π/4) sin(π/4) / så får vi att ( sin v + π ) b 4 + b. f) Vi använder additionsformeln för cosinus och kan uttrcka cos(v π/) i termer av cos v och sin v, ( cos v π ) cos v cos π + sin v sin π. I och med att cos v b och sin v b så ger detta att ( cos v π ) b + b.

140 6 4.:5 En ofta använd teknik att beräkna cos v och tan v, givet sinusvärdet av en spetsig vinkel v, är att rita in vinkeln v i en rätvinklig triangel som har två sidor anpassade så att just sin v v Med Pthagoras sats kan vi sedan bestämma längden av den tredje sidan i triangeln, , vilket ger att v Därefter är det bara att använda definitionen av cosinus och tangens, cos v 7 6 7, tan v Anm. Notera att den rätvinkliga triangeln som vi använder är ett hjälpmedel och har inget att göra med triangeln som omnämns i uppgiftsteten. 4.:6 a) Tänker vi på vinkeln v som en vinkel i enhetscirkeln så ligger v i den fjärde kvadranten och har -koordinat 4. v

141 7 Förstorar vi upp den fjärde kvadranten så ser vi att vi kan bilda en rätvinklig triangel med hpotenusa och en katet lika med 4. v 4 b Med Pthagoras sats går det att bestämma den återstående kateten, b + ( 4 ), vilket ger att b ( ) Eftersom vinkeln v tillhör den fjärde kvadranten är dess -koordinat negativ och därför lika med b, dvs. sin v 7 4. Sedan har vi direkt att tan v sin v cos v 7/4 7 /4. b) Vi ritar in vinkeln v i enhetscirkeln, och det faktum att sin v 0 betder att dess -koordinat är lika med 0. v

142 8 Med den information som är given kan vi definiera en rätvinklig triangel i den andra kvadranten som har hpotenusa och vertikal katet 0. a v 0 Triangelns kvarvarande katet, a, kan vi bestämma med Pthagoras sats, a + ( 0 ), som ger att a ( ) Detta betder att vinkelns -koordinat är a, dvs. vi har att 9 cos v 0, och därmed att tan v sin v cos v /0 9/0 9. c) Eftersom vinkeln v uppfller π v π/ så tillhör v den tredje kvadranten i enhetscirkeln, och vidare ger tan v att linjen som svarar mot vinkeln v har riktningskoefficient. v

143 9 I den tredje kvadranten kan vi införa en rätvinklig triangel där hpotenusan är och kateterna har förhållandet :. v a Utnttjar vi nu Pthagoras sats på triangeln så ser vi att den horisontella kateten a uppfller a + (a), vilket ger oss att 0a, dvs. a 0. Därmed är vinkeln v:s -koordinat / 0 och -koordinat / 0, dvs. cos v 0, sin v 0. a 4.:7 a) Uttrcket sin( + ) kan vi skriva i termer av sin, cos, sin och cos om vi använder additionsformeln för sinus, sin( + ) sin cos + cos sin. Faktorerna cos och cos går i sin tur att uttrcka i sin och sin med hjälp av den trigonometriska ettan, cos ± sin ± ( ) ± 5, cos ± sin ± ( ) ±. Eftersom och är vinklar i den första kvadranten är cos och cos positiva, så vi har i själva verket att 5 cos och cos. Sammanlagt får vi sin( + )

144 40 b) Vi skriver om sin( + ) med additionsformeln, sin( + ) sin cos + cos sin. Om vi använder samma lösningsförfarande som i a-uppgiften använder vi sedan den trigonometriska ettan för att uttrcka de obekanta faktorerna sin och sin i termer av cos och cos, sin ± cos ± ( ) 5 ± 5 4 ± 5, sin ± cos ± ( ) 5 ± 5 9 ± 4 5. Vinklarna och ligger i den första kvadranten och därför är både sin och sin positiva, dvs. sin 5 och sin 4 5. Svaret blir således sin( + ) :8 a) Vi skriver om tan v i vänsterledet som sin v, och får cos v tan v sin v cos v. Om vi sedan använder den trigonometriska ettan, cos v + sin v, och skriver om cos v i nämnaren som sin v så får vi det eftersökta högerledet. Hela uträkningen blir tan v sin v cos v sin v sin v. b) Eftersom tan v sin v/cos v kan vänsterledet skrivas med cos v som gemensam nämnare, cos v tan v cos v sin v cos v sin v cos v. Nu observerar vi att om vi förlänger med + sin v så kommer nämnaren innehålla högerledets nämnare som faktor och dessutom kan täljaren

145 4 förenklas med konjugatregeln till sin v cos v, dvs. sin v cos v sin v + sin v cos v + sin v sin v cos v( + sin v) cos v cos v( + sin v). Förkorta sedan bort cos v och vi får svaret cos v cos v( + sin v) cos v + sin v. c) Man skulle kunna skriva tan(u/) som en kvot mellan sinus och cosinus, och sedan fortsätta med formeln för halva vinkeln, tan u sin u, cos u men eftersom detta leder till kvadratrötter och besvär med att hålla reda på rätt tecken framför rötterna så kanske det är enklare att istället gå baklänges och arbeta med högerledet. Vi skriver u som (u/) och använder formeln för dubbla vinkeln, (detta för att vi i slutänden vill nå högerledet som har u/ som argument,) ( sin u ) sin u + cos u ( + cos u ) cos u sin u + cos u sin u Skriv sedan talet i nämnaren som cos (u/) + sin (u/) med den trigonometriska ettan,. cos u sin u + cos u sin u cos u sin u cos u + sin u + cos u sin u cos u sin u sin u tan u. cos u cos u

146 4 d) Det verkar naturligt att försöka använda additionsformeln på vänsterledets täljare, cos(u + v) cos u cos v 4.:9 Formeln för dubbla vinkeln på sin 60 ger att cos u cos v sin u sin v cos u cos v sin u sin v cos u cos v tan u tan v. sin 60 cos 80 sin 80. I högerledet ser vi att faktorn cos 80 har dkt upp, och använder vi formeln för dubbla vinkeln på den andra faktorn sin 80, cos 80 sin 80 cos 80 cos 40 sin 40, så får vi fram tterligare en faktor cos 40. En sista användning av formeln för dubbla vinkeln på sin 40 ger oss alla tre cosinusfaktorer, 4 cos 80 cos 40 sin 40 4 cos 80 cos 40 cos 0 sin 0. Alltså har vi lckats visa att vilket också kan skrivas som sin 60 8 cos 80 cos 40 cos 0 sin 0, cos 80 cos 40 cos 0 sin 60 8 sin 0. Ritar vi upp enhetscirkeln ser vi att 60 bildar vinkeln 0 mot den negativa -aeln och därför har vinklarna 0 och 60 samma -koordinat i enhetscirkeln, dvs. det gäller att sin 0 sin Detta visar att cos 80 cos 40 cos 0 sin 60 8 sin 0 8.

147 4 4.4 Trigonometriska ekvationer 4.4: a) I enhetscirkelns första kvadrant finns en vinkel med sinusvärdet och det är v π/6. π/6 Av figuren ser vi också att det finns tterligare en vinkel med samma sinusvärde i den andra kvadranten. Den vinkeln bildar av smmetriskäl samma vinkel mot den negativa -aeln som v π/6 bildar mot den positiva -aeln, dvs. den andra vinkeln är v π π/6 5π/6. b) Den enklaste vinkeln att komma fram till är v π/ i den första kvadranten. När vi sedan ritar upp enhetscirkeln ser vi att vinkeln som bildar samma vinkel mot den positiva -aeln som v π/ men är under - aeln också har cosinusvärdet (samma -koordinat). π Det finns alltså två riktningar med vinklar v π/ resp. v π/ i enhetscirkeln med cosinus lika med. Eftersom vi ska svara med vinklar mellan 0 och π adderar vi π till den negativa vinkeln och får svaret v π/ och v π/ + π 5π/. c) Det finns bara en vinkel mellan 0 och π där sinusvärdet är lika med

148 44 och det är när v π/. π d) Eftersom tan v sin v/cos v så ger villkoret tan v att sin v cos v, dvs. vi söker vinklar i enhetscirkeln där - och -koordinaterna är lika. Efter att ha ritat upp enhetscirkeln och linjen ser vi att det finns två vinklar som uppfller detta villkor: v π/4 och v π + π/4 5π/4. π/4 5π 4 e) Det finns ingen vinkel v som ger cos v eftersom cosinusvärdet alltid är begränsat till mellan och. f) Ekvationen sin v kan vi översätta till att vi söker de vinklar i enhetscirkeln med -koordinat. Jämför vi detta med problemet vi hade

149 45 i deluppgift a där vi sökte vinklar som uppfller sin v + så är situationen densamma men nu ligger vinklarna spegelsmmetriskt under istället för över -aeln. De två vinklar som uppfller sin v ligger i tredje och fjärde kvadranten och är v π π/6 π/6 och v π + π/6 7π/6. g) En snabb skiss av enhetscirkeln och linjen /, som motsvarar tangensvärdet /, visar att det finns två vinklar som uppfller tan v /. En av vinklarna ligger i fjärde kvadranten och den andra vinkeln är den motsatta vinkeln i den andra kvadranten. Vi kan därför begränsa oss till den fjärde kvadranten och rita in en hjälptriangel för att bestämma vinkeln där. α

150 46 Om vi kallar den närliggande kateten till vinkeln α för, då ger det faktum att tan v / att den motstående kateten har längd /. v α / Pthagoras sats ger att + ( ), och denna ekvation har lösningen /, vilket betder att / cos α, dvs. α π/6. Eftersom vinkeln v i fjärde kvadranten är komplementet till α är v lika med v π α π π 6 π 6. Drar vi ifrån ett halvt varv, vinkeln π, får vi den andra vinkeln, v π 6 π 5π : a) Vi ritar upp enhetscirkeln och markerar de vinklar som på cirkeln har - koordinat / för att se vilka lösningar som finns mellan 0 och π. I den första kvadranten känner vi igen π/ som den vinkel som har sinusvärdet /, och sedan har vi den spegelsmmetriska lösningen π π/ π/ i den andra kvadranten.

151 47 Var och en av de två lösningarna återkommer sedan varje varv, så den fullständiga lösningen får vi om vi lägger till multiplar av π, där n är ett godtckligt heltal. π + nπ och π + nπ, Anm. När vi skriver att den fullständiga lösningen ges av π + nπ och π + nπ så betder det att för varje heltalsvärde på n får vi en lösning till ekvationen. n ±0: π/, π/ n : π/ + ( ) π, π/ + ( ) π n +: π/ + π, π/ + π n : π/ + ( ) π, π/ + ( ) π n +: π/ + π, π/ + π.. b) Ekvationen cos har i första kvadranten lösningen π/ och sedan den smmetriska lösningen π π/ 5π/ i den fjärde kvadranten.. π 5π Lägger vi till multipler av π till dessa två lösningar så får vi alla lösningar, där n är ett godtckligt heltal. π + nπ och 5π + nπ, c) Det finns två vinklar, 0 och π, i enhetscirkeln som har sinus-

152 48 värdet 0. π Den fullständiga lösningen får vi när vi lägger till multipler av π, där n är ett godtckligt heltal. 0 + nπ och π + nπ, Anm. Eftersom skillnaden mellan 0 och π är ett halvt varv upprepas lösningarna varje halvvarv och de kan sammanfattas i ett uttrck där n är ett godtckligt heltal. 0 + nπ, d) Förutom att det står 5 så har vi en vanlig trigonometrisk grundekvation av tpen sin a. Om vi bara intresserar oss för lösningar som uppfller 0 5 π så ger en skiss av enhetscirkeln att det finns två sådana lösningar: 5 π/4 och den spegelsmmetriska lösningen 5 π π/4 π/4. π/4 π 4 Ekvationens samtliga lösningar fås sedan av alla 5 som skiljer sig från någon av dessa två lösningar med en multipel av π, 5 π 4 + nπ och 5 π 4 + nπ,

153 49 där n är ett godtckligt heltal. Dividerar vi båda led med 5 så får vi lösningarna uttrckta för ensamt, π 0 + nπ 5 och π 0 + nπ, (n godtckligt heltal). 5 e) Detta är nästan eakt samma ekvation som i deluppgift d. Vi bestämmer först lösningarna till ekvationen när 0 5 π, och enligt enhetscirkeln finns två sådana lösningar: 5 π/6 och 5 π π/6 5π/6. π/6 5π/6 Resterande lösningar får vi fram genom att lägga till multipler av π till ovanstående två lösningar, 5 π 6 + nπ och 5 5π 6 + nπ, där n är ett godtckligt heltal, eller om vi dividerar med 5, π 0 + nπ 5 och π 6 + nπ, (n godtckligt heltal). 5 f) Enligt enhetscirkeln har ekvationen cos / två lösningar som uppfller 0 π, π + π 4 π 4 och π + π 4 5π 4. π + π 4 π + π 4

154 50 De övriga lösningarna får vi genom att lägga till multipler av π, π 4 + nπ och 5π 4 + nπ, det vill säga π 4 + nπ där n är ett godtckligt heltal. och 5π + nπ, 4.4: a) Högerledet i ekvationen är en konstant så ekvationen är faktiskt en vanlig trigonometrisk grundekvation av tpen cos a. I detta fall kan vi direkt se att en lösning är π/6. Därefter följer från enhetscirkeln att π π/6 π/6 är den enda andra lösningen mellan 0 och π. π 6 π π 6 Alla lösningar till ekvationen får vi om vi lägger till multipler av π till de två lösningarna ovan, π 6 där n är ett godtckligt heltal. + nπ och π 6 + nπ, b) Vi ser direkt att π/5 är en lösning till ekvationen, och med enhetscirkeln kan vi också dra slutsatsen att π π/5 4π/5 är den enda tterligare lösningen mellan 0 och π. π/5 π π 5

155 5 Samtliga lösningar till ekvationen får vi när vi adderar på heltalsmultipler av π, där n är ett godtckligt heltal. π 5 + nπ och 4π 5 + nπ, c) Om vi behandlar hela uttrcket + 40 som en obekant så har vi en trigonometrisk grundekvation och kan med hjälp av enhetscirkeln se att det finns två lösningar till ekvationen för , nämligen och den smmetriska lösningen Sedan är det enkelt att ställa upp den allmänna lösningen genom att lägga till multipler av 60, n 60 och n 60, för alla heltal n, vilket ger att 5 + n 60 och 75 + n 60. d) Först observerar vi från enhetscirkeln att ekvationen har två lösningar för 0 60, 5 och

156 5 Detta betder att ekvationens samtliga lösningar är 5 + n 60 och 65 + n 60, för alla heltal n, dvs. 5 + n 0 och 55 + n :4 Planen är att vi först tar fram den allmänna lösningen till ekvationen och sedan ser vilka vinklar som ligger mellan 0 och 60. Börjar vi med att betrakta uttrcket v + 0 som en obekant så har vi en vanlig trigonometrisk grundekvation. En lösning som vi kan se direkt är v Det finns sedan tterligare en lösning som uppfller 0 v , nämligen när v + 0 ligger i den tredje kvadranten och bildar samma vinkel mot den negativa -aeln som 0 bildar mot den positiva -aeln, dvs. v + 0 bildar vinkeln mot den negativa -aeln och är följdaktligen v Nu är det enkelt att ställa upp den allmänna lösningen, { v n 60, v n 60, där n är ett godtckligt heltal, och löser vi ut v fås { v 50 + n 80, v 0 + n 80.

157 5 För lite olika värden på heltalet n ser vi att motsvarande lösningar är:... n : v , v n : v , v n ±0: v , v n +: v , v n +: v , v n +: v , v Från tabellen ser vi att de lösningar som finns mellan 0 och 60 är v 50, v 0, v 0 och v :5 a) Om vi för en stund betraktar likheten. sin u sin v, ( ) där u har ett fit värde, så finns vanligtvis två vinklar v i enhetscirkeln som gör att likheten är uppflld, v u och v π u. v u v π u (De enda undantagen är när u π/ eller u π/ då u och π u svarar mot samma riktning och det bara finns en vinkel v som uppfller likheten.) Alla vinklar v som uppfller ( ) får vi genom att lägga till multipler av π, v u + nπ och v π u + nπ, där n är ett godtckligt heltal. Går vi nu över till vår ekvation, sin sin,

158 54 så visar resonemanget ovan att ekvationen bara är uppflld när + nπ eller π + nπ. Löser vi ut ur respektive likhet fås den fullständiga lösningen till ekvationen, 0 + nπ, π 4 + nπ, (n godtckligt heltal). b) Låt oss först undersöka när likheten tan u tan v är uppflld. Eftersom tan u kan tolkas som lutningen (riktningskoefficienten) av linjen som bildar vinkeln u med den positiva -aeln ser vi att för ett fit värde på tan u finns två vinklar v i enhetscirkeln med denna lutning, v u och v u + π. v u v u + π Vinkeln v upprepar sedan denna lutning varje halvt varv, så om vi lägger till multipler av π till u får vi alla vinklar v som uppfller likheten, v u + nπ, där n är ett godtckligt heltal. Applicerar vi detta resultat på ekvationen så ser vi att lösningarna ges av tan tan nπ, där n är ett godtckligt heltal, och löser vi ut ur detta samband fås nπ, (n godtckligt heltal).

159 55 c) En likhet av tpen cos u cos v är för ett fit värde på u uppfllt av två vinklar v i enhetscirkeln, v u och v u. u u Detta betder att alla vinklar v som uppfller likheten är v u + nπ och v u + nπ, där n är ett godtckligt heltal. Ekvationen cos 5 cos( + π/5) har därför lösningarna 5 + π 5 + nπ, 5 π 5 + nπ. Samlar vi ensamt i ena ledet får vi till slut π 0 + nπ, π 0 + nπ (n godtckligt heltal)., 4.4:6 a) Flttar vi över allt till vänsterledet, sin cos sin 0, så ser vi att båda termerna har sin som en gemensam faktor som vi kan brta ut, sin (cos ) 0. I denna faktoriserade variant av ekvationen ser vi att ekvationen har en lösning endast när någon av faktorerna sin eller cos är noll. Faktorn sin är noll för alla som ges av nπ, (n godtckligt heltal),

160 56 (se uppgift 4.4:c). Den andra faktorn cos kan aldrig vara noll eftersom cosinusvärdet alltid ligger mellan och, vilket ger att cos som störst är lika med. Alltså är lösningarna nπ. b) Efter att ha flttat över termerna i vänsterledet, sin cos cos 0, ser vi att den gemensamma faktorn cos kan brtas ut, cos ( sin ) 0, och att ekvationen bara är uppflld om åtminstone en av faktorerna cos eller sin är noll. Vi har alltså två fall: cos 0: Denna grundekvationen har lösningarna π/ och π/ i enhetscirkeln och från detta har vi att den allmänna lösningen är π + nπ och π + nπ, där n är ett godtckligt heltal. Eftersom det skiljer π mellan vinklarna π/ och π/ kan lösningarna också sammanfattas som π + nπ, (n godtckligt heltal). sin 0: Möblerar vi om i ekvationen så får vi grundekvationen sin / som har lösningarna π/4 och π/4 i enhetscirkeln och därmed är den allmänna lösningen π 4 + nπ och π 4 + nπ, där n är ett godtckligt heltal. Sammantaget har den ursprungliga ekvationen lösningarna π/4 + nπ, π/ + nπ, ( n godtckligt heltal). π/4 + nπ, c) Om vi använder det trigonometriska sambandet sin( ) sin så kan ekvationen skrivas som sin sin( ).

161 57 I a-uppgiften såg vi att en likhet av tpen sin u sin v är uppflld om u v + nπ eller u π v + nπ, där n är ett godtckligt heltal. Detta får som konsekvens att lösningarna till ekvationen uppfller + nπ eller π ( ) + nπ, där n är ett godtckligt heltal, dvs. Lösningarna till ekvationen är alltså { nπ/, nπ eller π + nπ. π + nπ, ( n godtckligt heltal). 4.4:7 a) Skärskådar vi ekvationen ser vi att bara förekommer som sin och då kan det vara lämpligt att istället för att försöka lösa ekvationen direkt för göra ett mellansteg och lösa den för sin. Skriver vi t sin och betraktar t som en n obekant så blir ekvationen t + t när den uttrcks helt i t. Detta är en vanlig andragradsekvation där vi, efter division med, kvadratkompletterar vänsterledet, t + t ( t + 4) ( 4 ) ( t + 4) 9 6, och då får ekvationen ( ) t som har lösningarna t 4 ± ± 4, dvs. t och t 4 4. Eftersom t sin betder detta att de som uppfller ekvationen i uppgiftsteten nödvändigtvis uppfller någon av grundekvationerna sin eller sin. sin : Denna ekvation har lösningarna π/6 och π π/6 5π/6 i enhetscirkeln och den allmänna lösningen är π 6 + nπ och 5π 6 + nπ, där n är ett godtckligt heltal.

162 58 sin : Ekvationen har bara en lösning π/ i enhetscirkeln och därför är den allmänna lösningen där n är ett godtckligt heltal. π + nπ, Samtliga lösningar till ekvationen är π/6 + nπ, 5π/6 + nπ, π/ + nπ, ( n godtckligt heltal). b) Om vi använder den trigonometriska ettan och skriver sin som cos så blir hela ekvationen skriven i termer av cos, ( cos ) cos 0, eller lite omstuvad, cos + cos 0. När vi väl har ekvationen helt uttrckt i cos kan vi införa en n obekant t cos och lösa ekvationen med avseende på t. Uttrckt i t är ekvationen t + t 0 och denna andragradsekvation har lösningarna t och t. I termer av betder detta att antingen är cos eller så är cos. Det första fallet inträffar när ± π + nπ, (n godtckligt heltal), medan ekvationen cos saknar helt lösningar (cosinusvärden ligger alltid mellan och ). Svaret är alltså att ekvationen har lösningarna ± π + nπ, (n godtckligt heltal). c) Vill vi lösa ekvationen cos sin 4 så behöver vi ett hjälpresultat som säger för vilka u och v som likheten cos u sin v gäller, men för att komma dit måste vi utgå från likheten cos u cos v. Allt börjar alltså med att vi tittar på likheten cos u cos v.

163 59 I enhetscirkeln vet vi att för ett fit u så finns det två vinklar v u och v u som har cosinusvärdet cos u, dvs. -koordinat lika med cos u. u u Tänk nu att hela enhetscirkeln roteras motsols vinkeln π/. Då kommer linjen cos u övergå till linjen cos u och vinklar u och u roteras till u + π/ resp. u + π/. u + π u + π Vinklarna u + π/ och u + π/ har alltså -koordinat, och därmed sinusvärde, lika med cos u. Med andra ord gäller likheten cos u sin v för fit värde på u eakt när v ±u + π/, och mer allmänt när v ±u + π + nπ, (n godtckligt heltal). För vår ekvation cos sin 4 medför detta resultat att måste uppflla 4 ± + π + nπ. Detta betder att lösningarna till ekvationen är { π/ + nπ, ( n godtckligt heltal). π/4 + nπ/7,

164 60 4.4:8 a) Använder vi formeln för dubbla vinkeln, sin sin cos, och flttar över alla termer i vänsterledet så blir ekvationen sin cos cos 0. Då ser vi att vi kan brta ut faktorn cos ur båda termerna, cos ( sin ) 0, och på så sätt dela upp ekvationen i två fall. Ekvationen är uppflld antingen om cos 0 eller om sin 0. cos 0: Denna ekvation har den allmänna lösningen π + nπ, (n godtckligt heltal). sin 0: Samlar vi sin i vänsterledet får vi grundekvationen sin / som har den allmänna lösningen { π/4 + nπ, π/4 + nπ, ( n godtckligt heltal). Hela ekvationen har den fullständiga lösningen π/4 + nπ, π/ + nπ, π/4 + nπ, ( n godtckligt heltal). b) Förutsatt att cos 0 så kan vi dela båda led med cos och få sin cos, dvs. tan. Denna grundekvation har lösningarna π/ + nπ för alla heltal n. Om däremot cos 0 så är sin ± (rita upp enhetscirkeln) och ekvationen kan inte ha någon sådan lösning. Ekvationen har alltså lösningarna π/ + nπ, (n godtckligt heltal). c) När man har en trigonometrisk ekvation som innehåller en blandning av olika trigonometriska funktioner så kan en användbar strategi vara att skriva om ekvationen så att den bara är uttrckt i en av funktionerna. Ibland är en sådan omskrivning inte helt lätt att komma på, men i detta fall är en framkomlig väg att vi ersätter talet i vänsterledets täljare

165 6 med cos + sin enligt den trigonometriska ettan. Detta gör att ekvationens vänsterled kan skrivas som cos cos + sin cos + sin cos + tan och ekvationen är då helt uttrckt i termer av tan, + tan tan. Sätter vi t tan så ser vi att ekvationen är en andragradsekvation i t som efter förenkling är t + t 0 och har rötterna t 0 och t. Det finns alltså två möjliga värden på tan : tan 0 eller tan. Den första likheten är uppflld när nπ för alla heltal n och den andra likheten när π/4 + nπ. Samtliga lösningar till ekvationen är { nπ, ( n godtckligt heltal). π/4 + nπ,

166 6 5. Matematiska formler i L A TEX 5.: Dessa enkla matematiska uttrck skriver vi i LATEX på samma sätt som de står. a) -+4 b) -+0, c) -5-(-)-5+ d) 5/+>5/(+) 5.: a) Det finns två specialtecken och ± i uttrcket 4 ± 4 och dessa två tecken skrivs med LATEX-kommandona \cdot resp. \pm. Kodningen av hela uttrcket blir därför \cdot 4\pm 4. b) Eponenter skrivs i LATEX genom att använda ^ framför eponenten. Därför blir den första termen 4^ i LATEX-snta. Kvadratroten skrivs med kommandot \sqrt följt av det som ska stå under rottecknet inom klammerparenteser. Den andra termen ges därför av \sqrt{}. Sammantaget har vi 4^-\sqrt{}. c) Specialtecknen och får vi fram med kommandona \ge resp. \cdot, och eponenterna med tecknet ^ framför eponenten. Detta betder att hela uttrcket blir 4\cdot ^n\ge n^. d) Det finns inga konstigheter i detta uttrck utan vi skriver det direkt som -(5-)-(-+5-). 5.: a) För att få ett (stort) bggt bråk i LATEX använder vi kommandot \dfrac{}{} där vi fller i täljaren inuti den första paret av klammerparenteser (i LATEXsnta) och nämnaren inuti det andra paret av klammerparenteser. Uttrcket kan därför skrivas som \dfrac{+}{^-} \dfrac{}{-}. b) Deluttrcket 5 i den första parentesen tar vi hand om genom att skriva \dfrac{5}{}. Ett första försök till LATEX-kod är därför (\dfrac{5}{}-)(-), men det ger ett resultat där det första parentesparet inte är lika stort som uttrcket det innesluter, ( 5 )( ).

167 6 Vi åtgärdar detta genom att lägga till \left och \right framför vänsterresp. högerparentesen som vi vill ha skalbara, dvs. \left(\dfrac{5}{}-\right)(-). c) Uttrcket består av ett huvudbråk där är täljare och + 4 Vår första ansats är därför utgå från är nämnare. \dfrac{}{}. I det första argumentet (inuti det första paret av klamrar) ska vi flla i täljaren och eftersom det är ett sifferbråk skriver vi det som ett litet bggt bråk med kommandot \frac{}{} ( är täljare och är nämnare). Alltså \dfrac{\frac{}{}}{}. Notera hur vi alltså har ett bråk inuti ett bråk. Det återstår att flla i nämnaren i huvudbråket och den får vi fram på liknande sätt med \frac, nämligen \frac{}{}+\frac{}{4}. Svaret blir \dfrac{\frac{}{}}{\frac{}{}+\frac{}{4}}. d) Detta uttrck är ganska komplicerat och kräver att vi tänker i steg. Till att börja med består uttrcket av ett huvudbråk, En början är därför att vi skriver någonting. \dfrac{}{}. Nämnaren består i sin tur av ett bråk som kan skrivas som +\dfrac{}{+}. Stoppar vi in detta uttrck som nämnarargument till huvudbråket får vi hela uttrcket, \dfrac{}{+\dfrac{}{+}}. 5.:4 a) De trigonometriska funktionerna sin och cos skrivs med kommandona \sin resp. \cos. Vi kan därför koda uttrcket i LATEX som \sin^ + \cos. Observera att det är nödvändigt med ett mellanslag efter kommandot \cos.

168 64 b) Argumentet till cosinus i högerledet är ett stort bggt bråk som vi ges av \dfrac{\pi}{}, där \pi ger den grekiska bokstaven π. Därmed kan hela uttrcket skrivas som \cos v \cos\dfrac{\pi}{}. c) Kommandona \cot och \tan ger de trigonometriska funktionerna cot och tan. Vi har ett bråk i högerledet och använder \dfrac där. Vi får \cot \dfrac{}{\tan }. d) Börjar vi med vänsterledet så består det dels av den trigonometriska funktionen tan, dels av argumentet u. Funktionen tan skrivs som \tan och argumentet, som är ett bråk, som \dfrac{u}{}. Vänsterledet är därför \tan\dfrac{u}{} i LATEX-snta. Fortsätter vi med högerledet så har vi ett huvudbråk där sin u är täljare och + cos u är nämnare. Täljaren kan vi skriva som \sin u och nämnaren som +\cos u. Hela högerledet blir Totalt får vi \dfrac{\sin u}{+\cos u}. \tan\dfrac{u}{} \dfrac{\sin u}{+\cos u}. 5.:5 a) Rottecknet ( ) får vi fram genom att skriva \sqrt{} där det som ska stå under rottecknet ska stå innanför klammerparenteserna. Eftersom argumentet till kvadratroten är 4 +, som skrivs som 4+^, blir hela uttrcket \sqrt{4+^}. b) Den n:te roten ur skriver man som \sqrt[n]{} och därför blir hela uttrcket där \ne är tecknet. \sqrt[n]{+} \ne \sqrt[n]{} + \sqrt[n]{}, c) Vänsterledet är roten ur roten ur. Som argument till det ttre rottecknet har vi alltså som vi skriver som \sqrt{}. Vi skriver därför vänsterledet som \sqrt{\sqrt{}} och hela uttrcket som \sqrt{\sqrt{}} \sqrt[4]{}. d) Delar vi upp uttrcket i mindre delar så får vi deluttrck som är enklare att översätta till LATEX. Vi har att 4 ges av \sqrt[4]{},

169 65 + ges av +\sqrt{}. Uttrcket 4 ska vi ha skalbara parenteser kring och upphöja till så det deluttrcket blir \left(\sqrt[4]{}\right)^. Uttrcket + ska stå under som skrivs som \sqrt[]{} och därför är + i LATEX-form: Allt som allt får vi \sqrt[]{+\sqrt{}}. \left(\sqrt[4]{}\right)^\sqrt[]{+\sqrt{}}. 5.:6 a) Den naturliga logaritmen ln skrivs som \ln och med specialtecknet (\cdot) blir kodningen rättfram, \ln (4\cdot ) \ln 4 + \ln. b) Genom att ln skrivs som \ln och som \ne så kan hela uttrcket skrivas som \ln (4-)\ne \ln 4 - \ln. c) Tvålogaritmen log får vi fram genom att använda kommandot \log för den allmänna logaritmen log, och sedan hänga på ett inde med _, dvs. log skriver vi som \log_. Högerledet är ett bråk (\dfrac) mellan ln 4 (\ln 4) och ln (\ln ), dvs. det kan skrivas som \dfrac{\ln 4}{\ln }. Svaret blir \log_ 4 \dfrac{\ln 4}{\ln }. d) Genom att använda indeet på den allmänna logaritmen log (\log) kan eponenten i vänsterledet skrivas som \log_ 4 och allting som ^{\log_ 4} 4. Vi måste omge eponenten med klamrar eftersom den består av fler än en smbol. 5.:7 a) Om vi går igenom uttrcket från vänster till höger ser vi först att eponenten till 4 är ett bggt bråk 4 och det är bättre om det bråket skrivs med ett snedstreck, dvs. vi börjar med 4^{/4}. Vidare saknar nästa deluttrck en avslutande högerparentes. Vi borde alltså skriva 4^{/4}(-(-4)).

170 66 b) Ett klassiskt fel är att använda * som multiplikationstecken. Vanligtvis använder man (\cdot) men i detta fall kan vi utelämna tecknet helt och hållet. Nästa fel är att kommandot \sqrt saknar det inledande omvända snedstrecket och att vanliga parenteser används för argumentet (det ska vara klammerparenteser). Ett bättre sätt att skriva uttrcket på är \sqrt{a+b}. c) Kommandon föregås alltid av omvända snedstreck ( \ ) i LATEX. Därför ska cot skrivas som \cot, och observera mellanslaget efter \cot. Därefter har vi i högerledet ett sifferbråk som normalt sett ska vara litet och därför skrivas med \frac, dvs. \frac{}{}. Den trigonometriska funktionen sin skrivs inte som Sin utan som \sin. Till sist ska gradtecknet ( ) skrivas som ^{\circ}. Med dessa korrektioner blir koden \cot \frac{}{}\sin 0^{\circ}.

171 67 5. Matematisk tet 5.: a) När man förkortar bort tan från båda led i ekvationen finns risken att lösningarna som uppfller tan 0 försvinner. Ekvationen till höger kan därmed ha färre lösningar än den till vänster. Du ska därför använda pilen. Anm. Det spelar ingen roll att det senare visar sig att båda ekvationerna har eakt samma lösningar. Det är vad du vet när du förkortar båda led som avgör vilken pil som används. b) Kvadrering av båda led i en ekvation kan introducera na s.k. falska rötter. Ekvationen till höger kan därför ha lösningar som ekvationen till vänster saknar. Använd pilen för att indikera detta. c) Omskrivningen av 6 som ( ) 9 är fullt korrekt och ändrar inte ekvationens lösningsmängd. Därför ska pilen stoppas in mellan ekvationerna. 5.: Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Hänvisa inte till den fiktiva personen i uppgiftsteten utan skriv en självständig lösning.. Ta bort punkten på slutet. Formeln som följer efter teten ska ingå i meningen (vilket betder att meningen behöver skrivas om).. Glöm inte att kommandon startar med ett omvänt snedstreck ( \ ) i LATEX. Skriv t.e. \cos istället för cos. 4. Undvik ovanliga förkortningar. Dessutom är det högerledets nämnare som multipliceras till båda led. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

172 68 5.: Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Numeriska bråk såsom / ska normalt sett skrivas som ett litet bggt bråk och inte som ett stort bggt bråk.. Ta bort onödiga multiplikationstecken.. Det är matematiskt fel att skriva cos när man egentligen menar cos. 4. Ta bort de inledande "---". De används troligen för att framhäva teten men det görs bättre genom att skriva fristående formler med en viss indragning. 5. Ta bort onödiga parenteser. 6. Ta bort onödigt kolon. 7. Avsluta meningen med en punkt efter den fristående formeln. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

173 69 5.:4 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Skriv inte kommentarer till läraren i lösningen. Använd istället kommentarsrutan när lösningen skickas in.. Detta kan troligtvis utföras i ett steg om man förklarar förenklingen. (Det finns också ett litet skrivfel i en av ekvationerna; borde vara.). Ett bråk i en eponent bör skrivas snedställd, dvs. /. 4. Inte bara är skild från noll, utan den måste dessutom vara ett positivt heltal för att ska vara definierad och lika med /. 5. Börja meningen med en stor bokstav. 6. Undvik ovanliga förkortningar såsom VL och HL. 7. Avsluta meningen med en punkt efter ekvationen. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

174 70 5.:5 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Skriv formler med matematiktaggen <math>.. Kommandon startar med omvänt snedstreck ( \ ) i LATEX. Skriv därför \tan och inte tan. Argument till de trigonometriska funktionerna skrivs utan parenteser, dvs. \tan och inte \tan().. Försök inte skapa egna tecken. Använd (\Leftrightarrow i LATEX). 4. Denna rad är för lång. Dela upp den i två rader (och lägg till lite förklarande tet mellan raderna). 5. Om man förkortar bort sin så måste man anta att sin 0 eftersom annars kan man förlora lösningar. Var tdlig med detta antagande (och glöm inte att specialbehandla fallet sin 0 senare.) 6. Vart tog högerledet vägen? Avsluta dessutom meningen med en punkt efter ekvationen. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

175 7 5.:6 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Ta bort dessa rader.. Det är en dålig presentation av den na lösningen att behålla den gamla versionen och sedan på slutet skriva vilka ändringar man vill göra. Ändra istället direkt i lösningen.. Formulera problemet tdligare. Är det att bevisa likheten som en identitet eller att lösa den som en ekvation? 4. I LATEX skrivs sin som \sin och inte som Sin. 5. Använd inte * som ett multiplikationstecken. I detta fall behövs inget tecken överhuvudtaget. 6. Lägg till en punkt efter ekvationen för att avsluta meningen. 7. Var mer fokuserad. Man ska förklara sin lösning men gå inte till överdrift. Det finns ingen anledning att gå in på alla detaljer i hur man nådde fram till lösningen.

176 7 En förbättrad lösning skulle kunna vara: 5.:7 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Varför använda ett stort V?. I teten ska bråket π skrivas snedställt π/ så att det smälter in bättre.. Att inkludera en figur är ofta en bra idé, men var inte slarvig. 4. Ett icke-numeriskt bråk skrivs inte som ett litet bggt bråk π. I en fristående formel ska bråket istället skrivas som ett stort bggt bråk π medan i teten skrivs det snedställt π/. 5. Läs igenom teten tterligare en gång. Denna mening blev inte helt rätt. 6. Använd inte * som ett multiplikationstecken. I detta fall kan tecknet utelämnas. 7. Detta är den fullständiga lösningen. Varför inte skriva det. Förklara också parametern n. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

177 7 5.:8 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. Standardsättet att numrera fristående formler är att skriva siffran innanför parenteser.. Bråket bör vara ett litet bggt bråk.. Teten borde inte vara i fet stil. Spara fet stil till tillfällen när något behöver betonas. 4. Avsluta meningen med en punkt. 5. Ta bort kolonet. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

178 74 5.:9 Kommentarer: (Vi anmärker bara på fel första gången de förekommer.) 0. Alla fristående formler ska ha en viss indragning.. I en fristående formel behöver man inte skriva bråk snedställda. Det finns gott om vertikalt utrmme.. Kontrollera stavningen.. Meningen ska inte avslutas här. Formeln ska vara del av meningen. 4. Använd inte * som multiplikationstecken. I detta fall kan tecknet utelämnas helt. 5. Ta bort: -->. 6. Försök att förklara bättre vad som görs. En förbättrad lösning skulle kunna vara:

179 75