KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH"

Transkript

1 KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006

2 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Innehåll Olikheter Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Ekvationer med absolutbelopp Uppgift Uppgift Olikheter med absolutbelopp Problem Problem Avståndet mellan två punkter i rummet Längden (normen) av en vektor Normerad vektor Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Uppgift Uppgift Visar om två ekvationer anger samma linje Linjens ekvation från parameterfri till parameterform

4 INNEHÅLL Bestäm skalärprodukten Bestäm vinkeln mellan två vektorer Avståndet från en punkt till en linje Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Bestäm projektionen Uppgift Uppgift Vektorprodukt Linje genom två punkter skär plan Planets ekvation för tre givna punkter Skärningen mellan två linjer Planets ekvation Normalvektor och punkt givna Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Avstånd från punkt till plan Uppgift 2. Alternativ Planets ekvation på parameterform Ligger punkten på linjen? Bestäm arean till parallellogram Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 INNEHÅLL Bestäm skärningen mellan två plan Bestäm vinkeln mellan två plan Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 OLIKHETER Olikheter Lös olikheten x 2 x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = 3 och x 2 = 2 vilket leder fram till faktoriseringen (x 3)(x + 2) < 0. 2 Svar: 2 < x < 3 x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x x (x 3)(x + 2) Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 INNEHÅLL Uppgift 2 Lös olikheten 4 x x Ställ upp tabell för teckenstudium 2 Utläs svaret ur tabellen 1 x < 2 x = 2 2 < x < 4 x = 4 x > 4 4 x x x x+2 odef + 0 Svar: 2 < x 4 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 OLIKHETER Uppgift 3 Lös olikheten x 2 + 2x + 1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x + 1) 2 (första kvadreringsregeln). 2 Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x (x+1) 2 x 1 0 odef + Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 INNEHÅLL Uppgift 4 Lös olikheten x 2 2x 3 x 2 + 2x 8 > 0 1 Faktorisera täljaren 2 Faktorisera nämnaren 3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 3 vilket leder fram till faktoriseringen (x + 1)(x 3). 2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x 2)(x + 4). 3 Vi kan nu skriva om olikheten (x + 1)(x 3) (x 2)(x + 4) 0 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x x x x (x+1)(x 3) (x 2)(x+4) + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < 2 eller x 3 (se grafen nedan) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 OLIKHETER Uppgift 5 Lös olikheten x + 1 x Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk). 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 x + 1 x 3 3; x + 1 x 3 3 0; x + 1 3(x 3) 0; x 3 x x x x < 3 x = 3 3 < x < 5 x = 5 x > x x x x 3 odef + 0 Svar: 3 < x 5 Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 INNEHÅLL Ekvationer med absolutbelopp Lös ekvationen x + 3 = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. 2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! 3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. 1 Då x = 3 är x + 3 = 0. 2,3 Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < 3 (x + 3) = 5 x = 8 Ja x 3 x + 3 = 5 x = 2 Ja Svar: x 1 = 8 och x 2 = 2 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Uppgift 2 Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 2 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. 3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 Då x = 6 är x 6 = 0 2 De två ekvationerna me gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6) x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Håkan Strömberg 12 KTH Syd

13 INNEHÅLL Uppgift 3 Lös ekvationen x x + 2x 3 = 0 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. 2 Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. 1,2 De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x 2 = 3 2 och x 3 = 4 3 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x + 1) 2(4 x) (2x 3) = 0 x = 6 Ja 1 x < 3 2 (x + 1) 2(4 x) (2x 3) = 0 x = 4 Nej 3 x < 4 (x + 1) 2(4 x) + (2x 3) = 0 x = 2 Ja 2 x 4 (x + 1) + 2(4 x) + (2x 3) = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x 2 = 2 (se grafen nedan) Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 OLIKHETER MED ABSOLUTBELOPP Olikheter med absolutbelopp Problem 1 Lös olikheten x 2 + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x 2 = 0 och det x 2 för vilket x 4 = 0 2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x 2 och ett då x > x 2. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. 1 x 1 = 2 och x 2 = 4 2 Intervallen är x < 2, 2 x 4 och x > 4. 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 2 (x 2) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < 2 2 x < 4 (x 2) (x 4) < 8 Alltid 2 x < 4 x > 4 (x 2) + (x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 INNEHÅLL Problem 2 Lös olikheten 2x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 x 1 = 0, x 2 = 2 och x 3 = 5 2 De fyra intervallen är 3 x < 0 0 x < 2 2 x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (2x 4) x < (5 x) x > < x < 0 0 x < 2 (2x 4) + x < (5 x) Alltid 0 x < 2 2 x < 5 (2x 4) + x < (5 x) x < x < 9 4 x 5 (2x 4) + x < (5 x) x < 1 2 Inget x Svar: 1 2 < x < 9 4 Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 AVSTÅNDET MELLAN TVÅ PUNKTER I RUMMET Avståndet mellan två punkter i rummet Endast som en del i ett större problem. Bestäm avståndet mellan punkterna P 1 = (5, 9, 7) och P 2 = (1, 2, 3) 1 Vi använder direkt avståndsformeln 1 P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 P 1 P 2 = (5 1) 2 + (9 2) 2 + (7 3) 2 = = 81 = 9 Svar : Avståndet mellan punkterna är 9 Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 INNEHÅLL Längden (normen) av en vektor Endast som en del i ett större problem. Bestäm längden av vektorn v = (6, 3, 2) 1 Vi använder följande formel v = v v2 2 + v2 3 1 v = = = 49 = 7 Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 NORMERAD VEKTOR Normerad vektor Endast som en del i ett större problem. Bestäm den normerade vektorn r till 1 Bestäm längden av vektorn v v = (4, 8, 1) 2 När vi dividerar varje komposant med v får vi den normerade vektorn r. ( v1 r = v, v 2 v, v ) 3 v 1 2 Svar: r = ( 4 9, 8 9, 1 ) 9 v = = = 9 r = ( 4 9, 8 9, 1 ) 9 Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 INNEHÅLL Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1, 4, 2) och P 2 = (9, 4, 3) 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation 1 Vi väljer punkten P 1 2 r väljs till P 1 P 2 P1 P 2 = (9, 4, 3) (1, 4, 2) = (8, 0, 1) 3 x = 1 + 8t y = 4 + 0t z = 2 + 1t Det finns fyra närliggande sätt att konstruera linjens ekvation. Två val av punkten och två sätt av bestämma riktningsvektorn. Svar: x = 1 + 8t y = 4 z = 2 + t Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 BESTÄM LINJENS EKVATION MED HJÄLP AV TVÅ PUNKTER Uppgift 2 Bestäm ekvationen, på vektorform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1, 4, 2) och P 2 = (9, 4, 3) 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation 1 Vi väljer punkten P 2 2 r = P 2 P 1 = ( 8, 0, 1) 3 P 2 + P 2 P 1 t = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t Svar: (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t Håkan Strömberg 20 KTH Syd

21 INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm ekvationen, på parameterfri form, för den linje, som går genom punkterna P 1 = (6, 5, 4) och P 2 = (1, 2, 3). 1 Välj en av de givna punkterna till punkten P 0 1 Bestäm en riktningsvektor r = (r 1, r 2, r 3 ) 2 Följande formel ger direkt ekvationen på parameterfri form x x 0 r 1 = y y 0 r 2 = z z 0 r 3 1 Vi väljer punkten P 1 2 r = (6, 5, 4) (1, 2, 3) = (5, 3, 1) 3 Med hjälp av formeln får vi nu x 6 5 = y 5 3 = z 4 1 Svar: x 6 5 = y 5 3 = z 4 Håkan Strömberg 21 KTH Syd

22 VISAR OM TVÅ EKVATIONER ANGER SAMMA LINJE Visar om två ekvationer anger samma linje Är de två linjerna och l 1 = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t l 2 = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t identiska? 1 P 1 är den punkt som erhålles då t = 0 i l 1 2 Ta reda på om P 1 är möjlig att erhålla genom lämpligt valt t för l 2. Om så vet vi att P 1 även ligger på l 2. Om inte vet vi redan nu att linjerna inte är identiska. 3 P 2 är den punkt vi erhåller då t = 0 i l 2 4 Ta på samma sätt reda på om P 2 ligger på l 1. Om så är fallet vet vi att P 2 ligger på l 1. 5 Om två linjer har två gemensamma punkter är de identiska. 1 P 1 = (9, 4, 3) 2 Sök t i 3 P 2 = (1, 4, 2) 2 Sök t i (9, 4, 3) = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t (8, 0, 1) = (16, 0, 2)t t = 1 2 (1, 4, 2) = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t ( 8, 0, 1) = ( 8, 0, 1)t t = 1 Svar: De två linjerna innehåller båda punkterna P 1 och P 2 vilket betyder att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 22 KTH Syd

23 INNEHÅLL Linjens ekvation från parameterfri till parameterform Överför linjens ekvation till parameterform x 3 2 = y + 2 = z 3 1 Sätt var och en av de tre uttrycken lika med t och lös ut x, y respektive z Svar: 1 x 3 2 = t x = 3 + 2t y + 2 = t y = 2 + t z 3 = t z = 0 + 3t x = 3 + 2t y = 2 + t z = 3t Håkan Strömberg 23 KTH Syd

24 BESTÄM SKALÄRPRODUKTEN Bestäm skalärprodukten Bestäm skalärprodukten till de två vektorerna v = (2, 4, 3) och u = (1, 2, 5) 1 Vi använder direkt formeln på de två vektorerna v = (v 1, v 2, v 3 ) och u = (u 1, u 2, u 3 ) v u = (v 1, v 2, v 3 ) (u 1, u 2, u 3 ) = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 1 Vi har vektorerna v = (2, 4, 3) och u = (1, 2, 5) och får (2, 4, 3) (1, 2, 5) = ( 2) = = 9 Svar: v u = 9 Håkan Strömberg 24 KTH Syd

25 INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två vektorer Bestäm vinkeln mellan vektorerna v = (0, 2, 1) och u = (5, 1, 5) 1 Bestäm v och u 2 Bestäm v u 3 Använd sedan formeln för att bestämma cosθ 4 I sista steget har vi att bestämma cosθ = θ = arccos v u v u ( ) v u v u 1 v = ( 2) = 5 u = ( 1) 2 + ( 5) 2 = v u = (0, 2, 1) (5, 1, 5) = ( 2) ( 1) + 1 ( 5) = 3 3 cosθ = 5 51 ( ) 3 θ = arccos 5 51 ( ) 3 Svar: θ = arccos 5 51 Längre än så kommer vi inte utan räknedosa eller dator. Däremot kan det vara bra att kunna följande samband ( ) 1 arccos = π 2 3 = 60 arccos(0) = π 2 = 90 ( ) 3 arccos = π ( ) = 30 arccos 2 = π 4 = 45 Håkan Strömberg 25 KTH Syd

26 AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Avståndet från en punkt till en linje Givet punkten P 1 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, 1) + ( 4, 1, 1)t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 Bilda en vektor v, som startar i godtycklig punkt P på linjen och slutar i P 1. 2 Ta fram en riktningsvektor r till linjen l. 3 Vektorerna v och r ska vara vinkelräta mot varandra. Detta betyder att v r = 0. Ställ upp detta uttryck. 4 Eftersom t ingår i uttrycket har vi en ekvation som ska lösas. 5 Rötterna till ekvationen ger punkten P. 6 Då vi har både P 1 och P kan nu det eftersökta avståndet bestämmas 1 P = (10 4t, 5 t, 1 + t) är en godtycklig punkt på linjen. Den eftersökta vektorn blir v = PP1 = (10 4t, 5 t, 1 + t)(3, 7, 9) = ( 7 + 4t, 2 + t, 10 t) 2 För t = 0 och t = 1 får vi bekvämt två punkter på linjen P 2 = (10, 5, 1) och P 3 = (6, 4, 0) och bildar r = (10, 5, 1)(6, 4, 0) = ( 4, 1, 1) 3 Vi bestämmer skalärprodukten v r v r = ( 7 + 4t, 2 + t, 10 t) ( 4, 1, 1) = ( 4)( 7 + 4t) + ( 1)(2 + t) + 1(10 t) = 28 16t 2 t + 10 t = 36 18t 4 Vi löser nu i huvudet ekvationen v r = 0, som alltså är 36 18t = 0 med roten t = 2 5 Genom t = 2 får vi punkten P = (10 4 2, 5 2, 1 + 2) = (2, 3, 1) 6 Avståndet mellan P och P1 är (2 3)2 + (3 7) 2 + (1 9) 2 = = 9 Svar: Det sökta avståndet är 9 Håkan Strömberg 26 KTH Syd

27 INNEHÅLL Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Givet punkten P 0 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, 1) + ( 4, 1, 1)t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 För den givna punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och en linje genom punkten P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) med riktningsvektorn r = (a, b, c) får vi direkt avståndet genom formeln y 2 0 y 1 z 0 z 1 b c + z 2 0 z 1 x 0 x 1 c a + x 2 0 x 1 y 0 y 1 a b a 2 + b 2 + c 2 1 Vi sätter in talen för r = ( 4, 1, 1), P 1 = (10, 5, 1) och P 0 = (3, 7, 9) ( 1) ( 1) ( 4) 2 + ( 1) Svar: Det sökta avståndet är ( 4) 2 + ( 1) = 81 = 9 18 I planet är motsvarande formel betydligt enklare. Givet linjen ax + by + c = 0 och P 0 = (x 0, y 0 ) vars avstånd d till linjen ska bestämmas. Formeln nedan ger svaret d = ax 0 + by 0 + c a2 + b Håkan Strömberg 27 KTH Syd

28 BESTÄM PROJEKTIONEN Bestäm projektionen Bestäm den vinkelräta projektionen av u = (14, 21, 7) i riktningen v = (2, 6, 3) 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r) r 1a v = = 49 = 7 1b Svar: 2 Beräkna 3 Beräkna ( u r) r ( 38 7, 114 7, 57 ) 7 r = u r = (14, 21, 7) ( 2 7, 6 7, 3 ) 7 ( 2 7, 6 7, 3 ) = = 19 7 ( , 6 7, 3 ) ( 38 = 7 7, 114 7, 57 ) 7 Håkan Strömberg 28 KTH Syd

29 INNEHÅLL Uppgift 2 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3) på vektorn u = (2, 1, 1). Lösning 1 w har samma riktning som u, men är troligtvis inte lika lång. Teckna där för w som en faktor k gånger u, alltså som w = k u. 2 w + p = v leder till p = v w. Vi kan alltså uttrycka p med hjälp av w och v. 3 p ska vara vinkelrät mot w och då är p w = 0. En ekvation med k som obekant. En av de erhållna rötterna ger oss det tal man ska multiplicera u med för att få w 1 w = k u = k(2, 1, 1) = (2k, k, k) 2 p = v w = (1, 4, 3) (2k, k, k) = (1 2k, 4 k, 3 k) 3 w p = 0 ger nu (1 2k, 4 k, 3 k) (2k, k, k) = 0 2k(1 2k) + k(4 k) + k( 3 k) = 0 3k(1 2k) = 0 k 1 = 1 2 k 1 = 0 Nu har vi k och kan skriva w = ( 1, 1 2, 1 ) 2 Vi kommer alltid att få k = 0 som en rot till ekvationen ovan därför att vektorn (0, 0, 0) (nollvektorn) är vinkelrät mot alla vektorer (även till sig själv!) Håkan Strömberg 29 KTH Syd

30 BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 3 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3) på vektorn u = (2, 1, 1). Använd direkt formeln w = v u u 2 u w = (1, 4, 3) (2, 1, 1) (2, 1, 1) w = ( 3)1 6 w = 3 (2, 1, 1) 6 w = ( 1, 1, ) (2, 1, 1) Håkan Strömberg 30 KTH Syd

31 INNEHÅLL Vektorprodukt Bestäm vektorprodukten av vektorerna v = (1, 2, 3) och u = (1, 1, 0) 1 Ställ upp determinanten 2 Beräkna determinanten 1 Vi har de tre enhetsvektorerna e x = (1, 0, 0) e y = (0, 1, 0) e x = (0, 0, 1) och får determinanten v u = (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) Svar: ( 3, 3, 1) (1, 0, 0) 2 0 (0, 1, 0) (0, 0, 1) 1 1 (0, 0, 1) (0, 1, 0) 3 1 (1, 0, 0) 3 1 = (0, 0, 1) (0, 0, 2) + (0, 3, 0) (3, 0, 0) = ( , , ) = ( 3, 3, 1) Håkan Strömberg 31 KTH Syd

32 LINJE GENOM TVÅ PUNKTER SKÄR PLAN Linje genom två punkter skär plan Givet två punkter P 1 = (1, 2, 3) och P 2 = (4, 1, 6). Var skär linjen, genom dessa punkter, planet 2x + 3y + 4z = 5? 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation 1 På vektorform får vi l = (1, 2, 3)+t (4, 1, 6)(1, 2, 3) som i parameterform ger x = 1 3t y = 2 + 3t z = 3 3t 2 3 2(1 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 3t) = 5 2(1 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 3t) = 5 2 6t t t = t = 5 t = x = = 4 y = = 7 z = Svar: Den eftersökta punkten är ( 4, 7, 2) Håkan Strömberg 32 KTH Syd

33 INNEHÅLL Planets ekvation för tre givna punkter Tre punkter P 1 = (1, 3, 0), P 2 = (3, 2, 1) och P 3 = (3, 3, 2) är givna. Bestäm planets ekvation på normalform. 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna. 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. 1 v = P 2 P 1 = (1, 3, 0) (3, 2, 1) = ( 2, 1, 1) och u = P 3 P 1 = (1, 3, 0) (3, 3, 2) = ( 2, 0, 2) 2 3 n = u v = e x e y e z = 2 e x 2 e y + 2 e z = ( 2, 2, 2) 2x 2y + 2z + d = 0 när vi till exempel sätter in punkten P 1 = (1, 3, 0) får vi får vi d = d = 0 Svar: 2x 2y + 2z + 8 = 0 eller varför inte 2x + 2y 2z = 8 Håkan Strömberg 33 KTH Syd

34 SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ LINJER Skärningen mellan två linjer Bestäm skärningspunkten mellan de två linjerna l 1 = (1, 2, 3) + (4, 5, 6)t och l 2 = ( 1, 4, 4) + (2, 7, 7)t 1 Konvertera linjernas ekvationer till parameterform 2 Byt ut t mot s i en av ekvationerna! 3 Ställ upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta 4 Använd de två första ekvationerna för att få s och t 5 Sätt in erhållna värden på s och t i den tredje ekvationen. Om likhet erhålles skär verkligen ekvationerna varandra. 6 Använd antingen t-värdet i den första ekvationen eller s-värdet i den andra för att erhålla skärningspunkten. 1 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = ( 1 + 2t, 4 + 7t, 4 + 7t) 2 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = ( 1 + 2s, 4 + 7s, 4 + 7s) t = 1 + 2s 2 + 5t = 4 + 7s 3 + 6t = 4 + 7s 4 { 1 + 4t = 1 + 2s 2 + 5t = 4 + 7s 5 ger = 1 och t = 1 (behöver förstås inte vara lika) 3 + 6( 1) = 4 + 7( 1) 3 = 3 Likhet råder, alltså har vi funnit en skärningspunkt. 6 Vi använder t = 1 i l 1 och får (x, y, z) = (1 + 4( 1), 2 + 5( 1), 3 + 6( 1)) = ( 3, 3, 3) Svar: Skärningspunkten ( 3, 3, 3) Håkan Strömberg 34 KTH Syd

35 INNEHÅLL Planets ekvation. Normalvektor och punkt givna Bestäm planets ekvation då vi känner en normalvektor n = (1, 2, 3) till planet och en punkt P 0 = (4, 5, 6) som ligger i planet 1 Använd formeln med normalvektorn n = (A, B, C) och P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 2 Förenkla uttrycket för att nå fram till 1 Insatt i formeln får vi A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Ax + By + CZ = D 1(x 4) + 2(y 5) + 3(z 6) = 0 2 Förenkling 1(x 4) + 2(y 5) + 3(z 6) = 0 x 4 + 2y z 18 = 0 x + 2y + 3z = 32 Svar: Planets ekvation kan skrivas x + 2y + 3z = 32 Håkan Strömberg 35 KTH Syd

36 PLANETS EKVATION Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Bestäm planets ekvation på normalform då punkten P = (1, 2, 2) och riktningsvektorerna v = (3, 1, 2) och u = (2, 6, 4) är givna. 1 Med punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och riktningsvektorerna r 1 = (a 1, b 1, c 1 ) och r 2 = (a 2, b 2, c 2 ) får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 1 x 1 y 2 z = (x 1) (y 2) (z 2) 3 6 (x 1) 2 6 (y 2) 3 4 (z 2) 1 2 = 8(x 1) 8(y 2) + 16(z 2) = 8x + 8 8y z 32 = 8x 8y + 16z 8 Svar: Ekvationen kan skrivas x y + 2z = 1 Den här metoden kan användas även för 3 punkter givna, genom att bilda två riktningsvektorer 2 punkter och en riktningsvektor givna, genom att bilda ytterligare en riktningsvektor med hjälp av de två punkterna. Håkan Strömberg 36 KTH Syd

37 INNEHÅLL Avstånd från punkt till plan Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y + 4z + 5 = 0. 1 Bestäm normalvektorn n till planet 2 Bestäm ekvationen för den linje l, som går genom P 1 och har riktning n 3 Bestäm linjens skärningpunkt P 2 med planet genom att ersätta x, y och z med motsvarande uttryck i t. 4 Sätt in t-värdet i linjens ekvation och erhåll skärningspunkten 5 Bestäm avståndet mellan P 1 och P 2 1 Normalvektorn är n = (2, 3, 4) 2 Den sökta linjen l har ekvationen (x, y, z) = (1, 2, 4) + (2, 3, 4)t Vi skriver den på parameterfri form x = 1 + 2t y = 2 + 3t z = 4 + 4t 3 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) + 4(4 + 4t) + 5 = t t t + 5 = 0 29t + 29 = 0 t = 1 4 Skärningspunkten P 2 = ( 1, 1, 0) 5 Avståndet mellan P 1 och P 2 är x = 1 + 2( 1) = 1 y = 2 + 3( 1) = 1 z = 4 + 4( 1) = 0 d = (1 ( 1)) 2 + (2 ( 1)) 2 + (4 0) 2 = = 29 Svar: Avståndet är 29 Håkan Strömberg 37 KTH Syd

38 AVSTÅND FRÅN PUNKT TILL PLAN Uppgift 2. Alternativ Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y + 4z + 5 = 0. 1 Med punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och planets ekvation Ax + By + Cz + d = 0 kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 1 d = = = Svar: 29 Håkan Strömberg 38 KTH Syd

39 INNEHÅLL Planets ekvation på parameterform Tre punkter är givna P 1 = (1, 2, 3), P 2 = (4, 5, 6) och P 3 = (7, 7, 7); Skriv planets ekvation på parameterform. 1 Bilda två vektorer, r 1 och r 2, med hjälp av de tre punkterna. 2 Välj ut en av de tre punkterna 3 Ställ upp planets ekvation 1 r 1 = P 1 P 3 = (7, 7, 7) (1, 2, 3) = (6, 5, 4) r 2 = P 1 P 2 = (7, 7, 7) (4, 5, 6) = (3, 2, 1) 2 Vi väljer punkten P 2 3 x = 4 + 6t + 3s y = 5 + 5t + 2s z = 6 + 4t + 1s För varje val av s och t får vi en punkt i planet. Håkan Strömberg 39 KTH Syd

40 LIGGER PUNKTEN PÅ LINJEN? Ligger punkten på linjen? Ta reda på om punkten P = (1, 2, 4) ligger på linjen x = 5 + 8t y = 5 + 6t z = 6 + 4t 1 Bestäm t så att punktens x-koordinat hamnar på linjen. 2 Då ska också för samma t-värde både y- och z-koordinaten ligga på linjen 1 1 = 5 + 8t ger t = ( 1) = 2 vilket visar att y-koordinaten hamnar rätt ( 1 ) = 4, så 2 även z-koordinaten. Punkten ligger alltså på linjen. Så fort en av dessa två undersökningarna leder till motsägelse, ligger punkten utanför linjen. Svar: Punkten ligger på linjen Håkan Strömberg 40 KTH Syd

41 INNEHÅLL Bestäm arean till parallellogram Bestäm arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna v = (8, 2, 7) och u = (7, 8, 3). 1 Denna area A = v u. Bestäm först w = v u 2 och därefter w 1 Uppställningen av v u ger e x e y e z w = v u = = = 2 3 e x e y e z 7 8 e x 8 3 e y 2 7 e z = (6 56) e x + (49 24) e y + (64 14) e z = ( 50, 25, 50) 2 A = ( 50) = 5625 = 75 Svar: Arean av det uppspända parallellogrammet är 75 a.e. Håkan Strömberg 41 KTH Syd

42 BESTÄM SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ PLAN Bestäm skärningen mellan två plan Bestäm skärningen mellan planen 4y x z = 3 och 3x 11y + 3z = 6. 1 Sätt z = t och lös det uppkomna ekvationssystemet med avseende på x och y. { A1 x + B 1 y + C 1 t = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 t = D 2 2 Svaret ger oss direkt ekvationen för den linje som beskriver skärningen mellan planen 1 { x + 4y t = 3 3x 11y + 3t = 6 2 Vi löser först ut x ur den första ekvationen och får x = 4y 3 t. Detta resultat sätter vi in i den andra ekvationen, som vi löser med avseende på y 3(4y 3 t) 11y + 3t = 6 12y 9 3t 11y + 3t = 6 y = 15 y = 15 insatt i x = 4y 3 t ger x = 57 t. Vi har nu x, y och z uttryckta i t och kan skriva linjens ekvation x = 57 1 t = 57 t y = t = 15 z = t = t Svar: x = 57 t y = 15 z = t Håkan Strömberg 42 KTH Syd

43 INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två plan Bestäm vinkeln θ, mellan planen 5x + 3y 8z = 3 och 9x + 4y + z = 8. 1 Ta fram normalvektorerna n 1 och n 2 2 Beräkna normalvektorernas norm, n 1 och n 2. 3 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln. ( ) n1 n 2 θ = arccos n 1 n 2 1 n 1 = (5, 3, 8) och n 1 = (9, 4, 1). 2 n 1 = ( 8) 2 = 98 och n 2 = = 98 3 θ = arccos Svar: Vinkeln mellan planen är 60 (5, 3, 8) (9, 4, 1) = arccos = arccos = π 3 Håkan Strömberg 43 KTH Syd

44 BESTÄM VINKELN MELLAN EN LINJE OCH ETT PLAN Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Bestäm vinkeln mellan planet 5x + 3y + 8z = 10 linjen x = 3 + 2t y = 4 + t z = 9 + t 1 Ta fram en normalvektor n till planet 2 Bestäm längden hos n 3 Ta fram en riktningsvektor r till linjen 4 Bestäm längden hos r 5 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln α mellan r och n. ( ) n r α = arccos n r 6 Vinkeln θ, mellan planet och linjen är då θ = π/2 α 1 n = (5, 3, 8) 2 n = = 98 = r = (2, 1, 1) 4 r = = 6 5 ( ) (5, 3, 8) (2, 1, 1) 21 α = arccos = arccos = arccos = arccos 2 = π 6 6 θ = π 2 π 6 = π 3 Svar: Vinkeln mellan planet och linjen är 60 Håkan Strömberg 44 KTH Syd

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.06.07 08.30 10.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg Version 1.0 :: 20 januari 2015 @ 16:52 INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg 20 januari 2015 ii Innehåll 1 Introduktion till vektorer 1 1.1 Begreppet vektor.....................................

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0. 1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Mer om geometriska transformationer

Mer om geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö högskola Malmö 2014 2 Kapitel 1 Linjära ekvationssystem Att lösa ekvationer Vi vill lösa ekvationen 2x 6 = 0 Att lösa

Läs mer

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha ANALYTISK GEOMETRI Xantcha 4 april 06 Innehåll Linjer och plan Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Planets ekvation Incidens 4 Incidens mellan plan 4 Incidens mellan linje och plan 5 3 Incidens

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer