KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
|
|
- Carina Ekström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006
2 Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 Innehåll Olikheter Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Ekvationer med absolutbelopp Uppgift Uppgift Olikheter med absolutbelopp Problem Problem Avståndet mellan två punkter i rummet Längden (normen) av en vektor Normerad vektor Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Uppgift Uppgift Visar om två ekvationer anger samma linje Linjens ekvation från parameterfri till parameterform
4 INNEHÅLL Bestäm skalärprodukten Bestäm vinkeln mellan två vektorer Avståndet från en punkt till en linje Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Bestäm projektionen Uppgift Uppgift Vektorprodukt Linje genom två punkter skär plan Planets ekvation för tre givna punkter Skärningen mellan två linjer Planets ekvation Normalvektor och punkt givna Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Avstånd från punkt till plan Uppgift 2. Alternativ Planets ekvation på parameterform Ligger punkten på linjen? Bestäm arean till parallellogram Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 INNEHÅLL Bestäm skärningen mellan två plan Bestäm vinkeln mellan två plan Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 OLIKHETER Olikheter Lös olikheten x 2 x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = 3 och x 2 = 2 vilket leder fram till faktoriseringen (x 3)(x + 2) < 0. 2 Svar: 2 < x < 3 x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x x (x 3)(x + 2) Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 INNEHÅLL Uppgift 2 Lös olikheten 4 x x Ställ upp tabell för teckenstudium 2 Utläs svaret ur tabellen 1 x < 2 x = 2 2 < x < 4 x = 4 x > 4 4 x x x x+2 odef + 0 Svar: 2 < x 4 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 OLIKHETER Uppgift 3 Lös olikheten x 2 + 2x + 1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x + 1) 2 (första kvadreringsregeln). 2 Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x (x+1) 2 x 1 0 odef + Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 INNEHÅLL Uppgift 4 Lös olikheten x 2 2x 3 x 2 + 2x 8 > 0 1 Faktorisera täljaren 2 Faktorisera nämnaren 3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 3 vilket leder fram till faktoriseringen (x + 1)(x 3). 2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x 2)(x + 4). 3 Vi kan nu skriva om olikheten (x + 1)(x 3) (x 2)(x + 4) 0 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x x x x (x+1)(x 3) (x 2)(x+4) + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < 2 eller x 3 (se grafen nedan) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 OLIKHETER Uppgift 5 Lös olikheten x + 1 x Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk). 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen 1 x + 1 x 3 3; x + 1 x 3 3 0; x + 1 3(x 3) 0; x 3 x x x x < 3 x = 3 3 < x < 5 x = 5 x > x x x x 3 odef + 0 Svar: 3 < x 5 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 INNEHÅLL Ekvationer med absolutbelopp Lös ekvationen x + 3 = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. 2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! 3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. 1 Då x = 3 är x + 3 = 0. 2,3 Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < 3 (x + 3) = 5 x = 8 Ja x 3 x + 3 = 5 x = 2 Ja Svar: x 1 = 8 och x 2 = 2 Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Uppgift 2 Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 2 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. 3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 Då x = 6 är x 6 = 0 2 De två ekvationerna me gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6) x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Håkan Strömberg 12 KTH Syd
13 INNEHÅLL Uppgift 3 Lös ekvationen x x + 2x 3 = 0 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. 2 Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. 1,2 De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x 2 = 3 2 och x 3 = 4 3 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x + 1) 2(4 x) (2x 3) = 0 x = 6 Ja 1 x < 3 2 (x + 1) 2(4 x) (2x 3) = 0 x = 4 Nej 3 x < 4 (x + 1) 2(4 x) + (2x 3) = 0 x = 2 Ja 2 x 4 (x + 1) + 2(4 x) + (2x 3) = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x 2 = 2 (se grafen nedan) Håkan Strömberg 13 KTH Syd
14 OLIKHETER MED ABSOLUTBELOPP Olikheter med absolutbelopp Problem 1 Lös olikheten x 2 + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x 2 = 0 och det x 2 för vilket x 4 = 0 2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x 2 och ett då x > x 2. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. 1 x 1 = 2 och x 2 = 4 2 Intervallen är x < 2, 2 x 4 och x > 4. 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 2 (x 2) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < 2 2 x < 4 (x 2) (x 4) < 8 Alltid 2 x < 4 x > 4 (x 2) + (x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Håkan Strömberg 14 KTH Syd
15 INNEHÅLL Problem 2 Lös olikheten 2x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 x 1 = 0, x 2 = 2 och x 3 = 5 2 De fyra intervallen är 3 x < 0 0 x < 2 2 x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (2x 4) x < (5 x) x > < x < 0 0 x < 2 (2x 4) + x < (5 x) Alltid 0 x < 2 2 x < 5 (2x 4) + x < (5 x) x < x < 9 4 x 5 (2x 4) + x < (5 x) x < 1 2 Inget x Svar: 1 2 < x < 9 4 Håkan Strömberg 15 KTH Syd
16 AVSTÅNDET MELLAN TVÅ PUNKTER I RUMMET Avståndet mellan två punkter i rummet Endast som en del i ett större problem. Bestäm avståndet mellan punkterna P 1 = (5, 9, 7) och P 2 = (1, 2, 3) 1 Vi använder direkt avståndsformeln 1 P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 P 1 P 2 = (5 1) 2 + (9 2) 2 + (7 3) 2 = = 81 = 9 Svar : Avståndet mellan punkterna är 9 Håkan Strömberg 16 KTH Syd
17 INNEHÅLL Längden (normen) av en vektor Endast som en del i ett större problem. Bestäm längden av vektorn v = (6, 3, 2) 1 Vi använder följande formel v = v v2 2 + v2 3 1 v = = = 49 = 7 Håkan Strömberg 17 KTH Syd
18 NORMERAD VEKTOR Normerad vektor Endast som en del i ett större problem. Bestäm den normerade vektorn r till 1 Bestäm längden av vektorn v v = (4, 8, 1) 2 När vi dividerar varje komposant med v får vi den normerade vektorn r. ( v1 r = v, v 2 v, v ) 3 v 1 2 Svar: r = ( 4 9, 8 9, 1 ) 9 v = = = 9 r = ( 4 9, 8 9, 1 ) 9 Håkan Strömberg 18 KTH Syd
19 INNEHÅLL Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1, 4, 2) och P 2 = (9, 4, 3) 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation 1 Vi väljer punkten P 1 2 r väljs till P 1 P 2 P1 P 2 = (9, 4, 3) (1, 4, 2) = (8, 0, 1) 3 x = 1 + 8t y = 4 + 0t z = 2 + 1t Det finns fyra närliggande sätt att konstruera linjens ekvation. Två val av punkten och två sätt av bestämma riktningsvektorn. Svar: x = 1 + 8t y = 4 z = 2 + t Håkan Strömberg 19 KTH Syd
20 BESTÄM LINJENS EKVATION MED HJÄLP AV TVÅ PUNKTER Uppgift 2 Bestäm ekvationen, på vektorform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1, 4, 2) och P 2 = (9, 4, 3) 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation 1 Vi väljer punkten P 2 2 r = P 2 P 1 = ( 8, 0, 1) 3 P 2 + P 2 P 1 t = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t Svar: (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t Håkan Strömberg 20 KTH Syd
21 INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm ekvationen, på parameterfri form, för den linje, som går genom punkterna P 1 = (6, 5, 4) och P 2 = (1, 2, 3). 1 Välj en av de givna punkterna till punkten P 0 1 Bestäm en riktningsvektor r = (r 1, r 2, r 3 ) 2 Följande formel ger direkt ekvationen på parameterfri form x x 0 r 1 = y y 0 r 2 = z z 0 r 3 1 Vi väljer punkten P 1 2 r = (6, 5, 4) (1, 2, 3) = (5, 3, 1) 3 Med hjälp av formeln får vi nu x 6 5 = y 5 3 = z 4 1 Svar: x 6 5 = y 5 3 = z 4 Håkan Strömberg 21 KTH Syd
22 VISAR OM TVÅ EKVATIONER ANGER SAMMA LINJE Visar om två ekvationer anger samma linje Är de två linjerna och l 1 = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t l 2 = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t identiska? 1 P 1 är den punkt som erhålles då t = 0 i l 1 2 Ta reda på om P 1 är möjlig att erhålla genom lämpligt valt t för l 2. Om så vet vi att P 1 även ligger på l 2. Om inte vet vi redan nu att linjerna inte är identiska. 3 P 2 är den punkt vi erhåller då t = 0 i l 2 4 Ta på samma sätt reda på om P 2 ligger på l 1. Om så är fallet vet vi att P 2 ligger på l 1. 5 Om två linjer har två gemensamma punkter är de identiska. 1 P 1 = (9, 4, 3) 2 Sök t i 3 P 2 = (1, 4, 2) 2 Sök t i (9, 4, 3) = (1, 4, 2) + (16, 0, 2)t (8, 0, 1) = (16, 0, 2)t t = 1 2 (1, 4, 2) = (9, 4, 3) + ( 8, 0, 1)t ( 8, 0, 1) = ( 8, 0, 1)t t = 1 Svar: De två linjerna innehåller båda punkterna P 1 och P 2 vilket betyder att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 22 KTH Syd
23 INNEHÅLL Linjens ekvation från parameterfri till parameterform Överför linjens ekvation till parameterform x 3 2 = y + 2 = z 3 1 Sätt var och en av de tre uttrycken lika med t och lös ut x, y respektive z Svar: 1 x 3 2 = t x = 3 + 2t y + 2 = t y = 2 + t z 3 = t z = 0 + 3t x = 3 + 2t y = 2 + t z = 3t Håkan Strömberg 23 KTH Syd
24 BESTÄM SKALÄRPRODUKTEN Bestäm skalärprodukten Bestäm skalärprodukten till de två vektorerna v = (2, 4, 3) och u = (1, 2, 5) 1 Vi använder direkt formeln på de två vektorerna v = (v 1, v 2, v 3 ) och u = (u 1, u 2, u 3 ) v u = (v 1, v 2, v 3 ) (u 1, u 2, u 3 ) = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 1 Vi har vektorerna v = (2, 4, 3) och u = (1, 2, 5) och får (2, 4, 3) (1, 2, 5) = ( 2) = = 9 Svar: v u = 9 Håkan Strömberg 24 KTH Syd
25 INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två vektorer Bestäm vinkeln mellan vektorerna v = (0, 2, 1) och u = (5, 1, 5) 1 Bestäm v och u 2 Bestäm v u 3 Använd sedan formeln för att bestämma cosθ 4 I sista steget har vi att bestämma cosθ = θ = arccos v u v u ( ) v u v u 1 v = ( 2) = 5 u = ( 1) 2 + ( 5) 2 = v u = (0, 2, 1) (5, 1, 5) = ( 2) ( 1) + 1 ( 5) = 3 3 cosθ = 5 51 ( ) 3 θ = arccos 5 51 ( ) 3 Svar: θ = arccos 5 51 Längre än så kommer vi inte utan räknedosa eller dator. Däremot kan det vara bra att kunna följande samband ( ) 1 arccos = π 2 3 = 60 arccos(0) = π 2 = 90 ( ) 3 arccos = π ( ) = 30 arccos 2 = π 4 = 45 Håkan Strömberg 25 KTH Syd
26 AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Avståndet från en punkt till en linje Givet punkten P 1 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, 1) + ( 4, 1, 1)t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 Bilda en vektor v, som startar i godtycklig punkt P på linjen och slutar i P 1. 2 Ta fram en riktningsvektor r till linjen l. 3 Vektorerna v och r ska vara vinkelräta mot varandra. Detta betyder att v r = 0. Ställ upp detta uttryck. 4 Eftersom t ingår i uttrycket har vi en ekvation som ska lösas. 5 Rötterna till ekvationen ger punkten P. 6 Då vi har både P 1 och P kan nu det eftersökta avståndet bestämmas 1 P = (10 4t, 5 t, 1 + t) är en godtycklig punkt på linjen. Den eftersökta vektorn blir v = PP1 = (10 4t, 5 t, 1 + t)(3, 7, 9) = ( 7 + 4t, 2 + t, 10 t) 2 För t = 0 och t = 1 får vi bekvämt två punkter på linjen P 2 = (10, 5, 1) och P 3 = (6, 4, 0) och bildar r = (10, 5, 1)(6, 4, 0) = ( 4, 1, 1) 3 Vi bestämmer skalärprodukten v r v r = ( 7 + 4t, 2 + t, 10 t) ( 4, 1, 1) = ( 4)( 7 + 4t) + ( 1)(2 + t) + 1(10 t) = 28 16t 2 t + 10 t = 36 18t 4 Vi löser nu i huvudet ekvationen v r = 0, som alltså är 36 18t = 0 med roten t = 2 5 Genom t = 2 får vi punkten P = (10 4 2, 5 2, 1 + 2) = (2, 3, 1) 6 Avståndet mellan P och P1 är (2 3)2 + (3 7) 2 + (1 9) 2 = = 9 Svar: Det sökta avståndet är 9 Håkan Strömberg 26 KTH Syd
27 INNEHÅLL Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Givet punkten P 0 = (3, 7, 9) och linjen l = (10, 5, 1) + ( 4, 1, 1)t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 För den givna punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och en linje genom punkten P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) med riktningsvektorn r = (a, b, c) får vi direkt avståndet genom formeln y 2 0 y 1 z 0 z 1 b c + z 2 0 z 1 x 0 x 1 c a + x 2 0 x 1 y 0 y 1 a b a 2 + b 2 + c 2 1 Vi sätter in talen för r = ( 4, 1, 1), P 1 = (10, 5, 1) och P 0 = (3, 7, 9) ( 1) ( 1) ( 4) 2 + ( 1) Svar: Det sökta avståndet är ( 4) 2 + ( 1) = 81 = 9 18 I planet är motsvarande formel betydligt enklare. Givet linjen ax + by + c = 0 och P 0 = (x 0, y 0 ) vars avstånd d till linjen ska bestämmas. Formeln nedan ger svaret d = ax 0 + by 0 + c a2 + b Håkan Strömberg 27 KTH Syd
28 BESTÄM PROJEKTIONEN Bestäm projektionen Bestäm den vinkelräta projektionen av u = (14, 21, 7) i riktningen v = (2, 6, 3) 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r) r 1a v = = 49 = 7 1b Svar: 2 Beräkna 3 Beräkna ( u r) r ( 38 7, 114 7, 57 ) 7 r = u r = (14, 21, 7) ( 2 7, 6 7, 3 ) 7 ( 2 7, 6 7, 3 ) = = 19 7 ( , 6 7, 3 ) ( 38 = 7 7, 114 7, 57 ) 7 Håkan Strömberg 28 KTH Syd
29 INNEHÅLL Uppgift 2 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3) på vektorn u = (2, 1, 1). Lösning 1 w har samma riktning som u, men är troligtvis inte lika lång. Teckna där för w som en faktor k gånger u, alltså som w = k u. 2 w + p = v leder till p = v w. Vi kan alltså uttrycka p med hjälp av w och v. 3 p ska vara vinkelrät mot w och då är p w = 0. En ekvation med k som obekant. En av de erhållna rötterna ger oss det tal man ska multiplicera u med för att få w 1 w = k u = k(2, 1, 1) = (2k, k, k) 2 p = v w = (1, 4, 3) (2k, k, k) = (1 2k, 4 k, 3 k) 3 w p = 0 ger nu (1 2k, 4 k, 3 k) (2k, k, k) = 0 2k(1 2k) + k(4 k) + k( 3 k) = 0 3k(1 2k) = 0 k 1 = 1 2 k 1 = 0 Nu har vi k och kan skriva w = ( 1, 1 2, 1 ) 2 Vi kommer alltid att få k = 0 som en rot till ekvationen ovan därför att vektorn (0, 0, 0) (nollvektorn) är vinkelrät mot alla vektorer (även till sig själv!) Håkan Strömberg 29 KTH Syd
30 BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 3 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3) på vektorn u = (2, 1, 1). Använd direkt formeln w = v u u 2 u w = (1, 4, 3) (2, 1, 1) (2, 1, 1) w = ( 3)1 6 w = 3 (2, 1, 1) 6 w = ( 1, 1, ) (2, 1, 1) Håkan Strömberg 30 KTH Syd
31 INNEHÅLL Vektorprodukt Bestäm vektorprodukten av vektorerna v = (1, 2, 3) och u = (1, 1, 0) 1 Ställ upp determinanten 2 Beräkna determinanten 1 Vi har de tre enhetsvektorerna e x = (1, 0, 0) e y = (0, 1, 0) e x = (0, 0, 1) och får determinanten v u = (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) Svar: ( 3, 3, 1) (1, 0, 0) 2 0 (0, 1, 0) (0, 0, 1) 1 1 (0, 0, 1) (0, 1, 0) 3 1 (1, 0, 0) 3 1 = (0, 0, 1) (0, 0, 2) + (0, 3, 0) (3, 0, 0) = ( , , ) = ( 3, 3, 1) Håkan Strömberg 31 KTH Syd
32 LINJE GENOM TVÅ PUNKTER SKÄR PLAN Linje genom två punkter skär plan Givet två punkter P 1 = (1, 2, 3) och P 2 = (4, 1, 6). Var skär linjen, genom dessa punkter, planet 2x + 3y + 4z = 5? 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation 1 På vektorform får vi l = (1, 2, 3)+t (4, 1, 6)(1, 2, 3) som i parameterform ger x = 1 3t y = 2 + 3t z = 3 3t 2 3 2(1 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 3t) = 5 2(1 3t) + 3(2 + 3t) + 4(3 3t) = 5 2 6t t t = t = 5 t = x = = 4 y = = 7 z = Svar: Den eftersökta punkten är ( 4, 7, 2) Håkan Strömberg 32 KTH Syd
33 INNEHÅLL Planets ekvation för tre givna punkter Tre punkter P 1 = (1, 3, 0), P 2 = (3, 2, 1) och P 3 = (3, 3, 2) är givna. Bestäm planets ekvation på normalform. 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna. 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. 1 v = P 2 P 1 = (1, 3, 0) (3, 2, 1) = ( 2, 1, 1) och u = P 3 P 1 = (1, 3, 0) (3, 3, 2) = ( 2, 0, 2) 2 3 n = u v = e x e y e z = 2 e x 2 e y + 2 e z = ( 2, 2, 2) 2x 2y + 2z + d = 0 när vi till exempel sätter in punkten P 1 = (1, 3, 0) får vi får vi d = d = 0 Svar: 2x 2y + 2z + 8 = 0 eller varför inte 2x + 2y 2z = 8 Håkan Strömberg 33 KTH Syd
34 SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ LINJER Skärningen mellan två linjer Bestäm skärningspunkten mellan de två linjerna l 1 = (1, 2, 3) + (4, 5, 6)t och l 2 = ( 1, 4, 4) + (2, 7, 7)t 1 Konvertera linjernas ekvationer till parameterform 2 Byt ut t mot s i en av ekvationerna! 3 Ställ upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta 4 Använd de två första ekvationerna för att få s och t 5 Sätt in erhållna värden på s och t i den tredje ekvationen. Om likhet erhålles skär verkligen ekvationerna varandra. 6 Använd antingen t-värdet i den första ekvationen eller s-värdet i den andra för att erhålla skärningspunkten. 1 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = ( 1 + 2t, 4 + 7t, 4 + 7t) 2 (x, y, z) = (1 + 4t, 2 + 5t, 3 + 6t) och (x, y, z) = ( 1 + 2s, 4 + 7s, 4 + 7s) t = 1 + 2s 2 + 5t = 4 + 7s 3 + 6t = 4 + 7s 4 { 1 + 4t = 1 + 2s 2 + 5t = 4 + 7s 5 ger = 1 och t = 1 (behöver förstås inte vara lika) 3 + 6( 1) = 4 + 7( 1) 3 = 3 Likhet råder, alltså har vi funnit en skärningspunkt. 6 Vi använder t = 1 i l 1 och får (x, y, z) = (1 + 4( 1), 2 + 5( 1), 3 + 6( 1)) = ( 3, 3, 3) Svar: Skärningspunkten ( 3, 3, 3) Håkan Strömberg 34 KTH Syd
35 INNEHÅLL Planets ekvation. Normalvektor och punkt givna Bestäm planets ekvation då vi känner en normalvektor n = (1, 2, 3) till planet och en punkt P 0 = (4, 5, 6) som ligger i planet 1 Använd formeln med normalvektorn n = (A, B, C) och P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 2 Förenkla uttrycket för att nå fram till 1 Insatt i formeln får vi A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Ax + By + CZ = D 1(x 4) + 2(y 5) + 3(z 6) = 0 2 Förenkling 1(x 4) + 2(y 5) + 3(z 6) = 0 x 4 + 2y z 18 = 0 x + 2y + 3z = 32 Svar: Planets ekvation kan skrivas x + 2y + 3z = 32 Håkan Strömberg 35 KTH Syd
36 PLANETS EKVATION Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Bestäm planets ekvation på normalform då punkten P = (1, 2, 2) och riktningsvektorerna v = (3, 1, 2) och u = (2, 6, 4) är givna. 1 Med punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och riktningsvektorerna r 1 = (a 1, b 1, c 1 ) och r 2 = (a 2, b 2, c 2 ) får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 1 x 1 y 2 z = (x 1) (y 2) (z 2) 3 6 (x 1) 2 6 (y 2) 3 4 (z 2) 1 2 = 8(x 1) 8(y 2) + 16(z 2) = 8x + 8 8y z 32 = 8x 8y + 16z 8 Svar: Ekvationen kan skrivas x y + 2z = 1 Den här metoden kan användas även för 3 punkter givna, genom att bilda två riktningsvektorer 2 punkter och en riktningsvektor givna, genom att bilda ytterligare en riktningsvektor med hjälp av de två punkterna. Håkan Strömberg 36 KTH Syd
37 INNEHÅLL Avstånd från punkt till plan Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y + 4z + 5 = 0. 1 Bestäm normalvektorn n till planet 2 Bestäm ekvationen för den linje l, som går genom P 1 och har riktning n 3 Bestäm linjens skärningpunkt P 2 med planet genom att ersätta x, y och z med motsvarande uttryck i t. 4 Sätt in t-värdet i linjens ekvation och erhåll skärningspunkten 5 Bestäm avståndet mellan P 1 och P 2 1 Normalvektorn är n = (2, 3, 4) 2 Den sökta linjen l har ekvationen (x, y, z) = (1, 2, 4) + (2, 3, 4)t Vi skriver den på parameterfri form x = 1 + 2t y = 2 + 3t z = 4 + 4t 3 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) + 4(4 + 4t) + 5 = t t t + 5 = 0 29t + 29 = 0 t = 1 4 Skärningspunkten P 2 = ( 1, 1, 0) 5 Avståndet mellan P 1 och P 2 är x = 1 + 2( 1) = 1 y = 2 + 3( 1) = 1 z = 4 + 4( 1) = 0 d = (1 ( 1)) 2 + (2 ( 1)) 2 + (4 0) 2 = = 29 Svar: Avståndet är 29 Håkan Strömberg 37 KTH Syd
38 AVSTÅND FRÅN PUNKT TILL PLAN Uppgift 2. Alternativ Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1, 2, 4) till planet med ekvationen 2x + 3y + 4z + 5 = 0. 1 Med punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och planets ekvation Ax + By + Cz + d = 0 kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 1 d = = = Svar: 29 Håkan Strömberg 38 KTH Syd
39 INNEHÅLL Planets ekvation på parameterform Tre punkter är givna P 1 = (1, 2, 3), P 2 = (4, 5, 6) och P 3 = (7, 7, 7); Skriv planets ekvation på parameterform. 1 Bilda två vektorer, r 1 och r 2, med hjälp av de tre punkterna. 2 Välj ut en av de tre punkterna 3 Ställ upp planets ekvation 1 r 1 = P 1 P 3 = (7, 7, 7) (1, 2, 3) = (6, 5, 4) r 2 = P 1 P 2 = (7, 7, 7) (4, 5, 6) = (3, 2, 1) 2 Vi väljer punkten P 2 3 x = 4 + 6t + 3s y = 5 + 5t + 2s z = 6 + 4t + 1s För varje val av s och t får vi en punkt i planet. Håkan Strömberg 39 KTH Syd
40 LIGGER PUNKTEN PÅ LINJEN? Ligger punkten på linjen? Ta reda på om punkten P = (1, 2, 4) ligger på linjen x = 5 + 8t y = 5 + 6t z = 6 + 4t 1 Bestäm t så att punktens x-koordinat hamnar på linjen. 2 Då ska också för samma t-värde både y- och z-koordinaten ligga på linjen 1 1 = 5 + 8t ger t = ( 1) = 2 vilket visar att y-koordinaten hamnar rätt ( 1 ) = 4, så 2 även z-koordinaten. Punkten ligger alltså på linjen. Så fort en av dessa två undersökningarna leder till motsägelse, ligger punkten utanför linjen. Svar: Punkten ligger på linjen Håkan Strömberg 40 KTH Syd
41 INNEHÅLL Bestäm arean till parallellogram Bestäm arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna v = (8, 2, 7) och u = (7, 8, 3). 1 Denna area A = v u. Bestäm först w = v u 2 och därefter w 1 Uppställningen av v u ger e x e y e z w = v u = = = 2 3 e x e y e z 7 8 e x 8 3 e y 2 7 e z = (6 56) e x + (49 24) e y + (64 14) e z = ( 50, 25, 50) 2 A = ( 50) = 5625 = 75 Svar: Arean av det uppspända parallellogrammet är 75 a.e. Håkan Strömberg 41 KTH Syd
42 BESTÄM SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ PLAN Bestäm skärningen mellan två plan Bestäm skärningen mellan planen 4y x z = 3 och 3x 11y + 3z = 6. 1 Sätt z = t och lös det uppkomna ekvationssystemet med avseende på x och y. { A1 x + B 1 y + C 1 t = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 t = D 2 2 Svaret ger oss direkt ekvationen för den linje som beskriver skärningen mellan planen 1 { x + 4y t = 3 3x 11y + 3t = 6 2 Vi löser först ut x ur den första ekvationen och får x = 4y 3 t. Detta resultat sätter vi in i den andra ekvationen, som vi löser med avseende på y 3(4y 3 t) 11y + 3t = 6 12y 9 3t 11y + 3t = 6 y = 15 y = 15 insatt i x = 4y 3 t ger x = 57 t. Vi har nu x, y och z uttryckta i t och kan skriva linjens ekvation x = 57 1 t = 57 t y = t = 15 z = t = t Svar: x = 57 t y = 15 z = t Håkan Strömberg 42 KTH Syd
43 INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två plan Bestäm vinkeln θ, mellan planen 5x + 3y 8z = 3 och 9x + 4y + z = 8. 1 Ta fram normalvektorerna n 1 och n 2 2 Beräkna normalvektorernas norm, n 1 och n 2. 3 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln. ( ) n1 n 2 θ = arccos n 1 n 2 1 n 1 = (5, 3, 8) och n 1 = (9, 4, 1). 2 n 1 = ( 8) 2 = 98 och n 2 = = 98 3 θ = arccos Svar: Vinkeln mellan planen är 60 (5, 3, 8) (9, 4, 1) = arccos = arccos = π 3 Håkan Strömberg 43 KTH Syd
44 BESTÄM VINKELN MELLAN EN LINJE OCH ETT PLAN Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Bestäm vinkeln mellan planet 5x + 3y + 8z = 10 linjen x = 3 + 2t y = 4 + t z = 9 + t 1 Ta fram en normalvektor n till planet 2 Bestäm längden hos n 3 Ta fram en riktningsvektor r till linjen 4 Bestäm längden hos r 5 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln α mellan r och n. ( ) n r α = arccos n r 6 Vinkeln θ, mellan planet och linjen är då θ = π/2 α 1 n = (5, 3, 8) 2 n = = 98 = r = (2, 1, 1) 4 r = = 6 5 ( ) (5, 3, 8) (2, 1, 1) 21 α = arccos = arccos = arccos = arccos 2 = π 6 6 θ = π 2 π 6 = π 3 Svar: Vinkeln mellan planet och linjen är 60 Håkan Strömberg 44 KTH Syd
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merMoment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument
Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merÖvningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0
Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merMoment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.
Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merÖvningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1
Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs merMoment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så
Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merVektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.
Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merAtt beräkna:: Avstånd
Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merEftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merVektorgeometri och funktionslära
Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras),
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merkan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.
vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merVektorer för naturvetare. Kjell Elfström
Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merEXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON
EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF90 Torsdag augusti Skrivtid: 4:00-8:00 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 0 av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 0 poäng
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merÖvningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp
Övningstentamen i MA00 Tillämpad Matematik II, 7hp Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal Varken räknedosa eller
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merAnmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.
VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 2 november 2016 Skalärprodukt Dagens ämne: Skalärprodukt, kapitel 1.3-1.4 i boken Definition, skalärprodukt på två sätt Vinklar mellan vektorer Norm Plan och
Läs mer3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs mer3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.
Läs merTillämpad Matematik II Övning 1
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Tillämpad Matematik II Övning Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna
Läs merBetygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merBeräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs mer