SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Transkript

1 SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. (a) En triangel har sina hörn i punkterna P 1 = (1,1,0), P = (,,) och P 3 = (,3,1). Beräkna triangelns area. (b) En fjärde punkt P 4 = (3,,1) utgör tillsammans med P 1, P och P 3 hörnen i en tetraeder. Beräkna denna tetraeders volym.. Låt matrisen vara given A = (a) Visa att A är inverterbar och beräkna dess invers. (b) Lös ekvationssystemen AX = B, AY = C och AZ = B +C, där 0 B =, och C = För vilka värden på konstanten a finns det en vektor u sådan att om v = (1,a, 1) och w = (1,,3)? u v = w, 4. Låt (e 1,e,e 3 ) vara en bas för rummets vektorer. (a) Visa att de tre vektorerna f 1,f,f 3, där f 1 = e 1 + e + e 3 f = e 1 + e + e 3 f 3 = e 1 + ae + e 3, också bildar en bas, oavsett värdet på konstanten a. (b) Antag att u = (9, 1,6) i basen (e 1,e,e 3 ). Finns det något värde på a som gör att u = (1,,3) i basen (f 1,f,f 3 )? 5. Lös ekvationssystemet { X + AY = A + E AX + Y = A där X och Y är obekanta -matriser, E är enhetsmatrisen (av typ ) och 0 1 A =. 0 Tips: Försök först lösa systemet som om det vore ett vanligt ekvationssystem med två ekvationer och två variabler X och Y.

2 SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs Lösningsförslag 1. (a) Sätt u = P 1 P = (1,1,) och v = P 1 P 3 = (1,,1). Triangeln med hörn i P 1, P och P 3 har en area som är lika med halva arean av den parallellogram som spänns upp av u och v. Denna area ges i sin tur av längden av vektorprodukten u v. Formeln för beräkning av vektorprodukt ger u v = ( 3,1,1), som är en vektor av längd ( 3) = 11. Den sökta triangelarean är alltså 11/. (b) Sätt w = P 1 P 4 = (,1,1). Vektorerna u, v och w spänner upp en parallellepiped, vars volym är sex gånger så stor som volymen av tetraedern med hörn i P 1, P, P 3 och P 4. Volymen av parallellipepeden fås (sånär som på tecknet) av volymfunktionen V(u,v,w), som är lika med determinanten av en matris, vars kolonner utgörs av koordinaterna för vektorerna u, v och w. Vi får 1 1 V(u,v,w) = = 4 Parallellepipeden har alltså volymen 4, vilket innebär att vår tetraeder därmed har volymen 4/6 = /3. Svar: (a) 11/ (b) /3. (a) Att visa att A är inverterbar görs enklast genom att beräkna dess determinant och konstatera att denna inte är noll. Med hjälp av t.ex. Sarrus regel fås att deta = 0. Alltså är A inverterbar. Men det går också bra att visa att A är inverterbar genom att rätt coh slätt beräkna dess invers, vilket ju vi fått i uppdrag att göra i vilket fall som helst! Vi kan bestämma A 1 genom att lösa ett ekvationssystem med A som koefficientmatris och med ett allmänt högerled: x + x 3 = y x 1 + x = y 3 1 x + x 3 = y x x 3 = y 1 y 3 1 x + x 3 = y x 3 = y 1 y + y 3 x + x 3 = y + x 3 = y 1 y + y 3 x 1 = y 1 y + y 3 x = y 1 + y + y 3 x 3 = y 1 y + y 3. +

3 (I det tredje steget har de två första ekvationerna multiplicerats med, detta för att slippa bråktal i beräkningarna.) Från det sista ekvationssystemet kan vi (efter divsion av respektive ekvation med antingen eller ), från koefficientmatrisen i högerledet läsa av att A 1 = (b) Här skulle vi kunna skriva var och en av matrisekvationerna som linjära ekvatiossystem och lösa vart och ett av dessa för sig, med hjälp av Gausselimination. Det är givetvis inget fel att göra så, men med tanke på att vi i (a) redan har beräknat A 1 blir det litet som att uppfinna hjulet på nytt. Enklare är att unyttja att AX = B X = A 1 B = = och AY = C Y = A 1 C = = Därmed blir 1 AZ = B +C Z = A 1 (B +C) = A 1 B +A 1 C = X +Y = = Svar: (a) A 1 = (b) X = 1 1 3, Y = 1 1 3, Z = Sätt u = (x 1,x,x 3 ). Då får med hjälp av formeln för vektorprodukt, att u v = ( x ax 3,x 1 +x 3,ax 1 x ). Detta ska bli lika med vektorn w = (1,,3). Med andra ord vill vi att ekvationssystemet x ax 3 = 1 x 1 + x 3 = ax 1 x = 3 ska ha en lösning.

4 För att en entydig lösning ska finnas till ekvationssystemet, måste ekvationssystemets koefficientmatris 0 1 a A = a 1 0 vara inverterbar, vilket är fallet om och endast om deta 0. Nu visar det sig emellertid att deta = 0, oavsett värdet på a. Ekvationssystemet ovan har därmed antingen oändligt många lösningar eller inga lösningar alls, och vi är intresserade av när det förstnämnda inträffar. Om ekvationen i mitten multipliceras med a och resultatet adderas till den tredje ekvationen, får vi systemet x ax 3 = 1 x 1 + x 3 = x ax 3 = 3 a. Vi noterar att den första och den tredje ekvationen har samma vänsterled. För att en lösning överhuvudtaget ska finnas måste därför motsvarande högerled vara lika, d.v.s. 1 = 3 a a = 1. För detta värde på a får vi det underbestämda systemet { x x 3 = 1 x 1 + x 3 = som har oändligt många lösningar. Vi konstaterar att det finns en vektor u (i själva verket oändligt många) som uppfyller u v = w, endast om a = 1. Svar: a = 1 4. När det gäller basbyten i allmänhet så gäller att om X är en kolonnmatris, varselementärkoordinaternaförenvektoruibasen(e 1,e,e 3 ),ochomy är motsvarande kolonnmatris för u:s koordinater i basen (f 1,f,f 3 ), så gäller X = TY, (1) där T är transformationsmatrisen, eller basbytesmatrisen. Denna har som sina kolonner koordinaterna för i tur och ordning f 1,f,f 3, d.v.s. i detta fall 1 1 T = 1 a, och måste vara en inverterbar matris, för att (f 1,f,f 3 ) överhuvudtaget ska kunna vara en bas. Vi beräknar T:s determinant och finner vi att dett = 1 0, oavsett värdet på a4. Detta visar att (f 1,f,f 3 ) alltid kommer att utgöra en bas, oberoende av a:s värde.

5 För att vektorn u = (9, 1,6) ska kunna ha koordinaterna (1,,3) i basen (f 1,f,f 3 ), så måste ekvation (1) vara uppfylld för 9 1 X = 1 och Y =. 6 3 Vi får TY = = 5+3a, a från vilket vi ser att vi måste ha 5+3a = 1, d.v.s. a =. Svar: a = 5. Vi löser först ekvationssystemet med Gausselimination. Genom att multiplicera båda leden i den första ekvationen från vänster med A och addera resultatet till den andra ekvationen, kommer X att elimineras från denna. Vi får det ekvivalenta systemet { X + AY = A+E (E A )Y = A. Matrisen E A är inverterbar; i själva verket är E A = = = = E. 0 1 Ekvationen (E A )Y = A kan alltså förenklas till EY = A, vilket innebär att Y = A 0 = = E. 0 Eftersom X +AY = A+E, ger detta i sin tur att X = A+E AY = A+E A(E) = A+E A = E A = = Svar: X = E A = 1 1, Y = A = 1 0 0