Tillämpad Matematik II Övning 1

Transkript

1 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Tillämpad Matematik II Övning Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand Låt,, 3,, 4, och 3,,.. Rita a b c d e 3 f 3 g 3 h i Lösningsförslag: Standard vektoralgebra. 3 3

2 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN 3. Rita 3. Lösningsförslag: Standard vektoralgebra Bestäm och 4. Lösningsförslag: Standard vektoralgebra., 0, 4 4, 0, 9 4. Bestäm längden av. Lösningsförslag: a x a y a z Bestäm längden av 3.

3 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 3 Lösningsförslag: Standard vektoralgebra. 3 4, 0, 9 och längden d x d y d z Ange x-komposanten av, samt z-komponenten av. Lösningsförslag: Skilj på komposant och komponent 4, 0, 4, 0, 0 4, 0, 0 och komponent.,, Bestäm,,, och. Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning.. Handberäknad , 8, ,, 8. Beräkna, 346 samt 5. Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning

4 4 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Beräkna 5. Lösningsförslag: Ännu en fingerövning.. 0, 5, , 50, Bestäm och samt vinkeln dem emellan. Lösningsförslag: Grundläggande vektorräkning., 8, 4, 0,,, , 54, 7 6,, Definition av skalärprodukt cos ger nu direkt mellanliggande vinkel. ArcCos... cos 0 05

5 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 5, 80 N.4534, Bestäm en enhetsvektor i :s riktning. Lösningsförslag: En enhetsvektor i samma riktning ges av. Detta ska du kunna härleda! , 7, 4. Bestäm en vektor med längden 5 motsatt riktad. Lösningsförslag: Gammal repris, 4, En enhetsvektor i samma riktning ges av som dras ut till rätt längd 5..., 4, 5. 5, 0, 0 3. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 4. Lösningsförslag: Enhetsvektor i given vektor :s riktning ges av, fyran kan vi strunta i , 7, 4 4. Bestäm en enhetsvektor i riktningen 35. Lösningsförslag: Dessa enhetsvektorer

6 6 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN 3 5 8, 4, 9 En enhetsvektor i samma riktning ges av , , Bestäm en vektor så att 3 och har samma riktning som. Lösningsförslag: Nästan en reprisen enhetsvektor i samma riktning som ges av. Detta ska du kunna härleda! , 7, 4 Slutligen drar vi ut den till önskad längd ,3 7, Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive. Sök koordinaterna för en punkt P som ligger på sträckan AB tre gånger så långt från A som från B. Lösningsförslag: Linjärkombination 3 4, 7, Bestäm vinkeln mellan vektorerna och. Lösningsförslag: Direkt tillämpning på definition av skalärprodukt cos, där är den sökta vinkeln. ArcCos N... cos Bestäm vinkeln mellan AB och BC om punkterna A, B, C har ortsvektorerna, respektive.

7 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 7 Lösningsförslag: Vi får enligt definition av vektor mellan två punkter. AB,, 5 BC,, Varav slutligen med definition av skalärprodukt ArcCos 5 cos 3 33 AB.AB AB.BC BC.BC 9. Bestäm vinkeln mellan och. Lösningsförslag: Vi får enligt definition av skalärprodukt. ArcCos... cos Bestäm s så att vektorn s blir vinkelrät mot vektorn. Lösningsförslag: Om s s 0. Solve s. 0 s 3. Bestäm s så att längden av vektorn s blir minimal. Lösningsförslag: Vi får en vektor som funktion av s. s s,4s, s 3 Likaså dess längd. d. s s 3 4 s En bild piggar alltid upp! Plotd, s,,, PlotStyle Red, AxesLabel "s", "" s Nu är det bara att söka s så att d blir minimal, det vill säga sök derivatans nollställe. När man räknar för hand är det enklare att derivera d istället. Den antar min för samma s. Derivatan av d återfinns som inre derivatan i täljaren nedan. ddds Dd, s

8 8 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN s4 s 38 4 s s s 3 4 s smin Solveddds 0, s s Slutligen min d (utom tävlan). d. smin First N Vi känner igen linjens ekvation s. Ortsvektorn för en punkt på linjen är ju som kortast då den bildar rät vinkel med linjen. Så lite kortare Solve s. 0 s. Bestäm s så att vektorn s 3 blir parallell med vektorn 3 4. Lösningsförslag: Vi vet att t. Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer; x- och y-komponenterna med de två variablerna s och t. ekv, s, 3 t 3, 4 s, 3 s3 t, 4 t Solveekv s 0, t 7 3. Bestäm projektionen av på. Lösningsförslag: Se föreläsningsanteckningar för härledning men eftersom vi inte hittar dessa eller "kommer ihåg" formeln för projektion får vi härleda. Om är den önskade projektionsvektorn har vi två grundläggande samband som hjälper oss. s 0 s0 s.. 3 7, 7, 7 4. Låt vara en enhetsvektor med samma riktning som. Bestäm projektionen av på. Lösningsförslag: Först. 3 4, 7, 4 Eftersom vi inte "kommer ihåg" formeln för projektion får vi härleda. Om är den önskade projektionsvektorn har vi två grundläggande samband som hjälper oss.

9 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 9 s 0 s0 s Nu är det bara att räkna på Simplify 3 4 6, 7 3, 7 5. Hur många % längre är :s projektion på än :s projektion på? Rita! Lösningsförslag: Om man inte kommer ihåg "projektionsformeln" får man härleda bpåc , 3 7, 3 4 cpåb.. 3, 5, 6 Jämför nu längderna bpåc.bpåc cpåb.cpåb 00 N Bestäm en enhetsvektor som är vinkelrät mot och! Lösningsförslag: Det är bara att kryssa på! Givetvis duger även. 6,, 6 och normera den

10 0 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN. 6 93, 93, 6 93 Som svar kan vi nu välja eller. 7. Bestäm vektorn om och, har längden 3 samt bildar spetsig vinkel med. Lösningsförslag: Vi har två kandidater s där och s väljes så att önskad längd erhålles. 6,, 6 Spetsig med? I så fall är True Ok, om inte, så välj. Sedan är det bara att fixa till så att vi får önskad längd , 3 93, Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot! Lösningsförslag: Projektionen av på är ju den parallella komposanten.. 3 7, 7, 7 och den vinkelräta eftersom, 4 7, 6 0, Bestäm arean av den parallellogram som som spänns upp av och. Lösningsförslag: Vi kommer ihåg den geometriska tolkningen av vektorprodukt. Arean A av parallellogrammen som spänns upp av och är A. 6,, Bestäm arean av den triangel som spänns upp av och. Lösningsförslag: Direkt geometrisk tillämpning av vektorprodukt. Arean A p av parallellogrammen som spänns upp av och är A p. 8, 8, 8

11 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning A t Bestäm vinkeln mellan diagonalerna i den parallellogram som spänns upp av och. Lösningsförslag: Diagonalerna ges av respektive, 4, 4, 0, 4 Nu är det bara att använda definition av skalärprodukt. Först lite godis på vägen. 0 Nu är egentligen saken klar. Eftersom 0. Men för sportens skull ArcCos... Som sig bör 3. Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av, och. Lösningsförslag: Direkt geometrisk tillämpning av skalär trippelprodukt. V. 40 Det finns sex varianter, tre negativa och tre positiva, som till beloppet är lika.,.,.,.,.,. 40, 40, 40, 40, 40, Bestäm volymen av den tetraeder som spänns upp av, och.. Belopp- Lösningsförslag: Tetraedern spänner upp av volymen av motvarande parallellepiped, det vill säga V 6 6 stecken om vi är intresserade av hur mycket vi kan hälla i den. 6 Abs Låt r, 0, och 5, 7, r. Sök r så att a) och b). Går det? Lösningsförslag: Sök r

12 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN så att r, 0, ; 5, 7, r;. 3 r Solve. 0 r 0 ok!eller så att, det vill säga ett r och ett s så att s. ekv s r,0,5 s,7s, rs Solveekv Går ej att få dem parallella 35. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller och. Lösningsförslag: Normal till planet. Naturligtvis går det utmärkt även med. 6,, 6 Som normeras. 6 93, 93, En robot flyttar med kraften N en motor från en lagerplats till en annan. De två platserna definieras av ortsvektorerna respektive. Sök det uträttade arbetet. Lösningsförslag: Här är förflyttningen given på vektorform så vi får direkt A. Nm Nm 37. Sök arbetet som uträttas då en kraft på 5 N i riktning flyttar en låda 8 m i riktning. Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och förflyttning på vektorform ,5 7, , 8 7, 4 7 Varav arbetet

13 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 3. Nm 40 Nm En kraft på 8 N är vinkelrät mot och och bildar spetsig vinkel med positiva x-axeln. Vilket arbete uträttas om den förflyttar en låda 5 m från origo i riktning? Lösningsförslag: Här är "som vanligt" och beskrivna med belopp och riktning. Att kunna ta fram en enhetsvektor i en given riktning är ofta användbart Vi får :s riktning 6,, 6 Spetsig vinkel med x-axeln kräver skalärprodukten, 0, 0 0?., 0, 0 0 True Vilket alltså är uppfyllt här. Annars välj. Så kraften som riktig vektor 8.,, Samma visa vad gäller förflyttningen , 5 7, 5 4 Och slutligen det eftersökta arbetet. Nm Simplify Nm. Nm N Nm 39. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor har riktningen och längden 3 m. Bestäm momentet kring origo. Lösningsförslag: Som "vanligt" är eller dolda i storlek och riktning, här Alltså. Vi får direkt momentet kring koordinataxlarna. där är en enhetsvektor i :s riktning. 3. Nm 4 7 3Nm Nm,,9 4 7 Nm 40. En 5 m lång stång är fast inspänd med ena änden i origo och pekar i riktningen 3,, 5. I andra änden angriper kraften 000 N verkande i riktningen 5, 4, 6. Bestäm momentet med avseende på origo samt en linje genom origo med riktning. Lösningsförslag: Här gäller det "som vanligt" att vaska fram kraft och hävarm på vektorform.

14 4 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN 000 5, 4, 6.5, 4, 6 5, 4, , 4000, ,, 5.3,, 5 3,, ,5 9, 5 38 Varav momentet. Reaktionsmomentet från kroppen är sedan. Nm Nm, Nm, Nm och vridmomentet kring som M. Observera att det kommer ut med rätt tecken enligt välkänd teckenkonvention!.. N Simplify Nm Nm 4. Sök avståndet från punkten 7,, 3 till den räta linjen som går genom punkterna 0,, 0 och, 3, 3. Lösningsförslag: Typisk avståndsberäkning. Rita figur! Först en ortsvektor för en punkt på linjen 0 0,, 0 0,, 0 samt en riktningsvektor för linjen, 3, 3 0, 4, 3 Vektor från 0 till punkten 7,, 3 0 7,, 3 Projektion av på linjen.. 6 4, 9 9, 93 9 Avståndsvektorn från linjen till punkten 4 9, 66 9, 6 9 Varav slutligen det sökta avståndet

15 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Sök avståndet från punkten,, 3 till det plan som går genom origo och innehåller och. Lösningsförslag: Normalvektor till planet. 6,, 6 Som en punkt i planet väljer vi naturligtvis origo vars ortsvektor 0 0, 0, 0 0, 0, 0 Avståndet bestäms av att vi går närmsta vägen, det vill säga längs normalens syftlinje. När vi är framme uppfyller vi planets ekvation 0 0. ekv,, 3s 0. 0 s 6 6 s 36 6 s 0 ess Solveekv First s Slutligen det sökta avståndet, vilket är beloppet av den vektor vi gått. s.s 36. ess Bestäm skärningspunkten mellan linjen t och planet som går genom punkten,, 3 och har som normalvektor. Lösningsförslag: Normalvektor till planet. 3,, Ortsvektor för punkt i planet. 0,, 3,, 3 Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet. Så linjens ekvation insatt i planets ekvation 0 0 bestämmer t. linje t t,4t, t 3 ekv linje t 6 0 träff Solveekv First t 6 3 Slutligen den sökta skärningspunkten linje. träff

16 6 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN 7 3, 50 7, Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och det plan som innehåller punkterna, 3,, 5, 7, 4 och, 3, 9. Lösningsförslag: Normalvektor till planet 5, 7, 4, 3,, 3, 9, 3, 40, 8, 6 Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet som har ekvationen 0 0. linje s s,4s, s 3 ekv linje, 3, s 6 s 48 4 s 0 träff Solveekv First s 7 4 Och skärningspunkten linje. träff 7 4, 9 9, Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och planet x y 4z 3 0. Sök även vinkeln mellan linjen och planets normal. Lösningsförslag: En normalvektor till planet är,, 4 och en punkt i detsamma är exempelvis 3, 0, 0.,, 4,, 4 0 3, 0, 0 3, 0, 0 Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet som har ekvationen 0 0. linje s 3 s,s, s 3 ekv linje s 33 s s 0 träff Solveekv First s 6 varav den sökta punkten linje. träff 9, 0, 9 Slutligen söker vi vinkeln mellan linjen och planets normal, det vill säga vinkeln mellan och. Här kommer definition av skalärprodukt väl till pass. ArcCos N

17 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 7 Större än så vi väljer att svara med komplementvinkeln Låt koordinataxlarna ha enheten km. En båt befinner sig i punkten 8, 4 och håller rak kurs mot punkten 4, 6 med konstant fart 0 km/h. Bestäm den punkt i vilken båten ska göra en 90 kursändring för att sedan med rak kurs och oförändrad fart segla rakt i hamn som är beläget i 4, 3. Lösningsförslag: Rita figur! Först lite ortsvektorer för intressanta punkter. 8, 4; 4, 6; 4, 3; Båtens kursvektor., 0 Projicera (vårt ständigt återkommande problem!) nu "relativa hamnvektorn", det vill säga vektorn från båtens position till hamnen, på kursvektorn så har vi direkt ortsvektorn ä för den punkt där kursändring ska ske. ä.. 6 6, 4 6 Slutligen, utom tävlan, restiderna i enheten timmar t s v. ä. ä, ä. ä tid , N Avslutningsvis en liten uppmuntrande bild över skådespelet. GraphicsBlue, Dashing0.0, Line ä,, Red, Dashing, Arrow, ä, Arrow ä,, AspectRatio Automatic, Axes True, AxesLabel "x", "y" x y 47. Bestäm en enhetsnormal till det plan som innehåller och. Lösningsförslag: Normal till planet 6,, 6 Som normeras.

18 8 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN 6 93, 93, Punkten A har som ortsvektor. Bestäm sedan A:s spegelpunkt i det plan som innehåller punkterna, 3,, 5, 7, 4 och, 3, 9. Lösningsförslag: Normalvektor till planet 5, 7, 4, 3,, 3, 9, 3, 40, 8, 6 Punkten speglar sig vinkelrät mot planet. Vi söker alltså skärningspunkten mellan linjen s och planet som har ekvationen 0 0. Välj 0 som ortsvektor för den första av de tre givna punkterna i planet. linje s 40 s,8s, 6 s 3 0, 3,, 3, träff Solvelinje 0. 0 First s 090 Speglingspunkten ligger nu lika långt på "andra sidan". s. träff 59 09, , Annars går det lika bra att använda projektion , , Bestäm ekvationen för det plan som skär planet x 3y z 5 0 under rät vinkel och innehåller linjen s. Lösningsförslag: Eftersom det sökta planet innehåller den givna linjen så innehåller det speciellt linjens riktingsvektor. Vidare innehåller det normalvektorn till det givna planet eftersom planen skulle bilda rät vinkel med varandra. Vi har alltså två vektorer i det sökta planet varför en normalvektor blir, 3, 0, 5, 5 Som ortsvektor 0 för en punkt i planet kan vi välja ortsvektorn för linjens stödpunkt. 50. Bestäm skärningslinjen mellan planen x y z 0 och 3x y z 4 0. Sök även avståndet från punkten,, 3 till linjen. Lösningsförslag: Linjens riktningsvektor måste vara vinkelrät mot båda planens normalvektorer vilka avläses direkt i ekvationerna,, 3,, 3, 5, 7 Sedan en punkt på linjen. Denna ligger ju i påda planen. Vi provar att sätta z 0 och lösa ut x och y. Om inte detta fungerar prova med y 0 eller x 0 och lös ut de två andra. Något av dessa tre fall måste fungera eftersom en linje skär minst ett koordinatplan. 0 Solvex y z 0, 3 x y z 4 0.z 0 First x, y

19 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 9 Gick ju bra! Alltså linjens ekvation på parameterform linje x, y, 0t. 0 3 t, 5 t, 7 t Sedan avståndet. Vektor från 0 på linjen till punkten,, 3x, y, 0. 0, 0, 3 Projektion av på linjen , 90 83, 6 83 Avståndsvektorn från linjen till punkten 37 90, 83 83, 3 83 Varav slutligen det sökta avståndet Linjen med ekvationen s skär planet med ekvationen x y z 5 0 i punkten P. Bestäm ekvationen för den linje i som går genom P och som är vinkelrät mot. Lösningsförslag: Först avläser vi planets normalvektor.,,,, Sedan ortsvektor en punkt i planet, som kan väljas till 0 5, 0, 0 5, 0, 0 Bestäm nu skärningspunkten P som ju också är en punkt på den sökta linjen genom att sätta in linjen i planets ekvation. träff Solve s 0. 0 First s 6 3 p s. träff , 3, 4 3 Slutligen behöver vi den sökta linjens riktningsvektor. Denna är enligt uppgift vinkelrät mot såväl planets normalvektor som den givna linjens riktningsvektor. Så, 0, 6 Linjens ekvation är alltså p t. 5. Sök avståndet i riktning från den punkt som har ortsvektorn till det plan som går genom origo och har som normalvektor.

20 0 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Lösningsförslag: Vi söker alltså skärningspunkten mellan linjen s och planet vars ekvation är 0 0. Enligt uppgift är en normalvektor till planet och origo en "punkt" 0 i planet. Skärningspunkten ligger som vanligt både på linjen och i planet, så s0 ger den sökta skalären s. linje s s,4s, s 3 träff Solvelinje 0, 0, 0. 0 First s 3 Slutligen avståndet i riktning längs linjen s.s. träff Bestäm det kortaste avståndet mellan rymddiagonalen i en kub med sidan a och en av sidoytornas diagonaler som inte skär rymddiagonalen. Lösningsförslag: Placera kuben med ett hörn i origo och sidorna parallella med koordinatplanen. Ortsvektor för punkt på och riktningsvektor för rymddiagonalen genom origo h a 0, 0, 0 0, 0, 0 h a,, a, a, a Ortsvektor för punkt och riktningsvektor för en diagonal på sidoyta som uppfyller kraven d a, 0, a,0,a d a,, 0, 0, 0, a, a Kortaste avståndet ges då sammanbindningslinjen mellan linjerna bildar rät vinkel med båda linjerna. snöre h s h d t d as a, as at, as at a såt Solvesnöre. h, snöre. d 0, s, t First s 3, t Varav kortaste avståndet snöre.snöre a. såt PowerExpand 6 Avslutningsvis en liten bild över skådespelet med enhetskuben som scen. Graphics3DThickness0.0, Red, Line h, h h, Blue, Line d, d d, Cyan, Line h s h, d t d. a. såt, Axes True

21 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning Bestäm ekvationen för det normalplan till planet x y z som innehåller linjen x y3 3 z. Lösningsförslag: Det sökta planet ska alltså innehålla det givna planets normal samt den givna linjens riktningsvektor, så normalen,,, 3, 5, 3, En punkt i planet kan sedan vara den punkt linjen går genom, 3,. 55. En vektor bildar vinkeln 3 basvektorn? med två av basvektorerna i ett ON-system i rummet. Vilken vinkel bildar den med den tredje Lösningsförslag: Av symmetriskäl kan vi välja att studera följande vektor,, z,, z z-komponenten ges av definition på skalärprodukt och kravet på att ska bilda vinkeln mot såväl x- som y-axeln. Det räcker att 3 testa mot x-axeln eftersom båda blir automatiskt uppfyllda med symmetriansatsen av v ovan. ekv., 0, 0. Cos 3 z,, z. Solveekv, z Som väntat två vektorer. Varandras spegelbilder i xy-planet. Slutligen vinklarna mot z-axeln. ArcCos 3 4, 4.0, 0,. 56. Dela upp vektorn,, i två vinkelräta komposanter varav den ena är vinkelrät mot planet x y z 0. Lösningsförslag: Återigen projektion, denna gång på normalen, för att få vinkelräta komposanten,,,,,,,,..

22 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN 3, 3, 3 Sedan den parallella komposanten 3, 3, Beräkna spegelbilden av punkten,, 6 i planet x y z. Lösningsförslag: Normalvektor till planet samt ortsvektorn för en punkt i det.,,,, 0 0, 0, 0, 0, Punkten speglar sig vinkelrät mot planet. Vi söker alltså skärningspunkten mellan linjen och planet med ekvationen 0 0. linje,, 6s s, s, s 6 träff Solvelinje 0. 0 First s Speglingspunkten ligger nu lika långt på "andra sidan".,, 6s. träff 3, 3, Punkterna A och B med ortsvektorerna respektive är varandras spegelbilder i ett visst plan. Sök ekvationen för detta plan! Lösningsförslag: En punkt i planet ligger mitt emellan punkterna A och B. P 0 0, 3, En given normalvektor är den vektor som förbinder punkterna,, Låt, och vara tre vektorer i 3. Om nu 0 och 0 medför det då allmänt att 0? Bevis eller motexempel! Lösningsförslag: Nä, välj exempelvis så, 0, 0; 0, 0, ;,, 0;. 0. 0

23 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 3 men. Extrauppgifter i andra hand i mån av tid 60. Rita a b c 3 d 3 e 3 f Lösningsförslag: Standard vektoralgebra Bestäm längden av. Lösningsförslag: a x a y a z Bestäm längden av 3. Lösningsförslag: Standard vektoralgebra. 3

24 4 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN, 4, 3 och längden d x d y d z Beräkna 5. Lösningsförslag: Ännu en fingerövning.. 8, 8, , 40, Bestäm en enhetsvektor i riktningen 3. Lösningsförslag: Enhetsvektor i given vektor :s riktning ges av, trean kan vi strunta i , 7, Bestäm en vektor så att 4 och har samma riktning som. Lösningsförslag: Nästan en repris, 4, En enhetsvektor i samma riktning ges av som dras ut till rätt längd 4..., 4, 4.

25 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 5 4, 6, Bestäm vinkeln mellan vektorerna och. Lösningsförslag: Direkt tillämpning på definition av skalärprodukt cos, där är den sökta vinkeln. ArcCos N cos Bestäm s så att vektorn s blir vinkelrät mot vektorn. Lösningsförslag: Om s s 0. Solve s. 0 s Bestäm s så att vektorn 3 s blir parallell med vektorn 5. Lösningsförslag: Vi vet att t. Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer; x- och y-komponenterna med de två variablerna s och t. ekv, 3s, t, 5 s, s 3 t,5t Solveekv s, t Bestäm projektionen av på. Lösningsförslag: Se föreläsningsanteckningar för härledning men eftersom vi inte hittar dessa eller "kommer ihåg" formeln för projektion får vi härleda. Om är den önskade projektionsvektorn har vi två grundläggande samband som hjälper oss. s 0 s0 s , 3 7, Bestäm arean av den triangel som spänns upp av och. Lösningsförslag: Direkt geometrisk tillämpning av vektorprodukt. Arean A p av parallellogrammen som spänns upp av och är A p. 6,, 6 A t.

26 6 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Dela upp i två vinkelräta komposanter varav den ena är parallell med planet som spänns upp av och! Lösningsförslag: Först normalen till planet. 6,, 6 Sedan projektionen av på normalen för att få den mot planet vinkelräta komposanten ,, Slutligen den med planet parallella komposanten ur , 66 93, Sök arbetet som uträttas då en kraft på 6 N i riktning flyttar en låda m i riktning. Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och förflyttning på vektorform ,6 7, ,, Varav arbetet. Nm 6 Nm Bestäm momentet kring origo om kraften N verkar i en punkt vars ortsvektor är 5 m lång och har samma riktning som. Lösningsförslag: Här gäller det att vaska fram kraft och hävarm på vektorform.,, ,5 7, 5 4 Varav slutligen momentet i Nm.

27 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning , 60 7, Sök avståndet från punkten,, 3 till den räta linjen som går genom punkterna,, 0 och, 3, 3. Lösningsförslag: Typisk avståndsberäkning. Rita figur! Först en ortsvektor för en punkt på linjen 0,, 0,, 0 samt en riktningsvektor för linjen, 3, 3 0,, 3 Vektor från 0 till punkten,, 3 0, 0, 3 Projektion av på linjen.. 4 7, 8 7, 7 Avståndsvektorn från linjen till punkten 7, 8 7, 9 7 Varav slutligen det sökta avståndet Bestäm skärningspunkten mellan linjen t och planet som går genom punkten, 3, och har som normalvektor. Lösningsförslag: Normalvektor till planet., 4, Ortsvektor för punkt i planet. 0, 3,, 3, Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet. Så linjens ekvation insatt i planets ekvation 0 0 bestämmer t. linje t 3 t,t, t 3 ekv linje 0. 0 t 3t 4 t 0 träff Solveekv First

28 8 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN t 8 3 Slutligen den sökta skärningspunkten linje. träff 3, 4 3, Bestäm skärningspunkten mellan linjen s och det plan som går genom origo och innehåller linjen t. Lösningsförslag: Tydligen innehåller planet vektorerna och så en normalvektor till planet är 8, 8, 8 Planets ekvation är 0 0. Skärningspunkten ligger både på linjen och i planet så s 0 0 ger den sökta skalären s. Som ortsvektor 0 för en punkt i planet kan vi välja origo. linje s s 8, 4 s 8, s 8 träff Solvelinje 0, 0, 0. 0 First s 4 5 Slutligen skärningspunkten linje. träff 64 5, 56 5, Bestäm de punkter på z-axeln, som ligger lika långt från planen x 9 y 0z 5 0 och 4x 3z 0 0. Lösningsförslag: Först planen på vektorform, det vill säga normalvektor och en punkt i planet., 9, 0, 9, 0 0 x, 0, 0. Solve x 9y0 z 5 0. y 0, z 0 First 5 4,0,0 4, 0, 3 4, 0, 3 0 x, 0, 0. Solve4 x 3z 0 0. y 0, z 0 First 5,0,0 Ortsvektor för de sökta punkterna på z-axeln z 0, 0, z 0, 0, z Planets ekvation är 0 0. Avståndsresan från en punkt mot ett plan går längs normalens syftlinje, z s 0 0. Detta bestämmer s för de båda planen. essett Solve z s 0. 0, s First s 4 z 3 5

29 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 9 esstvå Solve z s 0. 0, s First s 3 z 0 5 Avståndet ska nu vara lika till båda planen ekv s.s s.s. essett. esstvå 5 4 z z 0 Solveekv z 3, z Två punkter 0, 0, 3 och 0, 0, uppfyller villkoret. 78. Bestäm ekvationen för det plan genom punkten,, som är vinkelrät mot planen x y z 0 och x y z 0. Lösningsförslag: Det sökta planets normal ska vara vinkelrät mot de två givna normalerna.,,,,,, 3 Som en punkt i planet väljer vi den önskade,,. 79. Bestäm det plan som går genom punkterna,, 6 och, 3, och som är parallell med linjen s. Lösningsförslag: Vi känner två vektorer i planet så normalvektorn blir,, 6, 3, 6, 4, 0 Som punkt i planet kan vi välja,, 6. Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 80. Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna s och t. Lösningsförslag: Kortaste avståndet ges då sammanbindningslinjen mellan linjerna bildar rät vinkel med båda linjerna. Spänn ett snöre mellan linjerna snöre s t 3 s t, s t, s 3 t 5 Bestäm sedan det läge då snöret är vinkelrät mot de båda linjerna. såt Solvesnöre., snöre. 0, s, t First s 3 9, t 4 4 Varav kortaste avståndet snöre.snöre 5. såt 3 Avslutningsvis en liten bild över skådespelet. Graphics3DThickness0.0, Red, Line 3, 3, Blue, Line 3, 3, Cyan, Line s, t. såt, Axes True

30 30 Tillämpad Matematik II, Övning HH/ITE/BN Låt och vara givna vektorer. Sök sedan vektorerna och så att Rita ut dem Lösningsförslag: Standard vektoralgebra i harmoni med ekvationslösning. 3 Solve 3 5, 5,, 3, 8. En partikel rör sig längs kurvan t t0,cost, sint. Sök den punkt i vilken hastigheten är parallell med planet 3 y z 4 0. Ange även accelerationen i denna punkt. Lösningsförslag: Först kurvan. t : t0, Cost, Sint Hastigheten parallell med planet innebär att den ska vara vinkelrät mot planets normalvektor

31 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik II, Övning 3 ekv 't.0, 3,0 cost 3 sint0 tid Solveekv, 0 t, t t 7, t 6 6 Inträffar tydligen vid två tidpunkter. Dessa återkommer sedan med perioden. 't. tid Så accelerationen vi samma tidpunkt ''t. tid Avslutningsvis en liten bild på krumeluren. ParametricPlot3Dt, t, 0, 5, PlotStyle DirectiveOpacity, Thickness0.05, ColorFunction Functionx, y, z, t, Huet