KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH"

Transkript

1 KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007

2 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet Uppgift Uppgift Uppgift Derivatans definition Uppgift Uppgift Momentan hastighet Uppgift Uppgift Deriveringsreglerna Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Kapital, ränta och tid Uppgift Exponentialfunktionen Uppgift Uppgift Uppgift Funktionens extrempunkter Uppgift Uppgift Uppgift

4 INNEHÅLL Att bestämma konstanter Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Andra problem med derivata Uppgift Uppgift Uppgift Aritmetiska talföljder och summor Uppgift Uppgift Uppgift Geometriska talföljder och summor Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Optimeringsproblem Uppgift Uppgift Uppgift Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 INNEHÅLL Genomsnittlig förändringshastighet Uppgift 1 År Folkmängd (miljard) Storleken hos jordens befolkning under perioden 1960 till 1985 visas i tabellen ovan. Bestäm befolkningens genomsnittliga förändringshastighet mellan år 1965 och 1980 Vi betecknar folkmängden med f och årtalet med t. Vi får då f t = f 1980 f = = Svar: Genomsnittliga tillväxthastigheten är 72 miljoner/år Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 GENOMSNITTLIG FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Uppgift 2 Bestäm för funktionen f(x) = 3x 2 4x den genomsnittliga förändringshastigheten mellan x = 3 och x = 7. Vi tecknar ändringskvoten y x = f(7) f(3) 7 3 = Svar: Den genomsnittliga förändringshastigheten är 26 = 26 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten för funktionen för x = 20 till x = 28 f(x) = e x 3 På kurvan till funktionen finns de två punkterna, (20, f(20)) och (28, f(28)). Det är k-värdet hos den linje som går genom dessa två punkter vi ska bestämma. k = f(28) f(20) = Svar: Den genomsnittliga förändringshastigheten är 2. = 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 DERIVATANS DEFINITION Derivatans definition För att derivera ett polynom, är det enklast att använda de deriveringsregler vi lärt oss. Ofta förekommer det dock uppgifter där man ska ta fram derivatan med hjälp av derivatans definition. Det leder till längre räkningar. Att kontrollera att man räknat rätt är enkelt. Uppgift 1 Bestäm med hjälp av derivatans definition f (3) då f(x) = 2x Genom derivatans definition kan vi skriva f(3 + h) f(3) 2(3 + h) ( ) lim = lim = h 0 h h 0 h 2(9 + 6h + h 2 ) h + 2h lim = lim = h 0 h h 0 h 12h + 2h 2 h(12 + 2h) lim = lim = lim h = 12 h 0 h h 0 h h 0 Svar: f (3) = 12 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 INNEHÅLL Uppgift 2 Bestäm med hjälp av derivatans definition derivatan till f(x) = x 3 + x + 4 Vi kan med enkla medel bestämma derivatan till detta polynom och vet att vi ska få resultatet f (x) = 3x Men här är vi tvingade att använda oss av derivatans definition f(x + h) f(x) lim h 0 h Vi utvecklar täljaren och får = lim h 0 (x + h) 3 + (x + h) + 4 (x 3 + x + 4) h (x+h) 3 +(x+h)+4 (x 3 +x+4) (x 3 +3x 2 h+3xh 2 +h 3 )+(x+h)+4 (x 3 +x+4) 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 + h h(3x 2 + 3xh + h 2 + 1) Vårt gränsvärdesproblem får nu följande utseende h(3x 2 + 3xh + h 2 + 1) lim = lim 3x 2 + 3xh + h = 3x h 0 h h 0 Målet är nått! Svar: f (x) = 3x Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 MOMENTAN HASTIGHET Momentan hastighet Hastigheten i ett bestämt ögonblick får man genom att derivera den funktion, ofta kallad s(t), som bestämmer läget hos ett föremål vid en given tidpunkt och bestämma s (t) för aktuell tid. Istället för ett föremåls hastighet, kan det handla om förändringshastigheten hos en befolkning, ett kapital eller något annat. Uppgift 1 En nyårsraket skjuts upp lodrätt. Raketens höjd h meter över marken vid tiden t sekunder ges av funktionen h(t) = 10t t 2 Bestäm raketens hastighet vid tiden 3 sekunder. Vi deriverar funktionen h(t) och med hjälp av h (3) kan vi bestämma raketens hastighet vid tiden 3 sekunder. h (t) = 10 2t och h (3) = = 4 Svar: Raketen har hastigheten 4 meter/sekund. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 INNEHÅLL Uppgift 2 Lägeskoordinaten s i meter hos ett föremål ges av funktionen s(t) = 2 e t 2 Bestäm den momentana hastigheten då t = 9 sekunder. Vi startar med att derivera s(t) för att därefter bestämma s (9) som ger svaret. och s (t) = e t 2 = e t 2 s (9) = e 9 2 = 90 Svar: Den momentana hastigheten vid tiden 9 sekunder är 90 meter/sekund. Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 DERIVERINGSREGLERNA Deriveringsreglerna Uppgift 1 Derivera f(x) = 3x 3 2x 2 + x Den enklaste deriveringsuppgift man kan förvänta sig Svar: f (x) = 9x 2 4x + 1 f (x) = 9x 2 4x + 1 Håkan Strömberg 12 KTH Syd

13 INNEHÅLL Uppgift 2 Bestäm f (x) till f(x) = e 2x + 1 e 3x Ofta kan man skriva om den givna funktionen så att deriveringen sedan blir enklare Nu deriverar vi, först en gång och sedan en gång till f(x) = e 2x + e 3x f (x) = 2e 2x + 3e 3x f (x) = 4e 2x + 9e 3x Om man inte vill ha negativa exponenter svarar man Svar: f (x) = 4 + 9e3x e2x Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 DERIVERINGSREGLERNA Uppgift 3 Bestäm f (x) f(x) = 1 3 x 1 x 2 Här är det ännu viktigare att vi skriver funktionen på ett enklare sätt, innan vi deriverar för att få derivatan korrekt Nu är det dags f (x) = x ( 2)x 3 = 1 3x 4 3 f(x) = x 1 3 x x 3 = x x 3 = 2 x 3 1 3x 3 x Redan efter första steget är ju f (x) korrekt, men man bör åtminstone utföra andra steget innan man bestämmer sig för att svara. Svar: f (x) = 2 x x 4 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 INNEHÅLL Uppgift 4 Derivera f(x) = 4 x + x 4 Antingen använder vi oss av omskrivningen och då får vi som ger eller så använder man deriveringsregeln som förstås, ger samma resultat Samma? Ja eftersom a b = e bln a f(x) = e xln 4 + x 4 f (x) = ln 4 e xln 4 + 4x 3 D [a x ] = ln a a x f (x) = ln 4 4 x + 4x 3 e xln 4 = 4 x Svar: f (x) = ln4 4 x + 4x 3 alternativt f (x) = ln4 e xln 4 + 4x 3 Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 DERIVERINGSREGLERNA Uppgift 5 Derivera f(x) = x3 3 x 2 Längre fram i din utbildning kommer du att associera denna uppgift med derivering av kvot. Men eftersom detta ännu inte ingår din repertoar måste du hitta en annan väg. Vi skriver om funktionen Nu kan vi derivera f(x) = x3 x 2 3 x 2 = x 3 x 2 = x 3x 2 f (x) = 1 + 6x 3 = x 3 Svar: f (x) = x 3 Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 INNEHÅLL Kapital, ränta och tid Uppgift 1 Vi utgår från formeln y = C a t Där y är det kapital vi har efter att förändringsfaktorn a, har fått verka på startkapitalet C under tiden t. a) Beloppet kr sätts in på banken till 5% årlig ränta. Hur stort är beloppet med ränta på ränta efter 6 år Antag att beloppet var x kr. Den enklaste tillämpningen av formeln Vi får direkt svaret genom uttrycket Svar: kr x = C a t = b) Efter 6 år på banken till 5% ränta hade ett kapital vuxit till kr. Vilket belopp sattes in för 6 år sedan. Antag att det insatta beloppet var x kr. Vi får då följande förstagradsekvation: som vi klär med tal till: y = x a t Svar: kr = x x = x = Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 KAPITAL, RÄNTA OCH TID c) Ett kapital växte från till kr på 6 år. Hur stor var räntan? Antag att förändringsfaktorn var x. Vi får då följande potensekvation Vi sätter in kända tal och får y = C x t = x 6 x 6 = ( x = x = 1.05 Från detta förstår vi att räntan var 5%. Svar: 5% d) Hur lång tid tar det för ett kapital att växa från kr till kr med 5% ränta? Antag att det tar x år.vi får då följande exponetialekvation Efter att vi satt in kända tal y = C a x ) 1 6 Svar: Det tar 6 år = x 1.05 x = ( ) lg1.05 x = lg ( ) x lg1.05 = lg x = lg ( ) lg 1.05 x = 6 Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 INNEHÅLL Exponentialfunktionen Uppgift 1 Bestäm C och a hos exponentialfunktionen f(x) = C a x Då vi vet att punkterna (95, 2988) och (5, 37) ligger på funktionens kurva. Genom att sätta in de två punkterna i den givna funktionen får vi ekvationssystemet { 37 = C a 5 Vi löser ut C i båda ekvationerna Vi har eliminerat C och får 2988 = C a 95 Vi får nu direkt C, till exempel genom C = 37 a 5 C = 2988 a = 37 a 95 a 5 a 95 = 2988 a 5 37 a 90 = ( 2988 a = 37 a = 1.05 C = = 29 ) 1 90 Svar: Den eftersökta funktionen är f(x) = x Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 EXPONENTIALFUNKTIONEN Uppgift 2 En kropp läggs i frysboxen! Temperaturen T(C ) hos denna kropp avtar exponentiellt med tiden t (minuter) enligt formeln T(t) = C e kt 25 Efter 60 minuter har temperaturen sjunkit från 36.7C till 30C. Hur lång tid dröjer det innan kroppen har temperaturen 0C? Eftersom kroppen har temperaturen 36.7C vi t = 0 får vi att C = Vi har nu funktionen 36.7 = C e 0 25 C = 61.7 T(t) = 61.7 e kt 25 Då t = 60 får vi ekvationen nedan och kan bestämma konstanten k. 30 = 61.7 e 60k 25 e 60k = ln ( ( ) e 60k) 55 = ln 61.7 ( ) 55 60k = ln ( 61.7 ) 55 ln 61.7 k = 60 k = Vi har nu hela funktionen T(t) = 61.7e t 25 Håkan Strömberg 20 KTH Syd

21 INNEHÅLL Med hjälp av den kan vi bestämma tiden då kroppen fryser Svar: Efter 473 minuter 0 = 61.7e t = 61.7e t = e t ( ) 25 ln = ln ( e t) 61.7 ( ) 25 ln = t 61.7 ( ) 25 ln 61.7 t = t 473 Uppgift 3 Vi vet av en exponentialfunktion f(x) = C e kx Att f (x) = 2f(x) och att f(0) = 100. Bestäm k och C. Från f(0) = 100 får vi f(0) = C e 0 att C = 100 och vi kan teckna funktionen f(x) = 100 e kx Nu vet vi dessutom att f (x) = 2f(x) vilket leder till Svar:f(x) = 100e 2x 100k e kx = e kx k = 2 Håkan Strömberg 21 KTH Syd

22 FUNKTIONENS EXTREMPUNKTER Funktionens extrempunkter Uppgift 1 Här ska vi ta reda på derivatans nollställen. Lös ekvationen f (x) = 0 då f(x) = 1 x + x Rötterna till f (x) = 0 ger funktionens f(x) nollställen. Om det är max- eller minpunkter efterfrågas inte. Därför är denna uppgift bara ett förstadium till vad som komma skall Vi deriverar och får f (x) = 0 ger ekvationen f (x) = x x = 0 x 2 = 1 1 x 2 = 1 x = ±1 Svar: x = 1 och x = 1. Inget annat efterfrågas. Håkan Strömberg 22 KTH Syd

23 INNEHÅLL Uppgift 2 Bestäm funktionens extrempunkter och klassificera dem. f(x) = x 3 9x 2 120x Första steget är att finna rötterna till f (x) = 0 och därför startar vi med att derivera funktionen f (x) = 3x 2 18x 120 som i nästa steg leder till ekvationen 3x 2 18x 120 = 0 x 2 6x 40 = 0 x = 3 ± x = 3 ± 7 x 1 = 10 x 2 = 4 Funktionen har två extrempunkter: (10, f(10)) = (10, 972) och ( 4, f( 4)) = ( 4, 400). Genom att derivera en gång till och bestämma f (x) kan vi avgöra extrempunkternas typ. f (x) = 6x 18 som ger f (10) = = 42 > 0 minpunkt f ( 4) = 6( 4) 18 = 42 < 0 maxpunkt Ett alternativ till att använda andraderivatan är att skissa kurvan genom teckenstudium x x < 4 x = 4 4 < x < 10 x = 10 x > 10 f (x) f(x) ր max ց min ր Håkan Strömberg 23 KTH Syd

24 FUNKTIONENS EXTREMPUNKTER Uppgift 3 Bestäm funktionens f(x) = x x 2 39x 952 största respektive minsta värde i intervallet 3 x 10. För att svara på denna fråga måste man först ta reda på funktionens extremvärden. Om dessa punkter ligger inuti intervallet måste man ta hänsyn till dem tillsammans med f(3) och f(10). Vi startar med att derivera och lösa ekvationen f (x) = 0. och så f (x) = 3x x 39 3x x 39 = 0 x x 13 = 0 x = 6 ± x = 6 ± 7 x 1 = 1 x 2 = 13 Vi ser då att ingen av extrempunkterna ligger inuti intervallet 3 x 10. Detta betyder att f(3) = 880 och f(10) = 1458 avgör funktionens största respektive minsta värde på intervallet. Svar: Största värde är 1458 och minsta värde är 880. Figur 1: Denna graf övertygar oss Håkan Strömberg 24 KTH Syd

25 INNEHÅLL Att bestämma konstanter Det är inte ovanligt med uppgifter, där man ska bestämma en funktion, som är given, så när som på en eller flera koefficienter. Ofta används bokstäverna a, b och c för att uttrycka dessa. Observera att man aldrig löser dessa uppgifter genom att gissa värden på de okända koefficienterna. Istället får man ledtrådar genom värden på f(x) och f (x). Denna typ av problem kan varieras på många sätt. Även om de allra flesta problem av denna typ handlar om polynom kan det förekomma även potens- och exponentialfunktioner. Uppgift 1 Bestäm konstanterna a och b så att funktionen får en minpunkt i (1, 36) Vi startar med att derivera f(x) f(x) = 4x 2 ax b f (x) = 8x a Vi vet nu att f (1) = 0 detta leder fram till ekvationen 8 1 a = 0 a = 8 Vi har kommit ett steg närmare lösningen och har nu f(x) = 4x 2 8x b Men vi har också att f(1) = 36, som ger b = 36 b = 32 Vi vet nu att funktionen är f(x) = 4x 2 8x 32. Att det verkligen handlar om en minpunkt ser vi genom att Svar: f(x) = 4x 2 8x 32 f (x) = 8 > 0 minpunkt Håkan Strömberg 25 KTH Syd

26 ATT BESTÄMMA KONSTANTER Uppgift 2 Bestäm a, b och c i funktionen f(x) = ax 2 + bx + c Då vi vet att funktionens graf skär x-axeln i punkterna (3, 0) och ( 1, 0) och y- axeln i punkten (0, 3). Då f(0) = 3 får vi direkt och vi kan skriva a b 0 + c = 3 c = 3 f(x) = ax 2 + bx 3 De andra två punkterna ger oss ekvationssystemet { a b 3 3 = 0 a ( 1) 2 + b ( 1) 3 = 0 Vi multiplicerar båda led i andra ekvationen med 3 och får { 9a + 3b = 3 3a 3b = 9 Vi adderar ekvationerna led för led och får ekvationen 12a = 12, som ger a = 1. Direkt följer så ekvationen b = 3, där b = 2. Svar: Den sökta funktionen är f(x) = x 2 2x 3 Håkan Strömberg 26 KTH Syd

27 INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm a och b i funktionen då f (x) f(x) = 0 och f(0) = 3 Genom f(0) = 3 får vi f(x) = a e bx a e b 0 = 3 a = 3 Vi har kommit ett steg närmare och har nu Vi deriverar och får f(x) = 3e bx f (x) = 3be bx Givet är att f (x) f(x) = 0 som ger ekvationen Svar: f(x) = 3e x 3be bx 3e bx = 0 b = 1 Håkan Strömberg 27 KTH Syd

28 ATT BESTÄMMA KONSTANTER Uppgift 4 Bestäm a i funktionen så att linjen tangerar funktionens kurva f(x) = x 2 x a y = 3x 10 Att en linje tangerar en kurva innebär att linjen och kurvan har en gemensam punkt (x, f(x). Dessutom ska linjens k-värde vara lika med funktionens derivata i den punkten, f (x) = k Vi deriverar och får Då linjen har k = 3 löser vi f (x) = 3 Då x = 2 ger linjen f (x) = 2x 1 2x 1 = 3 x = 2 y = = 4 Alltså måste punkten (2, 4) ligga på funktionens kurva, vilket ger ekvationen Svar: f(x) = x 2 x a = 4 a = 6 Håkan Strömberg 28 KTH Syd

29 INNEHÅLL Uppgift 5 Bestäm a så att då f (a) = 3 f(x) = (x a)(x + 1) Vi startar med att utveckla parenteserna i f(x), så att funktionen enkelt ska gå att derivera. f(x) = x 2 + x ax a som ger Vi har nu att lösa ekvationen f (a) = 3 Svar: f(x) = x 2 x 2 f (x) = 2x + 1 a 2a + 1 a = 3 a = 2 Håkan Strömberg 29 KTH Syd

30 ANDRA PROBLEM MED DERIVATA Andra problem med derivata Uppgift 1 Bestäm det intervall då både f(x) och f (x) är negativa då f(x) = x 2 + x 12 Vi startar med att ta reda på funktionens nollställen att lösa ekvationen f(x) = 0 x 2 + x 12 = 0 1 x = 1 ± x = 1 ± x 1 = 3 x 2 = 4 Vi får x x < 4 x = 4 4 < x < 3 x = 3 x > 3 f(x) f(x) < 0 då 4 < x < 3 Nu över till derivatan f (x) = 2x + 1 f (x) = 0 då 2x + 1 = 0 eller då x = 1 och vi får 2 x x < 1 2 x = 1 2 x > 1 2 f (x) 0 + f (x) < 0 då x < 1. Vi kan nu sammanställa det hela. 2 Svar: 4 < x < 1 2 Håkan Strömberg 30 KTH Syd

31 INNEHÅLL Uppgift 2 Funktionen f(x) = x 2 9 har en tangent som är parallell med den räta linjen Bestäm ekvationen till denna tangent 2y 8x 3 = 0 Vi startar med att skriva om ekvationen för den givna linjen 2y 8x 3 = 0 2y = 8x 3 y = 4x 3 2 Den givna linjen har k = 4. Vi deriverar nu f(x) f (x) = 2x Genom att lösa ekvationen f (x) = 4 får vi reda på för vilket x derivatan är 4. 2x = 4 x = 2 För tangenten har vi redan k = 4 och behöver dessutom en punkt på denna linje (2, f(2)) eller (2, 5). Så långt har vi ekvationen till tangenten Svar: y = 4x 13 y = kx + m y = 4x + m 5 = m m = Figur 2: Vi avslutar med att visa grafen Håkan Strömberg 31 KTH Syd

32 ANDRA PROBLEM MED DERIVATA Uppgift 3 Bestäm normalen till funktionen i den punkt på kurvan där x = 3 f(x) = x 2 Lösning Punkten genom vilken normalen ska gå är (3, f(3), som i klartext är (3, 9). Först deriverar vi f(x) och bestämmer f (3) ger f (x) = 2x f (3) = 6 Vi vet nu att tangenten till kurvan i punkten (3, 9) har k-värdet 6. Vi vet också att en normal till kurvan går vinkelrät mot tangenten. Eftersom k t k n = 1 måste k-värdet för vår normal vara k = 1 6. Har man en punkt (3, 9) och k = 1 kan linjens (normalens) ekvation bestämmas: 6 Svar: y = x y = kx + m y = 1 6 x + m 9 = 3 ( 1 6) + m m = 19 2 Håkan Strömberg 32 KTH Syd

33 INNEHÅLL Aritmetiska talföljder och summor Uppgift 1 Det första och andra talet i en aritmetisk talföljd är a 1 = 10 och a 2 = 17. Bestäm det 555:e talet i denna talföljd Lösning Differensen d ges genom a 2 a 1 = Med hjälp av formeln a n = a 1 + d(n 1) kan vi bestämma Svar: a 555 = 3888 a 555 = (555 1) = 3888 Håkan Strömberg 33 KTH Syd

34 ARITMETISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Uppgift 2 De två första talen i en aritmetisk talföljd är 8 och 13. Hur många tal ingår i summan av denna följd, om man vet att summan är ? Lösning Vi har visserligen formeln men samtidigt två obekanta s n = n(a 1 + a n ) = n(8 + a n) 2 Ingenstans har vi utnyttjat att vi känner differensen d = 5. Samtidigt kan vi också formeln a n = a 1 + d(n 1) som i vårt fall ger a n = 8 + 5(n 1) Vi ersätter nu a n i den första formeln med detta uttryck och får Svar: 200 tal n( (n 1)) = = n(16 + 5n 5) = 16n + 5n 2 5n 5n n = 0 n 1 = 200 (n 2 = 1011 ) 5 Håkan Strömberg 34 KTH Syd

35 INNEHÅLL Uppgift 3 Hur många av talen i den aritmetiska talföljden 12, 20, är < 600 Lösning Formeln ger oss a n = a 1 + d(n 1) 600 = (n 1) 588 = 8n 8 n = n = 74.5 a 74 = 596 och a 75 = 604. Svar: 74 stycken. Håkan Strömberg 35 KTH Syd

36 GEOMETRISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Geometriska talföljder och summor Uppgift 1 I en geometrisk talföljd är det första talet a 1 = 4 och den konstanta kvoten k = 3 4. Bestäm a 10 Lösning Vi finner svaret med hjälp av formeln a n = a 1 k n 1 Vi får nu Svar: a 10 = a 10 = 4 ( ) = Håkan Strömberg 36 KTH Syd

37 INNEHÅLL Uppgift 2 I en geometrisk talföljd är det första talet 3 och det 18:e talet Beräkna kvoten i den geometriska talföljden. Lösning Genom formeln får vi ekvationen Svar: Kvoten är 2. a n = a 1 k n = 3 k 18 1 k 17 = k = k = 2 Håkan Strömberg 37 KTH Syd

38 GEOMETRISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Uppgift 3 I en geometrisk talföljd är den konstanta kvoten k = 2 och första talet a 1 = 3. Vilket ordningsnummer har talet 24576? Lösning Genom formeln får vi ekvationen Svar: Talets ordningsnummer är 14 a n = a 1 k n = 3 2 n = 2 n 1 lg 8192 = lg2 n 1 n 1 = lg8192 lg2 n = 14 Håkan Strömberg 38 KTH Syd

39 INNEHÅLL Uppgift 4 De två första talen i en geometrisk talföljd är 3 och 6. Bestäm summan av de 10 första talen. Lösning Vi ser direkt att k = 6 3 = 2 Med hjälp av formeln kan vi ställa upp Svar: 3096 s n = a 1(k n 1) k 1 s 10 = 3(210 1) 2 1 = 3069 Håkan Strömberg 39 KTH Syd

40 GEOMETRISKA TALFÖLJDER OCH SUMMOR Uppgift 5 För en geometrisk talföljd med kvoten k = 2 är summan av de 12 första talen Bestäm första talet i talföljden. Lösning Vi startar med formeln och kan ställa upp ekvationen Svar: a 1 = 6 s n = a 1(k n 1) k = a 1(2 12 1) = a 1 (2 12 1) = 4095a 1 a 1 = 6 Håkan Strömberg 40 KTH Syd

41 INNEHÅLL Uppgift 6 Adam sparar kr om året, som han sätter in på banken på nyårsaftonen varje år. Han får 5% ränta. Hur mycket pengar har han på banken precis efter att han satt in årets kr för 10 gången? Lösning De kr han just satt in har han ännu inte fått någon ränta på. De kr han satt in förra nyårsafton har hunnit föröka sig till = kr. De pengar han satt in för två år sedan har vuxit till = kr och så vidare. Vi har att bestämma följande geometriska summa: Som tur är finns det en formel som fixar det hela Vi fyller i det vi vet och får s n = a 1(k n 1) k 1 s n = 10000( ) = Svar: Adam har kr Håkan Strömberg 41 KTH Syd

42 OPTIMERINGSPROBLEM Optimeringsproblem Troligtvis den intressantaste typen av problem i denna del av kursen. Genom, ofta en geometriskt, problem ska du ställa upp den funktion som du senare ska finna en max- eller minpunkt för. Normalt bör man dessutom bestämma funktionens definitionsmängd. Uppgift 1 Bestäm två icke negativa tal vars summa är 9, sådana att produkten av det ena talet och kvadraten av det, andra blir så stor som möjligt. Lösning Antag att de ena talet är x. Då måste det andra vara 9 x (eftersom deras summa ska vara 9) Bilda nu funktionen, som utgör produkten mellan det ena talet och kvadraten av det andra. Det känns enklast att skriva f(x) = x 2 (9 x) även om g(x) = x(9 x) 2 skulle fungera. Funktionen har definitionsmängden 0 x 9. Vi deriverar och löser ekvationen f (x) = 0. För att kunna derivera är vi i denna kurs tvungna att skriva om funktionen till med derivatan som leder till ekvationen f(x) = 9x 2 x 3 f (x) = 18x 3x 2 18x 3x 2 = 0 3x(6 x) = 0 x 1 = 0 x 2 = 6 Vi har hittat två extrempunkter då x = 0 och då x = 6 Genom andraderivatan tar vi reda på vilken typ f (x) = 18 6x och f (0) = 18 > 0 minpunkt f (6) = < 0 maxpunkt Då intervallets gränser f(0) = f(9) = 0 vet vi att funktionens största värde är f(6) = 108. Svar: Kvadrera talet 6 och multiplicera med 3 ger största produkten, 108 Håkan Strömberg 42 KTH Syd

43 INNEHÅLL Uppgift 2 I en trädgård finns 50 äppelträd. Varje träd producerar 800 äpplen. För varje nytt träd man planterar i trädgården kommer äppelskörden att minska med 10 äpplen/träd. Hur många träd ska planteras för att få största möjliga totala skörden? Lösning Antag att vi planterar ytterligare x träd. Vi kan nu teckna funktionen f(x) = (50 + x)(800 10x) Definitionsmängden är 0 x 80. För att finna maxpunkten måste vi som vanligt derivera och lösa ekvationen f (x) = 0. Men först måste vi utveckla parenteserna. Derivatan blir Extrempunkten får vi genom ekvationen f(x) = x 10x 2 f (x) = x x = 0 x = 15 Är det en maxpunkt? Andraderivatan ger svaret. f (x) = 20 < 0 maxpunkt Vi ska alltså plantera 15 nya träd. Då kommer den totala skörden att bli pall. Svar: 15 träd Håkan Strömberg 43 KTH Syd

44 OPTIMERINGSPROBLEM Uppgift 3 Vilken är den ur ekonomisk synpunkt billigaste cylindriska konservburk med rymdmåttet 1 liter, som kan konstrueras? Burken ska förstås ha både lock och botten och det handlar om att använda så lite plåt som möjligt! Lösning Det handlar om att välja rätt mått på burkens höjd och radie. Först påminner vi om att 1 liter = 1dm 3. Cylinderns volym bestäms genom V C = hπr 2 Cylinderns totala begränsningsyta bestäms genom A C = 2πr 2 + 2πr h Två cirkelskivor och en rektangel. Alla längdmått i dm. Vi vet att volymen ska vara 1 dm 3 och genom denna ekvation kan vi uttrycka h i r 1 = hπr 2 h = 1 πr 2 Ersätter vi nu h med detta uttryck i formeln A C får vi Arean som funktion av radien A(r) = 2πr 2 + 2πr 1 πr 2 = 2πr2 + 2 r Det är denna funktion vi, på traditionellt sätt, ska finna en minpunkt för Vi löser så ekvationen A (r) = 0 A (r) = 4πr 2 r 2 4πr 2 r 2 = 0 4πr = 2 r 2 4πr 3 = 2 r 3 = 1 2π r = 3 1 2π r 0.54 För att bestämma vilken typ av extrempunkt det gäller tar vi fram A (r) = 4π + 4 r 3 Håkan Strömberg 44 KTH Syd

45 INNEHÅLL som är > 0 för alla r > 0, alltså en minpunkt. Återstår att bestämma h h = 1 ( 3 π 1 2π ) Svar: r = 0.54 dm och h = 1.08 dm Håkan Strömberg 45 KTH Syd

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

52 = 1041. 1040 1.00096 Vi kan nu teckna hur mycket pengar han har, just när han har satt in sina 280 kr den tredje måndagen + 280 1040

52 = 1041. 1040 1.00096 Vi kan nu teckna hur mycket pengar han har, just när han har satt in sina 280 kr den tredje måndagen + 280 1040 Tillämpningar på främst geometriska, men även aritmetiska summor och talföljder. Att röka är ett fördärv. Förutom att man kan förlora hälsan går en mängd pengar upp i rök. Vi träffar Cigge, som röker 20

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7 Kontroll 13 Uppgift 1 Avståndet, r parsec, till en stjärna kan bestämmas med formeln M = m + 5 5 lgr där M =stjärnans absoluta ljusstyrka och m =stjärnans skenbara ljusstyrka. (1 parsec= 3.26 ljusår= 9.46

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning Helsingfors universitet, 18.5.2015 Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6. KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer