Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar."

Transkript

1 Ingen ny teori denna dag. Istället koncentrerar vi oss på att lösa två tränings-ks:ar. 1 Bestäm med jälp av derivatans definition f () då f(x) = x + x + Funktionen f(x) = x 4x + 8 ar en minpunkt. Bestäm med jälp av derivatan x-koordinaten för denna punkt. 3 Derivera funktionen 4 Funktionen f(x) = 3 x + 10 x f(x) = x x är given. Vi tänker oss tangenten till kurvan då x = 3. Var skär denna tangent x-axeln? 5 Figuren visar funktionen f(x). En av följande fem derivator ör till funktionen, vilken? a) f (x) = (x 1)(x + ) b) f (x) = (x + 1)(x ) c) f (x) = (1 x)( + x) d) f (x) = (x 1) + (x + ) e) f (x) = (x ) (x + ) Figur 1: Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 6 Ett föremål glider utför ett sluttande plan, så att den tillryggalagda vägen i meter vid tiden t sekunder är s(t) = t + 3t Bestäm ur lång sträcka föremålet ar förflyttat sig när astigeten är 10 meter/sek. 1 Derivatans definition skrivs som du vet f (x) = lim 0 f(x + ) f(x) I vårt specifika fall ger det, eftersom x = f () = lim 0 (( + ) + ( + ) + ) ( + + ) Vi utvecklar oc förenklar uttrycket (( + ) + ( + ) + ) ( + + ) = ( ) 8 = ( ) 8 = Nu kan vi skriva Svar: f () = = f () = lim = 5 (5 + ) = 5 + Vi inleder med att derivera funktionen, bestämma f (x). Därefter tar vi reda på derivatans nollställen, löser ekvationen f (x) = 0. Roten till denna ekvation är svaret på uppgiften. f (x) = x 4 f (x) = 0 ger ekvationen x 4 = 0 som ar roten x =. Svar: x = 3 Vi startar med att skriva om funktionen med basen e f(x) = e xln e xln Nu är det dags att derivera oc vi använder oss av deriveringsregeln f(x) = e kx f (x) = k e kx Håkan Strömberg KTH Syd

3 Figur : En minpunkt då x= oc får f (x) = ln3 e xln ln e xln Man kan nu gå vidare oc förenkla (?) uttrycket f (x) = ln3 e xln ln e xln = ln3 e ln 3x +10 ln e lnx = ln 3 3 x +10 ln x Svar: f(x) = ln3 3 x + 10 ln x 4 x-koordinaten för aktuell punkt på kurvan som ska tangeras ar vi redan x = 3. y-koordinaten får vi genom att bestämma f(3). Vi deriverar f(x) oc får f (x). f (3) ger oss tangentens k-värde. Vi ar nu en punkt oc ett k-värde oc vi kan bestämma tangentens ekvation t(x). Återstår att ta reda skärningen med x-axeln, som vi får genom att lösa ekvationen t(x) = 0. f(3) = 3 3 = 4 Tangeringspunkten är (3, 4). Dags att derivera f (x) = x 1 f (3) ger oss tangentens k-värde: f (3) = 3 1 = 5. Tangentens ekvation t(x) = 5x + m (eller y = 5x + m, som vi är vana att skriva) börjar ta form. Vi sätter in punkten (3, 4) oc får ekvationen 4 = m, som ger m = 11. Tangentens ekvation är t(x) = 5x 11 När en linje skär x-axeln är y-koordinaten 0 (eller t(x) = 0), så vi får ekvationen 0 = 5x 11 x = 11 5 Svar: Tangenten skär x-axeln i punkten ( 11 5, 0). 5 Från figuren får vi att f(x) ar maxpunkt respektive minpunkt då x = 1 oc x =. Detta innebär att f ( 1) = 0 oc f () = 0. Sätter vi in dessa x i de fem derivatorna så får vi att det stämmer endast för alternativ b). Svar: Alternativ b) Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Figur 3: Här ser vi tangenten 6 Från s(t) får vi alltså den sträcka föremålet förflyttat sig efter t sekunder. Från s (t) får vi astigeten som föremålet glider med efter t sekunder. Efter att vi deriverat s(t) ar vi att lösa s (t) = 10. Roten till den ekvationen ger oss svaret på ur lång tid det dröjer innan astigeten är 10 meter/sek. Eftersom vi nu vet ur lång tid det förflutit kan vi använda s(t) för att ta reda på ur långt föremålet unnit. Vi startar med att derivera: s (t) = + 3t Vi löser ekvationen s (t) = 10 oc får + 3t = 10 t = 8 3 Återstår att bestämma s ( ) 8 = ( 8 3) = 16 Svar: Föremålet ar unnit 16 meter Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 1 Under sin tidiga karriär ade öjdopperskan Kajsa Bergqvist följande utomusresultat: År Höjd (cm) Hur stor var den genomsnittliga förändingsastigeten för ennes resultat från 1988 till 000? Bestäm i mån av förekomst extrempunkter till funktionen 3 Bestäm derivatan till funktionen f(x) = x3 3 x 6x + 1 f(x) = 3 x + 1 x 4 Folkmängden i en liten stad i Sverige stiger med den öga förändringsfaktorn Idag, år 007 ar staden invånare. a) Vilket år blir denna stad Sveriges nästa miljonstad? b) Hur stor kommer tillväxten (invånare/år) att vara 015? 5 Bestäm f(x) = f (x) då funktionen 6 Bestäm a oc b så att funktionen får ett maximum i (1, 4) f(x) = x 4x + 1 f(x) = x + ax + b 1 Vi ställer upp differenskvoten Svar: 5.5 cm/år y x = y 000 y = = Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Vi deriverar funktionen f(x) oc får f (x). Vi löser ekvationen f (x) = 0. De nollställen vi får i den ekvationen anger var det finns extrempunkter os f(x). Med jälp av teckenstudier avgör vi om det är max-, min- eller terrasspunkt. Vi avslutar med att bestämma f(x) för dessa punkter. f (x) = 0 ger följande ekvation f (x) = x x 6 x x 6 = 0 x = 1 ± x = 1 ± 5 x 1 = 3 x = Vi vet nu att extrempunkter finns för x = 3 oc x =. Detta ger följande tabell: x x < x = < x < 3 x = 3 x > 3 f (x) f(x) ր max ց min ր Genom att bestämma f( ) oc f(3) får vi så till sist de eftersökta punkterna. oc f( ) = ( )3 3 ( ) 6( ) + 1 = 58 3 f(3) = = Svar: Maxpunkt i (, 58 3 ) oc minpunkt i (3, 3 ) Figur 4: Funktionens utseende 3 Vi startar med att skriva om funktionen på en mer lättderiverad form: f(x) = x 3 + x Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Nu är det dags att derivera: f (x) = x ( )x 3 3 I oc för sig är uppgiften löst nu, men vi önskar en trevligare form: f (x) = 3x 1 3 x 3 = 3 3 x x 3 Svar: f (x) = 3 3 x x 3 4 Sedan gammalt kan vi ställa upp funktionen b(t) = t Där t = 0 motsvarar år 007. För att lösa a) ar vi bara att lösa ekvationen = t 1.04 t = t ln1.04 = ln ( ) t = ln ( ) ln 1.04 t 117 För att kunna svara på b) måste vi ta fram funktionens derivata b (t) oc bestämma b (8) (det ar ju gått 8 år). Om vi först skriver om funktionen till basen e får vi tln 1.04 b(t) = e oc så deriverar vi oc till sist kan vi bestämma b (8) b tln 1.04 (t) = ln1.04 e b (8) = ln1.04 e 8ln Svar: År = 14 är staden en miljonstad. Tillväxtastigeten var år 015, 556 personer/år 5 Vi deriverar f(x) f (x) = x 4 oc löser sedan ekvationen f(x) = f (x) x 4x + 1 = x 4 x 6x + 5 = 0 x = 3 ± 9 5 x = 3 ± x 1 = 5 x = 1 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Svar: Det finns två lösningar, x = 1 oc x = Figur 5: Skärningspunkterna mellan f(x) oc f (x) 6 Vi startar med att derivera f(x) där vi betraktar a oc b som konstanter. När vi sedan löser ekvationen f (1) = 0 får vi reda på a. Vi vet ju att f (1) = 0 eftersom f(x) ar en maxpunkt för x = 1. f (x) = x + a f (1) = 0 ger ekvationen 1 + a = 0 med roten a =. a är bestämd oc funktionen ar just nu utseendet f(x) = x + x + b Men vi vet också att f(1) = 4. Detta ger en ny ekvation (1 ) b = 4 som ar roten b = 3. Vi är klara. Svar: f(x) = x + x Figur 6: Maxpunkt på rätt ställe Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

1 Förändingshastigheter och derivator

1 Förändingshastigheter och derivator Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng ENAMEN Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: id: Hjälpmedel: Omattning oc betgsgränser: HF Matematik ör basår I EN ekniskt basår Marina Arakelan, Jonass Stenolm & Håkan Strömberg

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Calmers tekniska ögskola Datum: 1015 kl. 0.0 12.0 Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 07 607040 LMA222a Matematik DAI1 oc EI1 Tentan rättas oc bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7 Kontroll 13 Uppgift 1 Avståndet, r parsec, till en stjärna kan bestämmas med formeln M = m + 5 5 lgr där M =stjärnans absoluta ljusstyrka och m =stjärnans skenbara ljusstyrka. (1 parsec= 3.26 ljusår= 9.46

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C (kursplan 2000) VÅREN 2002 Skolverket änvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tangenter till tredjegradsfunktioner

Tangenter till tredjegradsfunktioner Tangenter till tredjegradsfunktioner I bilden intill ser du grafen av en tredjegradsfunktion som har tre nollställen nämligen x = 2, x = 1 och x = -1. Om man ritar en tangent till funktionsgrafen kommer

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Grafen till funktionen z = x y.

Grafen till funktionen z = x y. Frågor och svar om ln x, e x och 1/x i anslutning till grafen finns på nästa sida och framåt. 1 (6) Grafen till funktionen z = x y. plot3d(x^y, x=-3..3, y=-1..2, axes=frame, grid=[25,25], title="z=x^y");

Läs mer

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 7, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 21 Tentamen M0038M Tentamensdatum 2015-10-28 Sista anmälningsdag 2015-10-08 Tentamensanmälan

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer