Allt du behöver veta om exponentialfunktioner

Transkript

1 Allt du behöver veta om exponentialfunktioner Problem 1. Funktionerna a) a(x) = e x b) b(x) = e x c) c(x) = 4 x e x ln4 d) d(x) = 3 10 x 3 e x ln10 e) e(x) = ex 3 avbildas i figuren. Vilken är vilken? Problem. Vid en infektion kan antalet vita blodkroppar beskrivas med funktionen N(t) = 5000 e 0.30t där t är tiden i timmar. a) Beräkna N(4) och tolka resultatet. b) Beräkna N (4) och tolka resultatet. Problem 3. En laxpopulations storlek P(t) efter t dygn kan bestämmas med funktionen P(t) = e 0.040t a) Hur många laxar finns det från början? b) Hur lång tid tar det för populationen att fördubblas? c) När är tillväxthastigheten 1600 laxar/dygn? Problem 4. Antalet bakterier P(t) i en population under ett dygn kan beskrivas med funktionen P(t) = t där t är tiden i minuter. a) Med hur många bakterier ökar antalet under hela dygnet? b) Med vilken medelhastighet ökar antalet bakterier under dygnet, mätt i bakterier/min? c) Bestäm tillväxthastigheten efter 1 h. Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Problem 5. Ett nytt reningsverk har tagits i bruk vilket medför att koncentrationen av föroreningar N(t) µg/m3 i en sjö efter t dygn kan beskrivas med funktionen N(t) = e t 16 a) Hur hög var koncentrationen av föroreningar när reningsverket togs i bruk? b) Hur hög är koncentrationen efter ett år? c) När minskar koncentrationen föroreningar med 0.01 (µg/m 3 )/dygn? Problem 6. Antalet celler P i en bakteriekultur efter t timmar kan beskrivas med funktionen P(t) = 5000e kt där k är en konstant. a) Efter 7 timmar finns det 0000 celler. Bestäm konstanten k. b) Hur snabbt växer bakteriekulturen när t = 0? c) När ökar bakterierna med 5000 celler/h? Problem 7. En population med 1000 insekter ökar med.3% per dag. a) Ange en funktion för antalet insekter P(t) vid tiden t dagar. b) Beräkna P (7) och tolka resultatet. Problem 8. En bakteriepopulation växer exponentiellt. Antalet bakterier i populationen är P(t) efter t timmar. Vad ska man göra för att kunna besvara dessa frågor? a) När växer populationen med 000 bakterier/h? b) Hur snabbt växer populationen efter 5 timmar? c) Hur stor är populationen efter 5 timmar? d) När är antalet bakterier 0000? e) Hur lång tid tar det för populationen att fördubblas? f) Hur stor är populationen från början? Problem 9. Temperaturen f(t) C i en mugg choklad kan beskrivas med funktionen f(t) = C e kt där t är tiden i minuter efter det att chokladen hällts upp i koppen och C och k konstanter. När chokladen hälls upp är dess temperatur 80 C och efter 5.0 minuter är temperaturen 50 C. a) Bestäm konstanterna C och k i funktionen. b) När sjunker temperaturen 1.0 C/min? Problem 10. Massan av ett radioaktivt ämne i ett preparat kan beskrivas med funktionen m = C e kt där m är massan i mg och t är tiden i år. Ett preparat innehåller 0.80 mg radium vars halveringstid är 160 år. Bestäm sönderfallshastigheten i mg/år efter 1000 år. Håkan Strömberg KTH STH

3 Lösningsförslag Lösning 1. Genom att betrakta y = Ce 0 får vi direkt reda på (0,y) till vill säga C. Betraktar vi sedan k i y = Ce kx ser vi hur snabbt funktionen växer. a 4,b 1,c 3,d,e 5 Lösning. Efter 4 timmar är antalet vita blodkroppar N(4) = 5000 e Efter 4 timmar stiger antalet vita blodkroppar med Lösning 3. a) N (4) = e b) c) P(0) = e = P(t) = e 0.040t = 0000 e 0.040t = t = ln t 17 P (t) = e 0.040t P (t) = e 0.040t = 1600 e 0.040t 1600 = ( ) t = ln t = ln( ) t 36 Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Lösning 4. a) P(4 60) P(0) = P(4 60 P(0) b) c) P (1 60) = 100 ln Lösning 5. a) N(0) = e 0 16 = 0.6 b) N(365) = e c) N (t) = e t 16 = 0.01 e t 16 = t = ln 0.5 t = 16 ln t 18 Lösning 6. a) b) P(7) = e 7k = 0000 e 7k = 4 lne 7k = ln4 7k = ln4 k = ln4 7 P(t) = 5000e t ln4 7 P (0) = 5000 ln4e0 ln4 7 7 P (0) 990 c) P (t) = 5000 ln4 7 et ln4 7 = 5000 ln4 7 et ln4 7 = 1 e t ln4 7 = 7 ln4 t ln4 7 = ln ( 7 ln4 ) t = 7 ln4 ln( 7 ln4 t 8 ) Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Lösning 7. Lösning 8. a) P(t) = t b) P (t) = 1000 ln t P (7) = 1000 ln P (7) 7 a) P (t) = 000 b) P (5) c) P(5) d) P(t) = 0000 e) P(t) = P(0) f) P(0) Lösning 9. a) b) { C e k 0 = 80 C e k 5 = 50 f(t) = 80 e 0.094t C = e k 5 = 50 e k 5 = 5 8) k 5 = ln ( 5 8 k = ln(5 8) 5 k f (t) = 80 ( 0.094)e 0.094t f (t) = 1 80 (0.094)e 0.094t = 1 e 0.094t = 1 80 ( t = ln ( 1 t = ln( ) t ) Lösning 10. Vi startar med att bestämma k i funktionen C e kt, då vi känner C = 0.80 och att efter t = 160 år väger preparatet 0.40 mg (massan är halverad) e 160k = 0.40 e 160k = 1 160k = ln 1 k = ln k m(t) = 80 e t m (t) = e t m (1000) = e m (1000) = 0.03 Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Extra KS nr Problem 1. Bestäm f () då f(x) = 3x x, med hjälp av derivatans definition Problem. Bestäm det största och minsta värdet hos funktionen på intervallet 3 x 3 Problem 3. Bestäm f (4) för funktionen f(x) = x3 3 4x f(x) = 1 x +e 3x Problem 4. Lös ekvationen lg(x+1) = lgx+1 Problem 5. Ett belopp växer enligt, där t står för år. b(t) = (1.04) t Hur mycket växer beloppet med kr/år efter 10 år? Figur 1: Problem 6. Annas pepparkakor i Tyresö har släppt sin nya julkaka, som består av en kvadrat kantad av fyra halvcirklar och med ett cirkulärt hål i mitten. Socialstyrlesen påstår att kakans något brända kanter är mindre hälsosamma och inte får vara längre än 0 cm. Annas pepparkakor vill samtidigt åstadkomma en kaka med så stor area som möjligt. Hjälp dem hitta måtten på d 1 och d för att maximera arean då längden av kakans kanter är 0 cm. Håkan Strömberg 1 KTH STH

7 Lösningsförslag Lösning 1. f 3(+h) (+h) (3 ) 1+1h+3h 4 h (1 4) () = lim = lim = h 0 h h 0 h Lösning. 1h+3h h h(1+3h ) lim = lim = lim 10+3h = 10 h 0 h h 0 h h 0 f(x) = x3 3 4x f (x) = x 4 f (x) = 0 då x 4 = 0 x 1 = x = f( 3) = 3 f( ) = 16 3 f() = 16 3 f(3) = 3 Svar: Maxvärde 16 3 och minvärde 16 3 Lösning 3. f(x) = 1 x +e 3x Svar: f (4) = e1 Lösning 4. Svar: x = 1 9 Lösning 5. Svar: 581 kr/år f(x) = x 1 +e 3x f (x) = 1 x 3 +3e 3x f (x) = 1 x 3 +3e3x f (4) = e1 lg(x+1) = lgx+1 lg(x+1) = lgx+lg10 lg(x+1) = lg10x 10 lg(x+1) = 10 lg10x x+1 = 10x 9x = 1 x = 1 9 b(t) = (1.04) t b(t) = e t ln1.04 b (t) = ln1.04e t ln1.04 b (10) = ln1.04e b (10) ln1.04 Håkan Strömberg KTH STH

8 Lösning 6. Kakans sammanlagda kantlängd är Eftersom längden ska vara 0 cm får vi Kakans area uttryckt med d 1 och d är A(d 1,d ) = πd 1 +πd πd 1 +πd = 0 Ur sambandet πd 1 +πd = 0 löser vi ut d och får ( ) ( ) d1 π+d 1 d π d = 0 πd 1 π Vi substituerar så d i A(d 1,d ) och får en funktion av enbart d 1 A(d 1 ) = ( d1 ) π+d 1 ( ) 0 πd 1 π π A(d 1 ) = 0d 1 d 1 (π ) 100 π Det är hos denna funktion vi ska finna ett maximum och löser därför ekvationen A (d 1 ) = 0 A (d 1 ) = 0 d 1(π ) 0 d 1(π ) = 0 40 = d 1 (π ) d 1 = 0 π Vi har en extrempunkt då d 1 = 0 π. A ( 0 π ) avgör vilken karaktär punkten har. A (d 1 ) = π+ < 0 för alla d 1, alltså ett maximum. Till sist beräknar vi den eftersökta arean ( ) ( 0 (π ) 0 0 A = 0 π ) π π 100 π = 100(+π) π(π ) Svar: Den maximala pepparkakan har arean cm Håkan Strömberg 3 KTH STH

9 Extra KS nr 3 Problem 1. Bestäm derivatan till f(x) = 3x x med hjälp av derivatans definition Problem. Bestäm det största och minsta värdet hos funktionen på intervallet 0 x Problem 3. Bestäm f ( 1) till funktionen Problem 4. Lös ekvationen f(x) = x3 3 +4x +15x+1 f(x) = 1 x + 3 x ln(x )+ln5 = ln(x 3)+ln3 Problem 5. Bestäm funktionen f(x), där vi vet att f(0) = 30 och f (x) = 1e x Figur 1: Problem 6. Figur 1 visar en 10 meter lång ståltråd som böjts till två kongruenta, liksidiga trianglar och en cirkel. Avståndet mellan figurerna är lika långt som trianglarnas sida. Bestäm a och d så att arean av de tre figurerna tillsammans blir så liten som möjligt. Håkan Strömberg 1 KTH STH

10 Lösningsförslag Lösning 1. f 3(x+h) (x+h) (3x x) 3x +6xh+3h x h (3x x) (x) = lim = lim = h 0 h h 0 h Svar: f (x) = 6x Lösning. Svar: Maxvärde Lösning 3. 6xh+3h h h(6x+3h ) lim = lim = lim 6x +3h = 6x h 0 h h 0 h h 0 och minvärde 1 f(x) = x3 3 +4x +15x+1 f (x) = x +8x+15 f (x) = 0 då x +8x+15 = 0 x 1 = 5 x = 3 (f( 5)) (f( 3)) f(0) = 1 f() = f(x) = 1 x + 3 x f(x) = x +x 3 f (x) = x 3 + x f (x) = x x f (1) = f (1) = 4 3 Svar: f (1) = 4 3 Lösning 4. ln(x )+ln5 = ln(x 3)+ln3 ln5(x ) = ln3(x 3) e ln5(x ) = e ln3(x 3) 5(x ) = 3(x 3) 5x 10 = 3x 9 x = 1 x = 1 Resultatet medför att det inte finns någon lösning eftersom vid kontroll är både ln( 1 ) och ln( 1 3) odefinierade. Svar: Ingen lösning Lösning 5. Vi ser genast att f(x) = 6e x +k. Konstanten ramlar ut då vi löser ekvationen f(0) = 30 då 6e 0 +k = 30 ger k = 4. Svar: f(x) = 6e x +4 Håkan Strömberg KTH STH

11 Lösning 6. Summan av figurernas omkrets samt mellanrummen ger 8a+πd = 10 En liksidig triangel med sidan a har höjden h = a 3 och därmed arean Cirkelns area Figurens area uttryckt med d och a blir då A T = a h A C = π A(d,a) = a 3 4 = a 3 4 ( ) d +π ( ) d Då vi vet att a = 10 πd 8 kan vi nu skriva A(d,a) som A(d) genom att substituera h. ( 10 πd ) ( ) 8 3 d A(d) = +π 4 A(d) = πd 3(10 dπ) Vi löser så ekvationen A (d) = 0 A(d) = 3πd dπ+ 3π d 18 Vi bestämmer A (d) A (d) = (3π+ 3π )d 10 3π 64 (3π+ 3π )d 10 3π 64 d = π A (d) = 3π+ 3π 64 Då A (d) > 0 för alla d har vi funnit ett minimum då d = π 3+ 3π a = Den minsta area som kan erhållas är ( ) A π = 0 ( π 8 = π A(d) har definitionsområdet 0 d 10 π. Grafen bekräftar ) Svar: d = 0.5 och a = 1.1 Håkan Strömberg 3 KTH STH

12 Extra KS nr 4 Problem 1. Bestäm derivatan till f(x) = 1 x med hjälp av derivatans definition Problem. Bestäm det största och minsta värdet hos funktionen på intervallet 0 x 3 Problem 3. Bestäm f (x) = 1 för Problem 4. Lös ekvationen f(x) = x3 3 x x f(x) = 4 x 1 e x ln x+lnx = 4 Problem 5. Ett radioaktivt preparat sönderfaller enligt formeln m = m 0 e 0.1t där m är den mängd som återstår efter t minuter. Efter hur lång tid har preparatets massa halverats? Figur 1: Problem 6. Figur 1 visar ritningen över ett hus. Den centrala delen av huset utgör en kvadrat med sidan a m. På varje sida av huset finns en likadan utbyggnad i form av, även det, en kvadrat, med sidan b m. Man vet att husets omkrets är 60 m. Bestäm den minsta area huset kan ha. Håkan Strömberg 1 KTH STH

13 Lösningsförslag Lösning 1. Svar: f (x) = x 3 Lösning. f (x) = lim h 0 lim h 0 1 x +hx+h 1 x h lim h 0 = lim h 0 x (x +hx+h ) x (x +hx+h ) h hx h h(x 4 +hx 3 +h x ) = lim h 0 x x (x +hx+h ) x +hx+h x (x +hx+h ) h = lim h 0 hx h x 4 +hx 3 +h x h f(x) = x3 3 x x f (x) = x x f (x) = 0 då x x = 0 x 1 = 1 x = (f( 1)) f(0) = 0 f() = 10 3 f(3) = 3 = x h x 4 +hx 3 +h x = x x 4 = x 3 = Svar: Maxvärde 0 och minvärde 10 3 Lösning 3. f(x) = 4 x 1 e x f(x) = e x ln4 e x f (x) = ln4 4 x + e x f (1) = ln4 4 + e f (1) = 3 ln4+ e f (1) Svar: f (1) = 3 ln4+ e Lösning 4. ln x+lnx = 4 ln(x 1 x) = 4 ln(x 1 x) = 4 3 lnx = 4 lnx = 4 3 e lnx = e 4 3 x = e 8 3 Svar: Håkan Strömberg KTH STH

14 Lösning 5. Svar: Efter 5.78 minuter Lösning 6. Vi tecknar omkretsen m 0 = m 0 e 0.1t 1 = e 0.1t ln 1 = lne 0.1t ln = 0.1t t = ln 0.1 t (a b)+1b = 60 där 0 a 15 och 0 b 5 Vi tecknar arean A(a,b) A(a,b) = 4b +a Vi löser ut a ur ekvationen för omkretsen och får a = 15 b. Vi kan nu skriva om A(a,b) till A(b) genom att substituera Vi löser ekvationen A (b) = 0 A A(b) = 4b +(15 b) 8b 60b+5 ( ) 15 = 8 4 Svar: Husets minsta area är 11.5 m A (b) = 16b 60 16b 60 = 0 b = 15 4 A (b) = 16 > 0 medför minimum ( ) = 4 4 = 11.5 Håkan Strömberg 3 KTH STH