cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

Transkript

1 TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad. 1. Beräkna derivatorna till följande funktioner (a) f 1 (x) = sin(arctan x) (b) f (x) = x 1+x (c) f (x) = arcsin(x) + x 1 + x. Beräkna integralen I 1 = cos( x ) dx x. Beräkna inegralen I = x ln xdx 4. Beräkna integralen I = x + 1 (x 1)(x x + ) dx 5. Rita grafen till följande funktion g(x) = x x 1 Bestäm och klassificera kritiska punkter. Beräkna alla asymptoter.

2 6. Låt h(x) = x. (a) Beräkna andra gradens Taylorpolynom med centrum i 64 för att beräkna en approximation till 61 (p) (b) Vad blir feltermen? (c) Gör en uppskattning av det maximala felet. (1p) (p) 7. Beräkna volymen av den kropp som uppstår om vi roterar y = x x, där < x <, (a) runt x-axeln. (b) runt y-axeln. (c) Rita en bild av situationen. (p) (p) (1p) 8. x-axeln, y-axeln och linjesegmentet mellan punkterna (, a) och (b, ) (a >, b > ) bildar en triangel i första kvadranten. Densiteten för denna triangel är konstant lika med ett. (a) Rita en bild över situationen (b) Beräkna area och momenten map vardera axel (c) Bestäm masscentrum för denna triangel. (1p) (p) (1p)

3 Svar till tentamen i Envariabelanalys Distans, ot-nummer. 1. (a) f 1 cos(arctan(x)) (x) = 1+x (b) f (x) = 1 x (1+x ) (c) f (x) = 1 4 x + 1+ x 1+x. I 1 = sin( x ) + C. I = 1/ x ln (x) 1/9 x + C 4. I = ln x 1 ln x x + + arctan(x 1) + C 5. Svaret är lösningen. 6. (a) p (x) = (x 64) 496 (x 64) (b) Feltermen blir E = 48s (x 64) s (c) E < = (a) 79π/5 (b) 4π/1 8. (a) Se lösningen (b) A = ab/, M x= = ab /6 och M y= = a b/6 (c) x = b/ ȳ = a/

4 Lösningar till tentamen i Envariabelanalys Distans, ot-nummer. 1.. Denna integral förenklas genom att göra substitutionen u = x, du = dx x vilket ger dx x = du Integralen blir då I 1 = cos u du = sin u + C = sin x + C. I denna uppgift använder vi partiell integration. Eftersom logaritmen har en knepig primitiv funktion så väljer vi att integrera x och derivera logaritmen: I = x ln x 1 x x dx = x ln x 1 x dx = x ln x 1 x = x ln x 1 9 x + C = x ( ln x 1) + C 9 4. Vi börjar med partialbråksuppdelning och noterar att andragradsfaktorn till nämnaren har ickereella nollställen varför vi partialbråksuppdelar med följande ansats: x + 1 (x 1)(x x + ) = A x 1 + Bx + C x x + Handpåläggning ger att A = vilket ger att ovanstående partialbråksuppdelning ger följande likhet för täljarna (vilket fås när vi sätter höger led på gemensamt bråkstreck: x + 1 = (x x + ) + (Bx + C)(x 1) = (B + )x + ( B + C 4)x C + 4 som ger oss att B = (från x koeffecienterna)) C = från konstanttermen. Från x- koeffecienten får vi likheten C B 4 = 1 som uppfylls för de värden B = och C =! Vår partialbråksuppdelning ger nu följande integraler dx x I = + x 1 x }{{} x + dx + I 1 x + = I 1 + x x + dx + x + = I 1 + x x + dx + }{{} I dx x x + = dx x x + = dx x x + } {{ } I Förlängningen i den andra integralen görs för att vi ska få en integrand vars täljare precis är derivatan av av nämnaren. Detta gör att integralen av I i nästa steg blir enklare. I annat fall så skulle vi tvingas dela upp integralen i två delar varav den andra delen blir av typen I. Denna extra integral är med denna metod inbakad i I, vilket minskar antalet beräkningssteg. Vi löser nu våra tre integraler I 1 = dx = ln x 1 x 1

5 I = Vår integral I blir slutligen 5. Derivatan blir x + I = x x + dx = [ subst :: u = x x +, du = x ] du = u = ln u = ln x x + dx x x + = [ kvadratkomplettering ] = I = ln x 1 ln x x + + arctan(x 1) + C g (x) = x ( x ) (x 1) dx (x 1) = arctan(x 1) + 1 från vilket vi hittar kritiska punkterna och ± maximum i x = och minimum i x =. Asymptoter: vertikala i ±1 och sned asymptot y = x eftersom x x 1 = x + x x 1 6. Vi har att taylorutveckling med centrum i a, till andra graden kan skrivas f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + E, där E = f (s) (x a), där s ligger mellan x och a! (a) Eftersom a = 64 så får vi att f(a) = 64 = 8. Vi har att f (x) = 1 x 1/, f (x) = 1 4 x / och f (x) = 8 x 5/. Vi får då att andra gradens taylorpolynom blir p (x) = (x a) (x a). 5

6 Detta polynom ger värdet som är en approximation av 61. p (61) = = = (b) Feltermen blir 8! s 5/ (x 64) = 48s (x 64) s (c) För feluppskattningen noterar vi att 1/s s är avtagande vilket ger att vi måste hitta en uppskattning av felet till vänster om 61 och här är 49 bäst eftersom det talet har en bra rot. Vi får E < = = (a) Vi integrerar med skivmetoden, dvs vi integrerar infinitesimala skivor med volymen dv = πr dx = π(f(x)) dx = π(x x ) dx = π(9x 4 6x 5 + x 6 )dx Vi får således att rotationsvolymen ges av integralen V = π = π [ 9 9x 4 6x 5 + x 6 dx = π [ ] = 6 π 5 = 79 π 5 5 x5 x 6 + x7 7 [ 7 = π (b) I denna uppgift så ska vi rotera kring y-axeln och vi använder då metoden med cylindriska skal. Detta innebär att vi integrerar infinitesimala cylinderskal med volymen dv = πxf(x)dx = πx(x x )dx = π(x x 4 )dx, vilket ger att volymen ges av integralen och blir (c) Här är en bild på situationen: [ x V = π (x x 4 4 )dx = π 4 x5 5 [ 5 = π 5 4 ] = 4 π 1 ] ] ] [ ] 4 = π

7 Figure 1: Röd skiva är infinitesimal volym i uppgift (a.) och blå cylinder är infinitesimal volym för uppgift (b.) 8. (a) Vi börjar med att rita en bild på situationen Figure : Triangeln i uppgiften är begränsad av linjen y = a b x + a. För att beräkna linjen som definierar triangelns övre begränsningslinje så sätter vi in de två punkterna i linjens ekvation y = kx + m så får vi två ekvationer och löser man dessa så får vi k = a/b och m = a. Därför får vi att linjens ekvation blir y = a b x + a Denna funktion kommer vi att använda för att beräkna momenten 7

8 (b) Momentet M x= :: Vi har att momentet kring y-axeln x = blir M x= = = b xf(x)dx = [ ax b + ax = ab 6 b ] b x( a b b x + a)dx = ( a b x + ax)dx = = ab b + ab = ab Momentet M y= :: Momentet kring x-axeln y = blir M y= = 1 = 1 b f(x) dx = 1 b [ a x b a x + a x b [ a ] b x + a 1 dx = ] b = 1 [ b [ a b b a b + a b b ] [ = ab 6 + ] 6 [ ] a b x a b x + a dx = ] = a b 6 Triangelns area :: Triangelns area blir basen gånger höjden delat med två, dvs A = ab/ (c) Det är nu enkelt att få fram masscentrums koordinater: x = M x= A = b ȳ = M y= A = a 8