SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
|
|
- Robert Lundgren
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Resultatet på del A, som omfattar de tre första uppgifterna, kan höjas av resultat från den löpande examinationen (seminarierna) under kursen. Poängen från seminarierna läggs till poängen på del A på skrivningen, dock så att den totala poängen på del A blir högst p. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C. För de högsta betygen, A och B, krävs vissa poäng på del C. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!
2 SF65 Envariabelanalys Tentamen DEL A. Hur många gånger (om någon) antar funktionen värdet 3 i intervallet x 9? f(x) = ( x) x. Använd en lämplig variabelsubstitution för att beräkna integralen e + ln x dx. x 3. En mjölkförpackning med temperaturen 4 C tas ur kylskåpet och placeras i ett rum med konstant temperatur 0 C. Efter minuter har mjölken antagit temperaturen C. Efter hur lång tid ytterligare har mjölkens temperatur nått 8 C? Förutsätt att förloppet följer Newtons lag, dvs att mjölkens temperaturändring per tidsenhet är proportionell mot temperaturskillnaden mellan rummet och mjölken. DEL B 4. Vi betraktar differentialekvationen y 5y + 6y = 0 sin x. a. (3p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen. b. (p) Bestäm den lösning vars graf passerar origo (0, 0) och tangerar x-axeln där. 5. Det begränsade område som ligger mellan kurvan y = x och linjen y = delas av linjen y = k i två områden med lika stora areor. Bestäm värdet på konstanten k. 6. a. (p) Låt f(x) = ( + x) α, där α är ett reellt tal, och ange Maclaurinutvecklingen (dvs Taylorutvecklingen kring x = 0) av ordning för f(x), dvs ange Maclaurinpolynomet av grad med tillhörande restterm (på valfri form). b. (p) Bestäm med hjälp av resultatet i uppgift a. gränsvärdet lim ( x 4 + x 3 3 x 6 + 3x 5 ). x (Det kan vid beräkningen av gränsvärdet vara lämpligt att införa variabeln t, där t = x.)
3 SF65 Envariabelanalys Tentamen DEL C 7. Formulera och bevisa analysens huvudsats. Utan bevis får integralkalkylens medelvärdessats användas. 8. Vi betraktar den generaliserade integralen a. (p) Bevisa olikheten ln( + x ) dx. ln( + x) x för x 0. b. (p) Använd olikheten i a. för att visa att den givna integralen är konvergent. c. (p) Beräkna också integralens värde. 9. Funktionen f är kontinuerligt deriverbar för alla x (dvs f existerar och är kontinuerlig för alla x). Beräkna gränsvärdet lim x 0 f(sin x) f(arctan x) x 3. (Svaret kan innehålla f:s och f :s värden i enstaka punkter.)
4 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. Hur många gånger (om någon) antar funktionen värdet 3 i intervallet x 9? I intervallets ändpunkter antar f värdena f(x) = ( x) x f() = ( ) = och f(9) = ( 9) 9 = 9. För att finna dess värden däremellan bestämmer vi först f:s derivata (derivatan av en produkt) f (x) = ( ) x + ( x) x = 3 ( 3x) = x (4 x). x Dess enda nollställe är x = 4 och f(4) = ( 4) 4 = 6. Tabell: x 4 9 f (x) + 0 f(x) 6 9 I intervallet [, 4] är f kontinuerlig (en produkt av elementära funktioner) och f() = < 3 < 6 = f(4), så f antar värdet 3 minst en gång i intervallet (enligt satsen om mellanliggande värden). Eftersom f (x) > 0 för alla x med < x < 4 är f strängt växande där och kan inte anta samma värde mer än en gång. f antar alltså värdet 3 precis en gång i intervallet ], 4[. På samma sätt (f kontinuerlig, f(4) = 6 > 3 > 9 = f(9), f (x) < 0 så f strängt avtagande) ser man att f antar värdet 3 precis en gång i intervallet ]4, 9[. För x =, 4, 9 är f(x) 3, så f antar värdet 3 precis två gånger i intervallet [, 9]. Svar. f antar värdet 3 precis två gånger i intervallet [, 9].
5 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Använd en lämplig variabelsubstitution för att beräkna integralen e + ln x dx. x Eftersom integranden har en faktor (vilket ju är derivatan av ln x) och resten är en x funktion av just ln x, inför vi t = ln x som ny variabel och får: e [ ] + ln x t = ln x; x = e t = dx = x dt = dx; x = t = 0 = + t dt = x 0 [ ] = ( + t) 3 = ( ) = ( 8 ). 3 0 (Det går också bra att använda t = + ln x som ny variabel. Då blir integralen t dt.) Svar. Integralens värde är 3 ( 8 ).
6 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen En mjölkförpackning med temperaturen 4 C tas ur kylskåpet och placeras i ett rum med konstant temperatur 0 C. Efter minuter har mjölken antagit temperaturen C. Efter hur lång tid ytterligare har mjölkens temperatur nått 8 C? Förutsätt att förloppet följer Newtons lag, dvs att mjölkens temperaturändring per tidsenhet är proportionell mot temperaturskillnaden mellan rummet och mjölken. Låt mjölkens temperatur vid tid t vara T (t) och kalla 4 C för T 0 och 0 C för T. Enligt Newtons lag uppfyller då T (t) för någon (positiv) konstant k: { T = k(t T ), T (0) = T 0. Vi löser först differentialekvationen. Karakteristiska ekvationen för motsvarande homogena ekvation är r = k, med roten r = k, så den homogena ekvationens allmänna lösning är T h (t) = Ae kt, A en godtycklig konstant. För en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen görs ansatsen T (t) = c, en konstant. Insättning i ekvationen ger 0 = k(c T ), så vi får en lösning om c = T, T p (t) = T. Den allmänna lösningen till ekvationen är alltså T (t) = T h (t) + T p (t) = Ae kt + T. Konstanten A bestäms av villkoret på T (0). Det ger vilket ger A = T 0 T och lösningen A + T = T 0, T (t) = (T 0 T )e kt + T. Kalla minuter för t a, C för T a och tiden då mjölken är 8 C (=T b ) för t b. Då är T a = T (t a ) = (T 0 T )e kta + T, så e kta = Ta T T 0 T, och p.s.s. e kt b = T b T T 0 T. Om man sätter in talvärden för T. :na får man e kta = 0 = och 4 0 e kt b = 8 0 = = (e kta ) 3 = e k 3ta, så t b = 3t a och den sökta tiden t b t a = t a, dvs 4 minuter. Svar. Efter ytterligare 4 minuter.
7 4 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Vi betraktar differentialekvationen y 5y + 6y = 0 sin x. a. (3p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen. b. (p) Bestäm den lösning vars graf passerar origo (0, 0) och tangerar x-axeln där. a. Karakteristiska ekvationen för motsvarande homogena ekvation är r 5r + 6 = 0, med rötterna r, =, 3, så den homogena ekvationens allmänna lösning är y h (x) = C e x + C e 3x, där C, C är godtyckliga konstanter. För att finna en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen låter vi den komplexa funktionen u(x) uppfylla ekvationen u 5u + 6u = 0e ix (= 0(cos x + i sin x)). Då uppfyller y = Im u den givna ekvationen. Ansätt en lösning u(x) = ce ix, c en konstant. Det ger u (x) = ice ix, u (x) = ce ix. Insättning i ekvationen ger ( c 5ic + 6c)e ix = 0e ix, så vi får en lösning om c = 0 = = + i. u 5 5i i p(x) = ( + i)e ix, så y p (x) = Im u p (x) = Im( + i)(cos x + i sin x) = cos x + sin x. (Man kan också ansätta partikulärlösningen y(x) = a cos x + b sin x och sätta in. Det ger en lösning om a = b =, så samma y p som ovan.) Den allmänna lösningen till ekvationen är alltså y(x) = y h (x) + y p (x) = C e x + C e 3x + cos x + sin x, vilket ger y (x) = C e x + 3C e 3x sin x + cos x. Konstanterna C, C bestäms av villkoret att grafen tangerar x-axeln i (0, 0), dvs y(0) = y (0) = 0. De ger C + C + = 0 och C + 3C + = 0, vilket ger C =, C = och lösningen y(x) = e x + e 3x + cos x + sin x. Svar. a. Den allmänna lösningen är y(x) = C e x + C e 3x + cos x + sin x, där C, C är godtyckliga konstanter, b. Den sökta lösningen är y(x) = e x + e 3x + cos x + sin x.
8 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Det begränsade område som ligger mellan kurvan y = x och linjen y = delas av linjen y = k i två områden med lika stora areor. Bestäm värdet på konstanten k. Vi beräknar för k > 0 arean av det begränsade området mellan linjen y = k och kurvan y = x och kallar den A(k). x-värdena för punkter i området ges av x k, dvs k x k. För vart och ett av dessa x ligger (x, y) i området precis om x y k, så arean är k [ ] A(k) = (k x k ) dx = kx x3 = 4k k k = ger arean av området som skulle halveras, så villkoret som bestämmer k är A(k) = A(), dvs 4k 3 = 4, så k = och k = = k Svar. Det sökta värdet är 3 4.
9 6 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen a. (p) Låt f(x) = ( + x) α, där α är ett reellt tal, och ange Maclaurinutvecklingen (dvs Taylorutvecklingen kring x = 0) av ordning för f(x), dvs ange Maclaurinpolynomet av grad med tillhörande restterm (på valfri form). b. (p) Bestäm med hjälp av resultatet i uppgift a. gränsvärdet lim x ( x 4 + x 3 3 x 6 + 3x 5 ). (Det kan vid beräkningen av gränsvärdet vara lämpligt att införa variabeln t, där t = x.) a. Utvecklingen är en standardutveckling (binomialformeln) och får ges från minnet. Utan minne: f(x) = ( + x) α, f (x) = α( + x) α, f (x) = α(α )( + x) α, så f(0) = ( + 0) α =, f (0) = α, f (0) = α(α ). Det ger Maclaurinpolynomet p (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x = + αx + α(α ) x. Eftersom f är deriverbar hur många gånger som helst då x > är resttermen x 3 B(x), där B(x) är begränsad i någon omgivning till x = 0. Den sökta utvecklingen blir f(x) = + αx + α(α ) x + x 3 B(x), (B(x) begränsad i en omgivning till x = 0). b. Med den rekommenderade variabeln t = och α = resp. i utvecklingen i a. fås x 3 x4 + x 3 = + = t 4 t 3 t + t = ( + t + ( ) (t) + t 3 B t (t)) = = + + t B t t (t), 3 x6 + 3x 5 = = 3 + 3t = ( + 3t + 3 ( 3 ) (3t) + t 3 B t 6 t 5 t t 3 (t)) = = + + t B t t (t), där B (t) och B (t) är begränsade i en omgivning till t = 0. Det ger lim ( x 4 + x 3 3 x 6 + 3x 5 ) = lim (( + + t B x t 0+ t t (t)) ( + + t B t t (t))) = = lim t 0+ ( + t (B (t) B (t))) =. Svar. a. Utvecklingen kan skrivas f(x) = + αx + α(α ) x + x 3 B(x), där B(x) är begränsad i en omgivning till x = 0. b. Gränsvärdet är.
10 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. Formulera och bevisa analysens huvudsats. Utan bevis får integralkalkylens medelvärdessats användas. Satsen säger att om f är kontinuerlig i intervallet a x b så är funktionen deriverbar och S(x) = x a f(t) dt, a x b S (x) = f(x) för alla x med a < x < b. För att bevisa påståendet skall vi visa att då a < x < b existerar S(x + h) S(x) lim h 0 h och att det är lika med f(x) (det är ju definitionen av derivatan S ). Integralkalkylens medelvärdessats säger att om f är en kontinuerlig funktion i [c, d] finns ξ [c, d] med d f(t) dt = f(ξ)(d c) (om c > d skall [c, d] tolkas som [d, c] och, som vanligt, d c f(t) dt = c d c f(t) dt). Låt a < x < b och h vara så litet (till beloppet) att a < x + h < b. Då ger medelvärdessatsen att S(x + h) S(x) = x+h f(t) dt = f(ξ h ), h h x för något ξ h mellan x och x + h. Då h 0 fås ξ h x, så f(ξ h ) f(x) (f är ju kontinuerlig i x). Det visar att gränsvärdet lim h 0 av vänsterledet också existerar, så S är deriverbar i x och S (x) = f(x). Saken är klar. Svar. Se lösningen.
11 8 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Vi betraktar den generaliserade integralen a. (p) Bevisa olikheten ln( + x ) dx. ln( + x) x för x 0. b. (p) Använd olikheten i a. för att visa att den givna integralen är konvergent. c. (p) Beräkna också integralens värde. a. Låt f(x) = x ln( + x). Vi skall visa att f(x) 0 då x 0. Derivering av f ger f (x) = = x, så f (x) > 0 då x > 0. Eftersom f är +x +x kontinuerlig då x 0 ger det att f är strängt växande då x 0. f(0) = 0 ln = 0, så f(x) = f(x) f(0) 0 då x 0. Saken i a. är klar. b. För alla x 0 är 0 ln(+ ) och > 0 så med resultatet i a. fås 0 ln(+ ). x x x x Eftersom dx är konvergent är enligt en känd jämförelsesats också den betraktade x integralen det. Saken i b. är klar. c. Vi inför en faktor i integranden och använder partialintegration (derivering av ln( + ) x ger ju då en rationell integrand). X ln( + x ) dx = [ x ln( + x ) ] X X = [ x ln( + x ) ] X + X x + x x 3 dx = dx = [ x ln( + ) + arctan x ] X. x + x Enligt b. är 0 ln( + ), så lim x x X X ln( + ) = 0 och X = lim X ln( + ) dx = lim x X X ln( + x ) dx = ((X ln( + ) + arctan X) ( ln( + ) + arctan )) = X = 0 + π ln π = π ln. 4 Svar. a. och b. visade ovan. c. Integralens värde är π ln.
12 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Funktionen f är kontinuerligt deriverbar för alla x (dvs f existerar och är kontinuerlig för alla x). Beräkna gränsvärdet f(sin x) f(arctan x) lim. x 0 x 3 (Svaret kan innehålla f:s och f :s värden i enstaka punkter.) f är deriverbar, så medelvärdessatsen ger att f(sin x) f(arctan x) = f (ξ)(sin x arctan x) för ett ξ mellan sin x och arctan x. Då x 0 fås ξ 0, så lim x 0 f (ξ) = f (0), eftersom f är kontinuerlig. Då fås lim x 0 f(sin x) f(arctan x) x 3 = lim x 0 ( f (ξ) ) sin x arctan x x = f sin x arctan x (0) lim. 3 x 0 x 3 Maclaurinutvecklingarna sin x = x x3 + 6 x5 B(x) och arctan x = x x3 + 3 x5 C(x), där B, C är begränsade i en omgivning till x = 0, ger sin x arctan x lim x 0 x 3 x 3 = lim 6 +x5 (B(x) C(x)) x 0 x 3 Det sökta gränsvärdet är alltså 6 f (0). Svar. Det sökta gränsvärdet är 6 f (0). = lim 6 +x (B(x) C(x)) =. x 0 6
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN SF66 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE den januari 0 kl 09.00-.00. Hur många gånger antar funktionen f) = ) värdet när varierar i intervallet 9? LÖSNING:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merTentamen SF e Januari 2016
Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merMATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna
Läs merModul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.
Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merx) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012
TENTAMEN HF006 och HF008 TEN 0 dec 0 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Svante Granqvist Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och
Läs merLösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13
KTH Matematik Examinator: Lars Filipsson Lösningsförslag till Tentamen i SF60 för CFATE den 0 december 008 kl 8-3 Preliminära betygsgränser: A - 8 poäng varav minst 8 VG-poäng, B - 5 poäng varav minst
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 2 Mikael Hindgren 12 november 2018 Derivatan av inversen till en funktion Exempel 1 y = f (x) = x är strängt växande och har en invers. Bestäm Df (x) och
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merDagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom
Dagens ämnen 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom Konsekvenser av entydigheten 1 / 10 Dagens ämnen Entydighet
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merRepetitionsuppgifter
MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merLösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 9-3-7 kl 8.3-1.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA 26-3-3. Funktionen f() = + 3 2 ln( + 3 2 ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: 2 6 + 3 2 = 92 2 + 3 + 3 2 = 9( )( 3 ) + 3 2, 3 +
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Fredag 17 mars 2017
SF625 Envariabelanalys Tentamen Fredag 7 mars 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs merStudietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMeningslöst nonsens. November 19, 2014
November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs mer