Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Transkript

1 Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Del är avsedd för betyg E och omfattar uppgifter För betyg E krävs godkända moduler Del är avsedd för högre betyg, A, B, C och D, och omfattar totalt poäng För betyg A krävs förutom godkända moduler även 5 poäng på del För betyg B krävs förutom godkända moduler även poäng på del För betyg C krävs förutom godkända moduler även 7 poäng på del För betyg D krävs förutom godkända moduler även 3 poäng på del De som har registrering på 5B6 erhåller betyg enligt nedan Tentamen är tvådelad Del är avsedd för betyg 3 och omfattar uppgifter För betyg 3 krävs godkända moduler Del är avsedd för högre betyg, och 5, och omfattar totalt poäng För betyg krävs förutom godkända moduler även 8 poäng på del För betyg 5 krävs förutom godkända moduler även poäng på del Uppgifterna -5 ger poäng vardera Del Modul dp I en populationsmodell är den relativa tillväxthastigheten,, som funktion av antalet djur, P(t), P(t) dt summan av två termer Den ena är en positiv konstant, a, och den andra termen är proportionell mot antalet djur med proportionalitetskonstanten b Ställ upp en matematisk modell för ovanstående Låt konstanterna därefter vara 5 respektive Bestäm populationen som funktion av tiden t då den vid tiden år lika med Låt populationen vid tiden t vara P(t) dp dp Differentialekvationen blir = a bp(t ), P(t) dt dt = ap bp dp Med de givna konstanterna insatta erhålles dt = 5P P Differentialekvationen är av Bernoulli typ( den är även separabell) Vi omformar differentialekvationen: P dp = 5P dt Sätt z = P, dz dt = dp P dt Insättning ger: dz dz = 5z, 5z =, vilken är linjär med konstanta koefficienter dt dt Dess lösning erhålles som allmän homogen lösning plus en partikulärlösning Vi erhåller z = Be 5t 5 = Ae 5t Populationen är P(t) = 5 Villkoret ger värdet på konstanten: P() = 5 A =, A = 5 SVAR: Populationen är P(t) = e 5t Modul Bestäm y( ) då y y = 6δ (t ) och y() = samt y () = Laplacetransformera : s Y(s) sy() y () Y(s) = 6e s 5 Ae 5t

2 Insättning av villkoret ger: (s )Y (s) = s 6e s Lös ut den obekanta funktionens Laplacetransform s Y(s) = s s 3 Återtransformering ger: Det sökta funktionsvärdet blir s e y(t) = cost sin t 3U(t )sin (t ) y( ) = cos sin 3U( )sin( ) = 3 = s SVAR: Det sökta funktionsvärdet blir y( ) = Modul 3 Bestäm u(x,y) u så att x u y = u och u(x,) = 3ex 5e x Vi använder variabelseparation u(x,y) = X( x)y(y) Insättning i differentialekvationen ger: X (x)y(y) X( x) Y (y) = X( x)y(y) Dividera med X( x)y(y) X (x) X( x) Y ( y) Y(y) = X (x) X( x) = Y ( y) = konstant = λ Y(y) Vi får ett system av ordinära differentialekvationer vars lösningar vi skriver upp X (x) = λx( x) X( x) = Ae λx Y (y) = ( λ)y(y) ( λ )y Y(y) = Be Vi får u λ (x,y ) =(AB) λ e λx e ( λ )y = c λ e λx ( λ )y för alla λ Vid hänsyn taget till villkoret u(x,) = 3e x 5e x bildar vi följande linjärkombinationer av lösningar u(x,y) = c λ e λ x ( λ )y c λ e λ x ( λ )y Insättning av villkoret ger: c λ e λ x c λ e λ x = u(x,) = 3e x 5e x En direkt identifiering ger λ =, c λ = 3, λ =, c λ = 5 Vi får u(x,y) = 3e x 5e x 3y SVAR: Den sökta lösningen är u(x,y) = 3e x 5e x 3y Modul Sök allmänna lösningen till X = AX, där A = Vad är hastighetsvektorn då X = Avgör även en partikels öde om den vid tiden t = 5 befinner sig i punkten (, ) Vi börjar med att bestämma egenvärden och därefter egenvektorer till matrisen A = det(a λi) = λ λ = ( λ ) = ( λ )( λ ) = (3 λ )( λ ) Egenvärdena blir λ = 3, λ = Bestäm motsvarande egenvektorer K, där (A λi)k = λ = 3 K =, K = k, k R λ =?

3 K =, K = k, k R Motsvarande lösningar blir: 3t λ = 3 : X = e t λ = X = e Den allmänna lösningen erhålles som linjärkombinationer av X och X e 3t e t c 3t t X = c X c X = ce c e = e 3t e t c 3 = Hastighetsvektorn X = AX för X = blir X = Observera att punkten (, ) ligger på den räta linje vars riktningsvektor ges av Då t växer går partiklen mot origo e 3t e t c 3t SVAR: Den allmänna lösningen X = c e c e t = e 3t e t c 3 Hastighetsvektorn X = Partikeln går mot origo då t växer obegränsat Del Är följande påståenden, a-c, sanna eller falska? Motivera! a) Differentialekvationen dy y dx = x har reella lösningar i området {( x,y) : x <, y > } y = Φ(x ) vara en lösning till differentialekvationen y y = Vidare går lösningskurvan genom punkten (,) Då går samma lösningskurva även genom punkten (3, ) b) Låt c) Begynnelsevärdesproblemet y = 3y 3, y() = har ej entydig lösning x så att grafen till lösningskurvan för begynnelsevärdesproblemet y y = 3x 6, y(x ) = tangerar x -axeln i punkten (x,) Bestäm därefter begynnelsevärdesproblemets lösning d) Bestäm ett värde på a) Falskt, ty VL medan HL< b) Falskt, ty y = y < innebär att lösningen är en avtagande funktion Denna kan inte gå genom punkten (,) och punkten (3, ) 3 c) Sant, ty två lösningar ges av y = och y = x d) Grafen till lösningskurvan tangerar x -axeln i punkten (x,) då y (x,) = Insättning i differentialekvationen ger: = 3x 6, x = Den givna differentialekvationen är linjär av första ordningen Den allmänna lösningen erhålles som summan av allmänna homogena lösningen och en partikulär lösning x Den allmänna homogena lösningen ges av yh = Ce För att erhålla en partikulärlösning gör vi ansatsen yp = ax b Insättning i differentialekvationen ger: a (ax b) = 3x 6 a = 3 x :!a = 3 6x 5 Identifiering ger:,, yp = 3 5 x : a b = 6 b = ( 6 ) /!= 6x x 6x 5 5, C= e, y= e Bestäm konstanten Villkoret ger = Ce 3 x 6x 5 SVAR: a) Falskt, b) Falskt c) Sant d) x = och y = e Allmänna lösningen ges av: y = Ce x

4 Den allmänna lösningen till differentialekvationen x y bx y cy = f (x), x > ges av y = Ax Bx x Bestäm differentialekvationen Den givna lösningen består av två delar Den allmänna homogena lösningen y h = Ax Bx och en partikulärlösning y p = x Vi utnyttjar först de homogena lösningarna för att bestämma konstanterna därefter kan f (x) bestämmas y = x : x bxx cx = Insättning av de två lösningarna i den homogena differentialekvationen ger: y = x : x 6x bx( x 3 ) cx = b c = Vi erhåller systemet: vilket har lösningen b = c = 6 b c = Vi får differentialekvationen f (x) = x y x y y Det återstår att bestämma funktionen f (x) Insättning av partikulärlösningen ger detta Vi får f (x) = x x xx 3 x = x SVAR: Den sökta differentialekvationen är x y x y y =x 3 Ett tvådimensionellt hastighetsfält beskrivs av systemet dx dt = x y dy dt = x y Undersök de kritiska punkternas karaktär det vill säga undersök stabilitet/instabilitet samt ange typ Vi bestämmer först de stationära(kritiska) punkterna, där är hastighetsvektorn lika med nollvektorn Därefter linjariseras systemet med hjälp av Jacobianen De stationära punkterna insättes i Jacobianen och vi erhåller konstanta matriser vars egenvärden bestämmes Vi undersöker det linjära systemet med avseende på stabilitet/instabilitet samt typ = x y Systemet = x y har lösningarna (,), (,-), (-,) och (-,-) Jacobianen J = x y Insättning av respektive punkter ger x y J(,) = = A, vars egenvärden fås ur ekvationen = λ λ = λ, λ, = ± 8 Skilda reella egenvärden ger sadelpunkt, vilken är instabil J(, ) = = B, vars egenvärden fås ur ekvationen = λ λ = ( λ), λ, = ± i Komplexa egenvärden med positiv realdel ger instabil spiral J(,) = λ = C, vars egenvärden fås ur ekvationen = λ = ( λ), λ, = ±i Komplexa egenvärden med negativ realdel ger stabil spiral J(, ) = = D, vars egenvärden fås ur ekvationen = Skilda reella egenvärden ger sadelpunkt, vilken är instabil λ λ = λ, λ, = ± 8 Detsamma gäller även för det icke-linjära systemet SVAR: (,) sadelpunkt, vilken är instabil (,-) instabil spiral (-,) stabil spiral (-,-) sadelpunkt, vilken är instabil a Låt f (t) vara styckvis kontinuerlig på [,) av exponentiell ordning och periodisk med perioden T T Härled f : s Laplacetransformation F(s) = e st f (t)dt e st utgående från definitionen på Laplacetransform b Begynnelsevärdesproblemet y y = Φ ε (t), t >, y() = y () = beskriver en svängningskrets med en högfrekvent insignal Φ ε (t) nämligen fyrkants-vågen Φ ε (t) =, < t < ε, ε < t < ε och Φ ε (t ε ) = Φ ε (t),

5 där ε är ett litet tal Lösningen y(t) beror av ε, y(t) = y ε (t) Bestäm gränsfunktionen y (t) = lim y ε (t) ε Ledning: Gränsövergången kan med fördel göras på Laplacetransformsidan a Laplacetransformen definieras som F(s) = e st f (t)dt Dela upp integralen i två delar och gör därefter en substitution F(s) = e st T f (t)dt = e st f (t)dt e st f (t)dt () T I den senare integralen görs substitutionen u = t T, du = dt e st f (t)dt = e s( u T) f (u T)du T = e st e su f (u T)du = { f (u T) = f (u)} = e st e su f (u)du = e st F(s) T Insättning i () ger F(s) = e st f (t)dt e st T F(s) Lös ut F(s) Vi får F(s) = e st e st f (t)dt vsv b Vi Laplacetransformerar differentialekvationen s Y(s) sy() y () Y(s) = L Φ ε (t) { } ε L{ Φ ε (t)} = e s ε e st ε Φ ε (t)dt = e sε e st dt = e sε s( e sε ) = s( e sε ) Insättning ger s Y(s) Y(s) = s( e sε ) Lös ut Y(s) och gör därefter den aktuella gränsövergången Y(s) = e sε (s )s (s )s = ( s s s ), ε y (t) = L s s s = ( cost) SVAR: a Se ovan b y (t) = ( cost) 5a Vad menas med att två funktioner är ortogonala på ett intervall t L b Undersök om följden {, cost, cost, cos 3t,,cosnt, } är ortogonal på intervallet t c Utveckla den reellvärda funktionen f på intervallet t i ovanstående följd ( ) dt d Bestäm med hjälp av ovanstående f (t) L a Två funktioner f och g är ortogonala på intervaller t L då f (t)g(t )dt = sin sin b Vi får cos ntdt = = och n cosmtcosntdt = (cos(m n)t cos(m n)t)dt = { m n} sin(m n) sin sin(m n) sin = m n m n Följden är ortogonal c Vi ansätter f (t) = c a n cosnt n = Integration över det aktuella intervallet och utnyttjande av ortogonaliteten ger följande resultat f (t)dt = c, c = f (t)dt Multiplicera ansatsen med cosmt och integrera över det aktuella intervallet cosmt Utnyttjandet av ortogonaliteten ger f (t)cos mtdt = a m cosmtcosmtdt = a m dt = a m Vi får a n = f (t) cosntdt, d ( f (t)) dt = c a n cosnt c a n= m cosmt m = dt Ortogonaliteten ger att de enda bidrag som erhålles är vid c dt och

6 a n cosnt n = a m cosmt dt då m = n m = Vi får ( f (t)) dt = c a n n= SVAR: a och b se ovan c f (t) = c a n cosnt, c = f (t)dt n =, a n = f (t) cosntdt d ( f (t)) dt = c a n n=