SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Del Modul Ett föremål tas ut ur en ugn med temperaturen 00 grader Celsius Följande modeller för en avsvalningsprocess har föreslagits Modell : dt = k(t 0) Modell : dt = k(t 30) Här är T föremålets temperatur vid tiden t i grader Celsius och k är en positiv konstant Undersök vilken modell som är rimlig för avsvalningsprocessen och bestäm därefter föremålets temperatur efter lång tid för den aktuella modellen Studera derivatans tecken och rita upp funktionernas uppförande i faslinjen Modell : Modell : 0 00 T T I modell är derivatan negativ för temperaturer över 0 grader Celsius I modell är derivatan positiv för temperaturer över 30 grader Celsius Den modell som svarar mot en avsvalningsprocess är modell Föremålets temperatur efter lång tid är 0 grader Celsius SVAR: Det är modell som är rimlig för en avsvalningsprocess Föremålets temperatur efter lång tid är 0 grader Celsius Modul Låt A = 0 Ange i förekommande fall alla reella värden på för vilka den kritiska punkten (0,0) till systemet av linjära differentialekvationer dx = AX är a) stabil spiralpunkt och b) center Vi börjar med att bestämma matrisens egenvärden Dessa erhålles ur ekvationen 0 = det(a I) = 0 Vi får + = 0 ; ( ) + 4 = 0 ; ( ) 4 = 4 ± 4 Egenvärdena är = a) För att erhålla en stabil spiralpunkt krävs att egenvärdena är komplexa och realdelen är negativ

2 < 0 < 0 Vi får { < < 0 4 < 0 < < b) För att erhålla ett center krävs att egenvärdena är komplexa och realdelen är noll = 0 = 0 Vi får { = 0 4 < 0 < < SVAR: a) < < 0 b) = 0 Modul 3 t Bestäm y( ) och y() då y(t) + 4 (t v)y(v)dv = U(t) U(t ), t>0 0 Här är U(t) Heavisides funktion Vi laplacetransformerar ekvationeny(s) + s Y(s) = s e s Lös ut Y(s) Y(s)(s +) = s( e s ) Y(s) = Återtransformera y(t) = cost U(t )cos(t ) s s + ( e s ) Nu över till de sökta funktionsvärdena y( 4 ) = cos 4 U( 4 )cos( 4 )= 0 = y() = cos U( )cos( )= 0= s SVAR: De sökta funktionsvärdena är y( 4 ) = och y() = Del Är påståendena a), b) och c) sanna eller falska? Motivera! a) Låt y = f (x) vara en lösning till differentialekvationen y =6 + y Lösningskurvan har lokala extrempunkter b) y = x 3 är en lösning till begynnelsevärdesproblemet y = 3y 3, y(0) = 0 Lösningen är entydig dy c) Betrakta differentialekvationen = f (x,y) där f och f är kontinuerliga i ett rektangulärt y område R i xy-planet Två lösningskurvor skär varandra i en punkt i området R d) Låt (x), (x) 0, vara en lösning till differentialekvationen dy + P(x)y = 0 Härled den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + P(x)y = f (x) a) Falskt, ty derivatan är större än noll b) Falskt, ty även y = 0 är en lösning c) Falskt, ty villkoren ger att det är entydig lösning d) Vi ansätter att den allmänna lösningen till dy + P(x)y = f (x) är y(x) = z(x)y (x)

3 Insättning ger dz(x) y (x) + z(x) dy (x) + P(x)z(x)y (x) = f (x) Vi omformar uttrycket och utnyttjar att (x) är en lösning till dy dz(x) y (x) + z(x) dy (x) + P(x)y (x) Integrera med avseende på x f (x) z(x) = (x) + C = f(x), dz(x) + P(x)y = 0 (x) = f (x), dz(x) = f (x) (x) f (x) y(x) = z(x) (x) = (x) (x) + C f (x) = Cy (x) + y (x) (x) Den allmänna lösningen till dy + P(x)y = f (x) ges av y(x) = Cy (x) + y (x) f (x) (x) SVAR: Påståendena a), b) och c) är falska f (x) d) y(x) = C (x) + (x) (x) För härledningen se ovan Vad menas med en fundamentalmängd av lösningar till en linjär homogen differentialekvation av ordning tre? Funktionerna = x 3 + 3x 4, y =x 4, y 3 = x 3, y 4 = 7x 3 + 5x 3 ln x och y 5 = x 4 + 3x 3 ln x är lösningar till en linjär homogen differentialekvation av ordning tre Bestäm en fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen samt bestäm den lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoren y() = 0, y () = 0 och y () =, y,y 3 ordning tre om, y och y 3 satisfierar differentialekvationen samt är linjärt oberoende En fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen ges av { x 3, x 4,x 3 ln x} Den allmänna lösningen är y(x) = ax 3 + bx 4 + cx 3 lnx, där a, b och c är goyckliga reella konstanter För att bestämma den sökta lösningen behöver vi första- och andraderivatan y (x) = a3x + b4x 3 + c3x lnx + cx, y (x) = a6x + bx + c6x ln x + c3x + cx 0 = y() = a + b a = b a = Villkoren ger 0 = y () = 3a + 4b + c 0 = b + c, c= b b = = y () = 6 a + b + 5c = 6b+b 5b, b = c = Den sökta lösningen är y(x) = x 3 x 4 + x 3 ln x Observera att x > 0 { } är en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialekvation av SVAR:, y,y 3 ordning tre om, y och y 3 satisfierar differentialekvationen samt är linjärt oberoende En fundamentalmängd av lösningar till differentialekvationen ges av { x 3, x 4,x 3 ln x} Den sökta lösningen är y(x) = x 3 x 4 + x 3 ln x { } är en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialekvation av 3+x, 0 <x < 3 Betrakta en funktion given av f (x) = 3+x, < x < 0 Vidare gäller att f (x + ) = f(x) Bestäm fourierserien hörande till funktionen f

4 Bestäm även fourierseriens summa för x = 3 och x = 3 Funktionen f är en udda funktion Den är periodisk med perioden f har en fourierserie på formen b n sin nx = b n sinnx, där b n = f (x)sin nx n= Vi utnyttjar att f och sin nx är udda funktioner och får då b n = (3 + x)sin nx n= 0 Partiell integration ger b n = [(3+x) cosnx n ] 0 + nx cos = (3 +) cosn + 3 n n n 0 0 cosn f tilldelas fourierserien f ~ +6 cosn n n sinnx n= I "Mathematics Handbook" under "Special Fourierseries" kan () och (9) användas Vid beräkning av fourierseriernas summa användes f (x + ) = f(x) Fourierserien konvergerar mot funktionsvärdet i punkten vid kontinuitetspunkt Fourierserien konvergerar mot medelvärdet i punkten vid diskontinuitetspunkt Vi använder att funktionen är periodisk, dvs f (x + ) = f(x) För x = 3 konvergerar fourierserien mot f ( 3 ) = f ( + )=f( )=3+ För x = 3 konvergerar fourierserien mot f (3 + ) + f(3 ) = f ( + ) + f ( ) = f ( + ) + f ( ) ( 3 )+(3 + ) = = 0 SVAR: cosn f tilldelas fourierserien f ~ +6 cosn n n sinnx För x = 3 konvergerar fourierserien mot 3 + För x = 3 konvergerar fourierserien mot 0 n= 4 Vad menas med fundamentallösningar till systemet av differentialekvationer X = AX? Systemet har följande lösningar X = e t, X e t = e 3t, X e 3t 3 = 4e t och X e t 4 = et + 5e 3t e t + 5e 3 t Bestäm en fundamentalmatris till systemet Bestäm därefter den konstanta matrisen A Låt B vara x och ha multipelt egenvärde med endast en egenvektor K Ange först en lösning, Y, till systemet Y = BY Matrisen B är konstant Redovisa därefter hur en av Y linjärt oberoende lösning till systemet kan bestämmas Fundamentallösningar till systemet av differentialekvationer X = AX är linjärt oberoende lösningar till systemet och spänner upp lösningsrummet I en fundamentalmatris består kolonnerna av de linjärt oberoende lösningarna I vårt fall behövs två Vi väljer fundamentalmatrisen Φ = e t e 3t, observera att det Φ = e 4 t 0 e t e 3t Nu över till bestämning av den konstanta matrisen A Varje kolonn i fundamentalmatrisen satisfierar systemet X = AX Detta innebär att även fundamentalmatrisen satisfierar X = AX Vi får Φ = AΦ Vi bestämmer A genom att multiplicera Φ = AΦ med inversen till Φ från höger Detta ger Φ Φ = AΦΦ, A = Φ Φ

5 Φ = e t e t 3e 3t 3e 3t, Φ = e 4t Φ Φ = AΦΦ, A = Φ Φ A = Φ Φ = et 3e 3t e t 3e 3t e 3t e t e t e 3 t = e t e 3t e t e 3t e t e 3t = 4 5 e t e 3 t En lösning, Y, till systemet Y = BY ges av Y = Ke t För att erhålla en av Y linjärt oberoende lösning till systemet ansätter vi Y = (L + Mt)e t Insättning i systemet Y = BY ger Me t + (L + Mt)e t = B(L + Mt)e t t{ BM M} + { BL L M} = 0 (B I)M = 0 Identifiering ger (B I)L = M Vi ser här att M är en egenvektor till matrisen B och L är en lösning till (B I)L = M SVAR: Fundamentallösningar till systemet av differentialekvationer X = AX är linjärt oberoende lösningar till systemet och spänner upp lösningsrummet En fundamentalmatrisen är Φ = e t e 3t Den konstanta matrisen A = 4 e t e 3t 5 (B I)M = 0 Y = Ke t En av Y linjärt oberoende lösning till systemet:y = (L + Mt)e t (B I)L = M 5 Vid tiden t = 0 innehåller en damm 0 miljoner rent vatten Inget vatten kan försvinna via avdunstning från ytan eller läckage genom dammens botten Med hastigheten 5 miljoner liter per år flyter för t > 0 orent vatten, innehållande en kemikalie, ut i dammen och blandas omedelbart med vattnet i dammen Det blandade vattnet kan sedan flyta ut med samma hastighet som det inströmmande Koncentrationen c(t) av kemikalien i det inströmmande vattnet ges av c(t) = + sint gram per liter, där t mäts i år a) Låt Q(t) vara mängden i gram av kemikalien i dammen som funktion av tiden t Ställ upp en differentialekvation vars lösning ger Q(t) b) Bestäm Q(t), t > 0 c) Efter lång tid kommer Q(t) att närma sig en funktion som pendlar mellan två värden m och M, där m < M Bestäm dessa två värden a) Vi får dq = ( + sint) Q(t ) b) För enklare beräkningar inför vi en ny variabel q(t) = 0 6 Q(t) vilket ger dq = 5( + sin t) q(t) Vi har en linjär differentialekvation av första ordningen vilken omformas till standardform dq + q(t) = 0 + 5sin t Den allmänna lösningen erhålles som summan av allmänna homogena lösningen och summan av partikulärlösningarna Allmänna homogena lösningen är q a = Ae t Partikulärlösning ett q p = 0 och för partikulärlösning två ansätter vi q p (t ) = acos t+bsin t

6 Insättning i differentialekvationen dq + q(t) = 5sin t acost + bsint ger a sint + bcos t+ = 5sin t Förenkling ger ( 0 4a + b)sin t+(4b + a)cos t= 0vilket ger a = 4b och 0 + 7b = 0 Vi får q p (t ) = 40 0 cost sint Den allmänna lösningen blir q(t) = Ae t cos t + sin t 7 7 Bestäm konstanten A Vid starten är det rent vatten vilket innebär att q(0) = 0 Insättning ger 0 = q(0) = A och A = 7 7 Den allmänna lösningen blir q(t) = e t cos t+0 sin t och 7 7 Q(t) =0 6 q(t) = 0 6 ( e t cos t + sin t) 7 7 c) För stora värden på tiden t kan exponentialfunktionen försummas Vi gör en grov uppskattning och konstaterar att cosinus och sinus ligger mellan minus ett och ett Vi får då uppskattningen 0 6 ( ) < Q(t) < 06 ( ) m = < Q(t) < = M SVAR: a) dq = ( + sint) Q(t ) b) Q(t) =0 6 q(t) = 0 6 ( e t c) m = < Q(t) < = M cos t + sin t) 7