} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

Transkript

1 Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Del 1 är avsedd för betyg och omfattar 6 uppgifter För godkänt krävs att 5 moduler är godkända Del är avsedd för högre betyg, 4 och 5, och omfattar 0 poäng Poängfördelning på del : ger 5 poäng vardera För betyg 4 krävs förutom godkänt på del 1 även minst 9 poäng på del För betyg 5 krävs förutom godkänt på del 1 även minst 15 poäng på del OBS! GODÄNDA MODULER TILLGODORÄNAS ENDAST FRÅN HÖSTEN 005 OBS! Del 1 Modul 1 En 00 l s tank innehåller 40 l rent vatten En saltlösning med 1/4 kg salt per liter pumpas in med 16 l/min Den väl blandade lösningen pumpas ut med 8 l/min När är tanken full? Bestäm även saltmängden i tanken vid detta tillfälle Tanken är full då 00 = 40 + t(16-8), dvs efter 0 minuter Låt saltmängden i tanken vid tiden t vara A(t) Saltmängden uppfyller differentialekvationen da dt = da dt + A 5 + t = 4 Vi har en linjär differentialekvation av första ordningen Multiplicera med en integrerande faktor (5 + t) da dt + A = 4(5 + t), d dt {(5 + t)a} = 4(5 + t) Integrera med avseende på t: (5 + t)a = (5 + t) + C Vid t = 0 är A = 0 Detta ger C = -50 Saltmängden vid en godtycklig tidpunkt t är A(t) = (5 + t) t Då tanken är full är saltmängden i tanken A(0) = = 48 kg 5 SVAR: Tanken är full efter 0 minuter och då är saltmängden 48 kg Modul A 40 + (16-8)t 8 Differentialekvationen t y + t y - y = 0, t > 0 satisfieras av funktionen y 1 = t -1 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen t y + t y - y = t, t > 0 Vi ansätter y = z t -1 t { z t -1 - z t - - z t - + z t - } + t { z t -1 - z t - }- z t -1 = t Förenkling ger: t z - z = t Vi reducerar ordningen genom att sätta u = z, u = z Vi får: t u - u = t och sätter in i den inhomogena differentialekvationen Omformning ger : t -1 u - t - u = 1 d, dt (t -1 u) =1 Integrera med avseende på t: t -1 u = t + A, z = u = t + At Integrera med avseende på t: z = t + A t + B = t + Ct + B Insättning i ansatsen ger : y = t -1 + Ct + Bt

2 SVAR: Den sökta lösningen är y = t + Ct + Bt -1 Modul Bestäm den lösning till differentialekvationen y + 9y = 9tU(t - 4) som uppfyller villkoren y(0) = 0 och y (0) = Laplacetransformera : s Y(s) - sy(0) - y (0) + 9Y(s) = 9L {(t )U(t - 4) } Insättning av villkoren och transformation av högerledet ger: s Y(s) - + 9Y(s) = 9 1 s + 4 s Lös ut den obekanta funktionens Laplacetransform Partialbråksuppdelning ger: Återtransformering ger: SVAR: Den sökta lösningen är e-4s Y(s) = s Á 9 s (s + 9) s(s + 9) e-4s Y(s) = s s - 1 s s - 4s s + 9 e-4s y(t) = sint +U(t - 4) t sin(t - 4) cos(t - 4) y(t) = sint +U(t - 4) t sin(t - 4) cos(t - 4) Modul 4 Bestäm den lösning till den partiella differentialekvationen u x + u y = u som uppfyller vilkoret u(x,0) = e x + 4e -5x Vi använder variabelseparation och ansätter härvid u(x,y) = X(x)Y(y) X (x)y(y) +X(x) Y (y) = X(x)Y(y) X (x) X(x) + Y (y) Y(y) = 1 X (x) X(x) = 1 - Y (y) Y(y) = l Insättning i differentialekvationen ger: Dividera med X(x)Y(y) : Omformning ger: Detta ger oss följande system av differentialekvationer: Ï X (x) - lx(x) = 0 Y (y) l Y(y) = 0 Differentialekvationerna är linjära med konstanta koefficienter och de har följande lösningar: Ï X(x) = Ae lx 1 Á Y(y) = Be -l y Insättning i ansatsen ger: u(x,y) = Ae lx Be 1 Á -l y = Ce lx + Á 1 -l Även linjärkombinationer av lösningar är lösning u(x,y) = C i e l i x + Det givna villkoret ger u(x,0) = e x + 4e -5x =  C i e l i x " i  " i y för varje val av konstanterna 1 -l Á i y

3 Identifiering ger: Ï C 1 =, l 1 =, C = 4, l = - 5 Övriga C i = 0 Den sökta lösningen är u(x,y) = e x - 1 y + 4e -5x + y SVAR: u(x,y) = e x - 1 y -5x + y + 4e Modul 5 Beräkna volymen av den kropp som begränsas av paraboloiderna z = x + y och z = 18 - x - y Volymen ges av trippelintegralen V = ÚÚÚ dxdydz Randkurva till det aktuella området i xy-planet erhålles ur ekvationen z = x + y = 18 - x - y Vi får x + y = 9, en cirkel med radien lika med tre Integrera först med avseende på z 18- x - y Ï V = ÚÚÚ dxdydz = ÚÚ Ú zdz dxdy = ÚÚ{ 18 - x - y }dxdy D z= x + y xy D xy Inför polära koordinater V = ÚÚ { 9 - r }rdrdq = p Ú (9 r - r )dr = p 18-4 SVAR: Volymen V = 81p Modul 6 Beräkna flödet av vektorfältet u = e y, e x, z z = x + y, 0 z 4 och x + y z, z = 4 D rj Flödet ut ur kroppen ges av F = ÚÚ S r= 0 ( ) = 81p ( ) ut ur den kropp som begränsas av ytorna u n ds, där n är den utåtriktade enhetsnormalen och S är kroppens totala begränsningsyta Vi använder divergenssatsen F = ÚÚ u n ds = divudxdydz divu = S ÚÚÚ Á x, y, z u = Á x, y, z ey, e x, z Integrera först med avseende på z ( ) = z Ï 4 F = ÚÚÚ zdxdydz = ÚÚ Ú zdz dxdy = ÚÚ { 16 - x -y }dxdy D z = x + y xy D xy Inför polära koordinater: F = ÚÚ { 16 - r }rdrdq = p (16r - r Ú )dr = p =18p SVAR: Utflödet är F = 18p Anmärkning: F = ÚÚÚ zdxdydz = zdxdy D xy Del D rj 4 r = 0 Ï ÚÚ = z p(x + y ) = z pz 4 = Ú z pz dz = p 4 4 =18p z = 0

4 11 a För vilka startvärden y(0) = y 0 existerar gränsvärdet lim y(t) tæ b Bestäm en kontinuerlig lösning till begynnelsevärdesproblemet dy dx Ï x, 0 x <1 + xy = f (x), f (x ) =, y(0) = 0, x 1 då y (t) = y(y - )(y - ) a Vi gör en kvalitativ analys av differentialekvationen och bestämmer först de stationära lösningarna Dessa erhålles då derivatan är lika med noll Vi får y 1 = 0, y = och y = Vi fortsätter med att studera derivatans tecken i olika y-intervall Ï y > fi y > 0 y växer > y > fi y < 0 y avtar > y > 0 fi y > 0 y växer 0 > y fi y < 0 y avtar 0 Gränsvärdet lim y(t) för startvärden i intervallet 0 y 0 tæ Observera att gränsvärdet för startvärdena y 0 = y 1 = 0 och y 0 = y = är noll respektive tre För startvärden i intervallet 0 < y 0 < är gränsvärdet lika med b Den givna differentialekvationen är linjär av första ordningen Multiplicera ekvationen med en integrerande faktor En sådan integrernde faktor är e Ú xdx Vi erhåller då e x dy dx + ex xy = Vänstra ledet kan nu skrivas en derivata: Ï ex x, 0 x <1 0, x 1 d Ï { dx ex y} = ex x, 0 x <1 0, x 1 1 Ï Integrera med avseende på x : e x y = ex + C 1, 0 x <1 C, x 1 Utnyttja först det givna begynnelsevillkoret y(0) = Detta ger = 1 + C 1, C 1 = 1 Insatt ovan ger y = + Ï e- x, 0 x < 1 C e -x, x 1 = e x Det återstår att bestämma den andra konsten Den sökta lösningen skall 1 vara kontinuerlig Då skall höger- och vänstergränsvärdet för lösningen i x = 1 vara lika Detta ger oss + e-1 = C e -1, C = e + SVAR: a Gränsvärdet lim y(t) för startvärden i intervallet 0 y 0 tæ Ï 1 + e -x, 0 x <1 b En kontinuerlig lösning till begynnelsevärdesproblemet är y = e + e- x, x 1

5 1 Studera det icke-linjära systemet Ï dx dt = (x + )y dy dt = x + 4y -1 genom att hitta alla kritiska punkter, bestämma deras typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila Lösning I kritiska punkter är tangentvektorn lika med nollvektorn Vi får 0 = (x + )y Á x + 4y -1 De kritiska punkterna är: (1,0) och (-1,0) Nu över till bestämning av de stationära punkternas karaktär Vi linjariserar det icke-linjära systemet Först beräknas Jacobimatrisen och därefter insättes respektive stationär punkt Jacobimatrisen J(x,y) = xy x + Á x 4 Insättning av (1,0) ger J(1,0) = 0 5 Á = A 4 Vi bestämmer matrisens egenvärden 0 = det(a - li) = -l l = l - 4l - 5 = (l +1)(l - 5) Egenvärdena är reella och med olika tecken Det linjariserade systemet uppvisar en sadelpunkt i (1,0) Detsamma gäller även för det icke-linjära systemet Insättning av (-1,0) ger J(-1, 0) = 0 5 Á = B - 4 Vi bestämmer matrisens egenvärden 0 = det(b - li) = -l 5 = l - 4l + 5 = (l - ) l Egenvärdena är komplexa och med positiv realdel Det linjariserade systemet uppvisar en instabil spiral i (-1,0) Detsamma gäller även för det icke-linjära systemet SVAR: De kritiska punkterna är (1,0) och (-1,0) (1,0) är en sadelpunkt och därmed instabil (-1,0) är en instabil spiralpunkt 1 Låt F(x, y, z) = f (r) där r = x + y + z Bestäm alla funktioner f (r) för vilka gäller div(gradf) = 1 då r > 0 r = x + y + z ger r x = 1 x + y + z x = x r gradf = ( f r x, f r y, f r z ) = f (r) r r, r y = y r och r = z z r div(gradf) = div( f (r) r r ) = x ( f (r) x r ) + y ( f (r) y r ) + z ( f (r) z r ) div(gradf) = f (r) x r div(gradf) = f (r) + x r + f (r) Ï 1 r + x -1 x r r + cykl f (r) Ï r - 1 r = f (r) + f (r) r =1 Vi har erhållit en linjär differentialekvation av ordning två där ordningen kan reducera

6 genom substitutionen z = f, z = f Vi får då z + z r = 1 Multiplicera med en integrerande faktor, r r z + zr = r, (r z ) = r Integrera med avseende på r : r z = r + A, f = z = r + Ar - Integrera med avseende på r : f = r 6 - Ar -1 + B = r 6 + C r + B, där C och B är godtyckliga konstanter SVAR: De sökta funktionerna är f (r) = r 6 + C r + B, r > 0 14 a) Visa att sinnx [ ] { }, n =1,,, utgör en mängd av ortogonala funktioner på intervallet 0, p b) Skriv funktionen f (x) = sin x på intervallet [ 0, p] som en linjärkombination av lämpliga ortogonala funktioner ovan c) Antag att funktionen f (x) = x 4 +1, 0 < x < är utvecklad i följande tre serier: en Fourierserie, en cosinusserie och en sinusserie Ange det värde mot vilket respektive serie konvergerar mot för x = 0 a) Vi visar att den inre produkten mellan två godtyckliga funktioner i den givna mängden är lika med noll på det givna intervallet p sin nx, sin mx = Ú sin nx sin mxdx = p sin(n - m)x sin(n + m)x [ - ] = 0 = 1 n - m n + m 0 En väg att göra detta är att ansätta sin x = p Ú ( cos(nx - mx ) - cos(nx + mx ))dx b) Här gäller det att beskriva f (x) = sin x med hjälp av den givna funktionsföljden intervallet [ 0, p] En betydligt kortare väg är att utnyttja formeln sinx = sin x - 4sin x Den sökta linjärkombinationen blir: sin x = 4 sin x sinx  n=1 c) Respektive serie kommer att konvergera mot = { n m} = a n sinnx, multiplicera med sin mx och integrera över f (0+) + f (0-) I fallet med Fourierserien blir detta: = 9 I fallet med cosinusserien blir detta: =1 I fallet med sinusserien blir detta: (0 4 +1) = 0 SVAR: a) Se ovan b) sin x = 4 sin x - 1 sinx c) 9, 1 respektive 0 4