AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer"

Transkript

1 AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s = s, så konvergerar den för alla s i halvplanet Re s >Re s (och för alla reela s > s ) och F (s) är i detta halvplan en reguljär analytisk funktion, dvs en funktion som har derivator av godtyckligt hög ordning. Derivatorna fås genom derivering under integraltecknet d ds F (s) = e st ( t)f(t)dt (1) och allmänt d n ds F (s) = n e st ( t) n f(t)dt (2) Vi kan multipliciera båda leden i (2) med ( 1) n och får då För den speciella funktionen f(t) = 1 är vilket ger L (t n f(t)) = ( 1) n dn F (s) (n = 1, 2,...). (3) dsn F (s) = L (f) = e st dt = s 1 L (t n ) = ( 1) n dn ds n s 1 = ( 1) n ( 1)( 2)... ( n)s n 1 = n!s n 1 (n =, 1, 2,...) (4) och alltså T ex L (t n ) = n! s n+1 (n =, 1, 2,...). (5) L (t) = 1 s 2, L (t2 ) = 2 s 3, L (t3 ) = 6 s 4. (6) En funktion f(t) är av exponentiell ordning k om det existerar positiva konstanter k och M sadana att för något T olikheten f(t) Me kt, t T (7) gäller. Exponentialfunktionen e ct är en funktion av exponentiell ordning k = c (eftersom e ct e ct, t ). sin t och cos t är funktioner av exponentiell ordning k = (eftersom t ex sin t e t = 1).

2 SATS 2 Låt f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t (dvs med möjligt undantag för isolerade punkter.) Antag att f(t) är en funktion av exponentiell ordning k, så existerar dess Laplacetransformen for alla komplexa s sadana att Re s > k (och för alla reela s > k). Bevis. Betrakta reela s. f(t) har en Laplacetransform eftersom enligt (7) motsvarande integralen e st f(t)dt är konvergent: e st f(t) dt e st f(t) dt e st Me kt dt = M e (k s)t dt = M s k (s > k). SATS Låt f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t och en funktion av exponentiell ordning k (dvs satisfierar villkoret f(t) Me kt (t T ), (8) där k och M är vissa positiva konstanter,) och derivatan f (t) en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t. Då existerar Laplacetransformen av derivatan f (t) om s > k och L (f ) = sl (f) f(), s > k. (9) Bevis. Antag att derivatan f (t) är en kontinuerlig funktion i intervallet t. Då, enligt definitionen av Laplacetransform, kan man välja s så stor att integralen är konvergent och e st f (t)dt lim t e st f(t) =. Lägg märke till att f(t) har en Laplacetransform (se SATS 2). Genom att använda definitionen av Laplacetransform och partiell integration, får vi L (f ) = e st f (t)dt == e st f(t) + s e st f(t)dt = f() + sl (f), s > k. Bestäm Laplacetransformen av derivatan av andra ordningen Vidare, L (f ) = sl (f ) f () = s[sl (f) f()] f () = s 2 L (f) sf() f (). (1) L (f ) = s 3 L (f) s 2 f() sf () f (). Genom induktion (och upprepad användning av (9)), får vi Laplacetransformer av derivatorna f (n) av en godtycklig ordning n = 1, 2,... L (f (n) ) = s n L (f) s n 1 f() s n 2 f ()... sf (n 2) () f (n 1) (). (11)

3 då EXEMPEL 1 Laplacetransformen av f(t) = t 2 Låt f(t) = t 2, t. Bestäm F (s). Lösning. Vi har f (t) = 2t, f (t) = 2, och Laplacetransformen är f() =, f () =, f () = 2. L (f ) = L (2) = 2 s = s2 L (f), (12) Betrakta den sista likheten i (12)) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (t 2 ) = 2 s 3. och EXEMPEL 2 Laplacetransformen av cos ωt Bestäm Laplacetransformen av f(t) = cos ωt. Lösning. Vi har f (t) = ω 2 cos ωt = ω 2 f(t), (1) ger f() = 1, f () =. L (f ) = ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f) s. Betrakta den sista likheten som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (f) = s s 2 + ω 2. EXEMPEL 2 Laplacetransformen av sin ωt Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin ωt. Lösning. Vi har f (t) = ω cos ωt, f (t) = ω 2 sin ωt = ω 2 f(t). Beräkna derivator i punkten t = Då ger (1) f() =, f () = ω. L (f ) = ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f) ω. Betrakta den sista likheten som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (f) = ω s 2 + ω 2.

4 EXEMPEL 3 Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin 2 t. Lösning. Vi har Beräkna derivator i punkten t = Då ger (1) f (t) = 2 sin t cos t = sin 2t, f (t) = 2 cos 2t. L (f ) = 2L (cos 2t) = f() =, f () =, f () = 2. Betrakta likheten 2s s = s2 L (f) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L 2s s = s2 L (f) sf() f () = s 2 L (f). L (sin 2 t) = 2 s(s 2 + 4). EXEMPEL 4 Bestäm Laplacetransformen av f(t) = t sin ωt. Lösning. Vi har f() = och Beräkna derivatan av andra ordningen Enligt (1) f (t) = sin ωt + ωt cos ωt, f () =. f (t) = 2ω cos ωt ω 2 t sin ωt = 2ω cos ωt ω 2 f(t), L (f ) = 2ωL (cos ωt) ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f). Betrakta likheten s 2ω s 2 + ω 2 ω2 L (f) = s 2 L (f) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (f) = L (t sin ωt) = 2ωs (s 2 + ω 2 ) 2.

5 Differentialekvationer. Begynnelsevärdesproblem Grundläggande begrepp Den enklaste formen för en differentialekvation av första ordningen är y = h(x). (13) En sådan ekvation kan lösas direkt. Om H(x) = h(x)dx [H (x) = h(x)] är en primitiv funktion till h(x) så är ju y(x) = H(x) + C den almänna lösningen till (13). Konstanten C bestäms av något begynnelsevillkor. En linjär differentialekvation av första ordningen är D(y) y + g(x)y = h(x). (14) Här är g och h givna kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall på reela axeln x. D kallas en linjär differentialoperator (av första ordningen) eftersom D(y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 ) + g(x)(y 1 + y 2 ) = y 1 + y 2 + g(x)y 1 + g(x)y 2 = D(y 1 ) + D(y 2 ), och D(αy) = (αy) + g(x)(αy) = αy + αg(x)y = αd(y) Om y 1 och y 2 löser de två ekvationerna så löser y 1 + y 2 ekvationen och αy 1 löser ekvationen D(αy 1 + βy 2 ) = αl(y 1 ) + βl(y 2 ). (15) D(y) = h 1 (x) respektive D(y) = h 2 (x) D(y) = h 1 (x) + h 2 (x) D(y) = αh 1 (x). Detta kallas superpositionprincipen. En differentialekvation av första ordningen säges vara separabel eller ha separabla variabler om den kan skrivas på formen g(y)y = h(x). (16) En sådan ekvation kan lösas direkt. Betrakta t ex begynnelsevärdesproblemet { dy dt = k y, y = y(t), t >, y() = h,

6 Differentialekvationen kan skrivas som 1 dy y dt = k (y > ). (17) Den har separabla variabler. Vi har d dy (2 y) = 1 : y d dt (2 y(t)) = 1 dy y dt, (18) vilket betyder att differentialekvationen kan skrivas som Detta är ekvivalent med d dt (2 y) = k (19) 2 y = ( k)dt = kt + C. Begynnelsevärdet y() = h ger att C = 2 h och alltså I detta fall kan vi enkla lösa y genom kvadrering: y = k 2 t + h (2) y = En linjär differentialekvation av andra ordningen är ( k 2 t + ) 2 h. (21) M(y) y + a(x)y + b(x)y = h(x). (22) Här är a, b och h givna kontinuerliga funktioner. M kallas en linjär differentialoperator (av andra ordningen) eftersom M satisfierar (15). Ekvationen y + a(x)y + b(x)y = (23) kallas den till (22) hörande homogena ekvationen. (22) kallas inhomogena ekvationen Låt y p vara en given lösning till (22). Då är funktionen y lösning till (22) om och endast om y är av formen y = y h + y p, där funktionen y h är en lösning till motsvarande homogena ekvationen (23). Lösningen y p kallas en partikulär lösning. Betrakta ekvationen y + ay + by = (24) med konstanta (komplexa) koefficienterna a och b. Lösningen till homogena ekvationen (24) är av formen y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, r 1 r 2, (25)

7 eller y = (C 1 + C 2 x)e rx, r 1 = r 2 = r, (26) där r 1 och r 2 är nollställena till motsvarande karakteristiska polynomet r 2 + ar + b. (27) Exempel Ekvationen har karakteristiska polynomet y 4y + 3y = (28) r 2 4r + 3 (29) med nollställena r 1 = 1 och r 2 = 3. Den fullständiga lösningen till homogena ekvationen (28) är Ekvationen har karakteristiska polynomet y = C 1 e x + C 2 e 3x. (3) y + y = (31) r (32) med komplexa nollställena r 1 = i och r 2 = i. Den fullständiga lösningen till (31) är y = C 1 e ix + C 2 e ix = C 1 cos x + ic 1 sin x + C 2 cos x ic 2 sin x = C 1 cos x + C 2 sin x. (33) Randvärdesproblemet för linjära differentialekvationen av andra ordningen y + ay + by = r(t) skrivas som y + ay + by = r(t), y() = K, y () = K 1 (a, b = const). (34) där a, b, K och K 1 är givna tal och r(t) är en given kontinuerlig funktion (indata). Lös (34) med häjlp av Laplaces metod. Steg 1. Sätt Y = L (y), R = L (r) Laplacetransformationen av båda leden i (34) ger L (y ) + al (y ) + bl (y) = R, som skrivas [s 2 Y sy() y ()] + a[sy y()] + by = R. (35)

8 (35) kallas sidoekvationen (subsidiary equation) och reduceras till Steg 2. Definiera transferfunktionen (s 2 + as + b)y = (s + a)y() + y () + R(s). och lös sidoekvationen Q = Q(s) = 1 s 2 + as + b (36) Y (s) = [(s + a)y() + y ()]Q(s) + R(s)Q(s). (37) Om y() = y () =, då får vi Y = RQ och Q är kvot av två polynom (en rationell funktion) Steg 3. Bestäm Q = Y R = L(output) L(input) y(t) = L 1 (Y ) med häjlp av inverstransformationen, partialbråksuppdelning i (37) och handpåläggningsmetoden. EXEMPEL 5 Lös begynnelsevärdesproblemet Lösning. Enligt (34) är indata y y = t, y() = 1, y () = 1. (38) a =, b = 1, r(t) = t, K = K 1 = 1. Vi löser begynnelsevärdesproblemet (38) med häjlp av Laplaces metod. Steg 1. Sätt Y = L (y), R = L (r) = L (t) = 1 s 2. Laplacetransformationen av båda leden i ekvationen y y = t ger L (y ) L (y) = R; den sidoekvationen eller [s 2 Y sy() y ()] Y = 1 s 2, (s 2 1)Y = s s 2. Steg 2. Definiera transferfunktionen Q = Q(s) = 1 s 2 1

9 och lös sidoekvationen Y (s) = [s + 1]Q(s) + 1 s 2 Q(s) = s + 1 s s 2 (s 2 1) = 1 s s s 2. Steg 3. Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet (38) [ ] [ ] [ ] y(t) = L 1 (Y ) = L L L 1 = e t + sinh t t. s 1 s 2 1 s 2 Laplacetransformation av integral SATS Låt F (s) vara Laplacetransformen av f(t). intervallet t och satisfierar villkoret Om f(t) är en styckvis kontinuerlig funktion i där k och M är positiva tal, då eller { t L f(t) Me kt (t ), } f(τ)dτ = 1 F (s) (s >, s > k), s t f(τ)dτ = L 1 { 1 s F (s) }. Bevis. Om f(t) är en styckvis kontinuerlig funktion sådan att där k > och M >, då är integralen en kontinuerlig funktion som satisfierar g(t) t f(τ) dτ M f(t) Me kt (t ), (39) g(t) = t t f(τ)dτ e kτ dτ = M k (ekt 1) M k ekt (k > ), dvs (37) gäller för g(t). Vi har g (t) = f(t); då är g (t) en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t. Vi får Laplacetransformen och L [f(t)] = L [g (t)] = sl (g) g() (s > k) (4) F (s) = L (f) = sl (g) eftersom i (4), g() =. Laplacetransformen av integralen kan därför skrivas { t L (g) = L } f(τ)dτ = 1 s F (s).

10 EXEMPEL 7 Låt L (f) = Bestäm f(t). Lösning. Inverstransformationen ger och [ ] L 1 1 = 1 s(s 2 + ω 2 ) ω 1 s(s 2 + ω 2 ). [ ] L 1 1 = 1 sin ωt s 2 + ω 2 ω t sin ωτdτ = 1 t (1 cos ωt). ω 2

11 PROBLEM Lös begynnelsevärdesproblemet y + 3y = 1 sin t, y() =. (41) Lösning. Vi ska lösa begynnelsevärdesproblemet (41) med häjlp av Laplaces metod. Steg 1. Skriv Y = L (y), R = L (1 sin t) = 1 s och Laplacetransformera y + 3y = 1 sin t Skriv motsvarande sidoekvationen Begynnelsevillkoret y() = i (41) ger L (y ) + 3L (y) = 1 s [sy y()] + 3Y = 1 s (s + 3)Y = 1 s Steg 2. Lös sidoekvationen med häjlp av transferfunktionen Q = Q(s) = 1 s + 3. Vi får Y (s) = Q(s) = s s s + 3 = A s Bs + C s Använd handpåläggningsmetoden för att bestämma talen A, B och C 1 = A(s 2 + 1) + (Bs + C)s + 3, A = 1, B = 1, C = 3. Steg 3. Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet (41) [ ] [ ] [ ] y(t) = L 1 (Y ) = L 1 1 L 1 s + 3L 1 1 = e 3t cos t + 3 sin t. s + 3 s s PROBLEM Lös begynnelsevärdesproblemet y + ay 2a 2 y =, y() = 6, y () = (a = const). (42) Lösning. Vi ska lösa begynnelsevärdesproblemet (42) med häjlp av Laplaces metod. I (42), är indata b = 2a 2, r(t) =, K = 6, K 1 =.

12 Steg 1. Sätt och Laplacetransformera y + ay 2a 2 y = Skriv motsvarande sidoekvationen Y = L (y), R = L (r) = L (y ) + al (y ) 2a 2 L (y) =. [s 2 Y sy() y ()] + a[sy y()] 2a 2 Y =. Begynnelsevillkoren y() = 6 och y () = i (42) ger (s 2 + as 2a 2 )Y = 6(s + a). Steg 2. Lös sidoekvationen med häjlp av transferfunktionen Q = Q(s) = 1 s 2 + as 2a 2. Vi får s + a Y (s) = 6(s + a)q(s) = 6 s 2 + as 2a 2 Steg 3. Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet (41) PROBLEM Bestäm Laplacetransformen Lösning. Sätt Vidare, Laplacetransformera sin 2t y(t) = L 1 s (Y ) = 6 s 2 + as 2a + 6 a 2 s 2 + as 2a = 2 s 6 (s + a/2) 2 (a/2) 2 2a + 6 a 2 (s + a/2) 2 (a/2) 2 2a = 2 s 6 (s + a/2) 2 (3a/2) + 6 a 2 (s + a/2) 2 (3a/2) = 2 6e (a/2)t cosh (3a/2)t + 4e (a/2)t sinh (3a/2)t = 2e 2at + 4e at. F (s) = L (cos 2 t). f = cos 2 t = 1 sin 2 t. f() = 1, f = 2 cos t sin t = 2 sin 2t. L ( sin 2t) = 2 s = sl (f) 1. (43) Betrakta den sista likheten i (43)) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L av cos 2 t L (f) = 1 s ( 1 2 ) = 1 s s ( s 2 ) + 2. s 2 + 4

13 och PROBLEM a Bestäm Laplacetransformen av f(t) = t cos ωt. Lösning. Eftersom f() =, får vi f (t) = cos ωt ωt sin ωt, f () = 1; f (t) = 2ω sin ωt ω 2 t cos ωt = 2ω sin ωt ω 2 f(t), L (f ) = 2ωL (sin ωt) ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f) 1. Betrakta likheten 2ω2 s 2 + ω 2 ω2 L (f) = s 2 L (f) 1 som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L av f(t) och PROBLEM b Visa att Lösning. Vi har PROBLEM L (f) = L (t cos ωt) = s2 ω 2 (s 2 + ω 2 ) 2. ( ) L 1 1 (s 2 + ω 2 ) 2 L (sin ωt ωt cos ωt) = = 1 (sin ωt ωt cos ωt). 2ω3 L (ωt cos ωt) = ω(s2 ω 2 ) (s 2 + ω 2 ) 2, L (sin ωt) = ω s 2 + ω 2, Bestäm originalfunktionen f(t) till Laplacetransformen Lösning. Vi har ω s 2 + ω ω(s2 ω 2 ) 2 (s 2 + ω 2 ) = 2ω 3 2 (s 2 + ω 2 ). 2 F (s) = L (f) = F (s) = 1 s Laplacetransformen av integral är { t L och f(t) = t 1 s 2 + 4s. 1 s + 4 = 1 s L (e 4t ). } e 4τ dτ = 1 s L (e 4t ), e 4τ dτ = 1 4 (1 e 4t ).

Linjära differentialekvationer av andra ordningen

Linjära differentialekvationer av andra ordningen Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

AB2.9: Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion

AB2.9: Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion AB29: Heaviide tegfunktion Dirac deltafunktion Heaviide tegfunktion Heaviide tegfunktion definiera ut a) = { if t < a, if t > a Betrakta via exempel: ft) = 5 in t ft)ut 2) ft 2)ut 2) k[ut ) 2ut 4) + ut

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2, Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Transformer och differentialekvationer (MVE100) Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

Ordinära differentialekvationer

Ordinära differentialekvationer Elementärt om Ordinära differentialekvationer Anders Källström 2002 01 15 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Första ordningens differentialekvationer 8 2.1 Separabla ekvationer....................................

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Lineära system av differentialekvationer

Lineära system av differentialekvationer Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

Högre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen

Högre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen Institutionen för matematik, KTH 05020 Tillägg för 5B209/HT05/E.P. Högre ordnings ekvationer och system av :a ordningen Vi har hittills lärt oss lösa linjära ekvationer med konstanta koefficienter och

Läs mer

dy dx = ex 2y 2x e y.

dy dx = ex 2y 2x e y. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t) Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER LR KRETSAR Låt vara strömmen i nedanstående LR krets (som innehåller element en spole med induktansen L henry,

Läs mer

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

LAPLACETRANSFORMEN OCH LINEÄRA SYSTEM 1

LAPLACETRANSFORMEN OCH LINEÄRA SYSTEM 1 LAPLACETRANSFORMEN OCH LINEÄRA SYSTEM 1 Kurt Hansson 2 29 1 c 29 Kurt Hansson, LiTH/MAI. 2 e-post: kurt.hansson@liu.se ii Innehåll Kursbeskrivning ix 1 Laplacetransformen 1 1.1 Definition............................

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Laboration 1, M0039M, VT16

Laboration 1, M0039M, VT16 Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.

Läs mer

Formelsamling i Reglerteknik

Formelsamling i Reglerteknik Formelsamling i Reglerteknik Laplacetransformation Antag att f : IR IR är en styckvis kontinuerlig funktion. Laplacetransformen av f definieras av Slutvärdesteoremet F(s) = L(f)(s) = 0 e st f(t)dt lim

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1 Lektion 1 Kursinnehåll - kursprogram - schema Det praktiska - boken - idag sid 71-101 Mattebakgrund - Spannes Blixtkurs Laplacetransform AK 17 Koppling till tillståndsbeskrivning AK 18 Betoning av transienter

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Existens och entydighet

Existens och entydighet Föreläsning 7 Eistens och entydighet 7.1 Aktuella avsnitt i läroboken Appendi Eistence and Uniqueness of Solutions. 47 48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Som vi sett i flera eempel kan man ibland

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket. Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: p. ger betyget 3, p. ger betyget 4 och 40 p. eller mer ger betyget

Skriv väl, motivera och förklara vad du gör. Betygsgränser: p. ger betyget 3, p. ger betyget 4 och 40 p. eller mer ger betyget Matematik Chalmers tekniska högskola 0-08-7 kl. :00-8:00. Tentamen TMV036 Analys och linjär algebra K, Kf, Bt, del B Telefonvakt: Hossein Raufi, telefon 0703-08830 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten.

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Laboration 2 M0039M, VT2016

Laboration 2 M0039M, VT2016 Laboration 2 M0039M, VT2016 Ove Edlund, Staffan Lundberg, TVM 24 februari 2016 1 Teoridel 1.1 Serielösningar till differentialekvationer Den grundläggande idén (se t.ex. utdelat material, Lektion 18) är

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 = MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 2 Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G

Läs mer

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer

Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer Kapitel System av ordinära dierentialekvationer Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter. Huvudvikten läggs vid fallet att systemets

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida. Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober

Läs mer

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 = Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET

AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET. M. Enqvist TTIT62: Föreläsning 3 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Martin Enqvist Överföringsfunktioner, poler och stegsvar Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Repetition: Reglerproblemet 3(8) Repetition: Öppen styrning & återkoppling 4(8)

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

Envariabelanalys 2, Föreläsning 8

Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Differentialoperatorer D: Dy = y, D 2 y = D(Dy) = D(y ) = y och så vidare. Även uttryck som (D β)(d α) = D 2 (α + β)d + αβ tolkas formellt

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

Tentamen i Matematik 3: M0031M. Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Kunna beräkna

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

Partiella differentialekvationer (TATA27)

Partiella differentialekvationer (TATA27) Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................

Läs mer

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer