AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
|
|
- Kristin Axelsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s = s, så konvergerar den för alla s i halvplanet Re s >Re s (och för alla reela s > s ) och F (s) är i detta halvplan en reguljär analytisk funktion, dvs en funktion som har derivator av godtyckligt hög ordning. Derivatorna fås genom derivering under integraltecknet d ds F (s) = e st ( t)f(t)dt (1) och allmänt d n ds F (s) = n e st ( t) n f(t)dt (2) Vi kan multipliciera båda leden i (2) med ( 1) n och får då För den speciella funktionen f(t) = 1 är vilket ger L (t n f(t)) = ( 1) n dn F (s) (n = 1, 2,...). (3) dsn F (s) = L (f) = e st dt = s 1 L (t n ) = ( 1) n dn ds n s 1 = ( 1) n ( 1)( 2)... ( n)s n 1 = n!s n 1 (n =, 1, 2,...) (4) och alltså T ex L (t n ) = n! s n+1 (n =, 1, 2,...). (5) L (t) = 1 s 2, L (t2 ) = 2 s 3, L (t3 ) = 6 s 4. (6) En funktion f(t) är av exponentiell ordning k om det existerar positiva konstanter k och M sadana att för något T olikheten f(t) Me kt, t T (7) gäller. Exponentialfunktionen e ct är en funktion av exponentiell ordning k = c (eftersom e ct e ct, t ). sin t och cos t är funktioner av exponentiell ordning k = (eftersom t ex sin t e t = 1).
2 SATS 2 Låt f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t (dvs med möjligt undantag för isolerade punkter.) Antag att f(t) är en funktion av exponentiell ordning k, så existerar dess Laplacetransformen for alla komplexa s sadana att Re s > k (och för alla reela s > k). Bevis. Betrakta reela s. f(t) har en Laplacetransform eftersom enligt (7) motsvarande integralen e st f(t)dt är konvergent: e st f(t) dt e st f(t) dt e st Me kt dt = M e (k s)t dt = M s k (s > k). SATS Låt f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t och en funktion av exponentiell ordning k (dvs satisfierar villkoret f(t) Me kt (t T ), (8) där k och M är vissa positiva konstanter,) och derivatan f (t) en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t. Då existerar Laplacetransformen av derivatan f (t) om s > k och L (f ) = sl (f) f(), s > k. (9) Bevis. Antag att derivatan f (t) är en kontinuerlig funktion i intervallet t. Då, enligt definitionen av Laplacetransform, kan man välja s så stor att integralen är konvergent och e st f (t)dt lim t e st f(t) =. Lägg märke till att f(t) har en Laplacetransform (se SATS 2). Genom att använda definitionen av Laplacetransform och partiell integration, får vi L (f ) = e st f (t)dt == e st f(t) + s e st f(t)dt = f() + sl (f), s > k. Bestäm Laplacetransformen av derivatan av andra ordningen Vidare, L (f ) = sl (f ) f () = s[sl (f) f()] f () = s 2 L (f) sf() f (). (1) L (f ) = s 3 L (f) s 2 f() sf () f (). Genom induktion (och upprepad användning av (9)), får vi Laplacetransformer av derivatorna f (n) av en godtycklig ordning n = 1, 2,... L (f (n) ) = s n L (f) s n 1 f() s n 2 f ()... sf (n 2) () f (n 1) (). (11)
3 då EXEMPEL 1 Laplacetransformen av f(t) = t 2 Låt f(t) = t 2, t. Bestäm F (s). Lösning. Vi har f (t) = 2t, f (t) = 2, och Laplacetransformen är f() =, f () =, f () = 2. L (f ) = L (2) = 2 s = s2 L (f), (12) Betrakta den sista likheten i (12)) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (t 2 ) = 2 s 3. och EXEMPEL 2 Laplacetransformen av cos ωt Bestäm Laplacetransformen av f(t) = cos ωt. Lösning. Vi har f (t) = ω 2 cos ωt = ω 2 f(t), (1) ger f() = 1, f () =. L (f ) = ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f) s. Betrakta den sista likheten som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (f) = s s 2 + ω 2. EXEMPEL 2 Laplacetransformen av sin ωt Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin ωt. Lösning. Vi har f (t) = ω cos ωt, f (t) = ω 2 sin ωt = ω 2 f(t). Beräkna derivator i punkten t = Då ger (1) f() =, f () = ω. L (f ) = ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f) ω. Betrakta den sista likheten som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (f) = ω s 2 + ω 2.
4 EXEMPEL 3 Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin 2 t. Lösning. Vi har Beräkna derivator i punkten t = Då ger (1) f (t) = 2 sin t cos t = sin 2t, f (t) = 2 cos 2t. L (f ) = 2L (cos 2t) = f() =, f () =, f () = 2. Betrakta likheten 2s s = s2 L (f) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L 2s s = s2 L (f) sf() f () = s 2 L (f). L (sin 2 t) = 2 s(s 2 + 4). EXEMPEL 4 Bestäm Laplacetransformen av f(t) = t sin ωt. Lösning. Vi har f() = och Beräkna derivatan av andra ordningen Enligt (1) f (t) = sin ωt + ωt cos ωt, f () =. f (t) = 2ω cos ωt ω 2 t sin ωt = 2ω cos ωt ω 2 f(t), L (f ) = 2ωL (cos ωt) ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f). Betrakta likheten s 2ω s 2 + ω 2 ω2 L (f) = s 2 L (f) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L L (f) = L (t sin ωt) = 2ωs (s 2 + ω 2 ) 2.
5 Differentialekvationer. Begynnelsevärdesproblem Grundläggande begrepp Den enklaste formen för en differentialekvation av första ordningen är y = h(x). (13) En sådan ekvation kan lösas direkt. Om H(x) = h(x)dx [H (x) = h(x)] är en primitiv funktion till h(x) så är ju y(x) = H(x) + C den almänna lösningen till (13). Konstanten C bestäms av något begynnelsevillkor. En linjär differentialekvation av första ordningen är D(y) y + g(x)y = h(x). (14) Här är g och h givna kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall på reela axeln x. D kallas en linjär differentialoperator (av första ordningen) eftersom D(y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 ) + g(x)(y 1 + y 2 ) = y 1 + y 2 + g(x)y 1 + g(x)y 2 = D(y 1 ) + D(y 2 ), och D(αy) = (αy) + g(x)(αy) = αy + αg(x)y = αd(y) Om y 1 och y 2 löser de två ekvationerna så löser y 1 + y 2 ekvationen och αy 1 löser ekvationen D(αy 1 + βy 2 ) = αl(y 1 ) + βl(y 2 ). (15) D(y) = h 1 (x) respektive D(y) = h 2 (x) D(y) = h 1 (x) + h 2 (x) D(y) = αh 1 (x). Detta kallas superpositionprincipen. En differentialekvation av första ordningen säges vara separabel eller ha separabla variabler om den kan skrivas på formen g(y)y = h(x). (16) En sådan ekvation kan lösas direkt. Betrakta t ex begynnelsevärdesproblemet { dy dt = k y, y = y(t), t >, y() = h,
6 Differentialekvationen kan skrivas som 1 dy y dt = k (y > ). (17) Den har separabla variabler. Vi har d dy (2 y) = 1 : y d dt (2 y(t)) = 1 dy y dt, (18) vilket betyder att differentialekvationen kan skrivas som Detta är ekvivalent med d dt (2 y) = k (19) 2 y = ( k)dt = kt + C. Begynnelsevärdet y() = h ger att C = 2 h och alltså I detta fall kan vi enkla lösa y genom kvadrering: y = k 2 t + h (2) y = En linjär differentialekvation av andra ordningen är ( k 2 t + ) 2 h. (21) M(y) y + a(x)y + b(x)y = h(x). (22) Här är a, b och h givna kontinuerliga funktioner. M kallas en linjär differentialoperator (av andra ordningen) eftersom M satisfierar (15). Ekvationen y + a(x)y + b(x)y = (23) kallas den till (22) hörande homogena ekvationen. (22) kallas inhomogena ekvationen Låt y p vara en given lösning till (22). Då är funktionen y lösning till (22) om och endast om y är av formen y = y h + y p, där funktionen y h är en lösning till motsvarande homogena ekvationen (23). Lösningen y p kallas en partikulär lösning. Betrakta ekvationen y + ay + by = (24) med konstanta (komplexa) koefficienterna a och b. Lösningen till homogena ekvationen (24) är av formen y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, r 1 r 2, (25)
7 eller y = (C 1 + C 2 x)e rx, r 1 = r 2 = r, (26) där r 1 och r 2 är nollställena till motsvarande karakteristiska polynomet r 2 + ar + b. (27) Exempel Ekvationen har karakteristiska polynomet y 4y + 3y = (28) r 2 4r + 3 (29) med nollställena r 1 = 1 och r 2 = 3. Den fullständiga lösningen till homogena ekvationen (28) är Ekvationen har karakteristiska polynomet y = C 1 e x + C 2 e 3x. (3) y + y = (31) r (32) med komplexa nollställena r 1 = i och r 2 = i. Den fullständiga lösningen till (31) är y = C 1 e ix + C 2 e ix = C 1 cos x + ic 1 sin x + C 2 cos x ic 2 sin x = C 1 cos x + C 2 sin x. (33) Randvärdesproblemet för linjära differentialekvationen av andra ordningen y + ay + by = r(t) skrivas som y + ay + by = r(t), y() = K, y () = K 1 (a, b = const). (34) där a, b, K och K 1 är givna tal och r(t) är en given kontinuerlig funktion (indata). Lös (34) med häjlp av Laplaces metod. Steg 1. Sätt Y = L (y), R = L (r) Laplacetransformationen av båda leden i (34) ger L (y ) + al (y ) + bl (y) = R, som skrivas [s 2 Y sy() y ()] + a[sy y()] + by = R. (35)
8 (35) kallas sidoekvationen (subsidiary equation) och reduceras till Steg 2. Definiera transferfunktionen (s 2 + as + b)y = (s + a)y() + y () + R(s). och lös sidoekvationen Q = Q(s) = 1 s 2 + as + b (36) Y (s) = [(s + a)y() + y ()]Q(s) + R(s)Q(s). (37) Om y() = y () =, då får vi Y = RQ och Q är kvot av två polynom (en rationell funktion) Steg 3. Bestäm Q = Y R = L(output) L(input) y(t) = L 1 (Y ) med häjlp av inverstransformationen, partialbråksuppdelning i (37) och handpåläggningsmetoden. EXEMPEL 5 Lös begynnelsevärdesproblemet Lösning. Enligt (34) är indata y y = t, y() = 1, y () = 1. (38) a =, b = 1, r(t) = t, K = K 1 = 1. Vi löser begynnelsevärdesproblemet (38) med häjlp av Laplaces metod. Steg 1. Sätt Y = L (y), R = L (r) = L (t) = 1 s 2. Laplacetransformationen av båda leden i ekvationen y y = t ger L (y ) L (y) = R; den sidoekvationen eller [s 2 Y sy() y ()] Y = 1 s 2, (s 2 1)Y = s s 2. Steg 2. Definiera transferfunktionen Q = Q(s) = 1 s 2 1
9 och lös sidoekvationen Y (s) = [s + 1]Q(s) + 1 s 2 Q(s) = s + 1 s s 2 (s 2 1) = 1 s s s 2. Steg 3. Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet (38) [ ] [ ] [ ] y(t) = L 1 (Y ) = L L L 1 = e t + sinh t t. s 1 s 2 1 s 2 Laplacetransformation av integral SATS Låt F (s) vara Laplacetransformen av f(t). intervallet t och satisfierar villkoret Om f(t) är en styckvis kontinuerlig funktion i där k och M är positiva tal, då eller { t L f(t) Me kt (t ), } f(τ)dτ = 1 F (s) (s >, s > k), s t f(τ)dτ = L 1 { 1 s F (s) }. Bevis. Om f(t) är en styckvis kontinuerlig funktion sådan att där k > och M >, då är integralen en kontinuerlig funktion som satisfierar g(t) t f(τ) dτ M f(t) Me kt (t ), (39) g(t) = t t f(τ)dτ e kτ dτ = M k (ekt 1) M k ekt (k > ), dvs (37) gäller för g(t). Vi har g (t) = f(t); då är g (t) en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t. Vi får Laplacetransformen och L [f(t)] = L [g (t)] = sl (g) g() (s > k) (4) F (s) = L (f) = sl (g) eftersom i (4), g() =. Laplacetransformen av integralen kan därför skrivas { t L (g) = L } f(τ)dτ = 1 s F (s).
10 EXEMPEL 7 Låt L (f) = Bestäm f(t). Lösning. Inverstransformationen ger och [ ] L 1 1 = 1 s(s 2 + ω 2 ) ω 1 s(s 2 + ω 2 ). [ ] L 1 1 = 1 sin ωt s 2 + ω 2 ω t sin ωτdτ = 1 t (1 cos ωt). ω 2
11 PROBLEM Lös begynnelsevärdesproblemet y + 3y = 1 sin t, y() =. (41) Lösning. Vi ska lösa begynnelsevärdesproblemet (41) med häjlp av Laplaces metod. Steg 1. Skriv Y = L (y), R = L (1 sin t) = 1 s och Laplacetransformera y + 3y = 1 sin t Skriv motsvarande sidoekvationen Begynnelsevillkoret y() = i (41) ger L (y ) + 3L (y) = 1 s [sy y()] + 3Y = 1 s (s + 3)Y = 1 s Steg 2. Lös sidoekvationen med häjlp av transferfunktionen Q = Q(s) = 1 s + 3. Vi får Y (s) = Q(s) = s s s + 3 = A s Bs + C s Använd handpåläggningsmetoden för att bestämma talen A, B och C 1 = A(s 2 + 1) + (Bs + C)s + 3, A = 1, B = 1, C = 3. Steg 3. Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet (41) [ ] [ ] [ ] y(t) = L 1 (Y ) = L 1 1 L 1 s + 3L 1 1 = e 3t cos t + 3 sin t. s + 3 s s PROBLEM Lös begynnelsevärdesproblemet y + ay 2a 2 y =, y() = 6, y () = (a = const). (42) Lösning. Vi ska lösa begynnelsevärdesproblemet (42) med häjlp av Laplaces metod. I (42), är indata b = 2a 2, r(t) =, K = 6, K 1 =.
12 Steg 1. Sätt och Laplacetransformera y + ay 2a 2 y = Skriv motsvarande sidoekvationen Y = L (y), R = L (r) = L (y ) + al (y ) 2a 2 L (y) =. [s 2 Y sy() y ()] + a[sy y()] 2a 2 Y =. Begynnelsevillkoren y() = 6 och y () = i (42) ger (s 2 + as 2a 2 )Y = 6(s + a). Steg 2. Lös sidoekvationen med häjlp av transferfunktionen Q = Q(s) = 1 s 2 + as 2a 2. Vi får s + a Y (s) = 6(s + a)q(s) = 6 s 2 + as 2a 2 Steg 3. Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet (41) PROBLEM Bestäm Laplacetransformen Lösning. Sätt Vidare, Laplacetransformera sin 2t y(t) = L 1 s (Y ) = 6 s 2 + as 2a + 6 a 2 s 2 + as 2a = 2 s 6 (s + a/2) 2 (a/2) 2 2a + 6 a 2 (s + a/2) 2 (a/2) 2 2a = 2 s 6 (s + a/2) 2 (3a/2) + 6 a 2 (s + a/2) 2 (3a/2) = 2 6e (a/2)t cosh (3a/2)t + 4e (a/2)t sinh (3a/2)t = 2e 2at + 4e at. F (s) = L (cos 2 t). f = cos 2 t = 1 sin 2 t. f() = 1, f = 2 cos t sin t = 2 sin 2t. L ( sin 2t) = 2 s = sl (f) 1. (43) Betrakta den sista likheten i (43)) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L av cos 2 t L (f) = 1 s ( 1 2 ) = 1 s s ( s 2 ) + 2. s 2 + 4
13 och PROBLEM a Bestäm Laplacetransformen av f(t) = t cos ωt. Lösning. Eftersom f() =, får vi f (t) = cos ωt ωt sin ωt, f () = 1; f (t) = 2ω sin ωt ω 2 t cos ωt = 2ω sin ωt ω 2 f(t), L (f ) = 2ωL (sin ωt) ω 2 L (f) = s 2 L (f) sf() f () = s 2 L (f) 1. Betrakta likheten 2ω2 s 2 + ω 2 ω2 L (f) = s 2 L (f) 1 som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L av f(t) och PROBLEM b Visa att Lösning. Vi har PROBLEM L (f) = L (t cos ωt) = s2 ω 2 (s 2 + ω 2 ) 2. ( ) L 1 1 (s 2 + ω 2 ) 2 L (sin ωt ωt cos ωt) = = 1 (sin ωt ωt cos ωt). 2ω3 L (ωt cos ωt) = ω(s2 ω 2 ) (s 2 + ω 2 ) 2, L (sin ωt) = ω s 2 + ω 2, Bestäm originalfunktionen f(t) till Laplacetransformen Lösning. Vi har ω s 2 + ω ω(s2 ω 2 ) 2 (s 2 + ω 2 ) = 2ω 3 2 (s 2 + ω 2 ). 2 F (s) = L (f) = F (s) = 1 s Laplacetransformen av integral är { t L och f(t) = t 1 s 2 + 4s. 1 s + 4 = 1 s L (e 4t ). } e 4τ dτ = 1 s L (e 4t ), e 4τ dτ = 1 4 (1 e 4t ).
Linjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merAB2.9: Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion
AB29: Heaviide tegfunktion Dirac deltafunktion Heaviide tegfunktion Heaviide tegfunktion definiera ut a) = { if t < a, if t > a Betrakta via exempel: ft) = 5 in t ft)ut 2) ft 2)ut 2) k[ut ) 2ut 4) + ut
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merÖvningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,
Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra
Läs mer1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1
HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merOrdinära differentialekvationer
Elementärt om Ordinära differentialekvationer Anders Källström 2002 01 15 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Första ordningens differentialekvationer 8 2.1 Separabla ekvationer....................................
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs merLineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012
TENTAMEN HF006 och HF008 TEN 0 dec 0 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Svante Granqvist Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merKap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.
Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +
Läs merReglerteknik, TSIU61. Föreläsning 2: Laplacetransformen
Reglerteknik, TSIU61 Föreläsning 2: Laplacetransformen Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(13) 1. Sammanfattning av föreläsning 1 2. Hur löser man differentialekvationer på ett arbetsbesparande
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 17 dec 010 Moment: TEN (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik),
Läs merStabilitet m.a.p. begynnelsedata
Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal
Läs merIX. Primitiva funktioner och differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok IX. Primitiva funktioner och differentialekvationer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com IX. Primitiva funktioner och differentialekvationer
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merVi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merDifferentialekvationer av första ordningen
Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merdy dx = ex 2y 2x e y.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs mer