Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Transkript

1 Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen vill man ofta betrakta indata i stil med fyrkantsvågor, som definieras av olika uttryck på olika intervall. För att kunna hantera sådana är det praktiskt att införa Heavisides stegfunktion 1, t, H(t) =, t <. Ibland definierar man istället H(t) = 1/2 eller låter det vara odefinierat. Eftersom vi i slutändan vill stoppa in H i integraler spelar valet sällan någon roll. Rita graferna för en funktion f(t), funktionen f(t)h(t a) och funktionen f(t a)h(t a). Vi ser att f(t)h(t a) kan tolkas som att f(t) aktiveras vid tiden t = a. Funktionen f(t a)h(t a) svarar mot att man tar grafen för t och translaterar den till intervallet t a. Dessa bilder är bra att ha i bakhuvudet. För a ges Laplacetransformen av f(t a)h(t a) av en enkel regel: f(t a)h(t a)e st ds = a f(t a)e st ds = Detta kallas i boken andra förskjutningsregeln f(t)e s(t+a) ds = e as F (s). f(t) f(t a)h(t a) (a ) F (s) e as F (s). Exempel: Beräkna Laplacetransformen av funktionen, t < 1, f(t) = (t 1) 2, 1 t < 2, 1, t 2. Givetvis kan man direkt räkna ut f(t)e st dt = 2 (t 1) 2 e st dt e st dt, men vi illustrerar här en mer systematisk metod. Vi skriver först f(t) = (t 1) 2 H(t 1) + ( 1 (t 1) 2) H(t 2),

2 Transformer och differentialekvationer M3 sid. 2 av 6 där exempelvis den andra termen kan utläsas vid tiden t = 2 aktiverar vi funktionen 1 och stänger av funktionen (t 1) 2. Sedan skriver vi Då får man 1 (t 1) 2 = 2t t 2 = (t 2) 2 2(t 2). f(t) = (t 1) 2 H(t 1) (t 2) 2 H(t 2) 2(t 2)H(t 2), Exempel: Lös differentialekvationen F (s) = 2 s 3 e s 2 s 3 e 2s 2 s 2 e 2s. x + 3x + 2x = f(t), x() = x () =, t där f(t) = 1 för t < 1 och annars. För t kan vi skriva f(t) = 1 H(t 1). Den Laplacetransformerade ekvationen blir alltså (s 2 + 3s + 2)X(s) = 1 e s ( s 1 X(s) = (1 e s ) 2s 1 ) s (s + 2) x(t) = 1 2 e t e 2t H(t 1) = Impulsfunktionen ( 1 2 e (t 1) e 2(t 1) 1 2 e t e 2t, t < 1, (e 1)e t + 1(1 2 e2 )e 2t, t 1. Antag att vi ersätter fyrkantspulsen f i föregående exempel med pulsen f ε som är 1/ε då t < ε och annars (rita bild!). Vad händer då ε? Observera att arean under grafen är konstant = 1. Om f ε är en kraft så är denna area impuls, dvs den momentförändring som kraften ger upphov till. Gränsfallet ε svarar alltså mot att impulsen 1 tillförs momentant vid tiden t =. Det är praktiskt att tänka på gränsfallet som en funktion δ som uppfyller, t =, δ(t) =, t, δ(t) dt = 1. Observera dock att det inte finns någon sådan funktion! Som vi strax skall förklara går det att ge mening åt δ som en distribution. Likväl brukar man kalla δ impulsfunktionen eller Diracs deltafunktion. )

3 Transformer och differentialekvationer M3 sid. 3 av 6 Något om distributioner Vi skall inte ge någon fullständig framställning av distributionsteorin, men kan presentera dem grundläggande idén som är mycket enkel. Man kan studera en funktion f med hjälp av avbildningen ϕ ϕ(t)f(t) dt, (1) där ϕ varierar över en lämplig klass av testfunktioner. Vanligen väljer man testfunktionerna som mängden av alla oändligt deriverbara funktioner som är utanför något begränsat intervall. En distribution är en avbildning från mängden av testfunktioner till de reella eller komplexa talen som uppfyller vissa villkor (linearitet och en form av kontinuitet). Däremot behöver den inte ges av en integral som i (1). Observera att med f ε som ovan har vi ϕ(t)f ε (t) dt = 1 ε ϕ(t) dt ϕ(), ε. ε (Använd integralkalkylens medelvärdessats.) Det är alltså naturligt att definiera δ som distributionen ϕ ϕ(). Formellt skriver man och mer allmänt ϕ(t)δ(t) dt = ϕ() ϕ(t)δ(t a) dt = ϕ(a). (2) En formell räkning ger nu att Laplacetransformen av δ(t a) bör vara δ(t a)e st dt = δ(t a)h(t)e st dt = H(a)e as e as, a, =, a <, där vi använder (2) trots att H(t)e st strängt taget inte är en testfunktion. Vi accepterar detta som definition: f(t) δ(t a) (a ) F (s) e as. Exempel: En konkret situation där deltafunktionen uppträder naturligt är vid punktbelastning av en balk. Vi tar ett enkelt exempel, se vidare ST En belastad balk beskrivs av ekvationen EI y (4) (x) = W (x), x l, där y(x) är balkens nedböjning i punkten x och W (x) den nedtryckande kraften per längdenhet. Konstanten EI är balkens böjstyvhet (flexural rigidity).

4 Transformer och differentialekvationer M3 sid. 4 av 6 Antag att balken har längden l = 1, och att den belastas med en punktmassa i x = a. Balkens egen vikt antas vara försumbar. I lämpliga enheter har vi då ekvationen Laplacetransformerar vi får vi y (4) (x) = δ(x a). s 4 Y (s) s 3 y() s 2 y () sy () y (3) () = e as, Y (s) = y() s + y () s 2 + y () s 3 + y(3) () s 4 e as, y(x) = y() + y ()x + y () x2 2 + y(3) () x3 6 a)3 H(x a)(x. 6 För att bestämma konstanterna behöver man veta hur balken är fäst i ändpunkterna. Vid konsolupphängning (cantilever) är ändpunkten x = fixerad i vågrätt läge medan ändpunkten x = 1 är helt fri. Detta svarar mot randvillkoren y() = y () =, y (1) = y (3) (1) =. Stoppar man in dessa villkor får man efter en räkning y(x) = x3 6 ax2 a)3 H(x a)(x = 2 6 Distributionsderivata x 3 6 ax2 2, x a, a 3 6 a2 x 2, a x 1. Vad är derivatan av en distribution? Om f är en deriverbar funktion så svarar f mot distributionen f (t)ϕ(t) dt = [ f(t)ϕ(t) ] f(t)ϕ (t) dt = f(t)ϕ (t) dt (första termen försvinner eftersom testfunktionerna är utanför ett begränsat intervall). Det är alltså naturligt att, mer allmänt, definiera derivatan av en distribution ϕ u(ϕ) som ϕ u(ϕ ). Exempel: Derivatan av impulsfunktionen är Observera att distributionen ϕ ϕ (). ϕ f(t)ϕ (t) dt existerar även för många funktioner f som inte är deriverbara eller ens kontinuerliga. Den kallas (distributions-)derivatan av f.

5 Transformer och differentialekvationer M3 sid. 5 av 6 Exempel: Språngfunktionen H är inte deriverbar som funktion. Däremot existerar distributionsderivatan ϕ H(t)ϕ (t) dt = vilket vi känner igen som impulsfunktionen. Vi har alltså H = δ. ϕ (t) dt = [ ϕ(t) ] = ϕ(), På motsvarande sätt kan man beräkna distributionsderivatan av funktioner med språngdiskontinuiteter. Ett språng a enheter uppåt i punkten t = b ger ett bidrag med a δ(t b), ett språng a enheter neråt bidrar med a δ(t b). Exempel: Vad är derivatan av t 2, t < 2, f(t) = t, t 2? Eftersom funktionen är diskontinuerlig tolkar vi derivatan som distributionsderivatan. För att få fram denna måste vi addera bidraget 2t för t < 2, bidraget 2δ(t 2) från språnget och bidraget 1 för t > 2. På kompakt form kan svaret skrivas Överföringsfunktion f (t) = 2t + (1 2t)H(t 2) 2δ(t 2). Som nämnts ovan kan många system beskrivas med differentialekvationer av typen a n x (n) + a n 1 x (n 1) + + a x = b m u (m) + b m 1 u (m 1) + + b u, (3) där u är indata och x utdata. Systemet kallas tidsoberoende om koefficienterna a i och b i är konstanta. Ett annat naturligt villkor är n m, vilket man i boken kallar fysiskt realiserbart. Om n < m kan kontinuerliga indata ge upphov till språng i utdata, vilket i många sammanhang är orealistiskt. Antag att systemet utgår från viloläge, dvs att x() = x () = = x (n 1) () =, u() = u () = = u (m 1) () =. Laplacetransformen av (3) är då (a n s n + a n 1 s n a )X(s) = (b m s m + b m 1 s m b )U(s). Funktionen G(s) = X(s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b a n s n + a n 1 s n a

6 Transformer och differentialekvationer M3 sid. 6 av 6 kallas överföringsfunktion. Den är ett viktigt verktyg för att studera systemets egenskaper. Vi tar upp några exempel, som diskuteras mer detaljerat i boken. Exempel: Stabilitet. Om alla nollställen till nämnaren i G (det karakteristiska polynomet) har negativ realdel så är systemet asymptotiskt stabilt. Detta betyder att om man stänger av indata, dvs u(t) = för t t, så återvänder systemet till viloläge, dvs x(t) då t. Detta är lätt att inse redan från vad man lärde sig i envariabelanalysen. För t t har nämligen lösningen formen x(t) = i p i (t)e λ it, där λ i är nollställen till karakteristiska polynomet och p i är polynom. Om alla λ i har negativ realdel kommer x(t) då t. Exempel: Impulssvar. Låt indata ges av impulsfunktionen, dvs u(t) = δ(t). Motsvarande utdata x(t) kallas systemets impulssvar, eller fundamentallösning. Eftersom U(s) = 1 så är X(s) = G(s), dvs överföringsfunktionen är Laplacetransformen av impulssvaret. Exempel: Faltning. Lösningen till begynnelsevärdesproblemet a n x (n) + a n 1 x (n 1) + + a x = b m u (m) + b m 1 u (m 1) + + b u, ges av integralen (en så kallad faltning) x() = x () = = x (n 1) () = x(t) = t u(τ)h(t τ) dτ, där h(t) är systemets impulssvar. Impulssvaret bestämmer alltså systemets utveckling även för godtyckliga indata. Detta resultat har stor teoretisk betydelse, men är inte så användbart som man skulle kunna tro för konkreta räkningar. Exempel: Frekvenssvar. Låt indata ges av u(t) = A sin(ωt). Antag också att systemet är asymptotiskt stabilt. Då t kommer x(t) att närma sig en svängning med samma frekvens som u, men med en förändring av amplitud och fas. Mer precis har vi x(t) x ss (t), t, där x ss (t) = A G(iω) sin ( ωt + arg(g(iω)) ). Genom att mäta amplitudförändring och fasförskjutning för olika frekvenser ω kan man alltså uppskatta överföringsfunktionen G(iω).