Ordinära differentialekvationer
|
|
- Karin Dahlberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Elementärt om Ordinära differentialekvationer Anders Källström
2
3 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Första ordningens differentialekvationer Separabla ekvationer Homogena ekvationer Linjära differentialekvationer av första ordningen Andra ordningens differentialekvationer Några speciella metoder Andra ordningens differentialekvationer Homogena ekvationen med konstanta koefficienter Inhomogena ekvationen med konstanta koefficienter
4 Kapitel 1 Introduktion Vid studium av naturvetenskapliga problem visar det sig ofta att de storheter som undersöks är rums- och/eller tidsberoende. Om f är symbolen för en fysikalisk storhet, (x, y, z) är en punkt i rummet och t är tiden, så är f = f (x, y, z, t). För att kunna analysera och beskriva fysikaliska förlopp vill man i många fall bestämma den undersökta storheten som en funktion av rumsoch/eller tidskoordinaterna. Ett fysikaliskt systems tillstånd och utveckling är bestämt av vissa lagar. Dessa lagar säger i de flesta fall något om hur fysikaliska storheter förändras i tiden eller rummet, vilket beskrivs av storheternas derivator. Tillämpas dessa lagar på vårt fysikaliska problem blir ofta resultatet ett matematiskt problem som består av en relation mellan den undersökta storheten och dess derivator. En sådan relation kallas en differentialekvation. Analysen av problemet i sin helhet kan åskådliggöras på följande sätt: Fysikaliskt problem Antaganden, förenklingar Experiment Matematisk modell Resultat Resultat Tolkning Förutsägelser 4
5 5 Matematisk modell Axiom Ex: Newtons lagar Teorem Ex: Energiprincipen Matematiskt problem Ex: Differentialekvation Matematisk behandling Ex: Lösning av diff-ekvationen Numerisk behandling Ex: Felkalkyl Approx lösning av diff-ekvationen Definition 1. En differentialekvation är ett samband mellan en obekant funktion och ett antal av dess derivator. Om den obekanta funktionen beror av endast en variabel kallas differentialekvation ordinär, beror funktionen av flera variabler kallas differentialekvation partiell. Om t. ex. y = y(x) så är g(x, y) dy dx = g(x, y)y = f (x, y) där f och g är funktioner av x och y ett exempel på en ordinär differentialekvation. Om t. ex. z = z(x, y) så är g(x, y) z z + h(x, y) = f (x, y) x y ett exempel på en partiell differentialekvation. Funktionerna g, h och f beror i det här fallet av variablerna x och y och z/ x och z/ y är de partiella derivatorna av z med avseende på x resp. y. Partiella differentialekvationer är i allmänhet mycket svåra att lösa och kommer ej att behandlas här.
6 6 KAPITEL 1. INTRODUKTION Allmänt kan en ordinär differentialekvation skrivas F(x, y, y,..., y (n) ) = 0. Vi antar alltid att den högsta förekommande derivatan, y (n), kan lösas ut och vi får normalformen y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ). (1.1) Talet n kallas för differentialekvationens ordning. De flesta differentialekvationer som förekommer i tillämpningar är av ordning 1 eller 2. Ett viktigt område inom fysiken är mekaniken. I mekaniken studerar man kroppars och partiklars rörelse. En partikels rörelse bestäms av Newtons lagar: Newtons 1:a lag (Tröghetslagen): Varje partikel förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse, såvida inte krafter tvingar den att ändra sitt rörelsetillstånd. Newtons 2:a lag (Accelerationslagen): Förändringen av rörelsemängden (massa hastighet) är proportionell mot den verkande kraften och riktad åt det håll kraften verkar. Newtons 3:e lag (Lagen om verkan och återverkan): De krafter varmed två partiklar påverkar varandra är alltid lika stora och motriktade. Superpositionsprincipen ( Newtons 4:e lag ): Om två krafter verkar på samma partikel så ges totala verkan av en kraft lika med krafternas vektorsumma. Om en partikel är rörlig längs en rät linje och läget relativt en referenspunkt O beskrivs av x = x(t), kan man definiera hastigheten x v = lim t 0 t = dx dt = x och accelerationen v a = lim t 0 t = dv dt = d dx dt dt = d2 x dt 2 = x. O m x Den kraft som påverkar partikeln beror i allmänhet på partikelns läge och hastighet samt tiden, dvs F = F(t, x, x ). Newtons rörelseekvation lyder då d dv (mv) = m dt dt = mx = F(t, x, x ) dvs det är en ordinär differentialekvation av ordning 2. Den matematiska behandlingen av modellens matematiska problem kan då bestå av att man löser differentialekvationen, exakt eller approximativt. Definition 2. En lösning till differentialekvationen (1.1) på ett intervall I är en funktion y(x) som är n gånger deriverbar på I (y C n (I)) och sådan att för alla x I. y (n) (x) = f (x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x)) Man kan visa att lösningen kommer att bero på n st godtyckliga konstanter, c 1, c 2,... c n, dvs y = y(x, c 1, c 2,..., c n ). Intuitivt kan man förstå detta genom att man måste utföra n st integrationer för att bestämma y om man känner y (n). Denna lösning, y = y(x, c 1, c 2,..., c n ), kallas den allmänna lösningen till (1.1). Varje lösning som fås ur den allmänna lösningen genom att välja speciella värden på c 1, c 2,... c n, kallas en partikulärlösning till (1.1). Differentialekvationen kan även ha lösningar som ej kan fås ur den allmänna lösningen genom speciella värden på konstanterna. Sådana lösningar kallas singulära. De matematiska problem som uppstår i samband med (1.1) är
7 7 (A) Finns någon lösning till (1.1) och i så fall hur många? (B) Hur kan man bestämma lösningarna? För att belysa (A) betraktar vi Exempel 1. y = 1 Lösningarna är y(x) = x + c där c är en godtycklig konstant. Ekvationen har alltså i allmänhet flera (i detta fall oändligt många) lösningar. Ofta är man emellertid intresserad av lösningar som uppfyller ytterligare villkor, t. ex. y(0) = 1. Då blir y(x) = x + 1. y y = x + 1 (0, 1) x Detta är ett exempel på ett begynnelsevärdesproblem. Ett begynnelsevärdesproblem för ekvation (1.1) kan formuleras y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) y(x 0 ) = a 0 y (x 0 ) = a 1 (1.2). y (n 1) (x 0 ) = a n 1 där a 0, a 1,..., a n 1 är givna konstanter. Med lämpliga villkor på funktionen f har detta problem exakt en lösning. Detta verkar rimligt då den allmänna lösningen innehåller n st konstanter, vilka bör kunna bestämmas ur de n sista villkoren i (1.2) En differentialekvation av n:te ordningen y (n) = f (x, y, y,..., y (n 1) ) är ekvivalent med ett system av n st 1:a ordningens differentialekvationer om vi inför y 1 = y och skriver y 1 = y 2 y 2 = y 3 vilket är ett specialfall av.y (n 1) = y n y n = f (x, y 1, y 2,..., y n ) y 1 = f 1(x, y 1, y 2,..., y n ) y 2 = f 2(x, y 1, y 2,..., y n ). y n = f n (x, y 1, y 2,..., y n ) Detta kallas ett system av kopplade differentialekvationer.
8 Kapitel 2 Första ordningens differentialekvationer En differentialekvation av ordning 1 har utseendet y = f (x, y). (2.1) Geometriskt kan den tolkas på följande sätt: Sök en kurva y = y(x) sådan att i punkten (x, y(x)) riktningskoefficienten för tangenten ges av f (x, y(x)). Om vi i punkten (x, y) avsätter ett linjestycke med riktningskoefficient f (x, y) erhåller vi ett riktningsfält. Med hjälp av detta kan man ofta få en geometrisk bild av hur lösningskurvorna bör se ut. Exempel 2. y = y har lösningar y(x) = ce x (verifiera detta). Detta förfarande kan utvecklas vidare till en enkel numerisk metod för beräkning av lösningar, samt ett bevis för existensen av lösningar. Den allmänna lösningen till (2.1) innehåller en konstant, y = y(x, c). Begynnnelsevärdesproblemet för 1:a ordningens differentialekvation kan formuleras { y = f (x, y) y(x 0 ) = y 0 (2.2) Med hjälp av begynnelsevillkoret kan konstanten c bestämmas och problemet får en entydig lösning. Geometriskt innebär detta att bland de oändligt många lösningarna y = y(x, c) väljs den som går genom punkten (x 0, y 0 ). (x 0, y 0 ) 8
9 2.1. SEPARABLA EKVATIONER 9 Vi kommer även att skriva differentialekvationen (2.1) på formen Denna ska tolkas så att P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. y = dy P(x, y) = dx Q(x, y). Vi övergår nu till att studera några fall där (2.1) kan lösas, eller som man ibland säger, integreras. 2.1 Separabla ekvationer Differentialekvationen (2.1) kallas separabel om den kan skrivas på formen eller y = g(x)h(y) (2.3) y = g(x), (h(y) = 0). h(y) Att skriva ekvationen på den senare formen kallas att separera variablerna. Integration av vänstra ledet ger med variabelsubstitutionen y = y(x) y [ ] (x) y = y(x) h(y(x) dx = dy dy = y = (x)dx h(y) Integration av båda leden ger därför dy h(y) = g(x) dx + c där c är en konstant. Detta är den allmänna lösningen till ekvationen (i implicit form). Singulära lösningar kan uppträda som rötter till ekvationen h(y) = 0. Exempel 3. y = xy 2. Separation av variablerna och integration ger Detta ger den allmänna lösningen Det finns också en singulär lösning y = 0. y y 2 = x = 1 y = x2 2 + c. 1 y = (x 2 /2) + c. Exempel 4. En kropp med massan m faller under tyngdkraftens påverkan och ett luftmotstånd som är proportionellt mot hastigheten. Bestäm hastigheten som funktion av tiden om kroppen startar från vila vit tiden t = 0. Lösning: Låt x(t) vara partikelns läge som funktion av tiden. Då är hastigheten v(t) = x (t) och accelerationen a(t) = x (t) = v (t). Newtons rörelseekvation ger att mx = mg mkx (där k är proportionalitetskonstant). Detta ger ett 1:a ordningens begynnelsevärdesproblem { mv = mg mkv eller v = g kv Ekvationen är separabel och vi får v(0) = 0 v g kv = 1 = 1 ln(g kv) = t + c k
10 10 KAPITEL 2. FÖRSTA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Villkoret för t = 0 är att v(0) = 0 vilket medför att c = (1/k) ln g. Detta ger till slut Vi ser t. ex. att sluthastigheten är v = g k ( 1 e kt ). lim t v(t) = g k. Ekvationen har även en singulär lösning v = g/k. Denna bortfaller emellertid på grund av begynnelsevillkoret v(0) = Homogena ekvationer Om ekvationen (2.1) är av formen y = f ( y ) x kallas ekvationen homogen (av grad 0). Denna kan lösas genom variabelbytet v = y/x, dvs genom att sätta y = xv. Detta ger y = xv + v och ekvationen övergår i xv + v = f (v) = v = f (v) v). x Detta är en separabel ekvation och om vi separerar variablerna fås dv f (v) v = dx x + c Exempel 5. Ekvationen 2xyy = y 2 x 2 är homogen som vi kan se om vi skriver om den (2.4) y = y2 x 2 2xy = 1 2 ( y x x ) y y = 0. Substitutionen y = xv ger nu xv + v = 1 ( 1 ) v 2 1 v = = xv = v2 1 v = v2 + 1 = 2 v 2v 2v 2v 2v v v = 1 x = ln(v2 + 1) = ln x + ln c = x(v 2 + 1) = c. Om vi återinför y som variabel fås x ( y 2 x 2 + 1) = c = y 2 + x 2 cx = 0. Vi ser att lösningskurvorna är cirklar x c 2 )2 + y 2 = c Linjära differentialekvationer av första ordningen Ekvationen y + a(x)y = b(x) (2.5) där a(x) och b(x) är givna funktioner, kallas linjär (av första ordningen). För att lösa den multiplicerar vi med en funktion G(x) (en integrerande faktor) som väljes så att vänstra ledet blir derivata av en produkt G(x)y + G(x)a(x)y = G(x)b(x)
11 2.3. LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN 11 Välj nu G så att vänstra ledet blir d ( ) G(x)y. Då måste dx G (x) = G(x)a(x) = G (x) G(x) = a(x). Integration av detta ger ln G(x) = a(x) dx = G(x) = exp ( a(x) dx ). Med detta val av G blir ekvationen d ( ) G(x)y = G(x)b(x) = G(x)y = dx y = 1 ( G(x)b(x) + c ) G(x) G(x)b(x) + c = Exempel 6. y + (cos x)y = sin x cos x. Integrerande faktor blir i detta fall Detta ger G(x) = exp ( cos x dx ) = e sin x. d ( e sin x ) = e sin x sin x cos x varav följer att dx e sin x y = e sin x sin x cos x dx = t = sin x part.integr. = esin x sin x e sin x + c = y = sin x 1 + ce sin x. Exempel 7. En elektrisk krets består av en spänningskälla med elektromotorisk kraft E(t) (t tiden), en resistans R och en induktans L. Strömstyrkan vid tiden t, I(t), satisfierar differentialekvationen LI + RI = E(t). Denna ekvation är linjär och en integrerande faktor är G(t) = e Rt L I(t) = e Rt L d ( Rt ) E(t) = e L I = dt L ( t E(s) I0 + L e Rs ) L ds 0 e Rt L = där I 0 är strömstyrkan vid tiden t = 0. Om speciellt I 0 = 0 och E(t) = E 0 (konstant) så blir I(t) = e Rt ( t E L I L e Rs ) E L ds = 0 R ( 1 e Rt ) L I I = E 0 /R I(t) t
12 Kapitel 3 Andra ordningens differentialekvationer Svårigheterna att lösa en differentialekvation växer mycket snabbt med ordningen på differentialekvationen och i de flesta fall är man hänvisad till numeriska metoder. För andra ordningens differentialekvationer finns emellertid ett antal lösbara typer som kan vara nyttiga att känna till. Den allmänna formen för en andra ordningens differentialekvation är y = f (x, y, y ). (3.1) Den allmänna lösningen innehåller två konstanter, c 1 och c 2, dvs y = y(x, c 1, c 2 ). Begynnnelsevärdesproblemet består i att söka den lösning till (3.1) som uppfyller villkoren y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = z 0. (3.2) Ur villkoren (3.2) kan konstanterna c 1 och c 2 bestämmas och begynnelsevärdesproblemet får en entydig lösning (i allmänhet). Den geometriska tolkningen av lösningen till problemet y = f (x, y, y ) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = z 0 är att lösningen är den kurva som går genom punkten (x 0, y 0 ) och vars riktningskoefficient i denna punkt är z 0. Ett mekanikproblem för en partikel som behandlas med Newtons 2:a lag ger differentialekvationen mx = F(t, x, x ) För att rörelseproblemet ska få en entydig lösning, x = x(t), krävs två begynnelsevillkor x(t 0 ) = x 0, x (t 0 ) = v 0. Dessa innebär att vid en tidpunkt t 0 måste partikelns läge x 0 och dess hastighet v 0 vara kända. En annan typ av problem som ofta förekommer är randvärdesproblem. Man söker där en lösning som antar givna värden i två olika punkter: y(x 0 ) = y 1, y(x 1 ) = y 1. Vi observerar att medan begynnelsevärdesproblem alltid är lösbara, så är det endast i vissa fall som randvärdesproblem är lösbara. Exempel på detta kommer att ges senare. 12
13 3.1. NÅGRA SPECIELLA METODER Några speciella metoder Vi ska först behandla några fall av andra ordningens differentialekvationer som kan återföras på differentialekvationer av ordning 1. Gemensamt för dessa fall är att någon variabel saknas i funktionen f (x, y, y ). Fall A Om variabeln y saknas så har (3.1) formen y = f (x, y ). Inför en ny beroende variabel u = y. Ekvationen övergår då i u = f (x, u) dvs en ekvation av första ordningen. Denna kan eventuellt lösas med de metoder vi givit tidigare (separabel, homogen, linjär). Om lösningen ges av u = u(x) så följer att y = u(x). Den sökta lösningen y fås alltså som y = u(x) dx + c. Exempel 8. y = y /x. Sätt y = u och vi får den linjära (eller separabla eller homogena) differentialekvationen u = u x = u = c 1x = y = c 1 x = y = c 1 x c 2. Fall B Om variabeln x saknas så har (3.1) formen y = f (y, y ). Inför en ny variabel p = y och betrakta p som en sammansatt funktion p = p(y) där y = y(x). Kedjeregeln ger då y = dp dx = dp dy dy dx = dp dy p vilket ger ekvationen p dp = f (y, p) dy dvs en differentialekvation av ordning 1 för p = p(y). Om denna kan lösas med våra tidigare metoder fås som en känd funktion y = p(y). Detta är i sin tur en separabel ekvation vilket ger dy p(y) = ur vilket y, åtminstone i princip, kan bestämmas. dx + c
14 14 KAPITEL 3. ANDRA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Exempel 9. yy = (y ) Inför p = y och y = p dp vilket ger den separabla differentialekvationen dy yp dp dy = p2 + 1 = pdp p = dy y = 1 2 ln(p2 + 1) = ln y + ln c = p = c 2 y 2 = y = ± c 2 y 2 1. Detta är en ny separabel differentialekvation och vi får ur vilket y kan lösas ut. dy c 2 y 2 1 = ±dx = 1 c ln(cy + c 2 y 2 1) = ±x + c = cy + c 2 y 1 1 = c 1 e ±cx Fall C Ett specialfall som ofta förekommer i mekaniken är y = f (y). Multiplicera med 2y och integrera vilket ger 2y y = d dx (y ) 2 = 2y f (y) (y ) 2 = 2 f (y)y dx = 2 f (y) dy. Om integralen evalueras så fås ( y = g(y) = ± ) 1/2 2 f (y) dy + c Denna ekvation är separabel och ger dy g(y) = dx = x + d. Härur kan y bestämmas. Denna metod kallas ofta Newtons metod. Anmärkning 1. Fallet y = f (x, y) kan i allmänhet inte förenklas till en första ordningens differentialekvation. Exempel 10. Matematisk pendel: Denna beskrivs av differentialekvationen x = g l sin x där x = x(t) är utslagsvinkeln, g är jordaccelerationen och l pendelns längd. Multiplicera ekvationen med 2x och vi får 2x x = g l x sin x = (x ) 2 = 2g l cos x + c Om x 0 är det maximala utslaget för pendeln får vi (eftersom x = 0 då x är maximal) (x ) 2 = 2g (cos x cos x 0 ) = x 2g = cos x cos x0. l l Detta är en separabel ekvation och vi ser lätt att l x dx t =. 2g cos x cos x0 0 Den sista integralen kan ej lösas med hjälp av elementära funktioner (den är en elliptisk integral).
15 Kapitel 4 Andra ordningens differentialekvationer En linjär differentialekvation av ordning 2 har formen y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = b(x). (4.1) Om b(x) 0 kallas ekvationen homogen (med avseende på y), annars inhomogen. Vi inför beteckningen L(y) = y + a 1 (x)y + a 2 (x)y (4.2) De vanliga deriveringsreglerna visar att L(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 L(y 1 ) + c 2 L(y 2 ) (c q, c 2 konstanter), dvs L är linjär (i linjär algebra mening). Detta ger omedelbart följande sats. Sats 1 (Superpositionsprincipen). Om y 1 och y 2 är lösningar till den homogena differentialekvationen L(y) = 0, så är även c 1 y 1 + c 2 y 2 en lösning för godtyckliga konstanter c 1, c 2. Detta innebär att mängden av lösningar till L(y) = 0 bildar ett linjärt rum. Man kan visa att dimensionen av detta rum är 2 (dvs ordningen av ekvationen). Man kan således hitta två linjärt oberoende lösningar y 1, y 2 till L(y) = 0 och varje annan lösning är en linjärkombination av y 1 och y 2 (y 1 och y 2 utgör en bas i rummet av lösningar). Det finns också en gemensam struktur i mängden av lösningar till den inhomogena ekvationen. Detta beskrivs i följande sats: Sats 2 (Struktursats för lösningar). Låt y 0 vara en fix lösning till den inhomogena ekvationen L(y) = b(x). Då är varje annan lösning till L(y) = b(x) av formen y = y 0 + z, där z är någon lösning till den homogena ekvationen L(z) = 0. Omvänt är varje sådan funktion y en lösning till L(y) = b(x). Bevis. Låt L(y) = b. Sätt z = y y 0. Då följer av lineariteten för L att L(z) = L(y y 0 ) = L(y) L(y 0 ) = b b = 0. Omvänt, om y = y 0 + z där L(z) = 0 så blir L(y) = L(y 0 + z) = L(y 0 ) + L(z) = b + 0 = b. För att bestämma alla lösningar till L(y) = b räcker det alltså att 1. bestämma en lösning y 0 till L(y) = b(x). Denna kallas för partikulärlösning. 15
16 16 KAPITEL 4. ANDRA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER 2. bestämma alla lösningar till den homogena ekvationen L(y) = 0. Vi ska nu speciellt studera fallet då (3.1) har konstanta koefficienter, dvs a 1 (x) a 1 och a 2 (x) a 2 (a 1 och a 2 är konstanter). 4.1 Homogena ekvationen med konstanta koefficienter Vi behandlar här differentialekvationer av typen L(y) = y + a 1 y + a 2 y = 0 (4.3) där a 1, a 2 är konstanter. Vi påminner oss att motsvarande 1:a ordningens differentialekvation y + ay = 0 har lösningen y = Ce ax. Vi undersöker om även (4.3) kan ha lösningar av denna typ. Om vi ansätter y = Ce mx och substituerar i (4.3) erhålles Ce mx (m 2 + a 1 m + a 2 ) = 0 Vi kan anta att Ce mx = 0 vilket ger slutsatsen att y = Ce mx är en lösning till (4.3) om och endast om den karakteristiska ekvationen till (4.3) m 2 + a 1 m + a 2 = 0 (4.4) är uppfylld. Antag att denna har rötterna m 1 och m 2. Då är m 1 + m 2 = a 1 och m 1 m 2 = a 2 och vi kan skriva y (m 1 + m 2 )y + m 1 m 2 y = 0 = (y m 1 y) m 2 (y m 1 y) = 0. Om vi sätter z = y m 1 y får vi ekvationen z m 2 z = 0. Denna har den allmänna lösningen z = ke m 2x. Således uppfyller y ekvationen y m 1 y = ke m 2x som är linjär och av ordning 1. Integrerande faktor är e m 1x vilket ger att Här måste vi skilja på två fall: d ( e m 1 x y ) = ke (m 2 m 1 )x. (4.5) dx 1. m 1 = m 2 : (4.5) ger då den allmänna lösningen e m 1x y = 2. m 1 = m 2 : (4.5) ger i detta fall k m 2 m 1 e (m 2 m 1 )x + c 1 = y = c 1 e m 1x + c 2 e m 2x där c 2 = k m 2 m 1. (4.6) d ( e m 1 x y ) = k = (e m1x y = c 1 x + c 2 (k = c 1 ) dx y = (c 1 x + c 2 )e m 1x (4.7)
17 4.2. INHOMOGENA EKVATIONEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER 17 I det fall då m 1 och m 2 är komplexa sätter vi m 1 = α + iβ, m 2 = α iβ (reella koefficienter i (4.4) medför att rötterna är parvis komplex-konjugerade). Lösningen y = c 1 e m 1x + c 2 e m 2x kan då skrivas på en annan form. Man har enligt Eulers formel e ix = cos x + i sin x. Härav följer att (notera att m 1 = m 2 ty β = 0) y = c 1 e αx e iβx + c 2 e αx e i βx = e αx( c 1 (cos βx + i sin βx) + c 2 (cos βx i sin βx) ) = e αx (d 1 cos βx + d 2 sin βx) (4.8) där vi har satt d 1 = c 1 + c 2 ) och d 2 = i(c 1 c 2 ). Detta kan skrivas på ytterligare ett sätt om vi inför A = d d2 2 cos δ = d 1 A sin δ = d 2 A = y = Ae αx cos(βx + δ), (4.9) där alltså A och δ är de två godtyckliga konstanterna. Exempel y + 2y 3y = 0 har karakteristisk ekvation m 2 + 2m 3 = 0 med rötter m 1 = 3, m 2 = 1 vilket ger lösningen y = c 1 e 3x + c 2 e x. 2. y + 4y + 4y = 0 har karakteristisk ekvation m 2 + 4m + 4 = 0 med rötter m 1 = 2, m 2 = 2 vilket ger lösningen y = c 1 x + c 2 )e 2x. 3. y + 4y + 5y = 0 har karakteristisk ekvation m 2 + 4m + 5 = 0 med rötter m 1 = 2 + i, m 2 = 2 i vilket ger lösningen y = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x). Metoden med karakteristisk ekvation gäller även för linjära homogena differentialekvationer av högre ordning (med konstanta koefficienter). Den karakteristiska ekvationen blir då en polynomekvation av samma grad som differentialekvationens ordning. 4.2 Inhomogena ekvationen med konstanta koefficienter Vi betraktar nu den inhomogena ekvationen L(y) = b(x) (4.10) där som förut L(y) = y + a 1 y + a 2 y och a 1, a 2 reella konstanter. Enligt struktursatsen för lösningar kan varje lösning till (4.10) skrivas som summan av någon lösning till den homogena ekvationen och en partikulärlösning till den inhomogena. Vi såg i föregående avnitt hur man löser den homogena ekvationen. För bestämning av partikulärlösning ska vi här nämna två olika metoder. Användande av känd lösning till den homogena ekvationen Antag att den karakteristiska ekvationen m 2 + a 1 m + a 2 = 0 har en rot m = m 1. Ansätt en lösning av formen y = ve m 1x. Detta ger y = v e m 1x + vm 1 e m 1x y = v e m 1x + 2v m 1 e m 1x + vm 2 1 em 1x = L(y) = ( v + (2m 1 + a 1 )v + (m a 1m 1 + a 2 )v ) e m 1x.
18 18 KAPITEL 4. ANDRA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Eftersom m 1 är rot till den karakteristiska ekvationen så är m a 1m 1 + a 2 = 0 vilket ger att Om nu v väljes så att L(y) = e m 1x ( v + (2m 1 + a 1 )v ). e m 1x ( v + (2m 1 + a 1 )v ) = b(x) (4.11) så blir y = ve m 1x en lösning till (4.10). Men (4.11) är en 1:a ordningens linjär differentialekvation i v med integrerande faktor e (2m 1+a 1 )x. Vi kan således bestämma v och sedan v. Metoden illustreras i följande exempel. Denna typ av ansats reducerar ekvationens ordning ett steg och kan även användas för högre ordningens differentialekvationer då man känner en lösning till den homogena ekvationen. Exempel 12. Lös y + 2y 3y = x. Karakteristiska ekvationen m 2 + 2m 3 = 0 har rötter m 1 = 3, m 2 = 1. Vi sätter y = e x v. Insättning i den givna ekvationen ger nu Integrerande faktor är e 4x vilken ger ekvationen e x (v + 4v ) = x = v + 4v = xe x. ( e 4x v ) = xe 3x = e 4x v = 1 3 xe3x 1 9 e3x = varav följer att v = ( x 3 1 ) e x = 9 v = ( x ) e x 9 y = e x v = x är en partikulärlösning. Obestämda koefficientmetoden Även om metoden i föregående avsnitt fungerar generellt, så är det vanligen snabbare att nasätta en partikulärlösning och bestämma koefficienterna i denna med den s. k, obestämda koefficientmetoden. Metoden går ut på att då högerledet i differentialekvationen är av enkel typ, exempelvis polynom, exponentialfunktion eller sin/cos-funktion, göra en ansats med en funktion av (väsentligen) samma typ. Detta fungerar, därför att derivatan av ett polynom är ett polynom, derivatan av en exponentialfunktion är en exponentialfunktion och etc. Ibland kan ansatsen behöva modifieras därför att den funktion som ansätts redan är en lösning till den homogena ekvationen. Vi ger exempel på hur det kan se ut i några olika fall: Polynom Betrakta ekvationen y + a 1 y + a 2 = P(x) där P är ett polynom av grad n. Ansätt en partikulärlösning av typ y p = R(x) där R är ett polynom av grad n. Exempel 13. y + 3y + 2y = x Högerledet är ett polynom av grad 2. Vi ansätter en partikulärlösning y = ax 2 + bx + c. Insättning i ekvationen ger 2a + 3(2ax + b) + 2(ax 2 + bx + c) = x
19 4.2. INHOMOGENA EKVATIONEN MED KONSTANTA KOEFFICIENTER 19 Identifiering av koefficienter för de olika potenserna av x ger En partikulärlösning är således 2a = 1 6a + 2b = 0 2a + 3b + 2c = 1 y = 1 2 x2 3 2 x a = 1/2 = b = 3/2 c = 9/4 Om m = 0 är en rot till den karakteristiska ekvationen (dvs a 2 = 0) så kan konsatanten c aldrig bestämmas (eftersom y = c i detta fall är en lösning till den homogena ekvationen). Vi modifierar då ansatsen till y p = xr(x) Om m = 0 är en dubbelrot till karakteristiska ekvationen (dvs a 1 = a 2 = 0) modifieras ansatsen till (motivera varför) y p = x 2 R(x) Exponentialfunktion Låt ekvationen vara y + a 1 y + a 2 y = Ce kx. Vi gör ansatsen y p = Ae kx. Insättning i ekvationen ger att A(k 2 + a 1 k + a 2 )e kx = Ce kx = A = C k 2 + a 1 k + a 2. Om k är rot till den karakteristiska ekvationen duger ej denna ansats. Vi väljer i stället y p = Axe kx y p = Ax 2 e kx om k enkelrot om k dubbelrot sin/cos-funktioner Låt ekvationen vara y + a 1 y + a 2 y = C cos βx (eller sin βx) Ansätt y = A cos βx + B sin βx. Insättning i den givna ekvationen ger ( Aβ 2 + a 1 Bβ + a 2 A ) cos βx + ( Bβ 2 a 1 Aβ + a 2 B ) sin βx = C cos βx vilket ger att { (a2 β 2 )A + a 1 βb = C a 1 βa (a 2 β 2 )B = 0 Detta system är lösbart om och endast om (a 2 β 2 ) 2 + a 2 1 β2 = 0 vilket är detsamma som att den karakteristiska ekvationen inte har rötter ±iβ. Om ±iβ är rötter till m 2 + a 1 m + a 2 = 0 ansätter vi istället y p = x(a cos βx + B sin βx).
20 20 KAPITEL 4. ANDRA ORDNINGENS DIFFERENTIALEKVATIONER Summor av funktioner Antag att ekvationen har formen L(y) = y + a 1 y + a 2 y = F(x) + G(x) där F och G är av någon av de tidigare behandlade typerna. Om y p = y 1 + y 2 där L(y 1 ) = F(x) och L(y 2 ) = G(x) så blir dvs y p är en partikulärlösning. L(y p ) = L(y 1 + y 2 ) = L(y 1 ) + L(y 2 ) = F(x) + G(x) Exempel 14. y + a 1 y + a 2 y = e kx + cos x. Bestäm enligt tidigare en partikulärlösning till de båda ekvationerna y + a 1 y + a 2 y = e kx y + a 1 y + a 2 y = cos x. och Summan av dessa båda partikulärlösningar blir en partikulärlösning till den givna ekvationen.
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merDifferentialekvationer av första ordningen
Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merVi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merdy dx = ex 2y 2x e y.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merKap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.
Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merKTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...
KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merLineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merModeller för dynamiska förlopp
Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER
Läs merMatematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy
Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 17 dec 010 Moment: TEN (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik),
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0 Måndagen den 0 oktober 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merz = z 2. z = z 2 z /z 2 = 1 1 z = x + c z(x) = x + c = ln x + c + c 2 y(x) = ln y = 0 y(x) = c 2
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 1 1. Lös differentialekvationen y = (y ) 2 med hjälp av substitutionen z(x) = y (x). Kommentar: detta är standard substitutionen för differentialekvationer
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merKapitel 5: Primitiva funktioner
Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs mer15. Ordinära differentialekvationer
153 15. Orinära ifferentialekvationer 15.1. Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merMA2001 Envariabelanalys
MA2001 Envariabelanalys Något om derivator del 1 Mikael Hindgren 11 november 2018 Derivatans definition Exempel 1 s-t-graf för ett föremål i rörelse. s(0) = 0. s s = v t Hastigeten konstant: Rät linje
Läs mer1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF137 Tisdagen den 11 januari 211, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.
Lösningar till MVE07 Matematisk analys i en variabel för I 8-0-0. (a Division ger y + 5x x 2 + 4 y x x2 + 4. 5x x 2 + 4 dx 5 2 ln(x2 + 4, vilket ger den integrerande faktorn (x 2 + 4 5/2. Ekvationen multipliceras
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merTypexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.
Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merD 1 u(x, y) = e x (1 + x + y 2 ), D 2 u(x, y) = 2ye x + 1, (x, y) R 2.
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 4 De frivilliga uppgifterna U1 och U2 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Sök en potentialfunktion
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs mer1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs mer