R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

Transkript

1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av ordning n (ekv) Definition Vi säger att y f (,,,, n ), där,,, n är oberoende kostanter, är den allmänna lösningen till ( n) F(,,,, y ( )) (ekv) om y f (,,,, ) n satisfierar (ekv) Om vi ersätter,,, n med konkreta värden då får vi en partikulär lösning till (ekv) Det kan finnas ytterligare lösningar som inte omfattas av den allmänna lösningen De kallas singulära lösningar Därmed alla lösningar ges av den allmänna lösningen och eventuella singulära lösningar Vi använder väldigt enkla DE för att förklara ovanstående begrep b Ekvationen f ( har den allmänna lösningen f ( d Eempel Lös ekvationen y ( Lösning: Från y ( har vi d ( där är ett konstant tal) Alltså har vi oändligt många lösningar Alla ges av uttrycket (den allmänna lösningen) För varje val av konstanten får vi en lösning (en partikulär lösning) Till eempel, för = har vi en partikulär lösning för = har vi en annan partikulär lösning I grafen bredvid har vi lösningskurvorna för =,,,, och Eempel a) Bestäm den allmänna lösningen tilll DE b) Bestäm den partikulära lösning till DE som uppfiller villkoret ) av

2 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE Lösning: a) d Alltså är y den allmänna lösningen till DE b) Vi substituerar = och y= i den allmänna lösningen och får 7 7 Därmed är y den partikulära lösningen som uppfyller villkoret y ( ) Svar a) b) y är den allmänna lösningen 7 y den sökta partikulära lösningen Eempel a) Bestäm alla lösningar till ekvationen ( y sin ( y sin b) Bestäm den lösning som uppfiller villkoret y ( ) c) Bestäm den lösning som uppfiller villkoret y ( ) Lösning: a) Först noterar vi att ( y sin ger en lösning y sin Därefter förkortar vi ekvationen med ( y sin och får d (den allmänna lösningen) Notera att y sin inte omfattas av den allmänna lösningen Oavsett hur väljer vi i får vi aldrig y sin Därmed är y sin en singulär lösning Svar a) Ekvationen har den allmänna lösningen och en singulär lösning y sin b) Villkoret ) substitueras Vi har Alltså är y ( en lösning som uppfyller villkoret y ( ) Vi måste kontrollera även om den singulära lösningen y sin uppfyller kravet y ( ), men detta gäller inte den här gången Svar b) Eakt en lösning y ( uppfyller villkoret y ( ) c) Villkoret ) substitueras Vi har Alltså är en lösning som uppfyller villkoret y ( ) Vi måste kontrollera även om den singulära lösningen y sin uppfyller kravet y ( ) och detta är sant Svar c) Två lösningar och y sin uppfyller kravet y ( ) av

3 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE Eempel a) Bestäm den allmänna lösningen till DE y ( cos b) Bestäm den partikulära lösning som uppfiller villkoren y ( ), y ( ) Lösning: a) Vi integrerar två gånger Först y ( cos cos d sin Vi integrerar andra gången och får (sin ) d cos Alltså är cos den allmänna lösningen till DE b) Vi substituerar givna villkor i den allmänna lösningen och får följande ekvationssystem map och : (ekv a), (ekv b) som ger och Därmed är cos den sökta partikulära lösningen Svar a) cos är den allmänna lösningen till DE b) cos är den sökta partikulära lösningen Definition Begynnelsevärdesproblem av ordning n är problemet att hitta en lösning till ( n) F(,,,, y ( ) (ekv) som uppfyller följande n villkor (begynnelsevillkor) i en punkt : ( ) y y, y ( n) ( ) y,, y ( ) y n Funktionen y f ( är en lösning till ovanstående begynnelsevärdesproblem på intervallet ( a, b) (som kallas lösningens eistensintervall) om ( n) F(, f (, f (, f ( ) för alla ( a, b) och dessutom ( n) f ( ) y, f ( ) y,, f ( ) y n Ett begynnelsevärdesproblem kan i allmänt ha ingen lösning, eakt en lösning, ändligt många lösningar eller oändligt många lösningar Här är några eempel på begynnelsevärdesproblem: Eempel (BVP av ordning) Lös DE y ( y med villkoret y ( ) Eempel 6 (BVP av ordning ) Lös DE y ( med villkoren y ( ) och y ( ) av

4 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE Eempel 7 (BVP av ordning ) Lös DE y ( sin med villkoren y ( ), y ( ) och y ( ) Ovanstående BVP löser vi senare i kursen: ( ) ENKLA EKVATIONER AV TYP y n ( f ( Ekvationer av typ ( ) y n ( f ( (dvs derivatan av ordning n är given eplicit som en funktion av löser vi genom upprepad integration Vi integrerar högerledet f ( n gånger Varje gång lägger vi till en integrationskonstant Den enklaste typ av förstaordningens begynnelsevärdesproblem y ( f (, ) y löser vi oftast att först bestämma den allmänna lösningen f ( d och därefter bestämmer så att lösningen uppfyller villkoret ) y Vi kan också lösa begynnelsevärdesproblemet genom att integrera båda leden i ekvationen y ( f ( från till (Vi har som övregränsen och därför betecknar variabel i integranden med en annan bokstav) Alltså y ( dt f ( dt y y f ( dt ( f ( dt y f ( dt som direkt ger den lösning som går genom punkten, ) ( y Alltså har den enklaste typ av förstaordningens begynnelsevärdesproblem y ( f (, ) y, lösningen y f ( dt Denna metod används oftast i teorin och härledningar inom tekniska områden Uppgift a) Lös ekvationen y ( b) Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret y ( ) c) Bestäm eistensintervall för lösningen i b) Lösning a) Från y ( har vi ( ) d Alltså är den allmänna lösningen b) För att få den lösning som uppfyller kravet ) substituerar vi = och y= i den allmänna lösningen och bestämmer av

5 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE Vi har som ger = Alltså är y ( den lösning som uppfyller y ( ) c) y ( är lösning till DE för alla (, ) Svar a) (den allmänna lösningen) b) y ( är den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret y ( ) c) (, ) Ekvationen y ( f ( har oändligt många lösningar som vi får genom att integrera högerledet två gånger: Först bestämmer vi första derivatan genom att integrera andra derivatan f ( d Därefter integrerar vi en gång till och får ( f ( d d Uppgift Lös ekvationen y ( sin Lösning Från y ( sin har vi (sin ) d cos Integrera en gång till: ( cos ) d sin Svar sin Uppgift a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen y ( sin b) Bestäm den lösning som uppfyller begynnelsevillkoren y ( ) y ( ) Lösning a) Från y ( sin har vi ( sin ) d cos Integrera en gång till: av

6 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ( cos ) d sinn Alltså är sin den allmänna lösningen b) Från y ( ) och allmänna lösningenn har vi sin Från y ( ) och cos har vi cos Därmed är sin den sökta lösningen som uppfyller båda villkor Svar a) sin b) sin NÅGRA TILLÄMPNINGAR AV ENKLA DE Uppgift En balk med belastning w(, är fast i båda änder Omm ett koordinatsystem med origo i den första punkten inläggs som i ovanståendee figuren, satisfierar koordinaternaa (,y) för en godtycklig punkt på balken följande differentialekvation d y w( d EI w( a) Bestäm då ( ( ), y ( ), ), ) och y ( ) EI 6 av

7 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE b) Ritaa grafen (med miniräknare eller ett dataprogram) till ), w( ) d y w( Lösning Vi substituerar ( ) i ekvationen EI d EI d y d y ( ) eller d d Vi integrerar fyra gånger och för f den allmänna lösningen och får Villkoren ) och ) ger = och = Från ) och y ( ) får vi och därmed = b) Grafen till funktionen (balken med belastning): Svar a) = b) Se grafenn Hastighet och acceleration vid en rätlinjig rörelse Låt s(t ) beskriva position av en objekt som rör sig rätlinjig längs s-aeln (tt e -aeln y-aeln eller z-aeln) Då har vi följande formlerr för hastigheten v (, farten f v( och accelerationen : Positionen vid tiden t: s s( Hastigheten : v ( s( Farten: v( s ( Accelerationen a( s ( den totala längden av vägen som objekt passerar under tidsintervall t t t är L t t v ( dt Härav kan vi beräkna positionen s( om hastigheten v( är känd: s ( v ( dt Om vi vet accelerationen a( då kan vi beräkna hastigheten v( a( dt och därefter integrera en gångg till för att få positionen Uppgift s( v( dt 7 av

8 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE En partikel rör sig längs y-aeln med accelerationen a ( ( i lämpliga enheter t e m/s ) Vid tidpunkten t betecknar vi partikelns position med och partikelns hastighet med v( Bestäm partikelns position och v( om ) = och ) = Tips: y ( v(, y ( v( a( Lösning: Från y ( a( har vi y ( Därför ( efter en integration) ( ) dt t Vi integrerar en gång till och får ( t ) dt t t D Alltså t t D Konstanterna och D bestämmer vi med hjälp av givna villkor ) = och ) = Först, från ) = får vi D och därför y ( t t Nu substituerar vi ) = och får 6 Alltså y ( t 6t Nu har vi v ( t 6 Svar: y ( t 6t och v ( t 6 Uppgift 6 En partikel rör sig längs y-aeln med accelerationen a( sint ( i lämpliga enheter t e m/s ) Vid tidpunkten t betecknar vi partikelns position med och partikelns hastighet med v( a) Bestäm partikelns position vid tidpunkten t om ) = och v()= b) I vilken position befinner sig partikeln vid tidpunkten t c) Bestäm ( den totala) längden av vägen som partikeln passerar i tidsintervallet t Tips: y (= v(, v (=a( Lösning: a) Från v (=a( får vi v( a( dt ( sin dt cost Eftersom v()= har vi = och därmed blir hastigheten v( cost Från y (= v( får vi v( dt (cos dt sint D Eftersom )= har vi D= och därför blir partikelns position (vid tidpunkten y ( sint b) y ( ), partikeln befinner sig igen i startpunkten ( y ( ) ) ) c) Den totala längden av vägen som partikeln passerar i tidsintervallet t är 8 av

9 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE s v( dt / costdt / / ( cos dt / (cos dt (meter) cost för t / Anmärkning: v ( cost cost för / t / cost för / t Lägg märke till att partikeln först rör sig mot punkten 7 på y-aeln, sedan motsatt riktning till - och därefter till Svar: a) y ( sint b) y ( ) c) Uppgift 7 En partikel rör sig längs y-aeln Partikelns position vid tidpunkten t betecknar vi med hastigheten med v( och accelerationen med a ( För partikelns rörelse gäller följande: a(, )= och v()=6 (i lämpliga enheter te längden i meter, tiden i sekunder) a) Bestäm partikelns position b) Bestäm längden av den totala vägen som partikeln genomlöper under tidintervallet t Lösning: a)från a( har vi ekvationen y ( y ( y ( Från r r i, Därför cos t D sin t Från villkoret )= har vi och därmed D sin t Från v()=6 får vi y ( ) 6 Nu y ( D cos t D 6 D Alltså sin( Svar: a) sin( b) Om t väer från till då t väer från till Vi betraktar rörelsen sin( i två tidintervall t och t Motsvarande intervall för t är t och t i) Intervallet t (motsvarande intervall för t är t ) I detta intervall varierar sin(t ) mellan sin och sin dvs mellan och Partikeln startar i y= och når sin högsta punkt y= vid t [eftersom y ( ) sin( ) ] Därmed, under tidintervallet t, passerar partikeln sträckan vars - o 9 av

10 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE längd är L= (meter) ii) Intervallet t (motsvarande intervall för t är t ) Partikeln går från punkten y= mot punkten y= Därmed, under tidintervallet t, passerar partikeln sträckan vars längd är L=6 (meter) Totalt blir det L=L+L=+6=9 (meter) Svar b: 9 meter Allternativ lösning för b-delen Vägen= har vi / t t Funktionen Eftersom v( dt 6cost dt t t dt / 6 cos t är positiv om 6cos( 6cos t 6cos( / 6costdt / / 6cost dt t och negativ om t om t dvs t om t dvs t ( 6cos dt sin( / ) sin() sin( / ) sin( / ) 9 Svar: a) Partikelns position vid tiden t är sin( t / b) Vägen= v( dt 6cost dt 9 (meter) t / / sin t sin t / av